高考總復習優(yōu)化設計一輪用書文科數(shù)學配北師版課時規(guī)范練55　幾何概型

課時規(guī)范練55幾何概型基礎鞏固組1.(2021山西運城模擬)某單位試行上班刷卡制度,規(guī)定每天8:30上班,有15分鐘的有效刷卡時間(即8:15~8:30),一名職工在7:50到8:30之間到單位且到達單位的時刻是隨機的,則他能正常刷卡上班的概率是()A.23 B.58 C.13 答案:D解析:一名職工在7:50到8:30之間到單位,刷卡時間長度為40分鐘,但有效刷卡時間是15分鐘,所以該職工能正常刷卡上班的概率P=1540=382.已知α∈[0,π],則滿足sinα<cosα的概率為()A.14 B.13 C.12 答案:A解析:∵α∈[0,π],sinα<cosα,∴0≤α<π4,∴滿足sinα<cosα的概率為P=π3.(2021福建龍巖質檢)在區(qū)間-π2,π2上隨機取一個實數(shù)x,使cosxA.34 B.23 C.12 答案:B解析:不等式cosx≥12在區(qū)間-π2,π2上的解為-π3≤x≤π3,故4.在一次試驗中,向如圖所示的正方形ABCD中隨機撒一大把豆子,圖中半圓的直徑分別為AB,BC.經過統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)落在正方形ABCD中的豆子有N粒,其中有m(m<N)粒豆子落在陰影區(qū)域內,以此估計mN的值為(A.π-28 C.π-18 答案:A解析:設正方形ABCD的邊長為2,則正方形ABCD的面積等于4.因為陰影部分的面積等于2×14π×12-12×1×1=π-22,所以mN5.(2021河南豫北名校聯(lián)盟精英對抗賽)已知函數(shù)f(x)=sinx+3cosx,當x∈[0,π]時,f(x)≥1的概率為()A.13 B.14 C.15 答案:D解析:由f(x)=2sinx+π3≥1,x∈[0,π]得x∈0,π2,∴所求概率P=π2π=12,6.右圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個半圓構成,三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點,此點取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別記為p1,p2,p3,則()A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3答案:A解析:設AB=b,AC=a,BC=c,則a2+b2=c2.所以以BC為直徑的圓面積為πc22,以AB為直徑的圓面積為πb22,以AC為直徑的圓面積為πa22.所以SⅠ=12ab,SⅡ=12×πb24+12×πa24?127.(2021山西孝義模擬)在平面直角坐標系xOy中,已知點P(1,0)和圓O:x2+y2=1,在圓O上任取一點Q,連接PQ,則直線PQ的斜率大于-3的概率是()A.16 B.13 C.23 答案:D解析:如圖:當直線PM的斜率為-3時,傾斜角為120°,∠POM=60°,當點Q在優(yōu)弧PM(不含端點)上時,直線PQ的斜率大于-3,優(yōu)弧PM的長度為2π-π3×1=5π3,圓的周長為2π×1=2π,根據(jù)幾何概型的概率公式可得所求概率為5π328.在區(qū)間[-π,π]上隨機取兩個實數(shù)a,b,記向量OA=(a,4b),OB=(4a,b),則OA·OB≥4π2的概率為答案:1-π解析:在區(qū)間[-π,π]上隨機取兩個實數(shù)a,b,則點(a,b)在以2π為邊長的正方形內及正方形的邊上,因為OA=(a,4b),OB=(4a,b),則OA·OB=4a2+4b2.因為OA·OB≥4π2,所以a2+b2≥π2,點(a,b)在以原點為圓心,以π為半徑的圓外及圓上,且在以2π為邊長的正方形內及正方形的邊上,所以OA·OB≥4π2的概率為P=綜合提升組9.已知圓C:x2+y2=4,直線l:y=x+b.當實數(shù)b∈[0,6]時,圓C上恰有2個點到直線l的距離為1的概率為()A.23 B.22 C.12 答案:A解析:圓C的圓心坐標為O(0,0),半徑為2,直線l為x-y+b=0.當b2=3,即b=32時,圓上恰有一個點到直線l距離為1,當b2=1,即b=2時,圓上恰有3個點到直線l距離為1.所以當b∈(2,32)時,圓上恰有2個點到直線l的距離為1,故概率為32-10.設復數(shù)z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,則y≥x的概率為()A.34+12πC.14?12答案:C解析:∵|z|=(x-1)2+y2≤1,∴(x-1)2+y2≤1,其幾何意義表示為以(1,0)為圓心,1為半徑的圓面,如圖所示,而y≥x所表示的區(qū)域如圖中陰影部分11.(2021河南商丘、周口、駐馬店聯(lián)考)如圖,AC,BD分別是大圓O的兩條相互垂直的直徑,4個小圓的直徑分別為OA,OB,OC,OD,若向大圓內部隨機投擲一點,則該點落在陰影部分的概率為()A.π4 B.C.1π D.答案:D解析:不妨設大圓的半徑為2,則大圓的面積為4π,小圓的半徑為1,如圖,設圖中陰影部分面積為S,由圖形的對稱性知,題圖中的陰影面積S陰影=8S.又S=12π×12-14π×12-12×12×2=1,則所求概率為84π=12.記[m]表示不超過m的最大整數(shù).若在x∈18,12上隨機取1個實數(shù),則使得[log2x答案:2解析:若x∈18,12,則log2x∈(-3,-1).要使得[log2x]為偶數(shù),則log2x∈[-2,-1).所以x∈14創(chuàng)新應用組13.在等腰直角三角形ABC中,直角頂點為C.(1)在斜邊AB上任取一點M,求AM<AC的概率;(2)在△ABC的內部,以C為端點任作一條射線CM,與線段AB交于點M,求AM<AC的概率.解:(1)在等腰直角三角形ABC中,設AC長為1,則AB長為2,在AB上取點C',使AC'=1,若點M在線段AC'上,則滿足AM<AC.∵AC'=1,AB=2,∴AM<AC的概率為P1=AC'