高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽數(shù)碼相機(jī)定位

2008高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽——數(shù)碼相機(jī)定位承諾書我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）：A我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）：所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜焊＝üこ虒W(xué)院參賽隊(duì)員(打印并簽名)：1.李林芳指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人(打印并簽名)：林志雄日期：2008年9月21日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2008高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編號(hào)專用頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：數(shù)碼相機(jī)定位摘要隨著數(shù)碼技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)碼相機(jī)定位在交通監(jiān)管（電子警察）等方面得到了泛的應(yīng)用，針對(duì)本題的數(shù)碼相機(jī)的定位問題，我們建立了一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型I用來確定像的坐標(biāo)與靶標(biāo)的坐標(biāo)之間對(duì)應(yīng)關(guān)系，即通過像坐標(biāo)可以直接求出靶標(biāo)的坐標(biāo)。這種方法可以較好的解決由于像坐標(biāo)存在誤差，而引起靶標(biāo)坐標(biāo)能否精確計(jì)算的問題。我們用此模型，比較準(zhǔn)確的還原出靶標(biāo)上的點(diǎn)。給定靶標(biāo)上的點(diǎn)，我們可以對(duì)應(yīng)的求出像面上的點(diǎn)，即得到了一個(gè)像面上的點(diǎn)與靶標(biāo)上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)的較準(zhǔn)確的關(guān)系。我們首先要確定出像面上橢圓的中心坐標(biāo)，因此我們采用了幾何方法，根據(jù)橢圓任意兩點(diǎn)的切線的交點(diǎn)與兩切點(diǎn)的中點(diǎn)的連線必經(jīng)過橢圓中心，所以橢圓中心即可確定下來，由以上的多目標(biāo)優(yōu)化模型即可求得靶標(biāo)的中心，但由于多目標(biāo)模型運(yùn)行時(shí)間過長(zhǎng)，所以我們改進(jìn)模型為單目標(biāo)優(yōu)化模型，經(jīng)改進(jìn)以后的模型就可用較短的時(shí)間求出靶標(biāo)的中心。由于本文采用的是一個(gè)優(yōu)化模型，求出的是其近似解，與實(shí)際的原坐標(biāo)位置有一定的偏移，所以我們需檢驗(yàn)其精度，采用兩種方法檢驗(yàn)：1、求出5個(gè)點(diǎn)的共面度，結(jié)果為mm；2、通過用B點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出像的坐標(biāo)，結(jié)果與實(shí)際相差1點(diǎn)像素，精度相當(dāng)不錯(cuò)的。對(duì)于由兩部相機(jī)攝的像確定兩部相機(jī)的相對(duì)位置及方向，我們給出一個(gè)模型II：利用模型1所求的兩組坐標(biāo)，及坐標(biāo)系的平移和旋轉(zhuǎn)關(guān)系確定。并指出該模型的最小二乘求法，該方法可以較好的處理誤差所引起的方程不相容問題。關(guān)鍵詞幾何變換多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)碼成像一、問題的重述數(shù)碼相機(jī)定位數(shù)碼相機(jī)定位在交通警察（電子警察）等方面有廣泛的應(yīng)用。所謂數(shù)碼相機(jī)定位是指用數(shù)碼相機(jī)攝制物體的相片確定物體表面某些特征點(diǎn)的位置。