甘肅省酒泉市四校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則虛部為（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以?fù)數(shù)的虛部為1．故選：A．2.已知向量，則下列選項(xiàng)中與共線的單位向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接由公式求出與共線的單位向量：，比對(duì)各選項(xiàng)選出答案即可.【詳解】，，與共線的單位向量是．故選：A．3.在中，若，，，則（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意利用余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】由余弦定理可得，即，解得或（舍去）．故選：D．4.某工廠生產(chǎn)的A，B，C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品數(shù)量之比為2：3：5，為研究這三種產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該工廠生產(chǎn)的A，B，C三種產(chǎn)品中抽出100件進(jìn)行測(cè)試，則應(yīng)該抽取的A型號(hào)產(chǎn)品的件數(shù)為（）A.20 B.30 C.50 D.80【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)求出抽樣比，然后求解即可.【詳解】某工廠生產(chǎn)的A，B，C三種不同型號(hào)產(chǎn)品的數(shù)量之比為，則A被抽的抽樣比為，所以抽出100件產(chǎn)品中A型號(hào)產(chǎn)品的件數(shù)為，故選：A5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過平方求出，判斷范圍，再結(jié)合求值，最后聯(lián)立方程求出，結(jié)合二倍角公式即可求解.【詳解】由①得，即，因?yàn)?，所以，，則，即②，聯(lián)立①②可得：，則.故選：C6.某高校為宣揚(yáng)中華文化，舉辦了“論語吟唱”的比賽，在比賽中，由A，B兩個(gè)評(píng)委小組（各9人）給參賽選手打分．根據(jù)兩個(gè)評(píng)委小組對(duì)同一名選手的打分繪制成如圖所示折線圖，則下列說法正確的是（）A.B組打分的極差小于A組打分的極差 B.B組打分的中位數(shù)為75C.A組的意見相對(duì)一致 D.A組打分的眾數(shù)為50【答案】C【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)折線圖結(jié)合極差的定義分析判斷；對(duì)于B：將數(shù)據(jù)按升序排列，結(jié)合中位數(shù)分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)方差的性質(zhì)分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合眾數(shù)的定義分析判斷.【詳解】對(duì)于A：觀察折線圖可知，小組B的極差大于小組A的極差，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：小組B打分的分值按照從小到大排列為：36，55，58，62，66，68，68，70，75，所以中間數(shù)為66，故中位數(shù)為66，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：小組A的打分成績比較均勻，波動(dòng)更小，故A小組意見相對(duì)一致，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：小組A打分的分值為：42，47，45，46，50，47，55，50，47，所以小組A打分的分值的眾數(shù)為47，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：C．7.已知、為實(shí)數(shù)，是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析可知關(guān)于的方程的兩個(gè)虛根分別為、，利用韋達(dá)定理可求得、的值，即可得解.【詳解】因?yàn)?、為?shí)數(shù)，是關(guān)于的方程的一個(gè)根，所以，關(guān)于的方程的兩個(gè)虛根分別為、，由韋達(dá)定理可得，可得，，解得，故.故選：B.8.已知是定義在R上的單調(diào)減函數(shù)，則能使成立的一個(gè)區(qū)間是（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，再利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)求出不等式的解集，最后根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷即可.【詳解】解：因?yàn)槭嵌x在R上的單調(diào)減函數(shù)，則不等式等價(jià)于，所以，令，解得，所以不等式的解集為，，因?yàn)?，故時(shí)滿足.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下表是某校高三（1）班三名同學(xué)在高三學(xué)年度的六次數(shù)學(xué)測(cè)試中的分?jǐn)?shù)及班級(jí)平均分表．下列敘述中正確的是（）學(xué)生測(cè)試序號(hào)第1次第2次第3次第4次第5次第6次甲同學(xué)138127131132128135乙同學(xué)130116128115126120丙同學(xué)108105113112115123班級(jí)平均分128.2118.3125.4120.3115.7122.1A.甲同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績始終高于班級(jí)平均水平B.乙同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績不穩(wěn)定，總在班級(jí)平均水平上下波動(dòng)C.丙同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績始終低于班級(jí)平均水平D.通過與班級(jí)平均分的對(duì)比，可發(fā)現(xiàn)丙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?cè)诜€(wěn)步提高【答案】ABD【解析】【分析】將每位同學(xué)的成績與班級(jí)平均分比較，判斷正誤.【詳解】甲同學(xué)每次成績都高于平均分，故A正確；乙同學(xué)3次成績高于平均分，3次成績低于平均分，故B正確；丙同學(xué)第6次成績高于平均分，故C正確；丙同學(xué)成績逐漸提升，且第6次成績高于平均分，故D正確.故選：ABD.10.若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱D.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】BCD【解析】【分析】化簡的解析式，然后根據(jù)三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】所以最小正周期為，A錯(cuò)誤；當(dāng)，則，故在上遞增，B正確；由，故是的一條對(duì)稱軸，C正確；由，故是的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，D正確.