高中數(shù)學(xué)蘇教版選修23教學(xué)案12　排列

i.r排列

第1課時(shí)排列與排列數(shù)公式

預(yù)

習(xí)

導(dǎo)入門(mén)答辯——辨析問(wèn)題解疑惑

引

區(qū)新知自解——自讀教材找關(guān)鍵

自主學(xué)習(xí)梳理主干zizfiux.ueK_ishulizfiugan

知識(shí)點(diǎn)1排列的定義

入口奈科

1.甲、乙兩名同學(xué)參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中一名參加上午的活動(dòng)，另外一名參加下午的活動(dòng).

問(wèn)題1:甲在上午和乙在上午是相同的安排法嗎？

提不：不是.

問(wèn)題2：有幾種不同的排法？

提示：兩種.甲上午，乙下午；甲下午，乙上午.

2.若從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另1名同學(xué)

參加下午的活動(dòng).

問(wèn)題3：讓你去安排這項(xiàng)活動(dòng)，需要幾步？

提示：分兩步.

問(wèn)題4：它們是什么？

提示：第一步確定上午的同學(xué)，第二步確定下午的同學(xué).

問(wèn)題5：有幾種排法？

提示：上午有3種，下午有2種，因分步完成共3X2=6種.

問(wèn)題6：這些排法相同嗎？

提不：不相同，它們是有順序的.

3.從4、氏C中任取兩個(gè)元素，按照一定的順序排成一列.

問(wèn)題7：共有多少種不同的排列方法？

提示：3X2=6種.

問(wèn)題8：試寫(xiě)出它們的排列.

提示：ab,ac,ba,be,ca,cb.

////.lf\iaa解，〃〃

排列的定義

一般地，從〃個(gè)不同的元素中取出〃QW〃）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列,叫做從〃個(gè)不同元素

中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.

知識(shí)點(diǎn)2排列數(shù)與排列數(shù)公式

勿勿入門(mén)答料,〃

己知數(shù)字1,2,3,4,5,6.

問(wèn)題1：從1,2,3,4,5,6中選出兩個(gè)數(shù)字,能構(gòu)成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)？

提示：有6X5=30（個(gè)）.

問(wèn)題2：從1,2,3,4,5,6中選出三個(gè)數(shù)字,能構(gòu)成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

提示：有6X5X4=120（個(gè)）.

問(wèn)題3：從1,2,3,4,5,6中選出四個(gè)數(shù)字,能構(gòu)成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？

提示：有6X5X4X3=360（個(gè)）.

問(wèn)題4：若從"個(gè)不同元素中取出個(gè)元素排成一列，有多少種不同的排法？

提示：有〃（“一1）（"-2）…（〃一〃?+1）（個(gè)）.

新知育解

排列數(shù)全排列

從〃不同元素中取出，”個(gè)

〃個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)

元素的所有排列的

定義排列,叫做〃個(gè)不同元素的一

個(gè)數(shù),叫做從〃個(gè)不同元素

個(gè)全排列

中取出機(jī)個(gè)元素的排列數(shù)

表示法A；；1A：：

乘積A；；,=M（n—1）（n—

1）（〃—2）?…?3/2T

形式2）…（〃一加+1）

公式

階乘

ft!

A7=〃！

07—M!

形式

性質(zhì)AS=1;0!=1

備注n,inGN*,且機(jī)

［歸納?升華?領(lǐng)悟］

1.判斷一個(gè)具體問(wèn)題是不是排列問(wèn)題主要看從〃個(gè)元素中取出，"個(gè)元素后，在安排機(jī)個(gè)元素時(shí)，是

有序還是無(wú)序，有序是排列，無(wú)序就不是排列.也就是說(shuō)排列與元素的順序有關(guān)，與元素順序無(wú)關(guān)的不是

02/14

排列.

2.排列與排列數(shù)是兩個(gè)不同的概念，排列是一個(gè)具體的排法，不是數(shù)；排列數(shù)是所有排列的個(gè)數(shù),

它是一個(gè)數(shù).

課

堂

突破考點(diǎn)總結(jié)規(guī)律

互

II動(dòng)

高考為標(biāo)提煉技法

把握熱點(diǎn)考向貴在學(xué)有所悟區(qū)

shisficnggongyantupozfiongnan師生共研突破更難

排列的概念

I例1］下列哪些問(wèn)題是排列問(wèn)題：

(1)從10名學(xué)生中抽2名學(xué)生開(kāi)會(huì)；

⑵從2,3,5,7,II中任取兩個(gè)數(shù)相乘；

(3)以圓上的10個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)作弦；

(4)10個(gè)車(chē)站，站與站間的車(chē)票.

［思路點(diǎn)撥］利用排列的定義去判斷，關(guān)鍵是看取出的元素是否與順序有關(guān).

［精解詳析］(1)2名學(xué)生開(kāi)會(huì)沒(méi)有順序，不是排列問(wèn)題.

