2024年中考復(fù)習-數(shù)學（四川成都專用）（解析版）

2024年中考數(shù)學終極押題猜想（四川成都專用）（高分的秘密武器：終極密押+押題預(yù)測）押題猜想一二次函數(shù)圖象與性質(zhì)（A8） 1押題猜想二尺規(guī)作圖與幾何圖形綜合（A13） 4押題猜想三圓的綜合（A17） 8押題猜想四反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合（A18） 13押題猜想五探究規(guī)律與新定義（B21） 24押題猜想六反比例函數(shù)與幾何圖形綜合壓軸（B22） 27押題猜想七幾何最值壓軸（B23） 34押題猜想八方程、不等式、函數(shù)綜合實際應(yīng)用（B24） 39押題猜想九二次函數(shù)與幾何圖形綜合壓軸（B25） 43押題猜想十三角形與四邊形綜合壓軸（B26） 52押題猜想一二次函數(shù)圖象與性質(zhì)（A8）1．二次函數(shù)的y與x的部分對應(yīng)值如下表：x013y00根據(jù)表格中的信息，得到了如下的結(jié)論：①；②二次函數(shù)

可改寫為的形式；③關(guān)于x的一元二次方程的根為；④若，則；⑤當時，y有最小值是；其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①②④ B．②③⑤ C．①③⑤ D．②③④⑤【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，確定拋物線的對稱軸和頂點坐標，開口方向與軸的交點坐標，判斷①②，對稱性以及拋物線與一元二次方程的關(guān)系，判斷③，增減性，判斷④⑤，解題的關(guān)鍵是確定拋物線的對稱軸．【詳解】解：由表格可知：和的函數(shù)值相同，∴拋物線的對稱軸為直線：，∴頂點坐標為：；當時，，在對稱軸的左邊隨著的增大而減小，在對稱軸右邊隨著的增大而增大，∴拋物線的開口向上，∴，∵對稱軸為直線，∴，∴，故①錯誤，∵頂點坐標為，∴二次函數(shù)

可改寫為的形式；故②正確；∵當時，，對稱軸為，∴當時，，∴關(guān)于x的一元二次方程的根為；故③正確；∵時，時，，在對稱軸的左邊隨著的增大而減小，在對稱軸的右邊隨著的增大而增大，∴若，則或，故④錯誤；當時，隨著的增大而增大，∴當時，y有最小值是；故⑤正確；故選B．押題解讀1.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）對稱軸：直線x=–；頂點坐標：（–，）；當a>0時：當x<–時，y隨x的增大而減?。划攛>–時，y隨x的增大而增大；y最小值=當a<0時：當x<–時，y隨x的增大而增大；當x>–時，y隨x的增大而減?。粂最大值=2.對稱軸可確定b的符號（需結(jié)合a的符號）：對稱軸在x軸負半軸，則ab＞0；對稱軸在x軸正半軸，則ab＜0（即：左同右異）3.與y軸交點可確定c的符號：交于y軸負半軸，則c＜0；交于y軸正半軸，則c＞04.特殊函數(shù)值符號（以x=1的函數(shù)值為例）：若當x=1時，若對應(yīng)的函數(shù)值y在x軸的上方，則a+b+c＞0；若對應(yīng)的函數(shù)值y在x軸上方，則a+b+c=0；若對應(yīng)的函數(shù)值y在x軸的下方，則a+b+c＜0；1．對于二次函數(shù)，有以下結(jié)論：①當時，y隨x的增大而增大；②當時，y有最小值3；③圖象與x軸有兩個交點；④圖象是由拋物線向左平移6個單位長度，再向上平移3個單位長度得到的．其中結(jié)論正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與幾何變換，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．將題目中的函數(shù)解析式化為頂點式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴該函數(shù)的對稱軸為直線，函數(shù)圖象開口向上，當時，y隨x的增大而減小，當時，y隨x的增大而增大，故①符合題意；當時，y有最小值3，故②符合題意；當時，即∴∴∴方程無實數(shù)根，即圖象與x軸無交點，故③不符合題意；∵，∴圖象是由拋物線向右平移6個單位長度，再向上平移3個單位長度得到的，故④不符合題意；其中結(jié)論正確的個數(shù)為2個．故選：B．2．關(guān)于二次函數(shù)，下列說法中正確的是（）A．函數(shù)圖象的對稱軸是直線B．函數(shù)的有最小值，最小值為C．點在函數(shù)圖象上，當時，D．函數(shù)值y隨x的增大而增大【答案】C【分析】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．由于，由此可以確定二次函數(shù)的對稱軸、頂點坐標，最大或最小值及圖象的增減性．【詳解】解：∵，∴對稱軸為，故A不正確；函數(shù)有最大值，最大值為，故B不正確當，y隨x的增大而增大，當，y隨x的增大而減小，故D不正確；當時，，故C正確．故選：C．3.已知二次函數(shù)經(jīng)過點，下列結(jié)論正確的是（

