滬科版八年級數(shù)學上冊第15章軸對稱圖形與等腰三角形教學設計（10課時含教學反思）

第15章軸對稱圖形與等腰三角形

15.1軸對稱圖形.........................................................1

第1課時軸對稱圖形.................................................1

第2課時軸對稱.....................................................3

第3課時平面直角坐標系中的軸對稱..................................7

15.2線段的垂直平分線..................................................10

15.3等腰三角形........................................................14

第1課時等腰三角形的性質(zhì)..........................................14

第2課時等腰三角形的判定.........................................17

15.4角的平分線........................................................19

第1課時角平分線的作法............................................19

第2課時角平分線的性質(zhì)...........................................23

第3課時角平分線的判定...........................................26

章末復習...........................................................28

15.1軸對稱圖形

第1課時軸對稱圖形

教與目標

【知識與技能】

了解兩個圖形軸對稱的概念，能夠識別簡單的圖形的軸對稱，能理解軸對稱圖形、圖形

的軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系，理解掌握線段的垂直平分線概念、性質(zhì).

【過程與方法】

通過觀察、探索生活中圖形的軸對稱、兩個圖形軸對稱現(xiàn)象，了解線段的垂直平分線的

有關(guān)性質(zhì).

【情感與態(tài)度】

讓學生通過觀察、探索兩個圖形軸對稱現(xiàn)象，以及線段與線段的垂直平分線的關(guān)系，培

養(yǎng)學生合作及勇于探索的精神.

【教學重點】

重點是軸對稱圖形的性質(zhì).

【教學難點】

難點是軸對稱圖形與圖形的軸對稱的區(qū)別.

戶教學國引

一、復習

1.

2.下面的幾個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是它的對稱軸是什么？

【教學說明】提出問題，引出新課.

二、引入新課，合作交流

2.像這樣把一個圖形沿著某條直線對折后，如果它能與另一個圖形重合，那么稱這兩個

圖形成軸對稱，這條直線是對稱軸，折疊后重合的點叫做對稱點.

3.一個軸對稱圖形，如果把它沿著對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關(guān)于這條軸對

稱.

4.軸對稱圖形與兩個圖形的軸對稱有什么區(qū)別、聯(lián)系，舉例說明.

(1)軸對稱圖形是一個圖形，兩個圖形關(guān)于這條軸對稱，把一個軸對稱圖形，沿著對

稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關(guān)于這條軸對稱.

(2)軸對稱圖形是一種特殊的圖形，而任意的一個圖形都能找到另一個圖形與它成軸

對稱.

5.思考：如圖4ABC與△△'B'C',關(guān)于直線MN對稱，A,B,C與A',B',C'是

對稱點.

(1)直線MN與AA

(2)0A與0A'有什么關(guān)系？

6.線段的垂直平分線:經(jīng)過線段的中點并且垂直這條線段的直線叫作這條線段的垂直平

分線，也叫線段的中垂線.

7.分析得到：一般地，如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對稱點

所連接線段的垂直平分線，反過來如果兩個圖形各對對稱點的連線被同一條直線垂直平分,

那么這兩個圖形關(guān)于這條直線軸對稱.

三、例題講解，鞏固新知

1.課本第122頁練習第1、2題.

2.如圖，直角坐標系中的五角星關(guān)于y

A.第一象限B.第二象限

C.D.第四象限

四、師生互動，課堂小結(jié)

1.

2.軸對稱現(xiàn)象與線段的垂直平分線的關(guān)系；

：累后作業(yè)

1.課本第122頁練習第3、4題.

2.完成練習冊中的相應作業(yè).

學教學反思

本節(jié)設計了“復習一一引入新課，合作交流一一運用新知，深化理解一一師生互動，課

堂小結(jié)”五個環(huán)節(jié)，使學生了解兩個圖形軸對稱的概念，能夠識別簡單的兩個圖形的軸對稱,

能理解軸對稱圖形、圖形的軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系，理解掌握線段的垂直平分線概念、性質(zhì),

培養(yǎng)學生合作及勇于探索的精神.

第2課時軸對稱

守,教學目標

【知識與技能】

了解軸對稱圖形的概念，能夠識別簡單的軸對稱圖形，正確找出對稱軸.

【過程與方法】

通過觀察生活中的軸對稱圖形、探索軸對稱現(xiàn)象，以及親身經(jīng)歷的數(shù)學學習活動，讓學

生充分感受到理論來源于實踐，又在實踐中廣泛運用這一道理.

【情感與態(tài)度】

通過對生活實物和相應圖片的觀察、欣賞，感受到數(shù)學與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，陶冶情

操，滲透美感.

【教學重點】

重點是認識生活中的軸對稱圖形，了解軸對稱的概念.

【教學難點】

難點是尋找對稱軸.

產(chǎn),教學亙旌

一、創(chuàng)設情境，導入課題

請同學們先欣賞一組優(yōu)美的建筑圖片，并仔細觀察圖片中建筑物的左右結(jié)構(gòu)有什么共同

點？

它們的左邊和右邊的結(jié)構(gòu)都是一樣的，叩對稱的.對，今天我們就一起來研究圖形的對

稱性.

