2024屆江蘇省鹽城市聯(lián)盟五校高三上學(xué)期第一次學(xué)情調(diào)研檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省鹽城市聯(lián)盟五校2024屆高三上學(xué)期第一次學(xué)情調(diào)研檢測數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一、單項選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，而，所以.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗,則.故選:A.3.已知角是第一象限角，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為角是第一象限角，，所以，，故選：C.4.函數(shù)的部分圖像大致為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗定義域為，關(guān)于原點對稱，，∴函數(shù)是偶函數(shù)，故排除A，C；當(dāng)時，，，∴，故排除B．故選：D．5.若函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則（）A.10 B.4 C.2 D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以函數(shù)是周期函數(shù)，且它的一個周期為4，所以，又當(dāng)時，，所以，故.故選：B.6.已知平面向量，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，得．所以，，所以，，，所以．又，所以與的夾角為．故選：B.7.中，分別是角對邊，且，則的形狀為（）A.直角三角形 B.鈍角三角形C.直角或鈍角三角形 D.銳角三角形〖答案〗B〖解析〗由得，即，因為，所以，則，，，，，又，所以，，所以角為鈍角，為鈍角三角形.故選：B.8.對于實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗已知，由知.故排除BD.由得，，構(gòu)造函數(shù)，是上的增函數(shù)，則由得，即，令，，由得，當(dāng)，則單調(diào)遞減，當(dāng)，則單調(diào)遞增，，則，又，則.故選：C.二、多項選擇題9.下列說法正確的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.“”是“”的必要不充分條件C.若向量，，則，可作為平面向量的一組基底D.已知向量，滿足，且，和的夾角為，則在上的投影向量的坐標(biāo)為〖答案〗BCD〖解析〗對于A，命題“，”的否定是“，”，故A錯誤；對于B，“”不能推出“”，例如，但“”能推出“”，故“”是“”的必要不充分條件，故B正確；對于C，向量，，因，故，可作為平面向量的一組基底，故C正確；對于D，在上的投影向量的坐標(biāo)為：，故D正確.故選：BCD.10.已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（）A.B.不等式的解集是C.D.不等式的解集是或〖答案〗ACD〖解析〗由題意不等式的解集為或，則可知，即A正確；易知，和是方程的兩個實數(shù)根，由韋達(dá)定理可得，則；所以不等式即為，解得，所以B錯誤；易知，所以C正確；不等式即為，也即，解得或，所以D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程為C.函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗ABC〖解析〗，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；由，得，當(dāng)時，，故B正確；由的圖象向左平移個單位長度，得，故C正確．因為，函數(shù)在上不單調(diào)，故D錯誤．故選：ABC．12.已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的定義域也為.若，且為奇函數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A選項：注意到，又是由向左平移1個單位得到的，且注意到為奇函數(shù)，因此的對稱中心為即，因此；故A選項符合題意.對于B選項：令，此時滿足題意，但，故B選項不符題意.對于C選項：因為的對稱中心為，所以，又已知，所以，這表明了關(guān)于直線對稱，即，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則且同時兩邊對求導(dǎo)得；故C選項符合題意.對于D選項：由的對稱中心為，即，兩邊對求導(dǎo)得，結(jié)合C選項分析結(jié)論，可知，所以這表明了的周期為4，因此，注意到，所以；故D選項符合題意.故選：ACD.II卷（非選擇題共90分）三、填空題13.已知向量，且，求實數(shù)_______〖答案〗5〖解析〗∵，∴，故.故〖答案〗為：5.14.已知函數(shù)，則___________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，因此.故〖答案〗為：.15.已知，則______．〖答案〗〖解析〗由，.故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，，對，成立，則的解集為______.〖答案〗〖解析〗依題意，構(gòu)造函數(shù)，則，因為對，成立，所以在單調(diào)遞增，又函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，所以函數(shù)是上的偶函數(shù)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，因為，所以，又，所以當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，，；當(dāng)和時，；綜上，當(dāng)和時，，即的解集為.