2023-2024學(xué)年北京師大二附中高二（下）第二次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年北京師大二附中高二（下）第二次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若數(shù)列?2，a，b，c，?8是等比數(shù)列，則實數(shù)b的值為(

)A.4或?4 B.?4 C.4 D.?52.已知首項為1的數(shù)列{an}中，an+1=1+A.53 B.85 C.1383.曲線f(x)=3x2?ex在A.x+y+1=0 B.x?y+1=0 C.x?y?1=0 D.x+y?1=04.在數(shù)列{an}中，an=1?1aA.2 B.12 C.?125.函數(shù)f(x)=lnxx的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A.(?∞,e) B.(0,e) C.(1e,+∞)6.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3A.14 B.26 C.28 D.327.李明同學(xué)進行立定投籃練習(xí)，若他第1球投進，則第2球投進的概率為34；若他第1球投不進，則第2球投進的概率為14.若他第1球投進的概率為23，則他第2A.512 B.23 C.7128.已知函數(shù)f(x)=xsinx，x∈R，則f(π5),f(1),f(πA.f(π3)>f(1)>f(π5) B.f(1)>f(9.在某電路上有M、N兩個獨立工作的元件，每次通電后，需要更換M元件的概率為0.3，需要更換N元件的概率為0.2，則在某次通電后M、N有且只有一個需要更換的條件下，M需要更換的概率是(

)A.1219 B.1519 C.3510.已知常數(shù)k∈(0,1)，數(shù)列{an}滿足an=n?kn(n∈N?).現(xiàn)給出下列四個命題：

①當k=12時，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列；

②當0<k<12時，數(shù)列{anA.①② B.③④ C.②③④ D.②④二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.設(shè)盒中有大小相同的“中華”牌和“紅星”牌玻璃球，“中華”牌的10個，其中3個紅色，7個藍色；“紅星”牌的6個，其中2個紅色，4個藍色.現(xiàn)從盒中任取一個球，已知取到的是藍色球的前提下，則它是“紅星”牌的概率是______．12.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且Sn=n2?n，則a13.函數(shù)y=2x3?3x214.盲盒，是一種新興的商品.商家將同系列不同款式的商品裝在外觀一樣的包裝盒中，使得消費者購買時不知道自己買到的是哪一款商品.現(xiàn)有一商家設(shè)計了同一系列的A、B、C三款玩偶，以盲盒形式售賣，已知A、B、C三款玩偶的生產(chǎn)數(shù)量比例為6：3：1.以頻率估計概率，計算某位消費者隨機一次性購買4個盲盒，打開后包含了所有三款玩偶的概率為______．15.數(shù)列{an}滿足：an?1+an+1>2an(n>1,n∈N?)，給出下述命題：

①若數(shù)列{an}滿足：a2>a1，則an>an?1(n>1,n∈N?)成立；

②存在常數(shù)c，使得a三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題11分)

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn+1=Sn+an?2，a4+a17.(本小題12分)

如圖，已知在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1=AB=2，且點E，F(xiàn)分別為棱BB1，A1C1的中點．

(1)過點A，E，F(xiàn)作三棱柱截面交18.(本小題12分)

為了解某地區(qū)初中學(xué)生的體質(zhì)健康情況，統(tǒng)計了該地區(qū)8所學(xué)校學(xué)生的體質(zhì)健康數(shù)據(jù)，按總分評定等級為優(yōu)秀，良好，及格，不及格．良好及其以上的比例之和超過40%的學(xué)校為先進校．各等級學(xué)生人數(shù)占該校學(xué)生總?cè)藬?shù)的比例如表：學(xué)校

比例

等級學(xué)校A學(xué)校B學(xué)校C學(xué)校D學(xué)校E學(xué)校F學(xué)校G學(xué)校H優(yōu)秀8%3%2%9%1%22%2%3%良好37%50%23%30%45%46%37%35%及格22%30%33%26%22%17%23%38%不及格33%17%42%35%32%15%38%24%(Ⅰ)從8所學(xué)校中隨機選出一所學(xué)校，求該校為先進校的概率；

(Ⅱ)從8所學(xué)校中隨機選出兩所學(xué)校，記這兩所學(xué)校中不及格比例低于30%的學(xué)校個數(shù)為X，求X的分布列；

(Ⅲ)設(shè)8所學(xué)校優(yōu)秀比例的方差為S12，良好及其以下比例之和的方差為S22，比較S1219.(本小題12分)

已知F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)分別是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點，P是橢圓C上的一點，當PF1⊥F1F2時，|PF2|=3|PF1|.