二、觀察歸納，探究概念

其實，自然界中有很多物體的平面圖形都具有對稱性.比如千姿百態(tài)的蝴蝶、晶瑩剔透

的雪花、火紅火紅的楓葉等，都給人以對稱的形象，同時帶給人們美的享受.事實上，不論

是在自然界中還是在建筑中，不論是在藝術(shù)中還是在科學中，對稱的形式隨處可見，對稱具

有和諧美.下面讓我們一起走進生活，去感受一下軸對稱圖形的美麗吧.放映圖片.

請同學們在欣賞這些美麗圖形時，思考這樣一個問題：你能用自己的語言來描述這些圖

形是怎樣對稱的嗎？

下面我們以蝴蝶的圖案為例，在它的身體正中間畫一條直線L,以直線L為折痕，將圖

案折疊，圖中直線一側(cè)部分與另一側(cè)的部分能夠完全重合.像這樣，如果一個圖形沿著一條

直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對

稱軸.

注意：1.畫對稱軸一般用虛線.

2.軸對稱圖形的對稱軸兩旁的部分是全等的，即所有對應元素都是相等的，而且位置也

是對應的;

三、例題講解，鞏固新知

例1下面圖案都是軸對稱圖形嗎？你能畫出它們的對稱軸嗎

中國?艮銀打

THEPEOPLE'SOFCHINA0

解：圖形（1）、（3）、（4）、（5）、（6）都是軸對稱圖形，對稱軸略.

【教學說明】理解軸對稱的概念，認識軸對稱圖形.

四、運用新知，深化理解

1.在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（）

2.下列四個圖形:

其中是軸對稱圖形，且對稱軸的條數(shù)為2的圖形的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

3.下列圖案是我國幾家銀行的標志，哪幾個標志是軸對稱圖形？請你畫出它們的對稱

軸.

?C

(1)(2)

(3)(4)

4.圖中(1)至(10)都是對稱圖形，請觀察并指出哪些是軸對稱圖形，哪些圖形成軸

對稱.

①小M2E3

(1)(2)(3)(4)(5)

A2，☆I(lǐng)I⑥

(6)(7)(8)(9)(10)

通過前面的講解和練習，請同學們思考：要判斷一個圖形是否是軸對稱圖形，關(guān)鍵是什

么？

【參考答案】1.A2.C

3.解：圖(1)、(3)、(4)是軸對稱圖形，對稱軸(略).

4.略

五、師生互動，課堂小結(jié)

談一談：通過本節(jié)課的學習你有了哪些收獲？

,課后作業(yè)

1.課本第120頁練習第1、2題.

2.完成練習冊中的相應作業(yè).

「教學反思

本節(jié)設計了“創(chuàng)設情境，導入課題一一觀察歸納，探究概念一一例題講解，鞏固新知一

一運用新知，深化理解一一師生互動，課堂小結(jié)”五個環(huán)節(jié)，使學生了解軸對稱圖形的概念,

能夠識別簡單的軸對稱圖形，正確找出對稱軸，

通過觀察生活中的軸對稱圖形、探索軸對稱現(xiàn)象，以及親身經(jīng)歷的數(shù)學學習活動，讓學

生充分感受到理論來源于實踐，又在實踐中廣泛運用這一道理，感受到數(shù)學與現(xiàn)實生活的密

切聯(lián)系，陶冶情操，滲透美感.

第3課時平面直角坐標系中的軸對稱

敦與目標

【知識與技能】

明確圖形坐標變化與圖形軸對稱之間的關(guān)系.

【過程與方法】

經(jīng)歷圖形坐標變化與圖形軸對稱之間關(guān)系的探索過程，明確圖形坐標變化與圖形軸對稱

之間的關(guān)系.

【情感與態(tài)度】

由坐標的變化探索新舊圖形之間的變化過程，培養(yǎng)形象思維能力和數(shù)形結(jié)合意識.

【教學重點】

重點是圖形坐標變化與圖形軸對稱之間的關(guān)系.

【教學難點】

難點是圖形坐標變化規(guī)律的運用.

亨敦與13旌

一、創(chuàng)設情境，引入新課

1.在如圖所示的平面直角坐標系中，第一、二象限內(nèi)各有一面小旗.

兩面小旗之間有怎樣的位置關(guān)系？對應點A與A1的坐標又有什么特點？其它對應的點

也有這個特點嗎？

2.在右邊的坐標系內(nèi)，任取一點，做出這個點關(guān)于y軸對稱的點，看看這兩個點的坐標

有什么樣的位置關(guān)系，說說其中的道理.

3.如果關(guān)于x軸對稱呢？

在這個坐標系里作出小旗ABCD關(guān)于x軸的對稱圖形，它的各個頂點的坐標與原來的各

個頂點的坐標有什么關(guān)系？

【教學說明】引導學生將軸對稱與平面直角坐標系結(jié)合起來.

二、合作交流，共同探究

在平面直角坐標系中，如何作出圖形的軸對稱圖形.

D(1,3)

（1）作出點A、B、C、D關(guān)于x軸的對應點Cl,1）1,并寫出他們的坐標;

（2）己知各點的坐標:A（l,1）B（3,1）C(3,3)D(l,3)

關(guān)于x軸對稱的點的坐標AM)B,()Cl()

Dl()

關(guān)于y軸對稱的點的坐標Az（________）))

D2()

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：總結(jié)：一般地P（x,y）關(guān)于x軸軸對稱時Pl（x,-y）,關(guān)于y軸軸對稱時

P2(-x,y).

