講與練高中數(shù)學(xué)1·②·必修第一冊(cè)·BS版第二章 章末復(fù)習(xí)課

章未復(fù)習(xí)課

■知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

一、兩直線的平行與垂直

1.判斷兩直線平行、垂直的方法

(1)若不重合的直線/1與/2的斜率都存在，且分別為h，k2,則所=42=/1〃以

⑵若直線與/2的斜率都存在，且分別為所，上2,則所心=

(討論兩直線平行、垂直不要遺漏直線斜率不存在的情況)

2.討論兩直線的平行、垂直關(guān)系，可以提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

例1(1)已知J),B(0,—，，C(2-2a,1),D(~a,0)四點(diǎn)，若直線AB與直線

CD平行，則。=.

答案3

1,。+1

3

角星析kAB=0_]=——],

當(dāng)2—2a=—a,即〃=2時(shí)，

2

kAB=—yCD的斜率不存在.

???A5和CD不平行；

0—1]

當(dāng)“W2時(shí),kcD~I?

-a—2十o2~a

,,/日〃]

由kAB=k7cD,TT—，

32—a

即a?—2a—3=0.

??〃=3或d~-1.

0+31“

當(dāng)〃=3時(shí)，fcw=-1,kBD=_3=-

JAB與CD平行.

1+311-01

CD9

當(dāng)a=-1時(shí)，kAB=yksc—4-3'^~4~1~3

：.AB與CD重合.

...當(dāng)a=3時(shí)，直線48和直線CD平行.

⑵若點(diǎn)A(4,—1)在直線/i：ax-y+l=0上，則h與/2：2x-y-3=0的位置關(guān)系是.

答案垂直

解析將點(diǎn)A(4,—1)的坐標(biāo)代入ax—y+l=0,

得a=—貝(|左/片=—1x2=—1,

反思感悟一■般式方程下兩直線的平行與垂直：

已知兩直線的方程為li：4尤+Biy+G=0(Ai,3不同時(shí)為0),h'Aix+B^y+C2=0(A2,B2

不同時(shí)為0),則/l〃/2OAl%-A26=0且G&-C26W0,Z11Z2<*A1A2+BIB2=0.

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知直線東ax-3y+l=0,Z2：2x+(a+l)y+l=0.若八,勿則實(shí)數(shù)a的值

為.

答案一3

⑵已知兩直線/i：x+my+6—0,h：(m—2)x+3y+2m—0,若h〃b，則相=.

答案T

解析因?yàn)橹本€x+/wy+6=0與(〃2—2)x+3y+2機(jī)=0平行，

[1X3—m(m—2)=0,

所以解得優(yōu)=—1.

〔6X3W2mX機(jī)，

二、兩直線的交點(diǎn)與距離問題

1.兩條直線的位置關(guān)系的研究以兩直線的交點(diǎn)為基礎(chǔ)，通過交點(diǎn)與距離涵蓋直線的所有問題.

2.兩直線的交點(diǎn)與距離問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

例2(1)若點(diǎn)(1,〃)到直線,=冗+1的距離是平，則實(shí)數(shù)。的值為()

A.-1B.5

C.—1或5D.—3或3

答案c

解析?.?點(diǎn)(1,a)到直線y=x+l的距離是畢，

???弋/嘰嗜即吐2|=3,

解得a=—1或。=5,.,.實(shí)數(shù)a的值為-1或5.

(2)過點(diǎn)P(0,l)作直線/使它被直線/i：2x+y—8=0和公尤一3y+10=0截得的線段被點(diǎn)P平

分，求直線/的方程.

解設(shè)/i與/的交點(diǎn)為4。，8—2a),

則由題意知，點(diǎn)4關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)8(—a,2a—6)在/2上，

代入/2的方程得一a-3(2a—6)+10=0,

解得a=4,即點(diǎn)A(4,0)在直線/上，

所以直線/的方程為x+4y-4=0.

反思感悟

T兩點(diǎn)間的距離H工;)2

￥|?點(diǎn)到直線的距離-d」"學(xué)嚴(yán)

I離I1---------------1/川+工

T兩條平行直線間的距離12黑點(diǎn)到直線

跟蹤訓(xùn)練2⑴設(shè)兩條直線的方程分別為x+y+a=0,x+y+b^Q,已知a,b是關(guān)于尤的方

程d+x—2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則這兩條直線之間的距離為()

A.2小B.jC.2^2D.羋

答案D

解析根據(jù)a,b是關(guān)于x的方程F+x—2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得a+6=—1,ab=-2,

/?=—2或〃=—2,b=l,/.\a—b\=3,

故兩條直線之間的距離"=需=1=平.