最常用的定位方法是雙目定位，即用兩部相機(jī)來定位。對(duì)物體上一個(gè)特征點(diǎn)，用兩部固定于不同位置的相機(jī)攝得物體的像，分別獲得該點(diǎn)在兩部相機(jī)像平面上的坐標(biāo)。只要知道兩部相機(jī)精確的相對(duì)位置，就可用幾何的方法得到該特征點(diǎn)在固定一部相機(jī)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，即確定了特征點(diǎn)的位置。于是對(duì)雙目定位，精確地確定兩部相機(jī)的相對(duì)位置就是關(guān)鍵，這一過程稱為系統(tǒng)標(biāo)定。標(biāo)定的一種做法是：在一塊平板上畫若干個(gè)點(diǎn)，同時(shí)用這兩部相機(jī)照相，分別得到這些點(diǎn)在它們像平面上的像點(diǎn)，利用這兩組像點(diǎn)的幾何關(guān)系就可以得到這兩部相機(jī)的相對(duì)位置。然而，無論在物平面或像平面上我們都無法直接得到?jīng)]有幾何尺寸的“點(diǎn)”。實(shí)際的做法是在物平面上畫若干個(gè)圓（稱為靶標(biāo)），它們的圓心就是幾何的點(diǎn)了。而它們的像一般會(huì)變形，如圖1所示，所以必須從靶標(biāo)上的這些圓的像中把圓心的像精確地找到，標(biāo)定就可實(shí)現(xiàn)。圖1靶標(biāo)上圓的像有人設(shè)計(jì)靶標(biāo)如下，取1個(gè)邊長(zhǎng)為100mm的正方形，分別以四個(gè)頂點(diǎn)（對(duì)應(yīng)為A、C、D、E）為圓心，12mm為半徑作圓。以AC邊上距離A點(diǎn)30mm處的B為圓心，12mm為半徑作圓，如圖2所示。圖2靶標(biāo)示意圖用一位置固定的數(shù)碼相機(jī)攝得其像，如圖3所示。圖3靶標(biāo)的像請(qǐng)你們：（1）建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo),這里坐標(biāo)系原點(diǎn)取在該相機(jī)的焦點(diǎn)，x-y平面平行于像平面；（2）對(duì)由圖2、圖3分別給出的靶標(biāo)及其像，計(jì)算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo),該相機(jī)的像距（即焦點(diǎn)到像平面的距離）是1577個(gè)像素單位(1毫米約為3.78個(gè)像素單位)，相機(jī)分辨率為1024×786；（3）設(shè)計(jì)一種方法檢驗(yàn)?zāi)銈兊哪Ｐ?，并?duì)方法的精度和穩(wěn)定性進(jìn)行討論；（4）建立用此靶標(biāo)給出兩部固定相機(jī)相對(duì)位置的數(shù)學(xué)模型和方法。二、問題的分析針孔成像：假設(shè)物體表面的反射光都經(jīng)過一個(gè)針孔中心而投影到像平面上，即滿足光的直線傳播條件。針孔成像主要有光心（投影中心）、成像面和光軸組成。本文中的針孔是指光學(xué)中心。本問題研究的是相機(jī)的定位問題，數(shù)碼相機(jī)成像原理圖如下圖（1），又光線穿過光學(xué)中心成像，所以凸透鏡成像模型可以簡(jiǎn)化為一個(gè)針孔成像模型，其原理圖如圖（2），由圖可看出，景物所在的面為物面，底片所在的面為像面，BO為物距，OD為像距，?OAB與?OCD相似，已知物面任意一點(diǎn)的坐標(biāo)即可根據(jù)相似三角形的原理求得對(duì)應(yīng)像面點(diǎn)的坐標(biāo)。照相機(jī)成像原理圖（1）圖（2）針孔成像的原理圖形三、模型的建立與求解但是由于像坐標(biāo)的計(jì)算上存在誤差，這種誤差有可能是相機(jī)系統(tǒng)造成，也可能是計(jì)算標(biāo)靶圓的像中心時(shí)算法所產(chǎn)生的。這種誤差可定是存在的，由數(shù)碼相機(jī)攝制物體的相片確定物體表面某些特征點(diǎn)的位置，則必將導(dǎo)致原物象的變形，所以我們就要求的一種誤差最小的方法，該問題可轉(zhuǎn)化一個(gè)多目標(biāo)化的最優(yōu)化問題。根據(jù)多目標(biāo)求誤差最小化，該問題可分四步來進(jìn)行求解：1.求出物面中的點(diǎn)空間坐標(biāo)(x,y,z)在像面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x',y',z')的對(duì)應(yīng)關(guān)系。