三、運用新知，深化理解

1.在平面直角坐標系中，已知點A（2,3）,則點A關(guān)于x軸的對稱點的坐標為（）

A.(3,2)B.(2,-3)

C.(-2,3)D.(-2,-3)

2.在平面直角坐標系中，與點（1,2）關(guān)于y軸對稱的點的坐標是（）

A.(-1,2)B.(1,-2)

C.(-1,-2)D.(-2,-1)

3.點（4,3）與點（4,-3）的關(guān)系是（）

A.關(guān)于原點對稱B.關(guān)于x軸對稱

C.關(guān)于y軸對稱D.不能構(gòu)成對稱關(guān)系

4.點（m,-1）和點（2,n）關(guān)于x軸對稱，則mn等于（）

A.-2B.2C.1D.-1

5.已知A、B兩點的坐標分別是（一2,3）和（2,3）,則下面四個結(jié)論：①A、B關(guān)于x軸

對稱；②A、B關(guān)于y軸對稱；

③A、B關(guān)于原點對稱；④A、B之間的距離為4,其中正確的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.在平面直角坐標系中，AABC的頂點坐標A(-4,1),B(-2,1),C(-2,3)

(1)作AABC關(guān)于y軸的對稱圖形△ABC；

(2)將4ABC向下平移4個單位長度，作出平移后的圖形△ABC?；

(3)求四邊形AAzB2c的面積.

1.B2.A3.B4.B5.B

6.解：(1)(2)所作圖形如圖所示：

(3)四邊形AABC的面積為10.

四、師生互動，課堂小結(jié)

1.關(guān)于y軸對稱的兩個圖形上點的坐標特征：(x,y)——(-X,y)

2.關(guān)于x軸對稱的兩個圖形上點的坐標特征：(x,y)一一(x,-y)

，課后作業(yè)

課本第124頁練習第1、2題.

置教學反思

本節(jié)設計了“創(chuàng)設情境,引入新課一一合作交流一一運用新知，深化理解一一師生互動,

課堂小結(jié)”四個環(huán)節(jié)，使學生明確圖形坐標變化與圖形軸對稱之間的關(guān)系，經(jīng)歷圖形坐標變

化與圖形軸對稱之間的關(guān)系的探索過程，培養(yǎng)形象思維能力和數(shù)形結(jié)合意識.

15.2線段的垂直平分線

戶敦與目標

【知識與技能】

掌握線段的垂直平分線以及它的逆定理的條件和結(jié)論，學會應用到證明中.

【過程與方法】

經(jīng)歷探索線段的垂直平分線定理、逆定理的過程，明確應用方法.

【情感與態(tài)度】

培養(yǎng)學生的合理推理能力.

【教學重點】

重點是線段的垂直平分線定理、逆定理的理解和應用.

【教學難點】

難點是線段的垂直平分線定理、逆定理的應用.

了＞教學亙旌

一、復習引入

1.什么是線段的垂直平分線？

2.用折紙的方法你能得到線段的垂直平分線嗎？

通過折紙可以作出線段的垂直平分線，在半透明紙上畫一條線段AA',折紙使A與A'

重合，得到的折痕1是線段AA'的垂直平分線（如圖）

步驟1步驟2步驟3

讓學生動手操作（小組交流）

3.你還能用什么方法得到線段的垂直平分線；（用刻度尺、直尺畫）

也可以用刻度尺量出線段的中點，再用三角尺過中點畫垂線的方法作出線段的垂直平分

線.

二、新課講解

活動1：用直尺圓規(guī)作出線段的垂直平分線

L要講清步驟；（學生注意模仿）

作法：

（1）分別以點A,B為圓心，大于12AB長為半徑（為什么？）畫弧交于點E,F.

（2）過點E,F作直線.

則直線EF就是線段AB的垂直平分線（如圖）.

為什么作出的直線是線段的垂直平分線呢？（要學生給出證明，教師引導）

線段的垂直平分線性質(zhì)定理：線段的垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等（先要讓

學生分析已知、求證并給出證明）

例1已知：如圖所示，直線MN經(jīng)過線段AB的中點0,且MN_LAB,P是MN上任意一點.

【證明】（已知）

.,.ZA0P=ZB0P=90°.（垂直定義）

在△A0P與△BOP中，

AO=BO,（已知）

?.：NA0P=N50尸,（已證）

PO=P。,（公共邊）

.?.△AOP絲△BOP.（SAS）

/.PA=PB.（全等三角形的對應邊相等）

活動2：線段的垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理

1.先讓學生說出線段的垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理

2.要求學生分析已知、求證并給出證明

定理：到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.

例2知：如圖所示，AABC的邊AB,AC的垂直平分線相交于點P.

求證：點P在BC的垂直平分線上.

【證明】連接PA,PB,PC,

:點P在AB,AC的垂直平分線上，（已知）

；.PA=PB,PA=PC,（線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等）

，PB=PC.（等量代換）

二點P在BC的垂直平分線上.（到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上）

三角形三邊的垂直平分線交于一點，這一點到三個頂點的距離相等.

