高考高中數(shù)學(xué)函數(shù)必考大題詳解

高中數(shù)學(xué)函數(shù)必考大題專練詳解

高中函數(shù)大題專練

1、已知關(guān)于x的不等式(依一公一4)*一4)〉0,其中keR。

⑴試求不等式的解集4；

⑵對(duì)「不等式的解集A,若滿足AnZ=8(其中Z為整數(shù)集)。試探究集合B能否為有

限集？若能，求出使得集合B中元素個(gè)數(shù)最少的A的所有取值，并用列舉法表示集合

B：若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

2、對(duì)定義在[0,1]I-.,并IL同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)/'(X)稱為G函數(shù)。

①對(duì)任意的xw[0,1],總有f(幻20；

②當(dāng).NO,%N0,%+苫241時(shí)，總有/(X]+々)之/(西)+/(欠2)成立。

已知函數(shù)g(x)=X2與〃(x)=a?2"-1是定義在[0,1]上的函數(shù)。

(1)試問(wèn)函數(shù)g(x)是否為G函數(shù)？并說(shuō)明理由；

(2)若函數(shù)力。)是G函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值：

(3)在(2)的條件卜，討論方程g(2'-l)+/?(x)=m(5G/?)解的個(gè)數(shù)情況。

3.已知函數(shù)f(x)=2*-5.

(1)若f(x)=2,求一的值:

(2)若27(2/)+何'(/)之0對(duì)于“6⑵3]恒成立，求實(shí)數(shù)用的取值范圍.

4.設(shè)函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù).若當(dāng)x20時(shí)，/(%)=■x'A>0；

I。，x—0.

(1)求f(x)在(-00,0)上的解析式.

(2)請(qǐng)你作出函數(shù)f(x)的大致圖像.

(3)當(dāng)0<a<6時(shí),若/(a)=/(%),求。b的取值范圍.

(4)若美J：x的方程/2(》)+"(幻+，=0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解，求6,c滿足的條件.

5.已知函數(shù)/(x)=a--—(A0)=

Ixl

(1)若函數(shù)f(x)是(0,+oo)上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)6的取值范圍；

(2)當(dāng))=2時(shí),若不等式，(x)<x在區(qū)間(1,+8)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍：

(3)對(duì)于函數(shù)g(x)若存在區(qū)間[，〃,〃](，"<"),使時(shí)，函數(shù)g(x)的值域也是

["?,〃],則稱g(x)是[〃?,〃]上的閉函數(shù)。若函數(shù)/(x)是某區(qū)間上的閉函數(shù)，試探

求“2應(yīng)滿足的條件。

6、設(shè)/(x)=yjax2+bx,求滿足卜列條件的實(shí)數(shù)。的值:至少有一個(gè)iE實(shí)數(shù)〃，讖I數(shù)/(x)

的定義域和值域相同。

7.對(duì)廣函數(shù)/(x),若存在，使f(x0)=/成立，則稱點(diǎn)(小與)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).

(1)已知函數(shù)/(x)：。/+bx-伙a#0)有不動(dòng)點(diǎn)(1,1)和(-3,-3)求a與b的值：

(2)若對(duì)廣任意實(shí)數(shù)b,函數(shù)“幻=0?+氏―員a*o)總有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn),求。的

取值范圍；

〈3)若定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)g(x)存在(有限的)n個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求證：n必為奇數(shù)。

8.設(shè)函數(shù)/(x)=x+1，(x#O)的圖象為G、G關(guān)于點(diǎn)A(2,1)的對(duì)稱的圖象為。2,

x

。2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(幻,

(1)求函數(shù)y=g(x)的解析式：

(2)若直線.y=。與C?只有個(gè)交點(diǎn)，求b的值并求出交點(diǎn)的坐標(biāo).

9.設(shè)定義在(0,+oo)上的函數(shù)/(*)滿足下面一:個(gè)條件:

①對(duì)于任意正實(shí)數(shù)“，b,都有力)="〃)+_/'(〃)-1；

②〃2)=0；

③當(dāng)x>l時(shí)，總/f(x)<l.