）A．當時，隨的增大而增大 B．二次函數(shù)圖象與軸交于點C． D．當或時，【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項分析判斷即可．【詳解】解：∵，對稱軸為直線，∴當時，隨的增大而減小，故A錯誤；當時，，∴二次函數(shù)圖象與軸交于點，故B錯誤；∵拋物線過點，∴，即，∴，故C錯誤；∵拋物線經(jīng)過點，對稱軸為直線，∴拋物線與x軸的另一個交點為，∵拋物線的開口向下，∴當或時，函數(shù)圖象位于x軸下方，即，故D正確；故選：D．押題猜想二尺規(guī)作圖與幾何圖形綜合（A13）1．如圖，是的高，以點為圓心，適當長為半徑畫弧交于點，交于點；分別以，為圓心，以大于的長為半徑畫弧交于點；作射線交于點．若，，，則的長【答案】【分析】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了角平分線的性質(zhì)．先證明為等腰直角三角形，則，，再利用基本作圖得平分，所以點E到的距離等于1，接著利用面積法得到，于是可計算出，則，從而得到的長．【詳解】解：∵，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∵為的高，∴，，由作法得平分，∴點E到的距離等于E點到的距離為，即點E到的距離等于1，∵，則，∴，∴，∴．故答案為：．押題解讀尺規(guī)作圖與幾何性質(zhì)綜合主要掌握以下三方面的知識：（1）通過題干描述辨別是何種尺規(guī)作圖（主要有：作已知角、角平分線、中垂線等）；（2）圖形背景設(shè)置的幾何圖形的相關(guān)性質(zhì)（一般為特殊的三角形或四邊形）；（3）相關(guān)的運算工具（一般長度計算工具：相似、勾股定理、三角函數(shù)等）1．如圖，在中，，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于M，N兩點；作直線交AB于點．若，，則長為．【答案】10【分析】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理，先根據(jù)作圖痕跡得垂直平分，則有，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：連接，根據(jù)作圖痕跡得垂直平分，∴，∵，，∴在中，，則由勾股定理得，即，解得，故答案為：10．2．如圖，是等腰直角三角形，，．按下列步驟作圖：①以點為圓心，適當長為半徑作圓弧，與的兩邊分別交于、兩點；②分別以點，為圓心，大于的長為半徑作兩弧相交于點，過、兩點作射線；③分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧相交于、兩點，過點、作直線分別交射線、邊于點、．則的長是【答案】【分析】本題考查了作角平分線，垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，根據(jù)作圖得出，連接，可得，進而即可求解．【詳解】解：依題意，是的角平分線，是的垂直平分線，∴，，∴，∴，∴，連接，如圖所示∵是的垂直平分線，∴∴∵∴又是等腰直角三角形∴，∴∴，故答案為：．3．如圖，．分別以點A、B為圓心，長為半徑畫圓弧?兩圓弧交于點C，再以點C為圓心，以長為半徑畫圓弧交的延長線于點D，連接，則的長為．【答案】【分析】由作圖步驟可得為等邊三角形，，然后得到，根據(jù)勾股定理列式，并代入數(shù)據(jù)計算即可；【詳解】解：由分別以點A、B為圓心，長為半徑畫圓弧，兩圓弧交于點C，得：，為等邊三角形，，由以點C為圓心，以長為半徑畫圓弧交的延長線于點D，得：，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，等腰三角形以及等邊三角形的性質(zhì)與判定、解直角三角形等知識點，尺規(guī)作圖的準確理解是解題關(guān)鍵．押題猜想三圓的綜合（A17）1．（2024·廣東廣州·一模）如圖，內(nèi)接于，，的延長線交于點．(1)求證：平分；(2)若，，求和的長．【答案】(1)證明見詳解；(2)；．【分析】（1）延長交于，連接，證明，在線段的垂直平分線上，得出，再由等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）延長交于，連接，則是的直徑，可得，由圓周角定理得出，可得，求出的長，由勾股定理求出，利用平行線判定出，由相似三角形的比值關(guān)系求出，即可得到；由三角形的中位線定理求出的長，再通過勾股定理求即可．【詳解】（1）延長交于，連接，如圖所示：∵，，∴，在線段的垂直平分線上，∴，又∵，∴平分；（2）延長交于，連接，如圖所示：∴是的直徑，∴，，∵∴，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即：，解得：，∴，∵，，∴是的中點，∴，∵是的中點，∴是的中位線，∴，∴，∴在中：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及判定，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)及判定，三角函數(shù)等知識點，合理作出輔助線是解題的關(guān)鍵．押題解讀1）在證明圓周角相等或弧相等時，通?！坝傻冉钦业然　被颉坝傻然≌业冉恰保?）當已知圓的直徑時，常構(gòu)造直徑所對的圓周角；3）在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化。比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進行轉(zhuǎn)化等；4）注意圓的相關(guān)知識和相似、三角函數(shù)、勾股定理結(jié)合解決相關(guān)計算問題。1．如圖，為的直徑，，是上的兩點，延長交的切線于點．

(1)求證：；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見解析；(2)【分析】本題考查圓的綜合問題，銳角三角函數(shù)的定義、圓周角定理以及勾股定理：（1）根據(jù)直徑得到，根據(jù)切線得到，即可得到，即可得到證明；（2）根據(jù)三角函數(shù)得到，證明得到，即可得到答案；【詳解】（1）證明：連接，

為的直徑，，是的切線，，，即，，，；（2）解：，，，，又，，，，，，，．2．如圖，在中，，點為邊上一點，以為半徑的與相切于點，分別交邊于點．(1)求證：平分；(2)若，，求的半徑．

【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（）連接，則，由切線的性質(zhì)得，可證明，則，所以，即平分；（）連接，由，可得，即得，可得，得到，根據(jù)，即可求得的長，從而求得的半徑；此題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，正確作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，連接，則，∴，