2.由已知物面中圓的圓心求出對(duì)應(yīng)像面中五個(gè)橢圓的中心點(diǎn)(x',y',z')。3.該問題相當(dāng)是第一問的反函數(shù)，我們已知了像平面上各點(diǎn)的坐標(biāo)，反推出靶標(biāo)的位置。先通過任意3個(gè)點(diǎn)的像坐標(biāo)確定對(duì)應(yīng)靶標(biāo)的位置，確定一張平面，再驗(yàn)算其他兩點(diǎn)是否也在同一張平面上。檢驗(yàn)其精度。4.用兩部相機(jī)拍同一實(shí)物，得到兩張像，在第三問的基礎(chǔ)上，找出兩個(gè)兩部相機(jī)的夾角，從而確定相機(jī)的相對(duì)位置。要確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo)，由于我們不能確定相機(jī)與實(shí)物的相對(duì)位置，現(xiàn)以光學(xué)中心為原點(diǎn)建立三維空間坐標(biāo)o-xyz如下圖，對(duì)于坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)設(shè)其坐標(biāo)為(x,y,z)，設(shè)像距為v，根據(jù)成像原理（針孔模型）可以確定像的坐標(biāo)(x?,y?,z?)，圖33．1靶標(biāo)點(diǎn)與像點(diǎn)坐標(biāo)的優(yōu)化模型思路與分析：首先，讓我們分析數(shù)碼相機(jī)的成像原理。數(shù)碼相機(jī)是通過以圖片文件的格式保存圖片的，也就是說，數(shù)碼相機(jī)所產(chǎn)生的圖片，不是我們透鏡照相機(jī)經(jīng)過折射后所成的照片，這就是我們通常所說的針孔成像，它的照片可以理解為在某一像距處的一種想象的圖片。比如：在本文中的照片是357*281（像素），可以理解為在像距為1577/2.73（像素）處的照片，如果用1024*768分辯率計(jì)算，則可以理解為像距是1577(像素)的照片。由此可見，數(shù)碼像機(jī)只能用針孔（中心）成像原理的方法來討論問題，而物理學(xué)中的111??是不適合數(shù)碼像機(jī)的成像原理。uvf由于像坐標(biāo)的計(jì)算上存在誤差，這種誤差有可能是相機(jī)系統(tǒng)造成，也可能是計(jì)算標(biāo)靶圓的像中心時(shí)算法所產(chǎn)生的。而且是肯定存在的。因此簡(jiǎn)單的通過幾何方法,是無法計(jì)算出標(biāo)靶各圓的圓心坐標(biāo)。五個(gè)標(biāo)靶圓的圓心是共面的，四條邊是垂直的，每條邊的長(zhǎng)度都是精確的，但是，用像點(diǎn)坐標(biāo)和幾何方法所列出的等式方程由于像坐標(biāo)的誤差而產(chǎn)生互相矛盾，從而使得無解。這種簡(jiǎn)單幾何比例的方法在理論上是精確的，但像坐標(biāo)存在誤差，必將導(dǎo)致所求出的標(biāo)靶圓的圓心的坐標(biāo)是不共面的，它們的邊也會(huì)不垂直，甚至所求出的各邊的長(zhǎng)度也不是原來的數(shù)值。所以，要還原出標(biāo)靶圓的坐標(biāo)，我們只能尋求一個(gè)誤差最小的優(yōu)化方法。設(shè)光學(xué)中心與像平面的中心的連線為X軸,建立XYZ直角坐標(biāo)系,五個(gè)標(biāo)靶圓的圓心坐標(biāo)設(shè)為A(xa,ya,za),B(xb,yb,zb),C(xc,yc,zc),D(xd,yd,zd),E(xe,ye,ze)由于像平面上的橫坐標(biāo)一樣，均為v=1577/3.78,五個(gè)像的中心坐標(biāo)設(shè)為A'(v,ya,za),B'(v,yb,zb),C'(v,yc,zc),D'(v,yd,zd),E'(v,ye,ze)（1）根據(jù)幾何學(xué)中相似三角形的比例關(guān)系，我們很容易的建立下列幾個(gè)等式關(guān)系：222ya(y2'?v2)?y2'(ya?xa)aa222za(y2'?v2)?z2'(ya?xa)aa222xb(y2'?z2')?v2(yb?zb)bb222zb(y2'?v2)?z2'(yb?xb)bbxc2(y2'?z2')?v2(yc2?zc2)cczc2(y2'?v2)?z2'(yc2?xc2)cc222zd(y2'?v2)?z2'(yd?xd)dd222xd(y2'?z2')?v2(yd?zd)dd222222xe(y'?z')?v(ye?ze)eeze2(y2'?v2)?z2'(ye2?xe2)ee（2）根據(jù)邊的長(zhǎng)度，也可以列出下列幾個(gè)方程：(xa?xb)2?