2023屆上海楊浦區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試題及答案

高中PAGE1高中上海市楊浦區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試卷2023.04一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1.集合，，則______2.復(fù)數(shù)的虛部是______3.已知等差數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是___________.4.設(shè)，則______5.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是______6.若圓錐的側(cè)面積為，高為4，則圓錐的體積為_(kāi)_____7.由函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)，不等式的解集是______8.某中學(xué)舉辦思維競(jìng)賽，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名參賽學(xué)生的成績(jī)制作成頻率分布直方圖（如圖），估計(jì)學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)開(kāi)_____分9.內(nèi)角、、的對(duì)邊是、、，若，，，則______10.若?是雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左右兩支分別交于，兩點(diǎn).若為等邊三角形，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_______.11.若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_____12.已知非零平面向量、、滿(mǎn)足，，且，則的最小值是______二.選擇題（本大題共4題，第13、14題各4分，第15、16題各5分，共18分）13.已知、，則“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要14.對(duì)成對(duì)數(shù)據(jù)、、…、用最小二乘法求回歸方程是為了使（）A B.C.最小 D.最小15.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上嚴(yán)格遞減的是（）A. B. C. D.16.如圖，一個(gè)由四根細(xì)鐵桿、、、組成的支架（、、、按照逆時(shí)針排布），若，一個(gè)半徑為1的球恰好放在支架上與四根細(xì)鐵桿均有接觸，則球心到點(diǎn)的距離是（）A. B. C.2 D.三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）17.已知一個(gè)隨機(jī)變量的分布為：.（1）已知，求、值；（2）記事件：為偶數(shù)；事件：.已知，求，，并判斷、是否相互獨(dú)立？18.四邊形是邊長(zhǎng)為1正方形，與交于點(diǎn)，平面，且二面角的大小為.（1）求點(diǎn)到平面距離；（2）求直線(xiàn)與平面所成的角.19.如圖，某國(guó)家森林公園一區(qū)域?yàn)槿斯ず?，其中射線(xiàn)、為公園邊界.已知，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系（單位：千米）.曲線(xiàn)的軌跡方程為：.計(jì)劃修一條與湖邊相切于點(diǎn)的直路（寬度不計(jì)），直路與公園邊界交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，把人工湖圍成一片景區(qū).（1）若點(diǎn)坐標(biāo)為，計(jì)算直路的長(zhǎng)度；（精確到0.1千米）（2）若為曲線(xiàn)（不含端點(diǎn)）上的任意一點(diǎn)，求景區(qū)面積的最小值.（精確到0.1平方千米）20.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，直線(xiàn).（1）若到直線(xiàn)的距離為，求；（2）若直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，且的面積為，求；（3）若橢圓上存在點(diǎn)，過(guò)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，滿(mǎn)足直線(xiàn)和直線(xiàn)的夾角為，求的取值范圍.21.已知數(shù)列是由正實(shí)數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，滿(mǎn)足，，，.（1）寫(xiě)出數(shù)列前4項(xiàng)的所有可能取法；（2）判斷：是否存在正整數(shù)，滿(mǎn)足，并說(shuō)明理由；（3）為數(shù)列的前項(xiàng)中不同取值的個(gè)數(shù)，求的最小值.參考答案：一．填空題：1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；9、；10、；11、；12、；二．選擇題：13、C；14、D；15、A；16、B；三．解答題：17、【答案】（1），；（2），，事件與不相互獨(dú)立.【小問(wèn)1詳解】由隨機(jī)變量的分布的性質(zhì)有，得，又，解得，所以，即，；【小問(wèn)2詳解】由題意，，又事件：為偶數(shù)，所以，所以，由隨機(jī)變量的分布的性質(zhì)有，得，又事件為，所以，所以，因?yàn)?，所以與不相互獨(dú)立.18、【答案】（1）（2）【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗倪呅问钦叫?，平面，平面，所以?xún)蓛纱怪?，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，軸，軸建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，取，取平面的法向量，因?yàn)槎娼堑拇笮?，所以，解得，即，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，取，所以點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，設(shè)平面的法向量，則，取，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，，所以，所以直線(xiàn)與平面所成的角為.19、【答案】（1）（2）【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以由點(diǎn)斜式可得，即，令，解得，令，解得，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則由（1）可知，所以的直線(xiàn)方程為，整理得，令，解得，令，解得，所以，設(shè)，，令，即，解得，令，即，解得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以.所以景區(qū)面積的最小值為.20、【答案】（1）（2）（3）且【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋杂医裹c(diǎn)為，又因?yàn)椋缘街本€(xiàn)的距離，解得；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，由得，所以，即，且，所以，又因?yàn)镺到直線(xiàn)的距離為，所以的面積為，解得滿(mǎn)足，所以；【小問(wèn)3詳解】若，則直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，此時(shí)直線(xiàn)和直線(xiàn)的夾角為（舍去），若，由直線(xiàn)和直線(xiàn)的夾角為，且得，直線(xiàn)的方程為或代入得或，所以直線(xiàn)的方程為或代入橢圓方程得或，由或解得或，綜上得的取值范圍為且．21、【小問(wèn)1詳解】解：由得或，所以或，因?yàn)樽?，，所以或，所以，?dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，或因?yàn)閿?shù)列是由正實(shí)數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，所以舍，所以，數(shù)列前4項(xiàng)的所有可能取法有，，，或，，，或，，，.【小問(wèn)2詳解】解：不存在，下面證明：因?yàn)?，所以，或，?dāng)時(shí)，因?yàn)閿?shù)列是由正實(shí)數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，所以，即或，所以；當(dāng)時(shí)，因?yàn)閿?shù)列是由正實(shí)數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，所以，即所以或（舍），綜上，，所以，，.綜上，不存在正整數(shù)，滿(mǎn)足.【小問(wèn)3詳解】解：由，所