13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑

PAGEPAGE113.4課題學(xué)習(xí)—最短路徑教學(xué)設(shè)計(jì)南寧市第十八中學(xué)程燁學(xué)校地址：南寧市衡陽路北二巷1號參賽組別：初中組一、課題出處及背景本節(jié)課選自新人教版，初中學(xué)段，八年級上冊，數(shù)學(xué)，第十三章軸對稱第四節(jié)課題學(xué)習(xí)，最短路徑，問題1。涉及知識點(diǎn)有兩點(diǎn)之間線段最短或三角形兩邊之和大于第三邊、軸對稱及相關(guān)知識。本節(jié)課體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，化未知為已知，化同側(cè)為異側(cè)，化折線為直線。二、課型新授課（一節(jié)課45分鐘）三、教學(xué)目標(biāo)知識與技能：能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題。過程與方法：給學(xué)生充分的時(shí)間探索，并在探索過程中，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、數(shù)學(xué)歸納能力，分析問題、解決問題的能力。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：在探索最短路徑的過程中，讓學(xué)生感悟轉(zhuǎn)化的思想，獲得成功的體驗(yàn)。四、學(xué)情分析1、學(xué)生特點(diǎn)：本題教學(xué)對象是八年級學(xué)生，此階段學(xué)生的邏輯思維從經(jīng)驗(yàn)型正逐步向理論型發(fā)展，觀察能力、記憶力、想象力、動(dòng)手操作能力和好奇心也隨之迅速發(fā)展，所以在利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段之和最小問題時(shí)，要給學(xué)生足夠的思考、想象、動(dòng)手試驗(yàn)的時(shí)間。2、學(xué)生知識障礙點(diǎn)：學(xué)生對原有的知識“兩點(diǎn)之間線段最短”和“軸對稱”，有理論上的認(rèn)識，實(shí)際應(yīng)用較少出現(xiàn)，而本題出現(xiàn)應(yīng)用軸對稱實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，學(xué)生不易理解，操作上有困難，教師應(yīng)給予簡潔明了、深入淺出的分析。五、重、難點(diǎn)重點(diǎn)：利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題。難點(diǎn)：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段之和最小問題以及如何證明。六、教法設(shè)計(jì)根據(jù)本節(jié)課教材內(nèi)容以及學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和實(shí)際水平，本節(jié)課采取“引導(dǎo)（復(fù)習(xí)回顧）——探究（個(gè)人和小組）——發(fā)現(xiàn)”的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生在探究活動(dòng)中主動(dòng)思考、合作交流，讓學(xué)生參與到課堂中來，真正地實(shí)現(xiàn)學(xué)生是課堂的主體，讓他們感受學(xué)習(xí)的快樂，體驗(yàn)成功的樂趣。七、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出課題（1分鐘）1、用魯迅先生的名言和課件展示的圖片，讓學(xué)生說出其中的數(shù)學(xué)道理，并教育學(xué)生在社會上要做個(gè)有公德心的人。2、講述“將軍飲馬”的故事。設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)情境，吸引學(xué)生注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并引出課題。（二）知識回顧（4分鐘）1、如圖1，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選擇哪條路距離最短？你的理由是什么？2、如圖2，要在河邊修建一個(gè)泵站向村莊引水，在何處修建才能使所用引水管道最短？為什么？圖1圖23、如圖3，要在燃?xì)夤艿繪上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？圖3設(shè)計(jì)意圖：①第1、2題總結(jié)前面所學(xué)知識中有關(guān)于路程最短的知識，第3題是“直線l異側(cè)兩點(diǎn)，與l上的點(diǎn)的線段和最小”，為學(xué)生搭建“腳手架”。②第2、3題是實(shí)際問題，需要先構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，為新課做鋪墊。③在證明“最短”時(shí)，需要在直線上任取一點(diǎn)（與所作的點(diǎn)不重合），證明所連線段和大于所求作的線段和，這種思路和方法，學(xué)生是想不到的，所以在第3題中，任選另一點(diǎn)，讓學(xué)生明顯看出“三角形兩邊之和大于第三邊”，由此得到“最短”的證明，分解新課的難點(diǎn)。（三）講授新課1、問題提出（30秒）如圖1，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？圖12、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型（3分鐘）問題1：這是一個(gè)實(shí)際問題，首先應(yīng)該做什么？師生活動(dòng)：學(xué)生回答——將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線。