(2)兩個(gè)數(shù)相乘，與這兩個(gè)數(shù)的順序無(wú)關(guān)，不是排列問(wèn)題.

(3)弦的端點(diǎn)沒(méi)有先后順序，不是排列問(wèn)題.

(4)車(chē)票使用時(shí)，有起點(diǎn)和終點(diǎn)之分，故車(chē)票的使用是有順序的，是排列問(wèn)題.

［一點(diǎn)通］判斷一個(gè)具體問(wèn)題是否有順序的方法：變換元素的位置，看結(jié)果有無(wú)變化，若有變化，則

與元素的順序有關(guān)，是排列問(wèn)題；否則，為非排列問(wèn)題.

加”也.魚(yú)靠鈍〃〃/

1.更改例題的各條件如下，請(qǐng)重新判斷是不是排列問(wèn)題：

(1)抽2名學(xué)生當(dāng)正、副班長(zhǎng)；

(2)取兩個(gè)數(shù)相除；

(3)以圓上10個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)作有向線段；

(4)10個(gè)車(chē)站間站與站的票價(jià).

解：(1)2名學(xué)生當(dāng)正、副班長(zhǎng)是有順序的，故是排列問(wèn)題.

(2)兩個(gè)數(shù)有除數(shù)和被除數(shù)之分，有順序，是排列問(wèn)題.

(3)有向線段有起點(diǎn)和終點(diǎn)之分，有順序，是排列問(wèn)題.

(4)兩車(chē)站間來(lái)回的票價(jià)一樣，故與順序無(wú)關(guān)，不是排列問(wèn)題.

2.判斷下列問(wèn)題是否為排列問(wèn)題.

(1)北京、上海、天津三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)格(假設(shè)來(lái)回的票價(jià)相同)；

(2)選2個(gè)小組分別去植樹(shù)和種菜；

(3)選2個(gè)小組去種菜；

(4)選10人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組；

(5)選3個(gè)人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員、生活委員；

(6)某班40名學(xué)生在假期相互通信.

解：(1)中票價(jià)只有三種，雖然機(jī)票是不同的，但票價(jià)是一樣的，不存在順序問(wèn)題，所以不是排列問(wèn)題.

(2)植樹(shù)和種菜是不同的，存在順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題.

(3)、(4)不存在順序問(wèn)題，不屬于排列問(wèn)題.

(5)中每個(gè)人的職務(wù)不同，例如，甲當(dāng)班長(zhǎng)與當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題.

(6)A給3寫(xiě)信與8給A寫(xiě)信是不同的，所以存在著順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題.

所以在上述各題中(2)、(5),(6)屬于排列問(wèn)題.

用列舉法解排列問(wèn)題

［例2］A,B,C,。四名同學(xué)站成一排照相，寫(xiě)出A不站在兩端的所有可能站法.

［思路點(diǎn)撥］解決本題可通過(guò)樹(shù)形圖法，畫(huà)出依題意的形狀，便可寫(xiě)出不同的站法.

［精解詳析J如圖所示的樹(shù)形圖：

cc

l

nlB

oA

.

—

M

O

I

D￡

故所有可能的站法是BACZ),BADC,BCAD,BDAC,CABD,CADB,CBAD,CDAB,DABC,DACB,

DBAC,DCAB,共12種.

［一點(diǎn)通］“樹(shù)形圖”是解決簡(jiǎn)單排列問(wèn)題的有效方法，特別是元素較少時(shí).在具體操作中，先將元

素按一定順序排出，然后以安排哪個(gè)元素在首位為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類(lèi)，在每類(lèi)中再在前面元素不變的情

況下定第二位元素，依次一直進(jìn)行到完成一個(gè)排列.

〃〃//應(yīng)依,集利〃〃/

3.A,B,C三個(gè)同學(xué)站成一排照相留念，寫(xiě)出所有排列.

解：由題意作樹(shù)形圖如圖所示：

04/14

故所有的才非列為：ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA.

4.A,B,C,。四名同學(xué)重新?lián)Q位(每個(gè)同學(xué)都不能坐其原來(lái)的位子)，試列出所有可能的換位方法.

解：假設(shè)4,B,C,。四名同學(xué)原來(lái)的位子分別為1,2,3,4號(hào)，列出樹(shù)形圖如圖：

位置編號(hào)

1BxD

^

2z-\//A

AcDADAC

'

—

—

—--/

n

3DDADBA

—

—

—

—

—

—uI

4cAcBcBA

換位后，原來(lái)1,2,3,4號(hào)座位上坐的同學(xué)的所有可能排法有：BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,

CDBA,DABC,DCAB,DCBA.

考點(diǎn)3有關(guān)排列數(shù)的計(jì)算

什留2AH7AI.A；；Z-

[例3]計(jì)算：⑴⑵A；；=!'