(1)求/⑴及f(g)的值；

(2)求證：/(x)在(0,+8)上是減函數(shù).

10.已知函數(shù)f(x)是定義在［-2,2］上的奇函數(shù)，當(dāng)xe［-2,0)時(shí)，f(x)=fx-gl(,為

常數(shù))。

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)當(dāng)re［2,6］時(shí)，求”幻在［-2,0］上的最小值，及取得最小值時(shí)的x,并猜想/(x)

在［0.2］上的單調(diào)遞增區(qū)間(不必瞅)；

(3)當(dāng)r?9時(shí)，證明：函數(shù)y=/(x)的圖象上至少有?個(gè)點(diǎn)落在直線y=14上。

11.記函數(shù)f(x)=/2-立^的定義域?yàn)锳，g(x)=lg［(2x-bXdJC+l)］(八0,4eR)的定

Vx+2

義域?yàn)锽.

(1)求A：

(2)若求a、匕的取值范圍

12、設(shè)=>Qaw1)。

\-ax

(1)求/(x)的反函數(shù)/'(.r)：

(2)討論/G)在(1.+8)上的單調(diào)性，并加以證明：

(3)令g(x)=l+log“x,當(dāng)［m,n］u(l,+8)(m<“)時(shí)，f<x)在［加,〃］上的值域是

求a的取值范圍。

13.集合A是由具備下列性質(zhì)的函數(shù)/(x)組成的：

(1)函數(shù)/(x)的定義域是［0,+8);

(2)函數(shù)/(x)的便域是~2,4)：

(3)函數(shù)/(尤)在［(),+/)上是增函數(shù).試分別探究卜列兩小題：

(I)判斷函數(shù)/；(x)=?-2(x20),及/式x)=4—6?(夕(x20)是否屬于集合A?并簡(jiǎn)

要說(shuō)明理由.

(II)對(duì)「(I)中你認(rèn)為屬f?集合A的函數(shù)/(x),不等式/(x)+/(x+2)<2/(x+l),

是否對(duì)于任意的x20總成立？若不成立，為什么？著成立.，請(qǐng)證明你的結(jié)論.

14,設(shè)函數(shù)f(x)=ax?+bx+l(a,b為實(shí)數(shù))，F(xiàn)(x)=卜"""°)

［-/(X)(X<0)

⑴若f(T)=0且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f(x)>0成立,求F(x)表達(dá)式。

(2)在⑴的條件下，當(dāng)xe［-2,2］時(shí),g(x)=f(x)-kx是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

(3)(理)設(shè)m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)為偶函數(shù),求證:F(m)+F(n)>0o

15.函數(shù)f(x)=」一(a,b是作零實(shí)常數(shù)),滿足f(2)=LII方程f(x)=x有且僅有?個(gè)解。

ax+b

(1)求a、b的值；

(2)是否存在實(shí)常數(shù)m,使得對(duì)定義域中任意的x,f(x)+f(m-x)=4恒成立？為什么？

(3)在百角坐標(biāo)系中，求定點(diǎn)A(-3,l)到此函數(shù)圖豫上任意一點(diǎn)P的跑高IAPI的最小位。

函數(shù)大題專練答案

1、已知關(guān)于x的不等式(履一標(biāo)一4)(X—4)>0,其中女€美。

⑴試求不等式的解集A；

⑵刻于不等式的解集A,若滿足ADZ=B(其中Z為整數(shù)集)。試探究集合B能否為有

限集？若能，求出使得集合B中元素個(gè)數(shù)最少的左的所有取值，并用列舉法表示集合

B:若不能，請(qǐng)說(shuō)明理山。

4

解(1)當(dāng)左=0時(shí)，A=(-oo,4)s當(dāng)A>0且kr2時(shí)，A=(-oo,4)U(^+—,+°o)；

當(dāng)％=2時(shí)，A=(-oo,4)U(4,+8)；(不單獨(dú)分析k=2時(shí)的情況不扣分)

