備考2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)好題精練第十章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布突破1概率統(tǒng)計(jì)中的開(kāi)放性與決策問(wèn)題

突破1概率、統(tǒng)計(jì)中的開(kāi)放性與決策問(wèn)題1.[2024河南名校模擬]在實(shí)施鄉(xiāng)村振興的進(jìn)程中，某地政府引領(lǐng)廣袤農(nóng)戶發(fā)展特色農(nóng)業(yè)，種植優(yōu)良品種柑橘.現(xiàn)在試驗(yàn)基地中種植了相同數(shù)量的A，B兩種柑橘.為了比較A，B兩種柑橘品種的優(yōu)劣，在柑橘成熟后隨機(jī)選取A，B兩種柑橘各100株，并依據(jù)株產(chǎn)量X（單位：kg）繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（數(shù)據(jù)分組為[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95]）.（1）求a，b的值；（2）將頻率當(dāng)作概率，在全部柑橘中隨機(jī)抽取一株，求其株產(chǎn)量不低于80kg的概率；（3）求兩種柑橘株產(chǎn)量平均數(shù)的估計(jì)值（同一組數(shù)據(jù)中的平均數(shù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表），并從產(chǎn)量角度分析，哪個(gè)品種的柑橘更好？說(shuō)明理由.解析（1）由題中A品種柑橘的頻率分布直方圖可知，0.01×2+0.03由題中B品種柑橘的頻率分布直方圖可知，（0.05＋0.06＋b＋0.03＋0.01×2）×5＝1，解得b＝0.04.（2）A品種柑橘株產(chǎn)量不低于80kg的頻率為（0.04＋0.06＋0.05）×5＝0.75，B品種柑橘株產(chǎn)量不低于80kg的頻率為（0.03＋0.01＋0.01）×5＝0.25，故200株柑橘中株產(chǎn)量不低于80kg的頻率為0.75×所以在全部柑橘中隨機(jī)抽取一株，其株產(chǎn)量不低于80kg的概率為0.5.（3）設(shè)A品種柑橘株產(chǎn)量平均數(shù)的估計(jì)值為MA，則MA＝（0.01×67.5＋0.01×72.5＋0.03×77.5＋0.04×82.5＋0.06×87.5＋0.05×92.5）×5＝84.5.設(shè)B品種柑橘株產(chǎn)量平均數(shù)的估計(jì)值為MB，則MB＝（0.05×67.5＋0.06×72.5＋0.04×77.5＋0.03×82.5＋0.01×87.5＋0.01×92.5）×5＝75.5.A品種的柑橘更好.理由一A品種柑橘的株產(chǎn)量平均數(shù)的估計(jì)值大于B品種柑橘的株產(chǎn)量平均數(shù)的估計(jì)值，故A品種的柑橘更好.理由二由（2）可知，A品種柑橘株產(chǎn)量不低于80kg的占比為75％，B品種柑橘株產(chǎn)量不低于80kg的占比為25％，故A品種的柑橘更好.（注：答案不唯一，有道理的答案均給分）2.[2024廣東一模]某商場(chǎng)為了回饋廣袤顧客，設(shè)計(jì)了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在抽獎(jiǎng)箱中放10個(gè)大小相同的小球，其中5個(gè)為紅色，5個(gè)為白色.抽獎(jiǎng)方式為：每名顧客進(jìn)行兩次抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)從抽獎(jiǎng)箱中一次性摸出兩個(gè)小球.假如每次抽獎(jiǎng)摸出的兩個(gè)小球顏色相同為中獎(jiǎng)，兩個(gè)小球顏色不同為不中獎(jiǎng).