［思路點(diǎn)撥I利用公式7T化簡(jiǎn)變形.

2AH7At

I精解詳析］

(1)AI-AG

2X8X7X6X5X4+7X8X7><6><5

8X7X6X5X4X3X2X1-9X8><7><6X5

8X7X6X5X(8+7)

8X7X6X5X(24-9)

(IT—])!I

(2)原式=[(“一])一(07—1)]!?("—'")!,("一])!

(〃一1)!1

=(…)-(?-l)!=L

［一點(diǎn)通］應(yīng)用排列數(shù)公式應(yīng)注意以下幾個(gè)方面:

(1)準(zhǔn)確展開(kāi)：應(yīng)用排列數(shù)公式展開(kāi)時(shí)要注意展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)要準(zhǔn)確.

(2)合理約分：若運(yùn)算式是分式形式，則要先約分后計(jì)算.

(3)合理組合：運(yùn)算時(shí)要結(jié)合數(shù)據(jù)特點(diǎn)，應(yīng)用乘法的交換律、結(jié)合律，進(jìn)行數(shù)據(jù)的組合，可以提高運(yùn)算

n—111

的速度和準(zhǔn)確性，如：n!=n(n—1)!;nn\=(〃+1)!~n!;-y—=(〃_］)一「一了廠等.

〃〃，罪做爰鈍〃

5.如果A；；'=15X14X13X12X11X10,那么”=,m=.

解析：V15X14X13X12X11X1O=A?5,，〃=15,膽=6.

答案：156

6.eq=________

12X11X10X...X6X512

解析:原式=11X10X---X5X4~~4~3

答案：3

7.解下列方程：

(l)3AH2Ai+i+6A?；

(2)5A》=6A「.

解：⑴由3A?=2A，i+6Ai,

得3x(x—1)(九-2)=2。+l)x+6x。-1).

.”23,

???3(L1)(X-2)=2(x+l)+6(x-l),

即3?-17x+10=0.

2

解得x=5或x=](舍去)，.\x=5.

--5X4!6X5!

⑵由5AA6As,H(4_v),=(6_v),

化簡(jiǎn)得x2—'llx+24=0,解得》=3,X2=8,

；xW4,且X-1W5,.?.原方程式的解為x=3.

［方法?規(guī)律?小結(jié)］

1.排列數(shù)公式的特點(diǎn)

(1)第一個(gè)因數(shù)是〃；

(2)每個(gè)因數(shù)都比它前面的因數(shù)少1：

(3)最后一個(gè)因數(shù)是n—/n+l；

(4)一共有m個(gè)連續(xù)的自然數(shù)相乘.

2.應(yīng)用排列數(shù)公式應(yīng)注意的問(wèn)題

⑴排列數(shù)的第一個(gè)公式A；7="(〃-1)…(”一根+1)適用于具體計(jì)算以及解當(dāng)m較小時(shí)的含有排列數(shù)的

方程和不等式.

V］I

(2)排列數(shù)的第二個(gè)公式A7=,、?適用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程、解不等式等，在具體

運(yùn)用時(shí)，則應(yīng)注意先提取公因式，再計(jì)算，同時(shí)還要注意隱含條件“〃2W〃且〃iWN*”的運(yùn)用.

06/14

訓(xùn)

練

提

能

區(qū)

）

升（三

力提

課下能

題

填空

一、

：

題中

列問(wèn)

1.下

；

一本

每人

學(xué)，

名同

給10

書(shū)分

同的

本不

①10

；

電話

一次

互通

同學(xué)

②10位

信；

一封

互通

同學(xué)

③10位

段.

成的線

的點(diǎn)構(gòu)

點(diǎn)共線

任何三

個(gè)沒(méi)有

?10

填上）

確序號(hào)

.（將正

的是

問(wèn)題

排列

屬于

其中

.

列問(wèn)題

③是排

以①和

，所

變化

發(fā)生

結(jié)果

序，

換順

素交

個(gè)元

中兩

和③

：①

解析

：①③

答案

序號(hào)）

.（填

法為

有站

的所

一排

站成

兩人

中選

三人

乙、丙

甲、

2.從

甲；

，丙

，甲丙

乙甲

乙，

①甲

甲；

，乙丙

乙丙

②甲

乙；

，丙

丙甲

丙，

，乙

乙甲

甲丙，

乙，

③甲

乙丙.

甲丙，

乙，

④甲

確.

③正

，故

站法

兩種

的是

對(duì)應(yīng)

兩人

任意

關(guān)，

順序有

，與

問(wèn)題

排列

一個(gè)

：這是

解析

：③

答案

.

=

,則"

132

AZ=

已知

3.

0,

132=

〃一

,即/一

132

-1）=

?（/?

：AH=

解析

.

”=12

所以

N’,

為"G

又因

：12

答案

種.

有

的排法

則不同

排，

成一

人站

出3

中選

個(gè)人

從5

4.

法.

的排