(2)已知直線/過直線/i：x—2y+3=0與直線82x+3y—8=0的交點(diǎn)，且點(diǎn)尸(0,4)到直線/

的距離為2,則這樣的直線/的條數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

答案C

x—2y+3=0,x=l,

解析方法一由2x+3y—8=0,傳

J=2,

即直線/過點(diǎn)(1,2).設(shè)點(diǎn)Q(l,2),因?yàn)閨尸。|=寸(1-0>+(2—4)2=小>2,所以滿足條件的直

線/有2條.故選C.

方法二依題意，設(shè)經(jīng)過直線"與辦交點(diǎn)的直線/的方程為2x+3y—8+“x—2y+3)=0(*R),

|12-8A+3A-8|

即(2+/l)x+(3—22)y+3%—8=0.由題意得2,化簡(jiǎn)得5萬一次-36=0,解

A/(2+A)2+(3-2>1)2

得力=—2或亍，代入得直線/的方程為y=2或4x—3y+2=0,故選C.

三、直線與圓的位置關(guān)系

1.直線與圓位置關(guān)系的判斷方法

(1)幾何法：設(shè)圓心到直線的距離為d,圓的半徑長(zhǎng)為二若d<r,則直線和圓相交；若d=r,

則直線和圓相切；若d>r,則直線和圓相離.

(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，其判別式

為/./=0C直線與圓相切；/>0=直線與圓相交；/<0=直線與圓相離.

2.研究直線與圓的位置關(guān)系，集中體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

例3已知直線/：2?JX—y—8祖一3=0和圓C：V+y2—6x+12y+20=0.

(1)當(dāng)用GR時(shí)，證明/與C總相交；

(2)切取何值時(shí)，/被C截得的弦長(zhǎng)最短？并求此弦長(zhǎng).

(1)證明直線的方程可化為y+3=2加(無一4),

由點(diǎn)斜式可知，直線恒過點(diǎn)P(4,—3).

由于42+(-3)2—6X4+12X(—3)+20=—15<0,

所以點(diǎn)尸在圓內(nèi)，故直線/與圓C總相交.

(2)解圓的方程可化為(x—3A+(y+6)2=25.

如圖，當(dāng)圓心C(3,—6)到直線/的距離最大時(shí)，線段A8的長(zhǎng)度最短.

此時(shí)PC±l,

又g=三￡9=3,所以直線/的斜率為T

則2m=—1,所以m=—

在RtZ^APC中，|PC|=MT5,|AC|=r=5.

所以\AB\=27人。|2一|PC|2=24B.

故當(dāng)機(jī)=—'時(shí)，/被。截得的弦長(zhǎng)最短，最短弦長(zhǎng)為

反思感悟直線與圓問題的類型

(1)求切線方程：可以利用待定系數(shù)法結(jié)合圖形或代數(shù)法求得.

(2)弦長(zhǎng)問題：常用幾何法(垂徑定理)，也可用代數(shù)法結(jié)合弦長(zhǎng)公式求解.

跟蹤訓(xùn)練3已知圓C關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱，且過點(diǎn)尸(一2,2)和原點(diǎn)0.

⑴求圓C的方程；

(2)相互垂直的兩條直線/i，/2都過點(diǎn)4—1,。)，若乙，b被圓C所截得的弦長(zhǎng)相等，求此時(shí)直

線八的方程.

解(1)由題意知，直線x+y+2=0過圓C的圓心，設(shè)圓心C(a,—a—2).

2

由題意，得(a+2)2+(—a—2—2)?=/+(—a—2),

解得a=—2.

因?yàn)閳A心C(—2,0),半徑廠=2,

所以圓C的方程為(x+2)2+y2=4.

⑵由題意知，直線/i,L的斜率存在且不為0,

設(shè)的斜率為左，則/2的斜率為一￡

所以/i：y=k(x~\~1),即日一y~\~k=0,

Z2：y=—"(x+1),即x+6+l=0.

由題意，得圓心C到直線/1,/2的距離相等，

一|—2k~\~k\|-2+1|.

所以寸善丁=布:'解侍啟=±1'

所以直線/i的方程為%—y+l=0或x+y+l=0.