4

當(dāng)左<0時(shí),4=伏+—,4)。

k

(2)由(1)知：當(dāng)k20時(shí)，集合8中的元素的個(gè)數(shù)無(wú)限；

當(dāng)*<0時(shí),集合B中的元素的個(gè)數(shù)有限，此時(shí)集合B為有限集。

4

因?yàn)樽?—4-4,當(dāng)IL僅當(dāng)4=-2時(shí)取等號(hào)，

k

所以當(dāng)k=-2忖，集合8的元素個(gè)數(shù)最少。

此時(shí)A=(-4,4),故集合5={-3,-2,-1,0,1,2,3}。

2、對(duì)定義在［0,1］上,并R同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)/(x)稱為G函數(shù).

①對(duì)任意的xw［0,1］,總有/(x)>0：

②當(dāng)ANO,%20,工］+蒞4?時(shí)，總有/(戈|+x?)2/(xj+f6)成立。

已知函數(shù)g(x)=x2與〃(外=a-2'-\是定義在［0,1］上的函數(shù).

(1)試問(wèn)函數(shù)g(x)是否為G函數(shù)?并說(shuō)明理由；

(2)若函數(shù)〃(幻是G函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；

(3)在(2)的條件下，討論方程8(2*-1)+/?(犬)=加(加6及)解的個(gè)數(shù)情況。

解⑴當(dāng)xw[0』]時(shí)，總有g(shù)(x)=x‘NO,滿足①，

當(dāng)為20,石20,工14-A2<1時(shí)，

22

g(X|十XJ=XJ+x,+2x,x,>x:+x2=g(xj+g(x?),滿足②

(2)若a<l時(shí)，h(0)=a-l<0不滿足①，所以不是G函數(shù)：

若a加時(shí),h(x)在xe[0,l]上是增函數(shù)，則h(x)NO,滿足①

由h(X1+X2)Nh(X1)+h(X2),得a2"m-lNa-2X|-l+a-2X2-l,

即a[l-(2x,-l)(2,2-l)]<l,

因?yàn)閤,>0,x2>0,^+x2<1

所以0<2x,-1<10<2x-1<1X]與X2不同時(shí)等于1/.0<(2x,-1)(2X,-1)<1

1

1-(2X,-1)(2X,-1)

當(dāng)x[=x=0時(shí)，(-----------------).=1a<1,

121-(2X--1)(2X'-1)nm,n

綜合卜.述：ae{l}

(3)根據(jù)(2)知：a=l,方程為4，—2x=m,

0<2X-1<1

rlr得xe[O,l]

0<x<l

令2*=t€U,2］,則m=t2-t=(t-；)2-；

由圖形可知;當(dāng)m€［0,2］時(shí)，有一解:

當(dāng)mG(-00,0)0(2,-wo)時(shí).方程無(wú)解.

3.已知函數(shù)/。)=2'-5.

(1)若f(x)=2,求x的值;

(2)若2'/'(2/)+WQ)2()對(duì)于fe[2,3]恒成立，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

[解](1)當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=0;當(dāng)xNO時(shí)，〃x)=2'—一

2X

由條件可知2*_二=2,即22X-2-2X-1=0,

解得2*=1士應(yīng).

X

2>0?x=log2(l+V2).

(2)當(dāng)/e[l,2]時(shí)，+

即/M(22/-I)>-(24f-1).

,.12”-1>0，/.“后一(2"+1).

???/e[2,3],A-(l+22,)e[-65,-17J.

故用的取值范圍是[-17,+00).

4.設(shè)函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù).若當(dāng)x20時(shí)，/(x)=J-不’”＞0；

0,x=0.

(1)求/⑴在(-oo,0)上的解析式.

(2)請(qǐng)你作出函數(shù)/(戈)的大致圖像.

(3)當(dāng)0＜。＜力時(shí)，若f(〃)=/(6)，求ab的取值范圍.

(4)若關(guān)于x的方程,廣(幻+^^^+仁二。有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解，求4c滿足的條件.

［解］(1)當(dāng)］￡(一8,0)時(shí)，/(X)=/(-X)=1-—=1+—.