(ya?yb)2?(za?zb)2?900(xa?xc)2?(ya?yc)2?(za?zc)2?10000(xa?xe)2?(ya?ye)2?(za?ze)2?10000(xd?xc)2?(yd?yc)2?(zd?zc)2?10000(xe?xd)2?(ye?yd)2?(ze?zd)2?10000(3)A,B,C三點(diǎn)共線,方向向量比例關(guān)系3(xc?xa)?10(xb?xa)3(yc?ya)?10(yb?ya)3(zc?za)?10(zb?za)(4)四條邊互相垂直，可列出下列等式方程：(xc?xa)(xe?xa)?(yc?ya)(ye?yc)?(zc?za)(ze?za)?0(xc?xa)(xc?xd)?(yc?ya)(yc?yd)?(zc?za)(zc?zd)?0(xe?xa)(xe?xd)?(ye?ya)(ye?yd)?(ze?za)(ze?zd)?0當(dāng)然，我們還可以列出其它的方程，但是，這些方程都是等式方程，由于像坐標(biāo)的誤差，使得這些方程之間產(chǎn)生矛盾，從而無法還原出標(biāo)靶圓的圓心坐標(biāo)，也就無法確定標(biāo)靶所在的平面，相機(jī)與標(biāo)靶平面的夾角難以確定。根據(jù)上述的分析，我們采用多目標(biāo)的方法，來確定標(biāo)靶的圓心坐標(biāo)。既然誤差會(huì)產(chǎn)生標(biāo)靶圓和邊的變形，我們不強(qiáng)求上的各等式方程都能同時(shí)成立，在上述的方程中選取若干個(gè)柔性條件的方程轉(zhuǎn)變?yōu)槟繕?biāo)函數(shù)，其他的方程作為約束條件。這樣就可以建立一個(gè)多目標(biāo)的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。比如：由于標(biāo)靶的邊在還原時(shí)可能不會(huì)等于100，我們將他們改為與100的差的平方最小，從而，這些方程就轉(zhuǎn)變?yōu)槟繕?biāo)函數(shù)，其他方程仍為約束條件。目標(biāo)函數(shù)：(xc?xd)(xe?xd)?(yc?yd)(ye?yd)?(zc?zd)(ze?zd)?0((xa?xb)2?(ya?yb)2?(za?zb)2?30)2?min((xa?xc)2?(ya?yc)2?(za?zc)2?100)2?min((xa?xe)2?(ya?ye)2?(za?ze)2?100)2?min((xd?xc)2?(yd?yc)2?(zd?zc)2?100)2?min((xe?xd)2?(ye?yd)2?(ze?zd)2?100)2?min約束條件：上面的其余方程均為約束條件方程。通過求解上述的優(yōu)化問題，我們可以求出標(biāo)靶圓的圓心坐標(biāo)。進(jìn)一步的具體做法在后面討論。對(duì)于上面的模型，即物面上的坐標(biāo)與像面上的坐標(biāo)得近似對(duì)應(yīng)關(guān)系，也就是用給定的物面上的坐標(biāo)，就可對(duì)應(yīng)的求得像面上的坐標(biāo)，已知像面上的坐標(biāo)，也可對(duì)應(yīng)的求得物面坐標(biāo)。3．2確定像平面上各橢圓的中心坐標(biāo)這是一張分辨率為1024*768的375*281的真彩24的圖片，如果我們把像片看作二維矩陣，由于他們的點(diǎn)的相對(duì)是已知的，所以不難求出各點(diǎn)的坐標(biāo)。1、我們?cè)跈E圓邊緣上隨機(jī)選取三個(gè)點(diǎn)，要求有一定距離并且不共線，在每個(gè)點(diǎn)處擬合切線。選取其中兩個(gè)點(diǎn)，設(shè)他們切線的交點(diǎn)為A，兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)為B，則直線AB過橢圓中心。利用另外一點(diǎn)再求出這樣一條直線，兩條直線的交點(diǎn)就是橢圓的中心。如下圖橢圓O的中心為O點(diǎn)，直線AD、DE、CE與橢圓O相切，切點(diǎn)分別為A、B、C，AB中點(diǎn)為F，BC的中點(diǎn)為G，則DF與CG相交于O點(diǎn)。