故〖答案〗為：.四、解答題17.計算求值：（1）；（2）已知，均為銳角，，，求的值．解：（1）（2）∵、都為銳角，∴，又，∴，，∴.18.已知函數(shù)的定義域為A．（1）求集合A；（2）已知集合，，若是的充分不必要條件，求m的取值范圍．解：（1）要使函數(shù)有意義，則，解得．故．（2）是的充分不必要條件，，則集合A是集合B的真子集．則有，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是．19.為宣傳2023年杭州亞運(yùn)會，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙（記為矩形，如圖）上設(shè)計四個等高的宣傳欄（欄面分別為兩個等腰三角形和兩個全等的直角三角形且），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為.為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm（宣傳欄中相鄰兩個三角形板塊間在水平方向上的留空寬度也都是10cm），設(shè).（1）當(dāng)時，求海報紙（矩形）的周長；（2）為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最?。拷猓海?）設(shè)陰影部分直角三角形的高為cm，所以陰影部分的面積，所以，又，故，由圖可知cm，cm.海報紙的周長為cm.故海報紙的周長為900cm.（2）由（1）知，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即cm，cm時等號成立，此時，cm，cm.故選擇矩形的長、寬分別為350cm，140cm的海報紙，可使用紙量最少.20.已知函數(shù)，且．（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）為坐標(biāo)原點，復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為，，求面積的取值范圍．解：（1）∵，即當(dāng)時函數(shù)取到最值，又，其中，∴，代入得，即，解得，∴；（2）由（1）可得：，由復(fù)數(shù)的幾何意義知：，∴，當(dāng)，，即，時，有最大值6；當(dāng)，，即，時，有最小值2；∴.21.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.（1）求角B；（2）若，D為AC的中點，求線段BD長度的取值范圍.（1）解：因為所以，則，即，所以，又，則，所以，即，由，得，所以，所以；（2）解：因為，所以，因為D為AC的中點，所以，則，因為，所以，，則，因為，所以，所以，則，所以，所以22.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，（i）求曲線在點處的切線方程；（ii）求的單調(diào)區(qū)間及在區(qū)間上的最值；（2）若對，恒成立，求a的取值范圍.解：（1）（i）當(dāng)時，，，，，故曲線在點處的切線方程為，即；（ii），，，令，解得，令，解得，當(dāng)時，，又，，其中，故，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；在區(qū)間上的最大值為，最小值為；（2），對，恒成立，變形為對恒成立，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，其中，，當(dāng)時，恒成立，故畫出的圖象如下：其中恒過點，又，故在處的切線方程為，又在上，結(jié)合圖象可得此時在上方，另外由圖象可知當(dāng)?shù)男甭蕿?時，滿足要求，當(dāng)?shù)男甭市∮?時，不合要求，故要想滿足，需要，解得，a的取值范圍是.江蘇省鹽城市聯(lián)盟五校2024屆高三上學(xué)期第一次學(xué)情調(diào)研檢測數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一、單項選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，而，所以.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗,則.故選:A.3.已知角是第一象限角，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為角是第一象限角，，所以，，故選：C.4.函數(shù)的部分圖像大致為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗定義域為，關(guān)于原點對稱，，∴函數(shù)是偶函數(shù)，故排除A，C；當(dāng)時，，，∴，故排除B．故選：D．5.若函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則（）A.10 B.4 C.2 D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以函數(shù)是周期函數(shù)，且它的一個周期為4，所以，又當(dāng)時，，所以，故.故選：B.6.已知平面向量，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，得．所以，，所以，，，所以．又，所以與的夾角為．故選：B.7.中，分別是角對邊，且，則的形狀為（）A.直角三角形 B.鈍角三角形C.直角或鈍角三角形 D.銳角三角形〖答案〗B〖解析〗由得，即，因為，所以，則，，，，，又，所以，，所以角為鈍角，為鈍角三角形.