三、運用新知，深化理解

1.如圖，在aABC中，AB=AC,ZA=40°,AB的垂直平分線交AB于點D,交AC于點E,

連接BE,則/CBE的度數(shù)為（）

A.70°B.80°C.40°D.30°

2.如圖，ZsABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=4cm,Z\ABD的周長為14cm,則AABC

的周長為（）

A.18cmB.22cmC.24cmD.26cm

3.已知點P在線段AB的垂直平分線上，PA=6,則PB=

4.如圖,已知DE是AC的垂直平分線，AB=10cm,BC=llcm,求4ABD的周長.

A

BD

5.如圖所示，一牧人帶馬群從A點出發(fā)，到草地MN放牧，在傍晚回到帳蓬B之前，先

帶馬群到河流PQ去給馬飲水，試問：牧人應走哪條路線才能使整個放牧的路程最短?

【參考答案】

1.D2.B3.6

4.解：；DE垂直平分AC,；.AD=CD,

.,.BD+AD=BI)+CD=BC=llcm,

XVAB=10cm,.'.△ABD的周長=AB+BC=10+11=21(cm).

5.略

四、師生互動，課堂小結(jié)

1.線段的垂直平分線的作法.

2.線段的垂直平分線性質(zhì)定理和逆定理.

3.三角形三邊的垂直平分線交于一點.

爭課后作業(yè)

課本第130頁練習第1、2、3題.

爭教學反思

本節(jié)設計了“復習一一新課講解一一運用新知，深化理解一一師生互動，課堂小結(jié)”四

個環(huán)節(jié)，使學生掌握線段的垂直平分線性質(zhì)定理以及它的逆定理的條件和結(jié)論，學會應用到

證明中.

經(jīng)歷探索線段的垂直平分線定理及逆定理的過程，明確應用方法，培養(yǎng)學生的合理推理

能力.

15.3等腰三角形

第1課時等腰三角形的性質(zhì)

譬2教學目標

【知識與技能】

進一步認識等腰三角形的定義和性質(zhì).

【過程與方法】

通過觀察、操作、想象、推理和交流活動，理解等腰三角形“三線合一”等有關(guān)性質(zhì)、

提高幾何推理意識.

【情感與態(tài)度】

通過對問題的發(fā)現(xiàn)和解決，培養(yǎng)學生合作精神，樹立學好教學的信心，形成有條理的表

達.

【教學重點】

重點是掌握等腰三角形的性質(zhì).

【教學難點】

難點是對等腰三角形“三線合一”的理解.

教學國球

一、回顧交流、操作感知

1.教師用如圖所示的三角形.

任意三角形等腰三角形等邊三角形

【教學說明】在圖所示的三種三角形有什么特殊性呢？是怎樣的從屬關(guān)系呢？

學生活動：思考后回答，等腰三角形有兩個邊是相等的叫做腰，不等的邊叫做底；等邊

三角形的三條邊都相等，它是等腰三角形的特例；而等腰三角形是三角形家族中的成員之一.

如圖所示：

【教學說明】讓學生認清等腰三角形的有關(guān)名詞.

學生活動：指出圖中的邊、角的名稱，溫故知新.

2.操作探究

教師敘述：請同學們把一張長方形的紙對折，剪去一個角，再把它展開，得到的三角形

有什么特征呢？

學生活動：拿出事先準備好的紙和剪刀，動手剪，然后觀察得出結(jié)論：“剪刀剪過的兩

條邊是相等的."

師生共識：上面剪出的等腰三角形是軸對稱圖形.

［教學說明】要求學生把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對折,找出其中重合的線段和角，

填入下表：

重合的線段重合的角

你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)嗎？說一說你的猜想.

學生活動：發(fā)現(xiàn)問題，如圖甲所示，重合的線段是AB=AC,BD=CD,底邊上的高、頂角

的平分線、底邊上的中線重合，重合的角是/B=NC,ZBAD=ZCAD,ZADB=ZADC=90°；等

邊三角形如圖乙所示，根據(jù)三角形三邊相等的概念，得出/A=/B=/C,再由三角形內(nèi)角和

等于180°,得NA=NB=NC=60°.

師生共識

性質(zhì)1：等腰三角形兩個底角相等，簡稱“等邊對等角”.

性質(zhì)2：等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊.

等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高線三線合一.

推論：等邊三角形三個內(nèi)角相等，每一個內(nèi)角都等于60°.

學生活動：運用全等三角形證明上述性質(zhì).

二、范例學習，應用所學

例1如圖所示，在AABC中，AB=AC,點D在AC上，且BD=BC=AD,求AABC各角的度

數(shù).

A

【分析】首先應用等腰三角形的性質(zhì)得到/ABC=/C=/BDC,ZA=ZABD,再運用三角形

內(nèi)角和定理求解NA=36°,ZABC=ZC=72°,這里可以運用代數(shù)的方法列式求解方程.

學生活動:參與教師分析，發(fā)表自己的見解，嘗試用不同的方法求解，如設/A=x。，而

后把問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)形式，再解.（解略）

例2如圖所示，在AABC中，AB=AC,ZBAC=120°,點D、E是底邊上兩點，且BD=AD,

CE=AE,求NDAE的度數(shù).

