微專題提優(yōu)講義8 余弦定理的奧秘

微專題提優(yōu)講義8余弦定理的奧秘余弦定理對(duì)于已知兩邊及其夾角、已知三邊或已知兩角及一對(duì)邊求解三角形的問題起著很重要的作用，定理豐富的內(nèi)涵也是命題者命制試題的來源.下面以三角形中角A的余弦公式cosA＝b2＋c2一、乘法公式價(jià)值高，模型構(gòu)造威力顯觀察角A的余弦公式，發(fā)現(xiàn)分子為b2＋c2－a2，變形可得（b＋c）2－a2－2bc.由此可利用乘法公式設(shè)計(jì)構(gòu)造出平方差公式，再變形構(gòu)造出余弦公式.【例1】在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且（b－c）·（sinB＋sinC）＝（a－3c）·sinA，則角B的大小為（）A.30° B.45°C.60° D.120°二、平方關(guān)系真給力，夾角范圍確定易觀察角A的余弦公式，發(fā)現(xiàn)分子為b2＋c2－a2，比較分子與0的大小，可得：當(dāng)b2＋c2＞a2時(shí)，cosA＞0，此時(shí)角A為銳角；當(dāng)b2＋c2＝a2時(shí)，cosA＝0，此時(shí)角A為直角；當(dāng)b2＋c2＜a2時(shí)，cosA＜0，此時(shí)角A為鈍角.【例2】在非等邊△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a為最大邊，如果sin2（B＋C）＜sin2B＋sin2C，則角A的取值范圍為.三、周長(zhǎng)面積“影子”現(xiàn)，相互依存和諧見余弦公式通過變形可得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝（b＋c）2－a2－2bc2bc，從公式中我們可以找到【例3】已知△ABC內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，cosB＝1517，a＋c＝6，三角形的面積為2，則b＝.四、和、積合作有情意，兩根關(guān)系來設(shè)計(jì)余弦公式通過變形可得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝（b【例4】△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知三角形的兩邊a，b為一元二次方程x2－3x＋1＝0的兩個(gè)根且夾角C為60°，則三角形的周長(zhǎng)為.五、加法、乘法巧聯(lián)系，最值獲取最省力由于cosA＝b2＋c2－a22bc＝（b＋c）2－a聯(lián)想到不等式bc≤（b＋c2）2和bc【例5】△ABC內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，c＝3，求當(dāng)ab取得最大值時(shí)，三角形的面積.練習(xí)1.已知△ABC的外接圓半徑為4，sinB+sinC=34A．558 B．C．215564 2.（多選）在ΔABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知cosBcosC=A．cosB=12C．a(chǎn)+c=23 D．3.（多選）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則B的值為（）A． B． C． D．4.分別為內(nèi)角的對(duì)邊．已知，則的最小值為