∵與相切于點，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴平分；（2）解：如圖，連接，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴的半徑．3．如圖，已知內(nèi)接于，若，平分交于D，交于點E．(1)求證：；(2)若，試求、的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先證，然后根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似判定，進而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）設(shè)的圓心為點O，連接交于H，過點B作交的延長線于F，先證及為等邊三角形，從而得，，設(shè)，則，，，再證，由得，于是可設(shè)，則，從而得，則，，然后由（1）得，據(jù)此由相似三角形的性質(zhì)得，最后設(shè)，則，由（1）的結(jié)論得，再證，可得，據(jù)此即可求出x，進而得的長．【詳解】（1）證明：∵平分，，，，，，，；（2）解：設(shè)的圓心為點O，連接交于H，過點B作交的延長線于F，，平分，，，，，，，為等邊三角形，，設(shè)，則，由勾股定理得：，，，，，，，∴可設(shè)，，，即，，，由（1）得：，，即，，設(shè)，則，由（1）的結(jié)論得：，即：，，，，，，，將代入上式得：，，，，．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定及性質(zhì)，圓周角與圓心角之間的關(guān)系；解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的性質(zhì)，垂徑定理．押題猜想四反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合（A18）1．如圖1，正方形中，，．過A點作軸于點，過B點作x軸的垂線交過A點的反比例函數(shù)的圖象于E點，交x軸于G點．(1)求證：；(2)求反比例函數(shù)的表達式及點E的坐標；(3)如圖2，連接，點P為曲線上一點，過點P作坐標軸的垂線，垂足分別為點M、N，所做的垂線交于點Q、H，當時，探究：與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(4)如圖3，過點C作直線，點P是直線l上的一點，在平面內(nèi)是否存在點Q，使得點A、C、P、Q四個點依次連接構(gòu)成的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點Q的橫坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)，(3)，理由見解析(4)或3或或【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得，，利用同角的余角相等得到，從而利用即可得證結(jié)論；（2）先求得，設(shè)反比例函數(shù)的表達式為，把點A的坐標代入即可求出，即得到反比例函數(shù)的表達式為，同（1）證得，得到，因此點E的橫坐標為，把代入反比例函數(shù)，得，即可解答；（3）將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，先得出，利用勾股定理可得，進而退出，從而證得，得到，再證，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可解答；（4）利用待定系數(shù)法可求得直線的解析式為，進而求解直線l的解析式為，設(shè)，，分三種情況討論：①，為對角線，②，為對角線，③，為對角線，根據(jù)菱形的鄰邊相等，對角線互相平分分別列方程求解即可解答．【詳解】（1）∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵軸，∴，∴，∴，在和中，∴；（2）∵，，∴，，∵，∴，，∴，∴．設(shè)反比例函數(shù)的表達式為，∵該反比例函數(shù)經(jīng)過點，∴，解得，∴反比例函數(shù)的表達式為．∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵軸，∴，∴，∴，在和中，∴，∴，∴，∴點E的橫坐標為，把代入函數(shù)中，得，∴點E的坐標為；（3），理由如下：如圖，將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，∴，，，由（2）可知，又∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵軸，軸，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴；（4）在平面內(nèi)存在點Q，使得點A、C、P、Q四個點依次連接構(gòu)成的四邊形是菱形．理由如下：設(shè)直線的解析式為，∵直線過點，，∴，解得，∴直線的解析式為，∵直線，∴設(shè)直線l的解析式為，∵直線l經(jīng)過點，∴，解得，∴直線l的解析式為，∵點P是直線l上的一點，點Q是平面內(nèi)一點，∴設(shè)，，∵，，又菱形的鄰邊相等，且對角線互相平分，∴①若、為對角線，則，解得，∴；②當，為對角線時，解得：或（舍去），∴；③當，為對角線時，，解得：或，∴或；綜上所述，在平面內(nèi)存在點Q，使得點A，C，P，Q四個點依次連接構(gòu)成的四邊形是菱形，點Q的橫坐標為或3或或．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等．注意掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和利用兩點間的距離公式計算線段的長，理解坐標與圖形的性質(zhì)，會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題．押題解讀反比例函數(shù)與相似（位似）、全等問題，一般字母未對齊，故存在分類討論的情形，縱然這類題型，放在以函數(shù)為背景的題型中，與反比例函數(shù)結(jié)合，相似三角形分類討論的解題技巧，仍沒有發(fā)生變化，故掌握了解題方法或解題技巧，受益的不只是一道題，而是一類型題的解決。反比例函數(shù)與特殊圖形（三角形、四邊形）的綜合題解題步驟：一般先設(shè)出幾何圖形中的未知數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)的圖像用含未知數(shù)的式子表示出幾何圖形與圖像的交點坐標，再由函數(shù)解析式及幾何圖形的性質(zhì)寫出含未知數(shù)及待求字母系數(shù)的當成（組），解方程（組）即可得所求幾何圖形的未知量或函數(shù)解析式中待定字母的值。特殊幾何圖形的存在性問題解題思想：（1）找點構(gòu)成等腰三角形、直角三角形、（特殊）平行四邊形等問題；（2）找點構(gòu)成三角形全等、相似問題；（3）求點的坐標。1．如圖，矩形交反比例函數(shù)于點D，已知點，點，．(1)求k的值；(2)若過點D的直線分別交x軸，y軸于R，Q兩點，，求該直線的解析式；(3)若四邊形有一個內(nèi)角為，且有一條對角線平分一個內(nèi)角，則稱這個四邊形為“角分四邊形”．已知點P在y軸負半軸上運動，點Q在x軸正半軸上運動，若四邊形為“角分四邊形”，求點P與點Q的坐標．【答案】(1)；(2)或；(3)或或【分析】（1）利用面積及矩形的性質(zhì)，用待定系數(shù)法即可求解；（2）分兩種情況討論求解：R在x軸正半軸上和在負半軸上兩種情況分別求解即可；（3）分三種情況：當平分，時，當平分，時，當平分，時，分別結(jié)合圖形求解.【詳解】（1）解：，即，，，，，，；（2）①如圖，當時，，，，，，，設(shè)直線為，把，代入，得，解得，直線為，②如圖，當時，，，，，，，設(shè)直線為，把，代入，得，解得，直線為，綜上所述，直線的表達式為或；（3）解：①當平分，時，，，即垂直平分，，，，，，②當平分，時，同理，得，，，作于M，，，，，，，即，，聯(lián)立①，②，解得或(舍），，③當平分，時，同理?

，得，同理，得∴是等邊三角形，，，綜上所述，P、Q的坐標為或或.【點睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，解直角三角形，求一次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定，正確作出輔助線，解方程組，靈活運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解本題的關(guān)鍵．2．如圖，在平面直角坐標系中，正方形的頂點分別在x軸，y軸的正半軸上，對角線，相交于點D，將正方形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α（）得正方形，點的對應(yīng)點分別是，函數(shù)的圖象記為圖象G．(1)當，時，點恰好在圖象G上，求k的值；(2)當點同時在圖象G上時，點橫坐標為4，求k的值；(3)點P為x軸上一動點，當時，圖象G過點D，且的值最小時，，求k的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)得：，，過點過點作于K，可得，再運用待定系數(shù)法即可求得k的值；（2）過點作于K，過點作軸于G，交于E，作軸于F，過點作軸于H，設(shè)，，，先證明，可得：，，表示，再求得，根據(jù)點，同時在圖象G上，可得，由，可得，，即可求得答案；（3）設(shè)設(shè)正方形的邊長為b，則，，，），作點C關(guān)于x軸的對稱點，連接交x軸于點P，此時的值最小，過點作軸于K，過點B′作軸于F，作軸交于E，則四邊形是矩形，，，，，可得，可求得，即可求得答案．【詳解】（1）∵當，時，正方形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α（）得正方形，∴，，過點作于K，如圖，∴，，∴，將代入，得，∴；（2）如圖，過點作于K，過點作軸于G，交于E，作軸于F，過點作軸于H，設(shè)，則，，∵四邊形是正方形，∴，，由旋轉(zhuǎn)得，，，D′是正方形的中心，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∵點B′橫坐標為4，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∵點同時在圖象G上，∴，∴，∴，∴，解得：或，當時，不符合題意，舍去；當時，，符合題意；∴k的值為；（3）設(shè)正方形的邊長為b，則，，，，當時，，設(shè)，，∵，∴，∴，∴，作點C關(guān)于x軸的對稱點，連接交x軸于點P，此時，的值最小，如圖，過點A′作軸于K，過點B′作軸于F，作軸交于E，則四邊形是矩形，，，，由（2）知：，∴，，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∵正方形的對角線相交于點D，∴，把代入，得，∴．【點睛】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．3．如圖1，在線段上找一點，把分成和兩段，且滿足，則我們稱點為線段的品質(zhì)點，他們的比們叫做品質(zhì)數(shù)，記為．即：．顯然，品質(zhì)數(shù)與線段的長度無關(guān)，是一個定值．

(1)求的值；(2)如圖2，在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形的頂點與坐標原點重合，邊分別在軸、軸上，點為線段中點，連接，點為線段上一點，使得沿所在直線折疊后點與上的點重合．求證：是線段的品質(zhì)點；(3)在（2）的條件下，如圖3，已知點為線段上一動點，一次函數(shù)經(jīng)過點，并與過點的反比例函數(shù)分別交于兩點(其中)，若為線段的品質(zhì)點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）設(shè)，，則，根據(jù)題意建立方程即可求解；（2）連接，設(shè)，則，，在中，，在中，，解方程得出，則，即可得證；（3）依題意得出，反比例函數(shù)解析式為，立，消去得，，設(shè)的橫坐標為，則是的兩個根，則，，得出，過點分別作軸的垂線，垂足分別為，根據(jù)平行線分線段成比例得出，進而得出，即，設(shè)，則，，得出，根據(jù)點為線段上一動點，一次函數(shù)經(jīng)過點，得出，進而即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)，，則，∵，∴∴∵，∴解得：（舍去）或，經(jīng)檢驗是原方程的解，∴；（2）解：如圖所示，連接，