【分析】先由AB=AC,得到NB=NC=30°,再根據(jù)BD=AD,推出NBAD=NB=30°,同樣,

可以利用等腰三角形的性質(zhì)求出NCAE=/C=30°,最后求出/DAE=/BAC-NBAD-N

CAE=60°.

學生活動：參與教師分析，理解等腰三角形的應用方法.

【教學說明】增加補充例題，目的是拓展學生的思維.

三、隨堂練習，鞏固深化

1.課本第134頁練習第1、2、3題.

2.探研時空

已知：如圖所示，4ABC是等腰直角三角形，ZA=90°,BD是角平分線，DELBC于E,

若BC=10cm,求aDEC的周長.

A

解：:△ABC為等腰三角形，且NA=90°,

，AB=AC,ZABC=ZC=45°,BEC

VDE1BC,.".ZDEB=90°,

YDB是NADE平分線，

，ZBDA=ZBDE.

在AADB與aBDE中，

ZA=ZDEB=90°,

,:<4BDA=NBDE,

BD=BD.

.,.△BDA^ABDE(AAS).

，BA=BE,DA=DE.

ADEC的周長=DE+DC+EC=AD+DC+EC=AC+EC=EB+EC=BC,

.'.△DEC的周長為10cm.

四、師生互動，課堂小結(jié)

(1)等腰三角形有哪些性質(zhì)？

(2)你對本節(jié)課中等腰三角形與軸對稱概念的聯(lián)系有何體會？

,,課后作業(yè)

1.課本第136頁練習第1、2、3題.

2.完成練習冊中的相應作業(yè).

中教學反思

本節(jié)設計了“回顧交流，操作感知一一范例學習，應用所學一一隨堂練習，鞏固深化一

一師生互動，課堂小結(jié)”四個環(huán)節(jié)，使學生進一步認識等腰三角形的定義和性質(zhì)，通過對問

題的發(fā)現(xiàn)和解決，培養(yǎng)學生的合作精神，樹立學好數(shù)學的信心，形成有條理的表達.

第2課時等腰三角形的判定

產(chǎn)教學目標

【知識與技能】

領(lǐng)會等腰三角形、等邊三角形的判定方法，培養(yǎng)合情推理的能力.

【過程與方法】

通過探索等腰三角形、等邊三角形判定方法的過程，學會對問題的解決，形成有條理的、

清晰的表達能力.

【情感與態(tài)度】

通過對問題的發(fā)現(xiàn)和解決，培養(yǎng)學生空間思維，體會幾何學的內(nèi)涵和應用價值.

【教學重點】

重點是掌握等腰三角形、等邊三角形的判定定理.

【教學難點】

難點是判定的應用，幾何思維的形成.

：,教學52與

一、提出問題

等腰三角形的兩個底角相等，反過來的命題是否是真命題呢？

請同學們思考

二、新課講解

定理有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）

先要讓學生分析已知、求證并給出證明

已知：如圖所示，在△ABC中，ZB=ZC.

求證：AB=AC.

證明：過點A作ADJ_BC,D點為垂足，

.,.ZADB=ZADC=90°.（垂直定義）

在AADB和4ADC中，

"NB=NC,（已知）

/4。8=/4。。,（已證）

A￡>=AO,（公共邊）

AAADB^AADC.（AAS）

二AB=AC（全等三角形的對應邊相等）

由上述定理可得

推論1三個角都相等的三角形是等邊

推論2有一個角是60°的等腰三角

定理在直角三角形中，如果一個銳

所對的直角邊等于斜邊的一半.

要學生分析已知、求證并給出證明

例題（課本第137頁例4）

【教學說明】增加例題，鞏固理解，擴展思維.

三、課堂演練

1.求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三

角形.

【分析】分析上述命題中的條件、結(jié)論、畫出圖形，這里的條件是三角形的一個外角平

分線平行于這個三角形的一邊，結(jié)論是這個三角形是等腰三角形.

2.如下圖所示，標桿AB高5m,為了將它固定，需要由它的中點C向地面上與點B距離

相等的D,E兩點拉兩條繩子，使得點D,B,E在一條直線上，量得DE=4m,繩子CD和CE

需多長？

解：VAB=5m,C為AB中點，

AAC=CB=2.5m

?；B為DE中點且DE=4

/.DB=BE=2m

,a

.?CE=----m

2

在4CDB與4CEB中

CB=CB

'：＜ZCBD=ZCBE

BD=BE

.,.△CDB^ACEB(SAS)

A/41

.\CD=CE=——m

2

四、師生互動，課堂小結(jié)

1.本節(jié)課學習了哪些內(nèi)容？這些內(nèi)容在應用方面你有什么看法？

2.你能將等腰三角形的知識體系簡單地說一說嗎？

3.本節(jié)課中，你與同伴交流，學到了同伴的哪些優(yōu)點？

,‘課后作業(yè)

1.課本第138頁練習第1、2、3題.

2.完成練習冊中相應作業(yè).

："教學反思

本節(jié)設計了“提出問題一一新課講解一一課堂演練一一師生互動，課堂小結(jié)”四個環(huán)節(jié),

使學生領(lǐng)會等腰三角形、等邊三角形的判定方法，培養(yǎng)合情推理的能力，經(jīng)歷探索等腰三角

形、等邊三角形判定方法的過程，學會對問題的解決，形成有條理、清晰地表達的能力，培

養(yǎng)學生空間思維，體會幾何學的內(nèi)涵和應用價值.