-XX

(2)/(工)的大致圖像如下：.

(3)因?yàn)?<。</九所以f(o)=/S)

oa+〃=2ah>2>［ab

解得她的取值范圍是(L+8).

(4)由(2),對(duì)于方程/(*)=".%"=°時(shí)，方程有3個(gè)根；當(dāng)0<“<1時(shí)，方程

有4個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)根：當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解.…15分

所以，耍使關(guān)于》的方程/“幻+bf(A)+°=°有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解，關(guān)丁J*)的方程

/2(x)+"(x)+c=°有?個(gè)在區(qū)間(0,1)的正實(shí)數(shù)根和,個(gè)等于霎的根。

所以c=0,/(x)=—bw(0,1),即一1v〃v0,c=().

5.已知函數(shù)/(x)=a—上-(x#0)。

Ixl

(I)若函數(shù)/(X)是(0.+8)上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù))的取值范圍;

(2)當(dāng)b=2時(shí)，若不等式/'(x)<x在區(qū)間(1,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范闈;

(3)對(duì)于函數(shù)g(x)若存在:區(qū)間［/“，川⑴?<〃)，使時(shí)，函數(shù)g(x)的值域也是

則稱g(x)是［/〃,〃］上的閉函數(shù)。若函數(shù)/'(X)是某區(qū)間［的閉函數(shù),試探

求應(yīng)滿足的條件。

解(I)當(dāng)xe(0,+a>)時(shí)，f{x)=a~—

x

設(shè)X1,、2€(0,+OO)口X1<W,由/(X)是(0,+00)上的增函數(shù)，則/(百)<，(々)

!

/(X,)-/(x2)=—<0

由占</2,西,々w(0,+℃)知X]-了2<06尼>0,所以b>0,即8e(0,+oo)

22

(2)當(dāng)》=2時(shí)，/(/)=〃----<1在工￡(1,+8)上恒.成立，即+—

IxlX

因?yàn)閤+222血，當(dāng)x=2即K=及時(shí)取等號(hào)，

XX

V2e(l,+oo),所以x+2在xe(l,+oo)上的最小值為2及。則a<2媳

X

(3)因?yàn)閒(x)=a—2的定義域是(―oo,0)U(0,+8)，設(shè)/(X)是區(qū)間［，％〃］上的閉函

1x1

數(shù)，則m〃>0且6*0

(4)①若0v7〃v〃

當(dāng)。>0時(shí).，f(x)=a一一-是(0,+00)上的增函數(shù)，則，，

1x1［/(〃)=〃

所以方程4-2=*在(0,+8)上有兩不等實(shí)根，

X

即/一4工+6=0在(0,+8)上有兩不等實(shí)根，所以

。2-4力>0

f+毛=〃>0,即。>07?>0W.a1-4〃>0

xl-x2=b>Q

當(dāng)匕<0時(shí)，/'(x)=a—a-=。+±在(0,+oo)上遞減，則卜"〃"一"，即

Ixlx[f(n)=tn

h

a----

a=0一

Vm,所以a=0的<0

bmn=-b

a—

n

②若〃z<〃<0

f(w)=

當(dāng)b>0時(shí)，/*)=〃一上b-=4+b2是(—oo,0)上的減函數(shù)，所以n，即

Ixlx[f(n)=m

b

aH—=n

a=0~

m=,,所以。=0⑦〉0

bmn=b

a+一=初

n

6、設(shè)f(x)=Ja/+bx,求滿足F列條件的實(shí)數(shù)”的伍：至少有一個(gè)正實(shí)數(shù)b,使函數(shù)

/(x)的定義域和值域相同。

解(1)若4=0,則對(duì)于每個(gè)正數(shù)匕，/(幻=癡的定義域和值域都是[0,+8)