（1）若規(guī)定第一次抽獎(jiǎng)后將球放回抽獎(jiǎng)箱，再進(jìn)行其次次抽獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）若規(guī)定第一次抽獎(jiǎng)后不將球放回抽獎(jiǎng)箱，干脆進(jìn)行其次次抽獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)次數(shù)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.（3）假如你是商場(chǎng)老板，如何在上述兩問(wèn)的兩種抽獎(jiǎng)方式中進(jìn)行選擇？請(qǐng)寫(xiě)出你的選擇及簡(jiǎn)要理由.解析（1）若第一次抽獎(jiǎng)后將球放回抽獎(jiǎng)箱，再進(jìn)行其次次抽獎(jiǎng)，則每次中獎(jiǎng)的概率為C52＋因?yàn)閮纱纬楠?jiǎng)相互獨(dú)立，所以中獎(jiǎng)次數(shù)X聽(tīng)從二項(xiàng)分布，即X～B（2，49所以X的全部可能取值為0，1，2，P（X＝0）＝C20×（49）0×（59）P（X＝1）＝C21×（49）1×（59）P（X＝2）＝C22×（49）2×（59）所以X的分布列為X012P254016X的數(shù)學(xué)期望E（X）＝2×49＝8（2）若第一次抽獎(jiǎng)后不將球放回抽獎(jiǎng)箱，干脆進(jìn)行其次次抽獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)次數(shù)Y的全部可能取值為0，1，2，則P（Y＝0）＝C51C51P（Y＝1）＝C52＋C52C102P（Y＝2）＝C52＋C5所以Y的分布列為Y012P201013所以Y的數(shù)學(xué)期望E（Y）＝0×2063＋1×1021＋2×1363（3）由上面分析可知，（1）（2）兩問(wèn)中獎(jiǎng)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望相等，第（1）問(wèn)抽獎(jiǎng)方式中兩次獎(jiǎng)的概率比第（2）問(wèn)小，即1681＜1363，第（1）問(wèn)抽獎(jiǎng)方式不中獎(jiǎng)的概率比第（2）問(wèn)小，即2581回答一：若商場(chǎng)老板希望中兩次獎(jiǎng)的顧客多，產(chǎn)生宣揚(yáng)效應(yīng)，則選擇按第（2）問(wèn)方式進(jìn)行抽獎(jiǎng).回答二：若商場(chǎng)老板希望中獎(jiǎng)的顧客多，則選擇按第（1）問(wèn)方式進(jìn)行抽獎(jiǎng).（注：答案不唯一，選擇符合商場(chǎng)老板的預(yù)期即可）3.甲、乙、丙三位重劍愛(ài)好者確定進(jìn)行一場(chǎng)競(jìng)賽，每局兩人對(duì)戰(zhàn)，沒(méi)有平局.已知每局競(jìng)賽甲贏乙的概率為15，甲贏丙的概率為14，丙贏乙的概率為13.因?yàn)榧资亲钊醯?，所以讓他確定第一局的兩個(gè)競(jìng)賽者，每局獲勝者與此局未競(jìng)賽的人進(jìn)行下一局的競(jìng)賽，在競(jìng)賽中某人首先獲勝兩局就成為整個(gè)競(jìng)賽的冠軍，（1）若甲指定第一局由乙丙競(jìng)賽，求“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”的概率；（2）請(qǐng)幫助甲進(jìn)行第一局的決策（甲乙、甲丙或乙丙競(jìng)賽），使得甲最終獲得冠軍的概率最大.解析（1）若甲指定第一局由乙丙競(jìng)賽，“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”共有兩種狀況：①乙丙比乙勝，甲乙比甲勝，甲丙比甲勝，其概率為23×15×14②乙丙比丙勝，甲丙比甲勝，甲乙比甲勝，其概率為13×14×15所以“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”的概率為130＋160＝（2）若第一局由甲乙競(jìng)賽，則甲獲得冠軍的狀況有三種：甲乙比甲勝，甲丙比甲勝；甲乙比甲勝，甲丙比丙勝，乙丙比乙勝，甲乙比甲勝；甲乙比乙勝，乙丙比丙勝，甲丙比甲勝，甲乙比甲勝.