15.4角的平分線

第1課時角平分線的作法

敦孚目標

【知識與技能】

掌握角平分線、過一點作已知直線垂線的作圖方法.

【過程與方法】

通過角平分線、過一點作已知直線垂線的作圖方法，發(fā)展幾何空間意識.

【情感與態(tài)度】

培養(yǎng)良好的邏輯思維能力，感悟邏輯推理在現(xiàn)實生活中的應用價值.

【教學重點】

重點是角平分線、過一點作已知直線垂線的作圖方法.

【教學難點】

難點是熟記作圖的步驟.

號》教學國程

一、創(chuàng)設情境，操作感知

1.教師演示：教師拿出如圖的平分角的儀器，其中AB=AD,BC=DC,將點A放在角的頂

點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫出一條射線AE,教師指出：“AE是否平分NA,Z

E呢？你能說一說嗎？”

學生活動：觀察教師的教具演示，發(fā)現(xiàn)這個教具中，AD=AB,DC=BC,那么只要AE通過

點C,則就構(gòu)成兩個三角形：AADC和△ABC,又因為AC是公共邊，很容易證出aADC好aABC

(SSS)；再運用全等三角形性質(zhì)推出/1=/2,/3=N4,即AE就是角平分線

2.折紙驗證

課堂活動：讓同學們拿出半透明的紙，在上面任畫一個角，請你用折疊的方法，找出角

的平分線.

學生活動：按上面要求，畫課本圖15-21如下：

在操作中，

發(fā)現(xiàn)：角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸.

教師引導：請同學們再用量角器量一量，看得出的這個結(jié)論對嗎？

學生活動：拿出量角器，驗證出上述結(jié)論是正確的，加深認識.

【教學說明】通過上述設計，目的是讓學生從感性認識提升到理性認

識.

二、尺規(guī)作圖

思考1：怎樣用直尺和圓規(guī)來作角平分線？

提示學生能否從折紙角中得到啟示

【教學說明】歸納角的平分線的作法并板書作法.

下面介紹用尺規(guī)作圖的方法作出NAOB的平分線(如圖)

作法：

(2)分別以點M,N為圓心，以大于1椒長為半徑(為什么？)在角的內(nèi)部畫弧交于點

2

P,如圖(2)

(3)作射線0P,則0P為所要求作的NAOB的角平分線，如圖(3).

學生活動：證明作法的正確性.

任作一個角，用直尺和圓規(guī)作出它的角平分線.

思考2：

(1)你能作一個平角的角平分線嗎？

(2)這個作圖可以看作是什么？如何寫已知，求作？

【教學說明】過直線上一點作已知直線的垂線的步驟：

經(jīng)過已知直線上的一點作這條直線的垂線.

已知：直線AB和AB上一點C(如圖).

求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C.

作法：作平角ZACB的平分線CF.直線CF就是所求作的垂線.

杓

ADC|EB

(1)

思考3：問題剛才作的點是在直線上的，你能過直線外一點作已知直線的垂線嗎？

【教學說明】過直線外一點作已知直線的垂線的步驟：

經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線.

已知：直線AB和AB外一點C(如圖(2))

求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C.

作法：(1)任意取一點K,使K和C在AB的兩旁；

(2)以點C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和E；

(3)分別以點D和點E為圓心，大于12DE的長為半徑作弧，兩弧交于點F;

(4)作直線CF.

直線CF就是所求作的垂線.

C

D

A

AK~B

米尸

(2)

三、運用新知，深化理解

1.用尺規(guī)動手作出NAOB的平分線03以及0B的垂直平分線MN,并保留作圖痕跡.

2.如圖所示，在AABC中，ZACB=90°,CD_LAB于點D,點E在AC上，且CE=BC.

(1)用尺規(guī)作圖的方法，過點E作AC的垂線，交CD延長線于點F；

(2)求證：△ABC絲△FCE.

【參考答案】1.略

2.⑴略.

(2)作圖如圖所示.證明：

ACB=90°,

.,.ZFEC=ZACB=90°,

VCDXAB,

AZCDA=90°,

ZABC+ZFCB=ZFCB+ZFCE,

:.ZABC=ZFCE.

在AABC與AFCE中，

NFEC=ZACB,

,:<EC=CB,

ZABC=NFCE.

.二△ABC也△FCE(ASA).

四、師生互動，課堂小結(jié)

掌握角平分線、過一點作已知直線垂線的作圖方法

課后作業(yè)

1.課本第143頁練習第1、2題.

2.完成練習冊中相應的作業(yè).

亨敦與反思

本節(jié)設計了“創(chuàng)設情境，操作感知一一尺規(guī)作圖——運用新知，深化理解一一師生互動,

課堂小結(jié)”四個環(huán)節(jié)，使學生掌握角平分線、過一點作已知直線垂線的作圖方法，經(jīng)歷角平

分線、過一點作已知直線垂線的作圖方法，提高幾何空間意識，培養(yǎng)良好的邏輯思維能力，

感悟邏輯推理在現(xiàn)實生活中的應用價值.