故“=0滿足條件

(2)若。>0,則對(duì)于正數(shù)匕,f(幻=ylax2+bx的定義域?yàn)镈=J[o,+oc),

但/(x)的值域AQ[(),+OO),故。NA,即a〉0不合條件：

(3)若a<0,則對(duì)正數(shù)人，定義域。=[0,-2]=—^=，

a2j-〃

bhb[ci<0

/(X)的值域?yàn)閇0,—,—]9—=—I—o),—ou=-4

2yJ-aa2j-〃[2y/-a--a

綜上所述：a的值為?；?4

7.對(duì)于函數(shù)/(幻，若存在,使/(%)二3成立，則稱點(diǎn)(七,小)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。

(1)已知函數(shù)/(x)=a/+/比一"4H0)有不動(dòng)點(diǎn)(1,1)和(-3,-3)求a與方的值:

(2)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)b,函數(shù)/。)=以2+6一員“#())總有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn),求。的

取值范圍：

<3>若定義在實(shí)數(shù)集R上的奇?函數(shù)g(x)存在(有限的)“個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求證：〃必為奇數(shù)。

解：(1)由不動(dòng)點(diǎn)的定義：/(X)-X=(),：.ar:+(b-l)x-〃=0

代入x=1知。=1,又由工二一3及〃=1知。=3。

.*.?=1,6=3。

(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)b,/(x)=ax-+bx-b(a*0)總行兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，即是對(duì)任意的實(shí)

數(shù)b,方程/(x)—x=0總有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根。

：.ajc2+(b-l)x-b=0>\'A=(b-l)2+4ab>0,

即6+(44-2池+1〉0恒成立。故％=(4。-2猿一4<0,A0<a<1?

故當(dāng)0<a<1時(shí)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)〃，方程/(x)總有兩個(gè)相異的不動(dòng)

點(diǎn)。...............1'

(3)g(x)是R上的行函數(shù)，則g(0)=0,，(0,0)是函數(shù)片(x)的不動(dòng)點(diǎn)。

若g(x)有異于(0,0)的不動(dòng)點(diǎn)(Xo，/),則8(/)=/。

又g(F>)=-g(x。)=-x0.A(-x0,-x0)是函數(shù)g(x)的不動(dòng)點(diǎn)。

...g(x)的有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)除原點(diǎn)外，都是成對(duì)出現(xiàn)的,

所以有2人個(gè)(kwN),加上原點(diǎn)，共有”=2左+1個(gè)。即〃必為奇數(shù)

8.設(shè)函數(shù)/(x)=x+^,(x/0)的圖象為G、G關(guān)于點(diǎn)A(2,I)的對(duì)稱的圖象為。2,

X

。2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(X).

(1)求函數(shù)y=g(x)的解析式:

(2)若直線只布,一個(gè)交點(diǎn)，求〃的值并求出交點(diǎn)的坐標(biāo).

解.(I)設(shè)p(〃/)是y=,E+—上任意點(diǎn)，=H+L①

XU

設(shè)P關(guān)于A(2,1)對(duì)稱的點(diǎn)為。(x,y),,一=(一一.

y+y=2(v=2-y

代人①得2-y=4-x+―--=y=x-2d---------

4-x?JT-4

...g(x)=x-2+-------(xG(-oo,4)u(4,+00));

x-4

\y=b

(2)聯(lián)立I1=>犬2-(。+6)氏+48+9=0,

y=x-2+-------

Ux-4

A=(力+6)2—4x(4〃+9)=b2—4方=0=%=0或b=4,

(1)當(dāng)6=0時(shí)得交點(diǎn)(3,0)；(2)當(dāng)b=4時(shí)得交點(diǎn)(5,4).

9.設(shè)定義在(0,+8)上的函數(shù)/*)滿足下面三個(gè)條件：

①對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b,都有"a?b)=/(a)+/3)-l：

②八2)=0：

③當(dāng)x>l時(shí)，總有f(x)vl.

(I)求/⑴町的值；

(2)求證：/'(X)在(0,+oo)上.是減函數(shù).

解(I)取a=b=l.則/(1)=2/(1)-1.^(1)=1

乂/⑴=八2-)=/(2)+/(；)-1.且/(2)=0.