∵正方形的邊長為，依題意，，∴，∵折疊，∴，，∴，設(shè)，則，，在中，，在中，，∴，解得：，∴，∴是線段的品質(zhì)點；（3）解：∵∴代入，∴反比例函數(shù)解析式為，聯(lián)立，消去得，，設(shè)的橫坐標為，則是的兩個根，∴，∴如圖所示，過點分別作軸的垂線，垂足分別為∴，∴，

∵為線段的品質(zhì)點，，∴，∴，即，設(shè)，則，∴，∴，，∴，∵點為線段上一動點，一次函數(shù)經(jīng)過點，由（2）可得，∴，∴，則，∵，，∵，∴；又∵，，∴，綜上所述，．【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理，坐標與圖象，平行線分線段成比例，反比例函數(shù)性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，不等式性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題關(guān)鍵．押題猜想五探究規(guī)律與新定義（B21）1．已知為整數(shù)，將其除以4所得的商記為，余數(shù)記為，即（n是整數(shù)），我們稱屬于數(shù)組，記作，則下列說法正確的是．（直接填寫序號）①；②若為4的倍數(shù)，則點到點的距離的最小值為；③所有整數(shù)組成的數(shù)組；④若，則，屬于同一個數(shù)組．【答案】②④【分析】本題考查新定義問題，考查了學生的理解能力和推理能力，理解定義式解題的關(guān)鍵．①根據(jù)數(shù)組的定義可判斷；②根據(jù)定義可知，點A在上，由兩點距離公式可求出距離的最小值；③由整數(shù)除以4的余數(shù)可能為0，1，2，3可判斷；④可根據(jù)定義分別設(shè)a，b的數(shù)組為，進行判斷．【詳解】①根據(jù)數(shù)組定義，因此，所以①錯誤；②a是4的倍數(shù)，不妨設(shè)（n是整數(shù)）當時，最小，所以②正確；③a除以4的余數(shù)可能是0，1，2，3；所以③錯誤；④不妨設(shè)（m為整數(shù)）；（n為整數(shù)）；由可知，a和b屬于同一數(shù)組，所以④正確；故答案為：②④．押題解讀1）關(guān)注問題中的不變量和變量﹕在探究規(guī)律的問題中，一般都會存在變量和不變量（也就是常量），我們要多關(guān)注變量，看看這些變量是如何變化的，仔細觀察變量的變化與序號（一般為n）之間的關(guān)系，我們找到這個關(guān)系就找到了規(guī)律所在。2）讀懂題目，搜集信息，理解本質(zhì)﹕要想做好這類新定義型問題，關(guān)鍵在于讀懂題目中所給新定義的信息，真正理解新概念的本質(zhì)。題目中可能會給出很多信息，有些是無關(guān)緊要的，有些是重要的，我們一定要抓住關(guān)鍵詞，關(guān)鍵信息，徹底弄懂其問題的本質(zhì)，這是我們解決問題的關(guān)鍵所在。3）新定義問題:往往在題干中會給出一種新定義，解題時需要用到整式混合運算、因式分解、平方差、完全平方、不等式與方程等知識。1.如下圖，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成以下圖形，第1幅圖形中“●”的個數(shù)為，第2幅圖形中“●”的個數(shù)為，第3幅圖形中“●”的個數(shù)為，…，以此類推，那么的值為

【答案】【分析】首先根據(jù)圖形中“●”的個數(shù)得出數(shù)字變化規(guī)律，進而求解即可．【詳解】解：，，，，…，；∴，故答案∶．【點睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．若兩個正整數(shù)x，y滿足且，則稱x，y是一組“美麗數(shù)”，記為，則美麗數(shù)一共有組．【答案】14【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，因式分解的應(yīng)用，分式的加減運算，解題的關(guān)鍵是對已知式子進行合理的變形；由變形得，，根據(jù)x，y為正整數(shù)，且，進行討論，可得和均為的正因數(shù)，進而求解即可；【詳解】解：原方程可化為：，，x，y為正整數(shù)，且，必須為右邊常數(shù)的因數(shù)，若，則，根據(jù)兩數(shù)相乘的結(jié)果為2015的平方，知和中必有一個小于，則中有一個數(shù)小于0，不成立；和均為的正因數(shù)，且對取任意的正因數(shù)都有解，而的正因數(shù)有個，其中滿足的除去后恰一半，所以有14組解；故答案為：143．已知實數(shù)m、、滿足：．①若，則．②若m、、為正整數(shù)，則符合條件的有序?qū)崝?shù)對有個【答案】【分析】①把代入求值即可；②由題意知：均為整數(shù)，，則再分三種情況討論即可．【詳解】解：①當時，，解得：；②當m、、為正整數(shù)時，均為整數(shù)，而或或，或或，當時，時，；時，，故為，共2個；當時，時，；時，，時，故為，共3個；當時，時，；時，，故為，共2個；綜上所述：共有個．故答案為：．【點睛】本題考查了整式方程的代入求值、整式方程的整數(shù)解，因式分解的應(yīng)用，及分類討論的思想方法．押題猜想六反比例函數(shù)與幾何圖形綜合壓軸（B22）1．如圖，點A，B分別在函數(shù)圖象的兩支上（A在第一象限），連接AB交x軸于點C．點D，E在函數(shù)圖象上，軸，軸，連接．若，的面積為9，四邊形的面積為14，則的值為，a的值為．

【答案】129【分析】如圖，延長，交于點，與軸交于點，而軸，軸，可得，的面積是5，設(shè)，，則，，，利用面積可得，，由，，可得，可得③，再利用方程思想解題即可．【詳解】解：如圖，延長，交于點，與軸交于點，而軸，軸，∴，∵的面積為9，四邊形的面積為14，∴的面積是5，

