2023屆上海楊浦區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試題及答案

高中PAGE1高中上海市楊浦區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試卷2023.04一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1.集合，，則______2.復(fù)數(shù)的虛部是______3.已知等差數(shù)列中，，則數(shù)列的通項公式是___________.4.設(shè)，則______5.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是______6.若圓錐的側(cè)面積為，高為4，則圓錐的體積為______7.由函數(shù)的觀點，不等式的解集是______8.某中學(xué)舉辦思維競賽，現(xiàn)隨機抽取50名參賽學(xué)生的成績制作成頻率分布直方圖（如圖），估計學(xué)生的平均成績?yōu)開_____分9.內(nèi)角、、的對邊是、、，若，，，則______10.若?是雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點.若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為________.11.若存在實數(shù)，使函數(shù)在上有且僅有2個零點，則的取值范圍為______12.已知非零平面向量、、滿足，，且，則的最小值是______二.選擇題（本大題共4題，第13、14題各4分，第15、16題各5分，共18分）13.已知、，則“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要14.對成對數(shù)據(jù)、、…、用最小二乘法求回歸方程是為了使（）A B.C.最小 D.最小15.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上嚴格遞減的是（）A. B. C. D.16.如圖，一個由四根細鐵桿、、、組成的支架（、、、按照逆時針排布），若，一個半徑為1的球恰好放在支架上與四根細鐵桿均有接觸，則球心到點的距離是（）A. B. C.2 D.三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）17.已知一個隨機變量的分布為：.（1）已知，求、值；（2）記事件：為偶數(shù)；事件：.已知，求，，并判斷、是否相互獨立？18.四邊形是邊長為1正方形，與交于點，平面，且二面角的大小為.（1）求點到平面距離；（2）求直線與平面所成的角.19.如圖，某國家森林公園一區(qū)域為人工湖，其中射線、為公園邊界.已知，以點為坐標原點，以為軸正方向，建立平面直角坐標系（單位：千米）.曲線的軌跡方程為：.計劃修一條與湖邊相切于點的直路（寬度不計），直路與公園邊界交于點、兩點，把人工湖圍成一片景區(qū).（1）若點坐標為，計算直路的長度；（精確到0.1千米）（2）若為曲線（不含端點）上的任意一點，求景區(qū)面積的最小值.（精確到0.1平方千米）20.已知橢圓的右焦點為，直線.（1）若到直線的距離為，求；（2）若直線與橢圓交于，兩點，且的面積為，求；（3）若橢圓上存在點，過作直線的垂線，垂足為，滿足直線和直線的夾角為，求的取值范圍.21.已知數(shù)列是由正實數(shù)組成的無窮數(shù)列，滿足，，，.（1）寫出數(shù)列前4項的所有可能取法；（2）判斷：是否存在正整數(shù)，滿足，并說明理由；（3）為數(shù)列的前項中不同取值的個數(shù)，求的最小值.參考答案：一．填空題：1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；9、；10、；11、；12、；二．選擇題：13、C；14、D；15、A；16、B；三．解答題：17、【答案】（1），；（2），，事件與不相互獨立.【小問1詳解】由隨機變量的分布的性質(zhì)有，得，又，解得，所以，即，；【小問2詳解】由題意，，又事件：為偶數(shù)，所以，所以，由隨機變量的分布的性質(zhì)有，得，又事件為，所以，所以，因為，所以與不相互獨立.18、【答案】（1）（2）【小問1詳解】因為四邊形是正方形，平面，平面，所以兩兩垂直，以為原點，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示坐標系，設(shè)，，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，取，取平面的法向量，因為二面角的大小為，所以，解得，即，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，取，所以點到平面的距離.【小問2詳解】由（1）得，設(shè)平面的法向量，則，取，設(shè)直線與平面所成的角為，，所以，所以直線與平面所成的角為.19、【答案】（1）（2）【小問1詳解】因為，所以，所以，所以由點斜式可得，即，令，解得，令，解得，所以，所以.【小問2詳解】設(shè)，則由（1）可知，所以的直線方程為，整理得，令，解得，令，解得，所以，設(shè)，，令，即，解得，令，即，解得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以.所以景區(qū)面積的最小值為.20、【答案】（1）（2）（3）且【小問1詳解】因為，所以右焦點為，又因為，所以到直線的距離，解得；【小問2詳解】設(shè)，，由得，所以，即，且，所以，又因為O到直線的距離為，所以的面積為，解得滿足，所以；【小問3詳解】若，則直線經(jīng)過點，此時直線和直線的夾角為（舍去），若，由直線和直線的夾角為，且得，直線的方程為或代入得或，所以直線的方程為或代入橢圓方程得或，由或解得或，綜上得的取值范圍為且．21、【小問1詳解】解：由得或，所以或，因為足，，所以或，所以，當(dāng)時，或；當(dāng)時，或因為數(shù)列是由正實數(shù)組成的無窮數(shù)列，所以舍，所以，數(shù)列前4項的所有可能取法有，，，或，，，或，，，.【小問2詳解】解：不存在，下面證明：因為，所以，或，當(dāng)時，因為數(shù)列是由正實數(shù)組成的無窮數(shù)列，所以，即或，所以；當(dāng)時，因為數(shù)列是由正實數(shù)組成的無窮數(shù)列，所以，即所以或（舍），綜上，，所以，，.綜上，不存在正整數(shù)，滿足.【小問3詳解】解：由，所