2、由于相機(jī)拍攝的RGB圖形，通過用C語(yǔ)言對(duì)圖形的讀取、處理，得到0-1矩陣（0表示的是黑色區(qū)域，即是橢圓形的像，程序見附錄1），分別用三條兩兩互不平行的直線在0-1矩陣內(nèi)部移動(dòng)，記錄每條直線第一次接觸0的點(diǎn)（切點(diǎn)）的位置，選取其中任意兩個(gè)切點(diǎn)，取出兩個(gè)切點(diǎn)的中點(diǎn)，則兩個(gè)切點(diǎn)對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)和中點(diǎn)的連線經(jīng)過橢圓的中心，利用另外一點(diǎn)再求出這樣一條直線，兩條直線的交點(diǎn)就是橢圓的中心。圖4但是在本題中給出的像的圖片的像素是375×281，而實(shí)際題目中給出的像素是1024×768，所以Y，Z軸的每一個(gè)元素都應(yīng)乘以2.73倍，經(jīng)過上述方法的3．3優(yōu)化模型的求解（靶標(biāo)圓心坐標(biāo)的還原）有了五點(diǎn)像的中心坐標(biāo)，從理論上，用上述的優(yōu)化模型求出五個(gè)標(biāo)靶圓的圓心坐標(biāo)是可行的，但是，約束條件方程是等式方程，像坐標(biāo)存在誤差，使得該模型的優(yōu)化變成不可行。另一方面，我們所建立的優(yōu)化模型是一個(gè)二次的多目標(biāo)優(yōu)化模型，需要較大的求解時(shí)間?；谶@二點(diǎn)的原因，我們必須先對(duì)上述的多目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)行改進(jìn)，才能解決求解問題。1、把多目標(biāo)轉(zhuǎn)成單目標(biāo)處理原多目標(biāo)函數(shù)都是求最小化，所以，可以將他們求和處理，即將幾個(gè)多目標(biāo)的函數(shù)取和求最小化。這樣多目標(biāo)問題就轉(zhuǎn)變?yōu)閱文繕?biāo)問題。2、等式方程太多，容易使得方程不相容，仍然無法求解。因此，必須對(duì)約束條件的若干個(gè)方程進(jìn)行適當(dāng)處理，才能順利的進(jìn)行求解。（1）先用優(yōu)化方法還原出A,C,D,E四點(diǎn)，即先不考慮B點(diǎn)。這樣等式約束條件方程將減少幾個(gè)，可以降低由于誤差所引起的不相容性，使得求解能繼續(xù)下去。（2）從像上觀察可看出：A點(diǎn)的像失真較其他的小，我們認(rèn)為AC?AE，是可以成立的，而其他三個(gè)(AC?CD,CD?DE,DE?AE)正交性的約束條件方程很可能不會(huì)成立，我們把這三個(gè)正交性的約束方程轉(zhuǎn)成目標(biāo)函數(shù)，只要求它們盡可能的正交即可。（3）經(jīng)過（1）、（2）步驟處理后的優(yōu)化模型如下：目標(biāo)函數(shù):MIN(S)?((xa?xc)2?(ya?yc)2?(za?zc)2?100)2?((xa?xe)2?(ya?ye)2?(za?ze)2?100)2?((xd?xc)2?(yd?yc)2?(zd?zc)2?100)2?((xe?xd)2?(ye?yd)2?(ze?zd)2?100)2?((xa?xd)2?(ya?yd)2?(za?zd)2?2?100)2?((xe?xc)2?(ye?yc)2?(ze?zc)2?2?100)2?((xc?xa)(xc?xd)?(yc?ya)(yc?yd)?(zc?za)(zc?zd))2?((xc?xd)(xe?xd)?(yc?yd)(ye?yd)?(zc?zd)(ze?zd))2?((xe?xa)(xe?xd)?(ye?ya)(ye?yd)?(ze?za)(ze?zd))2objectto?(x?x)(x?x)?(y?y)(y?y)?(z?z)(z?z)?0aeacaeccaea?c222?ya(y2'?v2)?y2'(ya?xa)aa?222?za(y2'?v2)?z2'(ya?xa)aa??yc2(y2'?v2)?y2'(yc2?xc2)cc??222222?zc(yc'?v)?za'(yc?xc)?222222?yd(yd'?v)?yd'(yd?xd)?222222?zd(yd'?v)?zd'(yd?xd)?222222?ye(ye'?v)?ye'(ye?xe)?22ze(y'?v2)?z2'(ye2?xe2)?ee?（4）經(jīng)過（3）的優(yōu)化模型和LINGO8編程后，可求出A,C,D,E的坐標(biāo)。B點(diǎn)坐標(biāo)可以利用A,B,C共線，AB/AC?10/3求出。3、標(biāo)靶上A,B,C,D,E的坐標(biāo)如下表：（程序見附錄2）目標(biāo)優(yōu)化值為：0.40334673．