設(shè)，，∴，，∴，，，，∴，，整理得：，，∵，，∴，∴，∴，則③，把③代入②得：，∴，即④，把③代入①得：⑤，把④代入⑤得：；故答案為：12；9【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的幾何應(yīng)用，平行線分線段成比例的應(yīng)用，坐標與圖形面積，熟練的利用方程思想解題是關(guān)鍵．押題解讀“參數(shù)法”是一種解數(shù)學題的方法,它指在解決問題的過程中,通過適當引入與題目研究的問題發(fā)生聯(lián)系的新變量(即為參數(shù)),然后以此作為媒介,再進行分析和綜合,進而解決問題.運用參數(shù)解題有化繁為簡之功效,因此,適當?shù)匾雲(yún)?shù),對提高解題能力,進一步學好數(shù)學,都會產(chǎn)生積極的作用.“參數(shù)法”解決反比例函數(shù)問題基本思路：①設(shè)參數(shù)；②用參數(shù)表示點的坐標；③用參數(shù)表示線段的長；④用參數(shù)表標圖形的面積（周長）；⑤利用等量關(guān)系建立方程或不等式；⑥解方程（或化簡）；⑦解答。1．平面直角坐標系中，直線與雙曲線相交于A，B兩點，其中點A在第一象限．設(shè)為雙曲線上一點，直線，分別交y軸于C，D兩點，則的值為?！敬鸢浮?【分析】根據(jù)直線與雙曲線相交于A，B兩點，其中點A在第一象限求得，，再根據(jù)為雙曲線上一點求得；根據(jù)點A與點M的坐標求得直線AM解析式為，進而求得，根據(jù)點B與點M的坐標求得直線BM解析式為，進而求得，最后計算即可．【詳解】解：∵直線與雙曲線相交于A，B兩點，∴聯(lián)立可得：解得：或∵點A在第一象限，∴，．∵為雙曲線上一點，∴．解得：．∴．設(shè)直線AM的解析式為，將點與點代入解析式可得：解得：∴直線AM的解析式為．∵直線AM與y軸交于C點，∴．∴．∴．∵，∴．設(shè)直線BM的解析式為，將點與點代入解析式可得：解得：∴直線BM的解析式為．∵直線BM與y軸交于D點，∴．∴．∴．∵，∴．∴=4．故答案：4．【點睛】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程組的求解，正確求出點的坐標和直線解析式是解題關(guān)鍵．2．如圖，曲線l是由函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到的，過點，的直線與曲線l相交于點M，N，若的面積是，則k的值為．【答案】5【分析】由題意，可知：，建立新的坐標系：為軸，為軸，設(shè)，，利用根與系數(shù)的關(guān)系和的面積是3，可得結(jié)論．【詳解】解：連接，，過A作軸于，過作軸于，如圖所示：點，，，，，，同理得：，，，，函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)，建立新的坐標系：為軸，為軸，則旋轉(zhuǎn)后的函數(shù)解析式為：，在新的坐標系中，，，設(shè)直線的解析式為：，則，解得，直線的解析式為：，設(shè)，，由得：，，，，整理得，，，，，；故答案為：5．【點睛】本題考查坐標與圖形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，建立新的坐標系．3．如圖，與交于A、B兩點，過B作y軸的垂線，垂足為C，交于點D，點D關(guān)于直線的對稱點E恰好落在x軸上，且軸，連接，則；若的面積為15，則的值為．【答案】/【分析】（1）設(shè)，則，聯(lián)立直線，則，的橫坐標為方程的兩個根，分別為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出①，根據(jù)題意的中點在上，得②，聯(lián)立①②即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出，，證明，勾股定理得出，，即，則或，根據(jù)，進而分類討論，即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)，則，聯(lián)立即，即，則，的橫坐標為方程的兩個根，分別為，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，即①，∵關(guān)于直線對稱，∴的中點在上，∴，即②由①②得：，即，∴，故答案為：．（2）∵關(guān)于對稱，∴又，，則，∵∴則，∴∴，∵，∴，即，解得：或∵；當時，，無解（舍去）；當時，解得：，（舍去）∴故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．定義：將函數(shù)的圖象繞點旋轉(zhuǎn)，得到新的函數(shù)的圖象，我們稱函數(shù)是函數(shù)關(guān)于點P的相關(guān)函數(shù)．如果當時，函數(shù)關(guān)于點的相關(guān)函數(shù)的最大值為8，則m的值為．【答案】或【分析】先求出該函數(shù)頂點坐標，再根據(jù)題目所給新定義和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求出其相關(guān)函數(shù)的表達式，最后根據(jù)對稱軸的不同位置，進行分類討論即可．【詳解】解：∵，，∴該函數(shù)頂點坐標為，設(shè)該函數(shù)關(guān)于點的相關(guān)函數(shù)頂點坐標為，∴，，解得：，，∴設(shè)該函數(shù)關(guān)于點的相關(guān)函數(shù)頂點坐標為，∴設(shè)該函數(shù)關(guān)于點的相關(guān)函數(shù)為；①當時，，∵，開口向下，∴當時，y有最大值，，解得：，（舍）；②當時，時，當時，y有最大值，，解得：（舍），（舍），③當時，，∵，開口向下，∴當時，y有最大值，，解得：（舍），（舍）；綜上：或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)他題意得出該函數(shù)以及其相對函數(shù)的頂點坐標連線中點為，根據(jù)對稱軸的不同位置進行分類討論．押題猜想七幾何最值壓軸（B23）1.為等腰直角三角形，，，動點在邊上運動．以A為直角頂點，在右側(cè)作等腰直角三角形（如圖）．為中點，為三等分點，，連接，則線段的最小值為．【答案】1【分析】連接，過點M作于點H，證明，推出，，再證明，推出，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，連接，過點M作于點H，則，∵為等腰直角三角形，，，∴，，∵以A為直角頂點，在右側(cè)作等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，，∴，即，∵，∴，∴，∴，∵M為中點，∴，即，∴，∴，，設(shè)，則，∴，∵，，∴，∴，在中，由勾股定理得，即，∵，∴，∴當時，的最小值是1，∴的最小值是1．故答案為：1．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識點，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．押題解讀1.在幾何最值問題，幾何背景下的最值是考生感覺較難的，往往沒有思路。常見的有：(1)幾何圖形中在特殊位置下的最值；(2)比較難的線段的最值問題，其依據(jù)是：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換、旋轉(zhuǎn)變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等；③借助于圓的知識；④二次函數(shù)的最值法解決。2.常見最值模型：1）將軍飲馬模型；2）胡不歸模型；3）阿氏圓模型；4）瓜豆模型（動態(tài)軌跡問題）；5）費馬點模型等。1．如圖，在中，，，點P在邊上，D、E分別為、的中點，連結(jié)．過點E作的垂線，與、分別交于F、G兩點，連結(jié)，交于點H．則的最大值為．【答案】【分析】先判斷和是等腰直角三角形，得出，，可證明，得出，證明，得出，設(shè)，則，，，，，，進而求出，再根據(jù)當，時，，可求出，即可求解．【詳解】解：，，，，、分別為、的中點，，，，，，，和是等腰直角三角形，，，在和中，，，∴，又∵，∴，∴，即∴，∵和是等腰直角三角形，，，則，，設(shè)，則，，則，，，，∴，又∵，∴，當，時，，∴，∴的最大值為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角形中位線、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次根式的運算等知識點，綜合應(yīng)用所學知識成為解答本題的關(guān)鍵．3．已知，如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點B的坐標為，點的坐標為，點關(guān)于軸的對稱點為點，點為線段上的一個動點，連接，點為線段上一點，且，連接，當?shù)闹底钚r，的長為．【答案】/【分析】如圖所示，作點關(guān)于的對稱點，連接，過點作交于，過點作且，連接，，先證明是等腰直角三角形，得到，由軸對稱的性質(zhì)可得，，則，由此可得，，是等腰直角三角形，則；設(shè)與軸交于，過點作軸于，證明，得到，則，，，證明四邊形是平行四邊形，得到；證明是等腰直角三角形，得到，則；由軸對稱的性質(zhì)可得，則，，故當最小時，最小，即最小，即當、、三點共線時，最小，求出直線解析式為，同理可得直線的解析式為，則當最小時點的坐標為，利用勾股定理求出，，則．【詳解】解：如圖所示，作點關(guān)于的對稱點，連接，過點作交于，過點作且，連接，，