第2課時角平分線的性質(zhì)

敢與目標

【知識與技能】

探索角平分線的性質(zhì)定理.

【過程與方法】

通過探索角平分線定理的過程，體會這個定理的作用，增強幾何空間意識.

【情感與態(tài)度】

培養(yǎng)良好的邏輯思維能力，感悟邏輯推理在現(xiàn)實生活中的應用價值.

【教學重點】

重點是掌握角平分線的性質(zhì)定理.

【教學難點】

難點是運用角平分線定理簡化證明線段相等的問題.

教學E睚

一、導入新知

課堂活動：教師在黑板上演示怎樣做一個已知角的平分線，要求學生與教師同步操作,

在完成課本圖的圖形后，提出思考問題.

問題思索：

1.為什么所做的0P,就是/AOB的平分線呢？

2.如圖，OP是NA0B的平分線，P是OP上的任一點，過點P分別作PC±OA,PD±OB,C,

D是垂足，根據(jù)你學過的知識，從圖中你們得到哪些結(jié)論？寫出這個問題的已知、求證，并

給出證明.

學生活動：討論、分析，寫出已知、求證，并證明如下.

己知：如圖所示，0P平分NBOA,PD1OB,垂足為D,PC±OA,垂足為C.

求證：PD=PC

【證明】；0P平分NAOB.（已知）

AZAOP=ZBOP（角平分線定義）

XVPC10A,PDJ_OB,（已知）

.,.ZPC0=ZPD0=90°.（垂直的定義）

在△PCO和aPDO中，

NA0P=N80P,（已證）

NPCO=NPOO,（已證）

0P=OP,（公共邊）

.,.△PCO^APDO.（AAS）

；.PC=PD.

【歸納結(jié)論】上面的證明，主要是讓大家能通過嚴謹?shù)耐评斫鉀Q面前感知得到的結(jié)論.

師生共識：角平分線上的任意一點到角的兩邊的距離相等.

【教學說明】讓學生從感性上的認識上升到嚴格的理性上來.

二、情境合一，優(yōu)化思維

1.情境思考

如圖所示，要在T區(qū)建一個超市，使它到公路、鐵路的距離相等，離公路與鐵路交叉處

500米，這個超市應建在什么地方呢？（在圖上標出它的位置，比例尺為1:2000）.

引導學生分析、解決問題，這里要特別強調(diào)：

寫已知、求證這兩個環(huán)節(jié)要正確，否則證明將沒有意義.

己知：如圖所示，PD±OA,PE10B,垂足為點D,E,PD=PE.

求證：點P在/AOB的平分線上.

【證明】經(jīng)過點P作射線OP.A

VPD±OA,PE10B,D/

.,.ZPD0=ZPE0=90°,

OB

在RtaPDO和RtAPEO中，

OP=OP,

PD=PE,

ARtAPDO^RtAPEO(HL),

:.ZAOP=ZBOP,

AOP是/AOC的平分線.

二點P在NAOB的平分線上.

【教學說明】請部分學生上講臺“板演”，然后引導學生去發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論.

2.師生共識.

由剛才的例子可以得到一個結(jié)論：角平分線的逆命題仍然是正確的.

【歸納結(jié)論】在一個角內(nèi)部，到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上.

三、運用新知，深化理解

1.在△ABC中，AD是NBAC的平分線，BD=CD,DE,DF分別垂直于AB,AC,E,F是垂足,

求證：EB=FC.

2.求作一點C,使它到/AOB兩邊的距離相等，即CM=CN

【參考答案】1.證明：AD平分/BAC,DE，AB,DF_LAC,

.?.DE=DF(角平分線上點到兩邊距離相等)

且NBED=/CFD=90°

在RtABED與RtACFD中

..BD=CD

?ED=FD

.*.RtABED^RtACFD(IIL)

2.略

四、師生互動，課堂小結(jié)

教師引導下，學生自主總結(jié)，主要問題有：

1.什么叫角平分線？

2.你還能得到哪些結(jié)論？

課后作業(yè)

1.課本第145頁練習第2題.

2.完成練習冊中相應的作業(yè).

『教學反思

本節(jié)設計了“導入新知——情境合一，優(yōu)化思維——運用新知——師生互動，課堂小結(jié)”

四個環(huán)節(jié)，使學生探索角平分線的性質(zhì)定理，經(jīng)歷探索角平分線定理的過程，體會這個定理

的作用，發(fā)展幾何空間意識，培養(yǎng)良好的邏輯思維能力，感悟邏輯推理在現(xiàn)實生活中的應用

價值.

第3課時角平分線的判定

聲敦與目標

【知識與技能】

探索角平分線的逆定理.

【過程與方法】

通過探索角平分線逆定理的過程，體會這個定理的作用，增強幾何空間意識.

【情感與態(tài)度】

培養(yǎng)良好的邏輯推理能力.

【教學重點】

重點是掌握角平分線的逆定理.

【教學難點】

難點是運用角平分線定理簡化證明線段相等的問題.

教學國程

一、導入新知

寫出上面角平分線性質(zhì)定理的逆命題.

這逆命題是真命題嗎？如果是真命題請寫出已知、求證，并指出證明.

【歸納結(jié)論】角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.