故選：BCD11.下列說法中錯(cuò)誤的有（）A.若，，則B.已知向量，，則不能作為平面向量的一個(gè)基底C.已知，，若，則實(shí)數(shù)m的值為1D.是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則是的內(nèi)心【答案】AC【解析】【分析】舉出反例說明A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，說明，則不能作為平面向量的一個(gè)基底，故B選項(xiàng)正確；由兩個(gè)向量垂直所適合的公式，求出，故故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由題意證明出是的內(nèi)心，故D選項(xiàng)正確．挑選錯(cuò)誤選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，若，則不共線的，也有，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)B選項(xiàng)，，則，則不能作為平面向量的一個(gè)基底，故B選項(xiàng)正確；對(duì)C選項(xiàng)，，，若，則，得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)D選項(xiàng)，因?yàn)?，由可知，垂直于的外角平分線，所以點(diǎn)在的平分線上，同理點(diǎn)在的平分線上，點(diǎn)在的平分線上，所以是的內(nèi)心．故D選項(xiàng)正確．故選AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，角、、的對(duì)邊分別為，，，若，，則=_______.【答案】.【解析】【分析】由可以求出，再利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，由正弦定理得：，因?yàn)?，所?故答案為：.13若，則___________.【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式，結(jié)合二倍角的余弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.已知向量，滿足，，則最大值為________，最小值為________．【答案】①.②.##【解析】【分析】利用整體法得到，再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，結(jié)合三角函數(shù)的值域即可得解.【詳解】，，設(shè)和的夾角為，，又，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，即取最大值；當(dāng)時(shí)，取得最大值，即取最小值.故答案為：；．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.當(dāng)實(shí)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)分別滿足下列條件？（1）實(shí)數(shù)；（2）純虛數(shù)；（3）在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于第四象限．【答案】（1）或（2）（3）【解析】【分析】（1）若為實(shí)數(shù)，可知虛部為0，列式求解即可；（2）若為純虛數(shù)，可知虛部不為0，實(shí)部為0，列式求解即可；（3）由題意可知虛部小于0，實(shí)部大于0，列式求解即可.【小問1詳解】若為實(shí)數(shù)，則，解得或．【小問2詳解】若為純虛數(shù)，則，解得．【小問3詳解】若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則，解得．16.已知函數(shù).（1）將函數(shù)化為的形式，其中，，，并求的值域；（2）若，，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡可得，根據(jù)三角函數(shù)的值域可得答案；（2）由求出，由的范圍求出，由展開代入可得答案.【小問1詳解】，∵，∴；【小問2詳解】由，可知，∵，∴，∴，∴17.上饒某中學(xué)為了解該校高三年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，對(duì)一?？荚嚁?shù)學(xué)成績進(jìn)行分析，從中抽取了50名學(xué)生的成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（若該校全體學(xué)生的成績均在分），按照，，，，，，，的分組做出頻率分布直方圖如圖所示，若用分層抽樣從分?jǐn)?shù)在內(nèi)抽取8人，則抽得分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為3人．（1）求頻率分布直方圖中的，的值；并估計(jì)本次考試成績的平均數(shù)（以每一組的中間值為估算值）；（2）該高三數(shù)學(xué)組準(zhǔn)備選取數(shù)學(xué)成績?cè)谇暗膶W(xué)生進(jìn)行培優(yōu)指導(dǎo)，若小明此次數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)是132，請(qǐng)你估算他能被選取嗎？【答案】（1），；平均數(shù)為分（2）小明能被選取【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由頻率分布直方圖即可求得，然后代入公式即可求得平均數(shù)；（2）根據(jù)題意，由條件列出方程，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)由分層抽樣可得分?jǐn)?shù)在的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在的人數(shù)之比為，所以，則，，又由頻率分布直方圖可知分?jǐn)?shù)在頻率為0.04，分?jǐn)?shù)在的頻率為0.06，分?jǐn)?shù)在的頻率為0.1，分?jǐn)?shù)在的頻率為0.2，分?jǐn)?shù)在的頻率為0.3，分?jǐn)?shù)在的頻率為0.14，分?jǐn)?shù)在的頻率為0.1，分?jǐn)?shù)在的頻率為0.06．則平均數(shù)為分.小問2詳解】由題意可知分?jǐn)?shù)在的頻率為6%，所以前5%在該組，不妨設(shè)第5%名的分?jǐn)?shù)為，則可得等式為，∴，∵，故小明能被選取.18.如圖，在中，，邊上的兩條中線，相交于點(diǎn)，且，，．（1）求的大??；（2）求的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，邊上的兩條中線相交于點(diǎn),可得，得到；（2）表示出，求解，，即可求解的余弦值.【小問1詳解】為的中點(diǎn)，，．，，，，．又，．【小問2詳解】為的中點(diǎn)，，，，，又與向量，的夾角相等，故的余弦值為．19.已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角A，，的對(duì)邊，．（1）求證：；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．