∵，，，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∵點與點關(guān)于直線對稱，∴，，∴，∴，，是等腰直角三角形，∴，設(shè)與軸交于，過點作軸于，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；由軸對稱的性質(zhì)可得，∴，∴，∵要使最小，即要使最小，∴當最小時，最小，即最小，∴當、、三點共線時，最小，設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，同理可得直線的解析式為，聯(lián)立，解得，∴當最小時點的坐標為，∴，，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了一次函數(shù)與幾何綜合，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判斷，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線確定最小的情形是解題的關(guān)鍵．押題猜想八方程、不等式、函數(shù)綜合實際應(yīng)用（B24）1.隨著電子信息產(chǎn)業(yè)的迅猛發(fā)展，智能手機已經(jīng)走入普通百姓家，也影響著人們的生活．隨著其功能的不斷增加，致使手機電量的使用時間不斷下降，手機充電問題便進入了大家的視線，手機電量E（單位：%）與充電時間t（單位：h）。某位助農(nóng)達人在直播期間，兩部相同的手機電池電量都剩余，為了不耽誤助農(nóng)直播賣農(nóng)產(chǎn)品（建議充電時，不玩手機、避免手機高溫）；第二部手機在15分鐘后電量剩余時開始充電，已知兩部手機的電量E與充電時間t的函數(shù)圖象如下：(1)求出線段對應(yīng)的函數(shù)表達式．(2)第一部手機充電時長為多少時，第二部手機電量超過了第一部的手機電量？