四、圓與圓的位置關(guān)系

1.圓與圓的位置關(guān)系:一般利用圓心間距離與兩半徑和與差的大小關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系.

2.圓與圓的位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例4已知圓Ci：工2+9+4尤一4y—5=0與圓C2：f+產(chǎn)一8x+4y+7=0.

(1)證明圓Ci與圓C2相切，并求過切點(diǎn)的兩圓公切線的方程；

(2)求過點(diǎn)(2,3)且與兩圓相切于(1)中切點(diǎn)的圓的方程.

解(1)把圓C1與圓C2都化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，得(x+2)2+(y—2)2=13,(X—4)2+6+2)2=13.

圓心與半徑長(zhǎng)分別為G(—2,2),n=V13;

C2(4,-2),r2=V13.

22

因?yàn)閨CiC2|=^(-2-4)+(2+2)=2VT3=n+r2,

所以圓Ci與圓C2相切.

[P+y2+4x-4y-5=0,

由，，\,得12x—8y—12=0,

[X2+/-8X+4J+7=0,

即3尤一2y—3=0,就是過切點(diǎn)的兩圓公切線的方程.

(2)由圓系方程，可設(shè)所求圓的方程為

J?+J2+4X-4y—5+^.(3x-2j—3)=0.

4

點(diǎn)(2,3)在此圓上，將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程解得力=去

4

所以所求圓的方程為x2+y2+4x—4y—5+^(3x—2y—3)—0,即x2+y2+8x—^y—9=0.

反思感悟兩圓的公共弦問題

(1)若圓Ci：『+y2+Dix+Eiy+Fi=0與圓C2：r+V+OM+Exy+BuO相交，則兩圓公共

弦所在直線的方程為(。1一Di)x+(￡i-E2)y+FI-F2=0.

(2)公共弦長(zhǎng)的求法

①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng).

②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，

根據(jù)勾股定理求解.

跟蹤訓(xùn)練4⑴已知圓Ci：/+/一6x—7=0與圓C2：/+;/—6y—27=0相交于A,8兩點(diǎn)，

則線段AB的中垂線方程為.

答案x+y—3=0

解析AB的中垂線即為圓G、圓C2的連心線CC2.又Ci(3,0),C2(0,3),所以C1C2所在直

線的方程為x+y—3=0.

(2)已知圓G：r+y?—4x+2y=0與圓。2：―+/-2y—4=0.

①求證：兩圓相交；

②求兩圓公共弦所在直線的方程.

①證明圓G的方程可化為(x—2)2+G+l)2=5,圓C2的方程可化為f+Q—1>=5,

；.G(2,-1),C2(0,l),兩圓的半徑均為小，

|。心|=「(2—0)2+(—1—1)』2支<2小,

二兩圓相交.

②解將兩圓的方程相減即可得到兩圓公共弦所在直線的方程，(x2+y2—?+2y)—(f+y2—

2y—4)=0,即x_y_l=O.

N隨堂演練

1.若直線3x+4y+zn=0與圓xz+y1-2x+4y+l=Q沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

()

A.-5<m<15B.zn<-5或相>15

C.m<4或相>13D.4<m<13

答案B

解析圓f+y?—2r+4y+l=0的圓心為（1,—2）,半徑為2,

早坦>2

由題意,得圓心到直線3無+4y+加=0的距離

49+16

m<—5或；”>15.故選B.

2.am——2"是"直線小mx+4y—6=0與直線，2：x+根y—3=0平行”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析若直線/i：mx-\-4y—6=0與直線L：x~\-my—3=0平行，則M?=4,可得%=±2.

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，直線/i：2x+4y—6=0,直線氏x+2y—3=0,兩直線重合，不符合題意.

所以"直線/i：w?x+4y—6=0與直線b：尤+my—3=0平行”等價(jià)于"m=—2”.

所以“優(yōu)=—2”是“直線人《?x+4y—6=0與直線總x+my—3=0平行”的充要條件.

3.（多選）點(diǎn)尸是直線x+y—3=0上的動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)尸向圓O：<+/=4作切線，則切線長(zhǎng)可

能為（）

A.坐B.；C.1D.坐

答案ACD

解析根據(jù)題意，由點(diǎn)P向圓。：/+尸=4作切線，設(shè)T為切點(diǎn),

圓O：^+/=4,其圓心為（0,0）,半徑r=2,

則切線長(zhǎng)\P7］7Poi2—d=”0|2—4,

當(dāng)|尸。|最小時(shí)，|P