所以第一局由甲乙競(jìng)賽時(shí)，甲獲得冠軍的概率為15×14＋15×34×23×15＋45×1若第一局由甲丙競(jìng)賽，則思路同上，可得甲獲得冠軍的概率為14×15＋14×45×13×14＋34×2若第一局由乙丙競(jìng)賽，則甲獲得冠軍只能是甲在其次、三局連贏兩局，則甲獲得冠軍的概率即第（1）問(wèn)的結(jié)果120因?yàn)?1120＞112＞所以第一局甲應(yīng)指定自己和丙競(jìng)賽，使得甲最終獲得冠軍的概率最大.4.[2024山東棗莊模擬]某企業(yè)擁有甲、乙兩條零件生產(chǎn)線，為了解零件質(zhì)量狀況，接受隨機(jī)抽樣的方法從兩條生產(chǎn)線上共抽取180個(gè)零件，測(cè)量其尺寸（單位：mm），得到如下統(tǒng)計(jì)表，其中尺寸位于[55，58）內(nèi)的零件為一等品，位于[54，55）內(nèi)和[58，59）內(nèi)的零件為二等品，否則為三等品.生產(chǎn)線[53，54）[54，55）[55，56）[56，57）[57，58）[58，59）[59，60]甲49232824102乙214151716151（1）完成下列2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為零件為一等品與生產(chǎn)線有關(guān)聯(lián)？單位：個(gè)一等品非一等品合計(jì)甲乙合計(jì)（2）將樣本的頻率視為概率，從甲、乙兩條生產(chǎn)線中分別隨機(jī)抽取2個(gè)零件，每次抽取零件互不影響，以ξ表示這4個(gè)零件中一等品的數(shù)量，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）.（3）已知該企業(yè)生產(chǎn)的零件隨機(jī)裝箱出售，每箱60個(gè).產(chǎn)品出廠前，該企業(yè)可自愿選擇是否對(duì)每箱零件進(jìn)行檢驗(yàn).若執(zhí)行檢驗(yàn)，則每個(gè)零件的檢驗(yàn)費(fèi)用為5元，并將檢驗(yàn)出的三等品更換為一等品或二等品；若不執(zhí)行檢驗(yàn)，則對(duì)賣(mài)出的每個(gè)三等品零件支付120元賠償費(fèi)用.現(xiàn)對(duì)一箱零件隨機(jī)檢驗(yàn)了10個(gè)，檢出了1個(gè)三等品.將從兩條生產(chǎn)線抽取的全部樣本數(shù)據(jù)的頻率視為概率，以整箱檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用之和的期望作為決策依據(jù)，是否須要對(duì)該箱余下的全部零件進(jìn)行檢驗(yàn)？請(qǐng)說(shuō)明理由.附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(c＋d解析（1）由題意得列聯(lián)表如下：?jiǎn)挝唬簜€(gè)一等品非一等品合計(jì)甲7525100乙483280合計(jì)12357180零假設(shè)為H0：零件為一等品與生產(chǎn)線沒(méi)有關(guān)聯(lián).χ2＝180×因?yàn)?.621＞3.841＝x0.05，所以依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為零件為一等品與生產(chǎn)線有關(guān)聯(lián).（2）由已知得任取一個(gè)甲生產(chǎn)線零件為一等品的概率為75100＝34，任取一個(gè)乙生產(chǎn)線零件為一等品的概率為4880ξ的全部可能取值為0，1，2，3，4.P（ξ＝0）＝14×14×25×2P（ξ＝1）＝C21×14×34×（25）2＋C21×25×3P（ξ＝2）＝（34）2×（25）2＋（14）2×（35）2＋C21×14×34×P（ξ＝3）＝（34）2×C21×25×35＋C21×14×3P（ξ＝4）＝（34）2×（35）2＝所以ξ的分布列為ξ01234P191178181E（ξ）＝0×1100＋1×9100＋2×117400＋3×81200＋4×（3）由已知得，每個(gè)零件為三等品的頻率為4+2+2+1180＝1設(shè)余下的50個(gè)