【答案】(1)(2)當時，第二部手機電量超過了第一部的手機電量【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）先求出線段對應(yīng)的函數(shù)表達式為，根據(jù)，得出，求出t的范圍即可．【詳解】（1）解：設(shè)線段對應(yīng)的函數(shù)表達式為，把代入得，，解得：，線段對應(yīng)的函數(shù)表達式為；（2）設(shè)線段對應(yīng)的函數(shù)表達式為，把代入得，，解得：，線段對應(yīng)的函數(shù)表達式為，當時，，解得，當時，第二部手機電量超過了第一部的手機電量．【點睛】本題考查一次函數(shù)的實際應(yīng)用，涉及利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，利用不等式或圖象比較大小的具體知識；做題的關(guān)鍵是從圖象中讀取信息，分析圖象、將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題．押題解讀方程（組）的應(yīng)用題以實際問題為背景，一般為生活中常見的分析決策問題，且情境真實、貼近學生生活。程（組）的應(yīng)用題考查數(shù)學抽象和數(shù)學建模以及閱讀能力，讓學生學會把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程（組）、不等式等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系，并設(shè)計出適當?shù)慕鉀Q問題的方案，培養(yǎng)應(yīng)用意識和模型思想，提高解決實際問題能力。建立方程、不等式、函數(shù)模型解決問題的一般步驟：①閱讀，弄清問題背景和基本要求；②分析，尋找問題的數(shù)量關(guān)系，找到與其相關(guān)的知識；③建模，由分析得出的相關(guān)知識建立方程模型、不等式(組)模型或函數(shù)模型；④解題，求解上述建立的方程、不等式或函數(shù)，結(jié)合實際確定最優(yōu)方案。1．繁花歌舞團準備采購甲、乙兩種道具，某商場對甲種道具的出售價格根據(jù)購買量給予優(yōu)惠，對乙種道具按40元/件的價格出售，設(shè)繁花歌舞團購買甲種道具x件，付款y元，y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：(1)求出當和時，y與x的函數(shù)關(guān)系；(2)若繁花歌舞團計劃一次性購買甲、乙兩種道具共120件，且甲種道具數(shù)量不少于乙種道具數(shù)量的，乙種道具不少于35件，如何分配甲、乙兩種道具的購進量，才能使繁花歌舞團付款總金額w（元）最少？【答案】(1)當時，函數(shù)解析式為，當時，(2)購進甲種道具85件，購進乙種道具35件，才能使延長歌舞團付款總金額最少【分析】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，不等組的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)當時，函數(shù)解析式為，當時，函數(shù)解析式為，利用待定系數(shù)法可求解；（2）設(shè)購進甲種道具a件，則購進乙種道具件，根據(jù)“甲種道具數(shù)量不少于乙種道具數(shù)量的，乙種道具不少于35件”求得，然后結(jié)合（1）及題意列出付款總金額w（元）與甲種道具a件的函數(shù)關(guān)系式，可進行求解．【詳解】（1）解：設(shè)當時，函數(shù)解析式為，則把點代入得：，解得：，∴當時，函數(shù)解析式為，當時，函數(shù)解析式為，則把點，代入得：，解得：，∴當時，；（2）解：設(shè)購進甲種道具件，則購進乙種道具件，由題知，，解得：．當時，；∵，∴隨的增大而減小，則當時，當時，．即：當時，付款總金額最少，最少付款總金額為4990元．此時乙種道具為（件）．答：購進甲種道具85件，購進乙種道具35件，才能使延長歌舞團付款總金額最少．2．雙十二，某網(wǎng)店的“三只松鼠”和“每日堅果”禮盒裝銷售非常火爆，已知用2000元購進“三只松鼠”或“每日堅果”的數(shù)量之比為5∶4，且每盒“每日堅果”的進價比“三只松鼠”進價多10元．(1)請求出每盒“三只松鼠”和“每日堅果”各自的進價；(2)12月初該網(wǎng)點店將“三只松鼠”進價提高50%出售，每天可銷售“三只松鼠”30盒，“每日堅果”售價每盒60元，每天可銷售“每日堅果”40盒，12月中旬后需求量下降，該老板決定在月初售價的基礎(chǔ)上降價促銷以增加銷量，“三只松鼠”打折出售，每天銷量在月初基礎(chǔ)上增加20盒，“每日堅果”降價5元出售，每天銷量在月初基礎(chǔ)上增加25%，若降價后每天利潤比月初每天的利潤多100元，則“三只松鼠”打幾折出售？【答案】(1)每盒“三只松鼠”的進價為40元，則每盒“每日堅果”的進價為50元(2)“三只松鼠”打9.5折出售【分析】本題考查了列分式方程解決實際問題，列一元一次方程解決實際問題，準確理解題意，找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)每盒“三只松鼠”的進價為x元，則每盒“每日堅果”的進價為元，根據(jù)用2000元購進“三只松鼠”或“每日堅果”的數(shù)量之比為5∶4列分式方程，求解即可；（2）設(shè)“三只松鼠”打m折出售，根據(jù)降價后每天利潤比月初每天的利潤多100元，列一元一次方程，求解即可．【詳解】（1）設(shè)每盒“三只松鼠”的進價為x元，則每盒“每日堅果”的進價為元，由題意得，解得，經(jīng)檢驗，時所列方程的解，且符合題意，∴（元），所以，每盒“三只松鼠”的進價為40元，則每盒“每日堅果”的進價為50元；（2）設(shè)“三只松鼠”打m折出售，月初每天的總利潤為：（元），降價后每天的總利潤為：由題意得，解得，所以，“三只松鼠”打9.5折出售．3．安陽是“文字之都”，甲骨文文創(chuàng)產(chǎn)品也日益成為甲骨文文化傳播的使者，增加了人們理解甲骨文文化的途徑．一家文創(chuàng)店某款甲骨文紀念品進價為每件30元．如果以單價60元銷售，每天可賣出20件．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該紀念品的售價每降價1元，日銷售量就會增加2件．設(shè)該紀念品每件降低m元（m為正整數(shù)），日銷量利潤為w元．(1)當m為多少時，日銷售利潤保持不變？(2)當m為多少時，日銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)當m為20時，日銷售利潤保持不變(2)當m為10時，日銷售利潤最大，最大值為800元【分析】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出關(guān)系式，以及熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)總利潤=單件利潤×數(shù)量，列出方程求解即可；（2）根據(jù)總利潤=單件利潤×數(shù)量，列出函數(shù)表達式，再將其化為頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合自變量取值范圍，即可解答．【詳解】（1）解：由題意，得：整理得：，解得：，（舍去）答：當m為20時，日銷售利潤保持不變；（2）解：∵，∴當時，w有最大值800，答：當m為10時，日銷售利潤最大，最大值為800元．押題猜想九二次函數(shù)與幾何圖形綜合壓軸（B25）1．在平面直角坐標系中，設(shè)直線的解析式為：(為常數(shù)且．)，當直線與一條曲線有且只有一個公共點時，我們稱直線與這條曲線“相切”，這個公共點叫做“切點”．(1)求直線：與雙曲線的切點坐標；(2)已知一次函數(shù)，二次函數(shù)，是否存在二次函數(shù)，其圖象經(jīng)過點，使得直線與都相切于同一點?若存在，求出的解析式；若不存在，請說明理由；(3)已知直線，直線是拋物線的兩條切線，當與的交點的縱坐標為4時，試判斷是否為定值，并說明理由．【答案】(1)切點坐標為(2)(3)是定值，【分析】（1）聯(lián)立直線和雙曲線解析式得到關(guān)于的一元二次方程，由相切的定義得出的值，解之可得；（2）聯(lián)立可得切點為，從而得出經(jīng)過點，，利用待定系數(shù)法得出，聯(lián)立，得：，利用得出，，，即可得解；（3）由與的交點的縱坐標為4，可令，則直線，直線，聯(lián)立，得：，由直線是拋物線的切線，可得，同理可得：，從而得出為的兩根，最后由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可得出答案．【詳解】（1）解：聯(lián)立，得：，解得：，切點坐標為；（2）解：直線與二次函數(shù)相切，聯(lián)立，得：，解得：，切點為，與都相切于同一點，經(jīng)過點，，解得：，，聯(lián)立，得：，，解得：，，，的解析式為：；（3）解：是定值，，理由如下：與的交點的縱坐標為4，令，直線，直線，，，直線，直線，聯(lián)立，得：，直線是拋物線的切線，，同理可得：，為的兩根，．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了新定義、二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會構(gòu)建方程組解決問題，屬于中考壓軸題．押題解讀1.二次函數(shù)中的特殊圖形存在性（探究性）問題考查方向有：等腰三角形的存在性問題、直角三角形的的存在性問題、等邊三角形（由等腰三角形衍生）的存在性問題、等腰直角三角形（等腰三角形和直角三角形的結(jié)合體）的存在性問題、平行四邊形的存在性問題、菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等）的存在性問題、矩形（平行四邊形+對角線相等）的存在性問題、正方形（等腰直角三角形）的存在性問題、全等三角形的存在性問題、相似角形的存在性問題等。2.二次函數(shù)與角度綜合問題，常見類型：1）特殊角問題：（1）利用特殊角的三角函數(shù)值找到線段之間的數(shù)量關(guān)系；（2）