故選：B.8.對于實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗已知，由知.故排除BD.由得，，構(gòu)造函數(shù)，是上的增函數(shù)，則由得，即，令，，由得，當(dāng)，則單調(diào)遞減，當(dāng)，則單調(diào)遞增，，則，又，則.故選：C.二、多項選擇題9.下列說法正確的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.“”是“”的必要不充分條件C.若向量，，則，可作為平面向量的一組基底D.已知向量，滿足，且，和的夾角為，則在上的投影向量的坐標(biāo)為〖答案〗BCD〖解析〗對于A，命題“，”的否定是“，”，故A錯誤；對于B，“”不能推出“”，例如，但“”能推出“”，故“”是“”的必要不充分條件，故B正確；對于C，向量，，因，故，可作為平面向量的一組基底，故C正確；對于D，在上的投影向量的坐標(biāo)為：，故D正確.故選：BCD.10.已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（）A.B.不等式的解集是C.D.不等式的解集是或〖答案〗ACD〖解析〗由題意不等式的解集為或，則可知，即A正確；易知，和是方程的兩個實數(shù)根，由韋達(dá)定理可得，則；所以不等式即為，解得，所以B錯誤；易知，所以C正確；不等式即為，也即，解得或，所以D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程為C.函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗ABC〖解析〗，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；由，得，當(dāng)時，，故B正確；由的圖象向左平移個單位長度，得，故C正確．因為，函數(shù)在上不單調(diào)，故D錯誤．故選：ABC．12.已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的定義域也為.若，且為奇函數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A選項：注意到，又是由向左平移1個單位得到的，且注意到為奇函數(shù)，因此的對稱中心為即，因此；故A選項符合題意.對于B選項：令，此時滿足題意，但，故B選項不符題意.對于C選項：因為的對稱中心為，所以，又已知，所以，這表明了關(guān)于直線對稱，即，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則且同時兩邊對求導(dǎo)得；故C選項符合題意.對于D選項：由的對稱中心為，即，兩邊對求導(dǎo)得，結(jié)合C選項分析結(jié)論，可知，所以這表明了的周期為4，因此，注意到，所以；故D選項符合題意.故選：ACD.II卷（非選擇題共90分）三、填空題13.已知向量，且，求實數(shù)_______〖答案〗5〖解析〗∵，∴，故.故〖答案〗為：5.14.已知函數(shù)，則___________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，因此.故〖答案〗為：.15.已知，則______．〖答案〗〖解析〗由，.故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，，對，成立，則的解集為______.〖答案〗〖解析〗依題意，構(gòu)造函數(shù)，則，因為對，成立，所以在單調(diào)遞增，又函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，所以函數(shù)是上的偶函數(shù)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，因為，所以，又，所以當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，，；當(dāng)和時，；綜上，當(dāng)和時，，即的解集為.故〖答案〗為：.四、解答題17.計算求值：（1）；（2）已知，均為銳角，，，求的值．解：（1）（2）∵、都為銳角，∴，又，∴，，∴.18.已知函數(shù)的定義域為A．（1）求集合A；（2）已知集合，，若是的充分不必要條件，求m的取值范圍．解：（1）要使函數(shù)有意義，則，解得．故．（2）是的充分不必要條件，，則集合A是集合B的真子集．則有，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是．19.為宣傳2023年杭州亞運(yùn)會，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙（記為矩形，如圖）上設(shè)計四個等高的宣傳欄（欄面分別為兩個等腰三角形和兩個全等的直角三角形且），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為.為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm（宣傳欄中相鄰兩個三角形板塊間在水平方向上的留空寬度也都是10cm），設(shè).（1）當(dāng)時，求海報紙（矩形）的周長；（2）為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最?。?？解：（1）設(shè)陰影部分直角三角形的高為cm，所以陰影部分的面積，所以，又，故，由圖可知cm，cm.海報紙的周長為cm.故海報紙的周長為900cm.（2）由（1）知，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即cm，cm時等號成立，此時，cm，cm.故選擇矩形的長、寬分別為350cm，140cm的海報紙，可使