4模型的精度分析有了標(biāo)靶的五點(diǎn)坐標(biāo)，就可以通過分析這五點(diǎn)是否共面，來確定模型的計(jì)算精度。一般的，這五點(diǎn)是不會(huì)共面的，因此，我們先取A,C,D三點(diǎn)做一個(gè)平面?1，定義余下二點(diǎn)到平面?1的距離和d,用d的大小作為五點(diǎn)共面度，d越接近與零，它們的共面程度越高，反之，共面程度越差。1、下面是計(jì)算共面度的過程：取A,C,D三點(diǎn)，作一個(gè)平面?1，法向量?i60.793j8.72419k93.55391n?AC?AD??33.17222.18352125.6168?(?979.45,9854.383,?1266.24)法向量的單位向量e?nn，則E到該平面的距離為d?AE?e?8.0944（），d的值是比較小的，所以共面程度比較高。2、還原B點(diǎn)的像坐標(biāo)擬合222222??xb(yb'?zb')?v(yb?zb);返回去計(jì)算其像的像素坐標(biāo)，?22，得到2222??zb(yb'?v)?zb'(yb?xb)B??(1577,69.3488,34.2036),而已知第二問中的B點(diǎn)像素坐標(biāo)為（-1577，69，32），兩個(gè)坐標(biāo)非常接近，模型較好。3.5兩個(gè)相機(jī)距離間隔的標(biāo)定的數(shù)學(xué)模型每個(gè)相機(jī)對(duì)標(biāo)靶都有一張照片，每張照片應(yīng)用上述優(yōu)化方法可以確定一組標(biāo)靶圓的圓心坐標(biāo)。形成兩組五對(duì)坐標(biāo)組，不妨記為：{(xa,ya,za),(xb,yb,zb),(xc,yc,zc),(xd,yd,zd),(xe,ye,ze)}{(Xa,Ya,Za),(Xb,Yb,Zb),(Xc,Yc,Zc),(Xd,Yd,Zd),(Xe,Ye,Ze)}這兩組表示同樣的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，只是它們相對(duì)于坐標(biāo)系不同。要標(biāo)定兩個(gè)相機(jī)的相對(duì)位置（間距，方向），可以設(shè)變換?X????:?Y???Z????x??f?????A?y???g?，?z??h??????f???其中：A表示3*3坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣，?g?表示一個(gè)相機(jī)在另一個(gè)相機(jī)的坐標(biāo)系中?h???的坐標(biāo)。將兩組坐標(biāo)代入變換?中，可以得到15個(gè)方程的線性方程組，其中只有12個(gè)未知變量（A中有9個(gè)，加上f,g,h）。這個(gè)方程組是線性的，方程個(gè)數(shù)比未知個(gè)數(shù)多，由于坐標(biāo)在計(jì)算上存在誤差，可能導(dǎo)致這些方程存在不相容的情況。為了能夠計(jì)算未知變量，可以利用MATHLAB的最小二乘法求解?？梢郧蟪?a11?A??a21?a?31a12a22a32a13??f????a23?中的9個(gè)變量，以及?g?的值。?h?a33????令，d?f2?g2?h2，即表示兩個(gè)相機(jī)的間距。?cos?cos?sin??cos?sin?cos?cos?cos??sin?sin?cos?sin?sin?sin????cos?sin???cos???cos?cos??cos?sin?sin?令：A??cos?sin??cos?cos?sin???sin?sin??則?cos?cos??cos?sin?sin??A??cos?sin??cos?cos?sin??sin?sin???cos?cos?sin??cos?sin?cos?cos?cos??sin?sin?cos?sin?sin?sin????cos?sin???cos??=?a11??a21?a?31a12a22a32a13??a23?a33??同樣用最小二乘法從矩陣A中可以求出兩個(gè)相機(jī)的在三個(gè)方向上的相互交角?,?,?。四、模型評(píng)價(jià)與改進(jìn)本題我們通過建立一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化模型來確定靶標(biāo)上圓的中心與其像的中心的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中利用簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系組成了優(yōu)化模型的約束條件，使原本復(fù)雜的物理模型更易于理解，推廣。