遇到特殊角可以構(gòu)造特殊三角形，如遇到45°構(gòu)造等腰直角三角形，遇到30°、60°構(gòu)造等邊三角形，遇到90°構(gòu)造直角三角形。2）角的數(shù)量關(guān)系問題：（1）等角問題：基于動點構(gòu)造某個角使其與特定已知角相等，主要借助特殊圖形的性質(zhì)、全等和相似的性質(zhì)或構(gòu)造圓，利用圓周角性質(zhì)來解決；（2）倍角問題：基于動點構(gòu)造某個角使其等于特定已知角的倍角，主要利用角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、對稱、輔助圓等知識來解答；（3）角的和差問題：角度和為90度等。3.二次函數(shù)與韋達定理：常見于一些二次函數(shù)中的直線過定點、定值、恒成立問題中，該類考法有點類似于高中圓錐曲線的考法。望大家多訓(xùn)練，多總結(jié)方法！1．如圖，直線分別交x軸，y軸于A，C兩點，點B在x軸正半軸上．拋物線過A，B，C三點．(1)求拋物線的解析式；(2)過點B作交y軸于點D，交拋物線于點F．若點P為直線下方拋物線上的一動點，連接交于點E，連接，求的最大值及最大值時點P的坐標；(3)如圖2，將原拋物線進行平移，使其頂點為原點，進而得到新拋物線，直線與新拋物線交于O，G兩點，點H是線段的中點，過H作直線（不與重合）與新拋物線交于R，Q兩點，點R在點Q左側(cè)．直線與直線交于點T，點T是否在某條定直線上？若是，請求出該定直線的解析式，若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)的最大值為2，此時點P的坐標為(3)點T在定直線上，該直線解析式為【分析】（1）由題意易得，然后利用待定系數(shù)法可求解函數(shù)解析式；（2）由（1）可得，則有直線的解析式為，連接，過點P作軸交于點M，設(shè)點，則，則，然后根據(jù)鉛垂法及二次函數(shù)的性質(zhì)可進行求解；（3）由題意可知平移后的二次函數(shù)解析式為，則有，根據(jù)中點坐標公式可得，設(shè)點，然后可得直線的解析式為，直線的解析式為，直線的解析式為，進而可聯(lián)立函數(shù)解析式進行求解．【詳解】（1）解：當時，則有，即；當時，則有；∴，∴，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：由（1）可知拋物線解析式為，當時，則有，解得：，∴，由可設(shè)直線的解析式為，把點代入得：，∴直線的解析式為，∴當時，則有，即，連接，過點P作軸交于點M，如圖所示：設(shè)點，則，∴，∴，∵，∴，∴，∵，開口向下，∴當時，則取得最大值，最大值為2，此時點P的坐標為；（3）解：點T在某條定直線上，理由如下：由題意可知平移后的二次函數(shù)解析式為，則聯(lián)立方程得：，解得：，∴，∵點H是線段的中點，∴根據(jù)中點坐標公式可得：，即，設(shè)點，直線的解析式為，則有：，解得：，∴直線的解析式為，代入點H得：，∴，同理可得直線的解析式為，直線的解析式為，聯(lián)立上述兩個函數(shù)表達式得：，解得：，∴代入直線的解析式得，∴，設(shè)點T在直線，則有：∴，即，整理得：，比較系數(shù)得：，∴當時，無論m、n為何值時，都符合題設(shè)條件，∴點T在定直線上．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、鉛垂法及設(shè)而不求的思想是解題關(guān)鍵．2．如圖1，拋物線與軸相交于點，直線與軸相交于點，與拋物線有公共點．(1)求證：直線與拋物線只有唯一的公共點；(2)過點作軸于點，連接，證明：；(3)如圖2，直線交新拋物線于兩點，連接交軸于點．若，說明直線必過定點，并求此定點的坐標．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)直線恒過定點【分析】（1）聯(lián)立直線和拋物線，得到，求解即可；（2）連接，根據(jù)題意求得點和的坐標，根據(jù)解析式求得兩點坐標，得到線段的長度，從而得到，得到，即可求證；（3）設(shè)，，聯(lián)立直線和拋物線，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和和兩根之積，表示出、的解析式，得到兩點坐標，再根據(jù)，得到的關(guān)系，即可求解．【詳解】（1）證明：聯(lián)立直線和拋物線可得，即解得，即直線與拋物線只有唯一的公共點；（2）證明：連接，如下圖：將代入可得，，即由題意可得，將代入可得，即將代入可得或，即則，，，∴，，即又∵∴，∴∴；（3）解：設(shè)，，聯(lián)立直線和拋物線可得，可得由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，將代入可得解得或即設(shè)直線為，將、代入，解得即，可得，同理可得，∵∴，即可得，化簡可得：，即將代入可得，，即即直線恒過定點．【點睛】此題考查了二次函數(shù)與幾何的綜合，涉及了待定系數(shù)法求解析式，一元二次方程判別式與根的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，因式分解法求解一元二次方程，綜合性比較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的有關(guān)知識，注意計算．3．如圖1，拋物線與軸交于和兩點，與軸交于．(1)直接寫出，，三點的坐標；(2)連接、，點為拋物線上第三象限內(nèi)一動點，且，求點坐標；(3)如圖2，直線交拋物線于、兩點（、不與、重合），直線、分別交軸于點、點，若、兩點的縱坐標分別為，，試探究，與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)點，點，點(2)點(3)【分析】（1）分別，令，代入中即可求解；（2）由（1）點，點，點，得出，得到，進而得到；作點關(guān)于軸的對稱點，連接，得到，推出，求出直線的表達式為：，聯(lián)立方程組：，即可求解；（3）設(shè)點，，則的解析式為：，，同理，得到，然后聯(lián)立：，得，，即可求解．【詳解】（1）解：令，則，解得：，，點，點，令，則，點，點，點，點；（2）由（1）得點，點，點，，，，，，，，，，如圖，作點關(guān)于軸的對稱點，連接，則，，，，，設(shè)直線的表達式為：，將代入得：，直線的表達式為：，聯(lián)立方程組：，解得：或，點在第三象限內(nèi)，點；（3）點、在拋物線上，設(shè)點，，點，的解析式為：，，同理，，聯(lián)立：，整理得：，，，，，與之間的數(shù)量關(guān)系為：．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要涉及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理逆定理、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識點；綜合運用上述知識、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．押題猜想十三角形與四邊形綜合壓軸（B26）1．如圖1，在菱形中，點P是對角線上一點，連接和，在射線上取點E，使得，射線交射線于點Q，設(shè)．(1)如圖2，若，連接，交于點O，求證：；(2)【探究】如圖3，若，，請畫出圖形，并求的值；【歸納】若，的值為______．（用含k、α的表達式表示）【答案】(1)見解析(2)【探究】；【歸納】【分析】對于（1），先說明四邊形是正方形，結(jié)合已知得，再根據(jù)“等邊對等角”得，最后根據(jù)“兩角相等的兩個三角形相似”得出結(jié)論；對于（2），先作出輔助線標注圖形，再證明，接下來表示，并說明，可得，再根據(jù)線段垂直平分線可得，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出，進而得出，再結(jié)合已知條件表示出，最后根據(jù)得出答案．對于【歸納】，根據(jù)（2）可表示，再設(shè)，則，然后根據(jù)，并表示出，根據(jù)可得，再根據(jù)表示，并代入得出答案.【詳解】（1）證明：如圖，∵，則，又∵四邊形是菱形，∴四邊形是正方形，∴.∵，∴.∵P在上，，則，∴.∵，，∴，∴，∴；（2）解：[探究]如圖所示，延長至Q′使得，連接，，過點作交的延長線于點M，作交的延長線于點S，∵，∴.又∵，∴.∵，且四邊形是菱形，∴，∴，∴.∵四邊形是菱形，∴，，，∴，則.∵，∴.∵，∴，∴.∵，∴，.∵P是上的點，垂直平分，∴.又，，.∵，∴，，∴，，過點P作于點T，則，∵，設(shè)，則，∵，，，，．[歸納]同（2）可得，設(shè)，則，∵，.，，.故答案為：．【點睛】本題主要考查了特殊的平行四邊形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)和判定，準確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．押題解讀常見考點：直角、等腰、全等、相似三角形的性質(zhì)與判定；特殊的四邊形的性質(zhì)與判定；勾股定理與逆定理；銳角三角形函數(shù)；三大幾何變換；線段的垂直平分線與角平分線的性質(zhì)等。常見切入點：（1）尋找相關(guān)的基本模型或基本圖形；（2）緊扣不變量，并善于使用前面問題中所用的方法、結(jié)論；（3）不會做，找相似（全等）；有相似（全等），用相似（全等）；（4）在題目中尋找更多的信息，并加以運用。1．李老師善于通過合適的主題整合教學內(nèi)容，幫助同學們用整體的、聯(lián)