得：/(1)=/(D-/(2)+l=l+l=2

(2)設(shè)°</<￡,則：/(X,)-/(X,)=/(^-x,)-/(x,)=[/(-)+f(x,)-1]-f(X])

x、A

=/(與-1依0<演<X,,可得出?>1

/_陽(yáng)

再依據(jù)當(dāng)X>1時(shí)，總有/(X)<1成立,可得/(三)<1

即/(X,)-/(x,)<0成立，故/")在(0,+oo)上是減函數(shù)。

10.已知函數(shù)/(X)是定義在［-2,2］上的奇函數(shù)，當(dāng)X€［-2,O)時(shí)，〃x)=rx-；/(r為

常數(shù))，

(1)求函數(shù)/*)的解析式；

(2)當(dāng)/日2,6］時(shí)，求/(x)在［—2,0］上的最小值，及取得最小值時(shí)的X,并猜想/(x)

在［0,2］上.的單調(diào)遞增區(qū)間(不必證明)；

(3)當(dāng)，29時(shí)，證明：函數(shù)y=/(x)的圖象上至少有?個(gè)點(diǎn)落在直線)，=14上。

解(1)xe(0,2］時(shí)，-xe［—2,0)f則f(—x)=f(一x)——(—尤)'=—ix+—x',函

數(shù)/(x)是定義在［-2,2］上的奇函數(shù)，即/(7)=—f(x)，.??-/(汗)=一k+：/,即

f(x)=tx-^x3,乂可知/(0)=0,...函數(shù)/(x)的解析式為f(x)=tx-^x3,

XG［-2,2］:

(1A?

(2)y(x)=At—x~,Tre[2,6],xc[―2,()]?t—尸20,

k2J2

即(一乎w[-2,0])時(shí)，/min=-^-iy/r。

猜想/(x)在［0,2］上的單調(diào)遞增區(qū)間為

(3)f>9H4，任取一2Mx1<x?42,；

2

/(匹)一42)=(當(dāng)一”/一；("+x,x2+x2)

<0,

.../(X)在[一2,2]上單調(diào)遞增,即/(X)e[./1(-2)J(2)]，即f(x)e[4-2r,2/-4].t>9,

A4-2r<-14T2r-4>14,

/.14G[4-2f2—4],，當(dāng)t>9時(shí)，函數(shù)y=/(x)的圖象上至少有一個(gè)點(diǎn)落在直線

y=14h.

11.記函數(shù)/(x)=x+[的定義域?yàn)锳.g(x)=lg[(2x-/?X?jf+>(),aGR)的定

Vx+2

義域?yàn)锽，

(1)求A：

(2)若AqB,求。、匕的取值范南

解(1)4={限-；20}=|.v|——|>o1=(-oo,-2)u[3,十x).

(2)(2x—/;Xax+1)>0,由AqB,得a>0,則UP

2a

0<-<3

2n

-2<--<0()<b<6

a

12、設(shè)/(x)=：+1(a>0,a《1)。

1-a

⑴求/(x)的反函數(shù)/-'(x)：

(2)討論/T(x)在(1.+8)上的單調(diào)性，并加以證明：

(3)令g(x)=1+log“x,當(dāng)尿〃]u(1,+00胱<")時(shí)，/'(X)在卜”,〃]上的值域是

求a的取值范圍。

解(1)/''(x)=loga-~-G>lB!cr<-l)

x+1

、…x,-1x,-12(再一x,)八

⑵設(shè)1<Xi<七，---------:---=7-----W~=~~?<0

X|+1X2+I(X]+1卜2+1)

-1-l

二0<a<l時(shí)，/(^)>/(x2),二/T(X)在(l.+oo)上是減函數(shù)：a>l時(shí)，

廣'N)<廣'園)，廣'(X)在(L+8)上是增函數(shù)。

(3)當(dāng)0<a<l時(shí),???廣()在(1.+8)上是減函數(shù),

./'(/")=g('〃)...X-1..x—lHfi2,(,In

.由log"----=l+log?x-----=ax,即ax+(o-1).x+1=0,

J-(〃)=g(〃)x+lx+1

A>0

可知方程的兩個(gè)根均大FT,即，/(1)>0=>0<“<3-2加,當(dāng)a>1時(shí)，在

—>1

.2a

/,=amn-I-an人一、

(1.+8)上是增函數(shù)，.〃，=>?=-1(舍去)。綜

f''⑺=g(m)［〃—1=amn+am

卜，得0<“<3-2后。

13.集合A是由具備卜列性質(zhì)的函數(shù)/*)組成的:

(1)函數(shù)/(x)的定義域是［0,+8)；

(2)函數(shù)(⑶的值域是［-2,4)；

(3)函數(shù)((x)在［0,48)上是增函數(shù).試分別探究下列兩小題:

(I)判斷函數(shù)￡(X)=J7-2(XN0),及以(x)=4-6-(；)(r20)是否屬于集合A?并簡(jiǎn)

要說(shuō)明理由.

(II)對(duì)于(I)中你認(rèn)為屆于集合A的函數(shù)/(x),不等式/(x)+/(x+2)<2f(x+l),

是否對(duì)于任意的xNO總成立？若不成立,為什么？若成立,請(qǐng)證明你的結(jié)論.

解：(1)函數(shù)力。)=?-2不屬于集合A.因?yàn)楣?x)的位域是［一2,+8),所以函數(shù)

力(x)=6-2不屬于集合A.(或：當(dāng)x=49〉0時(shí),〃49)=5>4,不滿足條件.)

力")=4一6-(；)'(xNO)在集合A中，因?yàn)椋孩俸瘮?shù)人。)的定義域是|0,用)；②函

數(shù)人(x)的位域是［-2,4)；③函數(shù)力(x)在［0,+。。)上是增函數(shù).

(2)/(x)+f(x+2)-2/(x+1)=6.(；)'(-；)<0,

不等式f(x)+f［x+2)<2f(x+1)對(duì)于任意的X>0總成立

,I/(%)(x>0)

14、設(shè)函數(shù)f(x)=ax~+bx+l(a,b為實(shí)數(shù))，F(xiàn)(x)二

-/(X)(x<0)

(1)若f(1)=0H.對(duì)任意實(shí)數(shù)x均行f(x)NO成立，求F(x)表達(dá)式。

(2)在⑴的條件卜，當(dāng)xw［-2②時(shí),g(x)=f(x)-kx是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

(3)(理)設(shè)m>0,n<0fLm+n>0,a>0FLf(x)為偶函數(shù)，求證：F(m)+F(n)>0o

解(1)Yf(-1)=0，，=)+1由f(x)NO恒成立知△=b?-4a=(a+1)2-4a=(a-l)2?0

2、f(x+l)(x>0)

.??a=l從而f(x)=x~+2x+l.*.F(x)=<_,

［-(x+1)2(x<0)

(2)ill(1)可知f(x)=x?+2x+l.?.g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+l,由于86)在［-2,2］上是

22—4

單調(diào)函數(shù)，知-一^4一2或-二^22,得kS-2或kN6,

22

(3)?.,f(x)是偶函數(shù)，，f(x)=f(x),而a〉0???/(用在［0,+8］上為增函數(shù)

對(duì)于F(x),當(dāng)x>0時(shí)-x<0,F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x),當(dāng)x<0時(shí)-x>0,

F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x),

???F(x)是布函數(shù)且F(x)在［0,+8］上為增函數(shù)，

?/m>0,n<0,由m>-n>0知F(m)>F(-n)/.F(m)>-F(n)

/.F(m)+F(n)>0。

x

15.函數(shù)f(x)=—^(a,b是非零實(shí)常數(shù))，滿足f(2)=l,1L方程f(x)=x有此僅有一個(gè)解:

ax±b

⑴求a>b的值;

(2)是否存在實(shí)常數(shù)m,使得對(duì)定義域中任意的x,f(x)+f(m-x)=4恒成'工？為什么？

(3)在直.角坐標(biāo)系中，求定點(diǎn)A(-3,l)到此函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)P的距離IAPI的最小值。