【教學說明】通過逆向證明培養(yǎng)學生的逆向思維，鞏固理解角的性質(zhì)定理與逆定理.

二、情境合一，優(yōu)化思維

思考:如圖所示，PD±OA,PE10B,PD=PE,則點P與NAOB有什么特殊關(guān)系?

A

oEn

【教學說明】通過實際案例使學生從抽象的理解上升到具體的圖形關(guān)系上來.

三、例題講解

課本第145頁例題

學生活動：參與教師分析，明確證明思路是應用角平分線逆定理進行證明.

【證明】過點P分別作PMJ-BC,PN±AC,PQ±AB,垂足分別為M,N,Q.

：BE是/B的平分線，點P在BE上.

，PQ=PM.

同理可證：PN=PM.

/.PN=PQ.

.?.AP平分NBAC.

教師提問：從這個范例中，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？

學生活動：思考后回答，三角形三條內(nèi)角平分線相交于一點，這點到三角形三邊的距離

相等.

四、運用新知，深化理解

1.如圖所示，CD1AB,BE±AC,垂足分別為點D,E,BE,CD相交于去

點0,且0B=0C.求證：點0在NBAC的平分線上./\

證明：VCD1AB,BE1AC,

/.ZBD0=ZCED=90q.

又,..0B=0C,（已知）ZB0D=ZC0E,（對頂角相等）

/.△BOD^ACOE（AAS）

.,.OD=OE.

二點0在ZBAC的平分線上.（角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上）

2.如圖所示，0C平分NAOB,P為0C上一點，PD_LOA于點D,E為0A上一點，ZPEO+

NPF0=180°.求證：0E+0F=20D.

證明：如圖所示，過點P作PMLOB于點M.

?.PC平分/AOB,PD±OA,（已知）

/.PD=PM.（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）

在RtaPOD和RtAPOM中，

()FMR

JPO=PO,（公共邊）

[尸。=尸河,（已證）

ARtAPOD^RtAPOM,（HL）

，OD=OM.（全等三角形的對應邊相等）

XVZPEO+ZPFO=18O0,（已知）

ZPFM+ZPF0=180°,（平角定義）

:.NPED=NPFM.

XVPD1OA,PM1OB,（已知）

/.ZPDE=ZPMF=90°.（垂直定義）

在4PBE和△PMF中，

NPDE=NPMF,（已證）

Q-NPED=NPFM,（已證）

[PD=PM,（已證）

/.△POE^APMF,（AAS）

，DE=MF,（全等三角形的對應邊相等）

/.OE+OF=（OD+DE）+（OM-MF）=OD+DE+OD-DE=2OD.（等量代換）

五、師生互動，課堂小結(jié)

教師引導下，學生自主總結(jié)，主要問題有：

L這兩個定理之間有何區(qū)別？

2.你還能得到哪些結(jié)論？

戶課后作業(yè)

完成練習冊中相應的作業(yè).

"普教與反思

本節(jié)綜合學習了角平分線的性質(zhì)定理和逆定理，經(jīng)歷探索角平分線定理和逆定理的過

程，體會這兩個定理的作用，培養(yǎng)良好的邏輯思維能力.

章末復習

教字目標

【知識與技能】

1.理解軸對稱與軸對稱圖形的概念，掌握軸對稱的性質(zhì).

2.掌握線段的垂直平分線、角的平分線的性質(zhì)及應用.

3.理解等腰三角形的性質(zhì)并能夠簡單應用.

4.理解等邊三角形的性質(zhì)并能夠簡單應用.

【過程與方法】

初步體會從對稱的角度欣賞設計簡單的軸對稱圖案.

【情感與態(tài)度】

數(shù)形結(jié)合的思想及方程的思想都應引起廣泛的重視和應用.

【教學重點】

重點是掌握線段的垂直平分線、角的平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及應用.

【教學難點】

難點是軸對稱圖形以及關(guān)于某條直線成軸對稱的概念，等腰三角形的性質(zhì)應用.

教學國程

一、知識框圖，整體把握

■■做軸對稱圖形的對稱軸

軸對稱?做軸對稱圖形

I、用坐標表示軸對稱

等腰三角形'

,性質(zhì)和判定

等邊三角形

【教學說明】引導學生回顧本章知識點，展示本章知識框圖，使學生系統(tǒng)地了解本章知

識及它們之間的關(guān)系.教學時，邊回顧邊建立知識框圖.

二、典例精講

1.關(guān)于“軸對稱圖形”與“軸對稱”的認識

例1(1)下列幾何圖形中，①線段②角③直角三角形④半圓，其中一定是軸對稱圖形的

有(C)

A.1個B.2個C.3個D.4個

(2)圖中，軸對稱圖形的個數(shù)是(A)

A.4個B.3個C.2個D.1個

2.軸對稱變換及用坐標表示軸對稱

［關(guān)于坐標軸對稱］

點P(x,y)關(guān)于x軸對稱的點的坐標是(x,-y)

點P(x,y)關(guān)于y軸對稱的點的坐標是(-x,y)

例2已知：4ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示.

(1)把aABC向下平移2個單位長度得到△ABC,請畫出△ABC；

(2)請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△ABG,并寫出A?的坐標.

【解】答案如圖所示.

3.作一個圖形關(guān)于某條直線的軸對稱