(1)求橢圓C的方程；

20.(本小題14分)

已知函數(shù)f(x)=(x?1)lnx?k．

(1)當k=1時，求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最值；

(2)若函數(shù)g(x)=|f(x)+lnx|ex在[1,e]上單調(diào)遞減，求實數(shù)k21.(本小題14分)

有限數(shù)列{an}，若滿足|a1?a2|≤|a1?a3|≤…≤|a1?am|，m是項數(shù)p，則稱{an}滿足性質(zhì)p．

(1)判斷數(shù)列3，2，5，1和4，3，2，5，1是否具有性質(zhì)p，請說明理由；

(2)若a1=1，公比為q的等比數(shù)列，項數(shù)為10，具有性質(zhì)p，求q的取值范圍；

(3)答案1.B

2.B

3.A

4.B

5.B

6.B

7.C

8.A

9.A

10.D

11.41112.8

2n?2

13.5，?15

14.0.216

15.①④

16.解：(1)由Sn+1=Sn+an?2，可得an+1=an?2，

即an+1?an=?2，可得數(shù)列{an}是公差為?2的等差數(shù)列，

由a4+17.解：(1)由正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1=AB=2，

又因為點E，F(xiàn)分別為棱BB1，A1C1的中點，可得AF=AE=5，

如圖所示，延長AF交CC1的延長線于M點，連接ME交B1C1于點P，過點E作BC的平行線交CC1于N，

則四邊形AFPE為所求截面，又由B1E//MC1可得MPME=MC1MN=PC1EN=23，所以PC1=43,B1P=23；

(2)以點A為原點，以AC，AA1所在的直線分別為y，z軸，

以過點A垂直于平面yAz的直線為x軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

因為AB=2，可得A(0,0,0),F(0,1,2),E(3,1,1)，

則AF=(0,1,2),AE=(3,1,1)，

設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z)，所以n⊥AE，n⊥AF，

則n?AE=0n?AF=0，即3x+y+z=0y+2z=0，令z=118.解：(Ⅰ)8所學(xué)校中有四所學(xué)校學(xué)生的體質(zhì)健康測試成績達到良好及其以上的比例超過40%，

所以從8所學(xué)校中隨機取出一所學(xué)校，該校為先進校的概率為12．

(Ⅱ)8所學(xué)校中，學(xué)生不及格率低于30%的學(xué)校有學(xué)校B、F、H三所，所以X的取值為0，1，2．

P(X=0)=C52CX012P5153(Ⅲ)S119.(1)解：易知|PF1|+|PF2|=2a，

因為|PF2|=3|PF1|，

所以|PF1|=a2，|PF2|=3a2，①

因為PF1⊥F1F2，

所以|PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2，②

聯(lián)立①②，

解得a2=8，

則b2=a2?c2=4，

故橢圓C的方程為x28+y24=1；

(2)證明：由(1)知A(0,2)，B(0,?2)，直線MN的方程為y=kx+3，

不妨設(shè)M(x1,y120.解：(1)k=1時，f(x)=(x?1)lnx?1，

則f′(x)=lnx+1?1x在[1,e]上單調(diào)遞增，

所以f′(x)≥f′(1)=0，

所以f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增，f(x)min=f(1)=?1，f(x)max=f(e)=e?2；

(2)g(x)=|f(x)+lnx|ex=|xlnx?k|ex，

令?(x)=xlnx?k，則?′(x)=1+lnx≥1，

則?(x)在[1,e]上單調(diào)遞增，?(1)=?k，?(e)=e?k，

①當?k≥0即k≤0時，g(x)=xlnx?kex，g′(x)=(1?x)lnx+k+1ex≤0，

所以k≤[(x?1)lnx?1]min=?1，

所以k≤?1，

②當e?k≤0即k≥e時，g(x)=k?xlnxex，g′(x)=x?1lnx?k?1ex≤0，

所以k≥[(x?1)lnx?1]max，

由(1)知，k≥e?2，21.解：(1)對于數(shù)列3，2，5，1，

|2?3|=1，|5?3|=2，|1?3|=2，滿足題意，∴該數(shù)列滿足性質(zhì)p；

對于數(shù)列4，3，2，5，1，

|3?4|=1，|2?4|=2，|5?4|=1，不滿足題意，∴該數(shù)列不滿足性質(zhì)p．

(2)由題意得|qn|≥|qn?1?1|，n∈{2,3,???,9}，

兩邊平方得：q2n?2qn+1≥q2n?2?2qn?1+1，

整理得：(q?1)qn?1[qn?1(q+1)?2]≥0，

當q≥1時，得qn?1(q+1)?2≥0，此時，關(guān)于n≥2恒成立，

∴等價于n=2時，q(q+1)?2≥0，∴(q+2)(q?1)≥0，

∴q≤?2或q≥1，∴取q≥1；

當0<q<1時，得qn?1(q+1)?2<0，此時關(guān)于n恒成立，

∴等價于n=2時，q(q+1)?2≤0，∴(q+2)(q?1)≤0，

∴?2≤q≤1，∴0<q≤1．

當?1≤q<0時，得qn?1[qn?1(q+1)?2]≤0，

當n為奇數(shù)時，得qn?1(q+1)?2≤0，成立；

當n為偶數(shù)時，得qn?1(q+1)?2≥0，不成立；

當?1≤q<0時，矛盾，舍去，

當q<?1時，得qn?1[qn?1(q+1)?2]≤0，

當n為奇數(shù)時，tjqn?1(q+1)?2≤0，成立，

當n為偶數(shù)時，要使qn?1(q+1)?2≥0恒成立，等價于n=2時，q(q+1)?2≥0，

∴(q+2)(q?1)≥0，

∴q≤?2或q≥1，∴取q≤?2．

綜上可得，q的取值范圍是(?∞,?2]∪(0，+∞)．

(3)設(shè)a1=p，p∈{3,4,???,m?3,m?2}，

∵|a1?a2|≤|a1?a3|≤???≤|a1?am|，∴|a1?a2|=1，

∴a2可以取p?1或p+1，

∴a4=p+2或a4=p?2(舍，理由是：|a3?a2|>|a