文中在求解一個(gè)實(shí)際問題時(shí)，將多目標(biāo)優(yōu)化模型改進(jìn)為單目標(biāo)優(yōu)化模型，使程序運(yùn)行時(shí)間縮短，增強(qiáng)了模型的可行性。為了分析結(jié)果的精確性，我們先用三點(diǎn)確定一個(gè)平面，再用第四個(gè)點(diǎn)與平面的距離來定義其精確度。這樣模型的優(yōu)劣就有了一個(gè)好的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。文中求得的結(jié)果的精確度較高，說明此模型較好。模型為了簡(jiǎn)化，沒有考慮數(shù)碼相機(jī)自身參數(shù)的影響，如鏡頭畸變，這樣結(jié)果的準(zhǔn)確性欠佳，在物體識(shí)別應(yīng)用系統(tǒng)中和視覺精密測(cè)量中（物體特征的相對(duì)位置必須要精確計(jì)算），此模型的結(jié)果就不十分適用。在此模型中，我們沒有得到靶標(biāo)上圓的中心與其像的中心的對(duì)應(yīng)關(guān)系的確定式子，如果題目給出一些數(shù)碼相機(jī)的自身參數(shù)，我們可以通過建立非線性模型來求解，這樣可以使數(shù)碼相機(jī)的定位精度更高，增大它的適用范圍。五、參考文獻(xiàn)《攝像機(jī)的標(biāo)定》/blog/userl/98/index.html六、附錄附錄一：#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>#include<string.h>main(){FILE*fp,*fp1;chars[1],s1[1],b[1024];intx,a[8],kk;longinti,j,k,len,bmp_offset;longwidth,height,llq=-1;fp=fopen("tu2.bmp","rb");fp1=fopen("tu1.txt","w");fseek(fp,10L,SEEK_SET);fread(b,4,1,fp);bmp_offset=b[3]*256*256*256+b[2]*256*256+b[1]*256+b[0];fseek(fp,18L,SEEK_SET);fread(b,4,1,fp);width=b[3]*256*256*256+b[2]*256*256+b[1]*256+b[0];fread(b,4,1,fp);height=b[3]*256*256*256+b[2]*256*256+b[1]*256+b[0];fseek(fp,bmp_offset,SEEK_SET);len=(width+31)/8;len=len/4*4;s1[0]=13;for(i=height-1;i>=0;i--){fseek(fp,bmp_offset+i*len,SEEK_SET);fread(b,len,1,fp);llq=-1;for(j=0;j<len;j++){for(k=0;k<8;k++){a[7-k]=b[j]%2;b[j]=b[j]/2;}for(kk=0;kk<8;kk++){llq++;if(llq>=width){fwrite(s1,1,1,fp1);break;}s[0]=a[kk]+48;fwrite(s,1,1,fp1);}}}fclose(fp);}附錄二：!求A,C,D,E的坐標(biāo)的LINGO程序;model:!五個(gè)像點(diǎn)的坐標(biāo);A1y=72/3.78;A1z=68/3.78;B1y=69/3.78;B1z=32/3.78;C1y=63/3.78;C1z=-47/3.78;D1y=-43/3.78;D1z=81/3.78;E1y=-43/3.78;E1z=-29/3.78;v=-1577/3.78;init:ax=1200;cx=1000;endinit!以四條邊的長(zhǎng)度盡量接近100為目標(biāo),含義是盡量保持標(biāo)靶不邊形;min=(((ax-Cx)^2+(ay-Cy)^2+(az-Cz)^2)^0.5-100)^2+(((cx-dx)^2+(cy-dy)^2+(cz-dz)^2)^0.5-100)^2+(((ex-dx)^2+(ey-dy)^2+(ez-dz)^2)^0.5-100)^2+(((ex-ax)^2+(ey-ay)^2+(ez-az)^