（板書圖2）圖2問題2：你能用數(shù)學(xué)語言來描述題意嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生回答后總結(jié)，（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地，即A、B兩點(diǎn)為定點(diǎn)；（2）在河邊飲馬的地點(diǎn)不固定，即點(diǎn)C為動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC，路徑為AC+BC；（3）當(dāng)點(diǎn)C在l上的何處時(shí)，可使AC+BC最小。（板書圖3）（幾何畫板動(dòng)畫演示）圖3設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，即將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”。用幾何畫板動(dòng)畫演示，給學(xué)生一個(gè)直觀的感覺。3、難點(diǎn)突破（27分鐘）活動(dòng)一：（1）猜測C點(diǎn)位置,并在學(xué)案中畫出來；（2）量出AC、BC的長度，并求和；（3）小組討論畫圖結(jié)果；師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，畫圖分析，并測量所畫線段AC、BC的長度，并求和。展示學(xué)生作圖情況，最后用幾何畫板動(dòng)畫演示C點(diǎn)變化時(shí)，AC+BC變化情況。聯(lián)想：當(dāng)遇到新問題解決不了時(shí)，我們可以聯(lián)系舊知識，當(dāng)點(diǎn)A、B在直線l異側(cè)時(shí)，點(diǎn)C位置的確定。llABClABlABClABC思考：（1）能否將第一個(gè)圖轉(zhuǎn)化為第二個(gè)圖？（2）構(gòu)造的B′應(yīng)滿足什么要求？（3）點(diǎn)B與B′所連線段與l有什么關(guān)系？（4）此時(shí)，點(diǎn)B′和B與l有怎樣的關(guān)系？師生活動(dòng)：學(xué)生回答：問題（1），能轉(zhuǎn)化；問題（2），構(gòu)造的B′點(diǎn)，要使得BC=B′C；問題（3）滿足了第（2）個(gè)問題的B′點(diǎn)，意味著直線l是點(diǎn)B與B′所連線段的垂直平分線；換句話說，點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于直線l對稱，這也就回答了為問題（4）。于是，連接A、B′，與直線l的交點(diǎn)即為所求。思考：（5）能通過作B的對稱點(diǎn)B′實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，能作A的對稱點(diǎn)A′實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化嗎？（6）作A的對稱點(diǎn)A′找到的點(diǎn)與作B的對稱點(diǎn)B′找到的點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生回答：問題（5）可以；問題（6）是。展示學(xué)生畫圖結(jié)果。課件演示畫圖結(jié)果?；顒?dòng)二：在學(xué)案中，作出正確的圖，并敘述作法。師生活動(dòng)：作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C。設(shè)計(jì)意圖：首先給學(xué)生時(shí)間探究，通過展示直觀的發(fā)現(xiàn)，一些同學(xué)找到的C點(diǎn)并不能使AC+BC最短，再利用幾何畫板動(dòng)畫演示，學(xué)生能找到C點(diǎn)大概的位置，從而激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探究的興趣。其次，利用舊知來啟發(fā)學(xué)生，并通過6個(gè)思考問題，搭建臺階，為學(xué)生再次探究問題提供“腳手架”，將“同側(cè)”難于解決的問題轉(zhuǎn)化為“異側(cè)”容易解決的問題，滲透轉(zhuǎn)化思想。最后，敘述作法，并完善作圖。lABlABCB′C′師生活動(dòng)：師生共同分析，然后完善證明過程。證明：在直線l上任取另一點(diǎn)C′，連接AC′、BC′、B′C′．∵直線l是點(diǎn)B、B′的對稱軸，點(diǎn)C、C′在對稱軸上，∴BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′．在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，∴AC+BC<AC′+B′C′，即AC+BC最小．追問：（1）這里的作用是什么？（2）加橫線的步驟體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答，問題（1）中，起到了作比較的作用，在直線l上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合）與A、B兩點(diǎn)的距離和都大于AC+BC，從而說明了AC+BC最小。問題（2）中劃線步驟是把兩段不在同一直線上的折線，轉(zhuǎn)化為就同一直線上的線段，這是化折線為直線，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步體會作法的正確性，提高邏輯思維能力，并且更直觀的讓學(xué)生體會到轉(zhuǎn)化的思想在此題中的再次應(yīng)用。4、方法過程總結(jié)（4分鐘）問題4：回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么知識解決問題的？師生活動(dòng)：學(xué)生回答，并相互補(bǔ)充。轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化思想設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生在反思的過程中，把握研究問題的基本策略、基本思路和基本方法，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。（四）鞏固練習(xí)（5分鐘）如圖1，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑（如圖2）．圖1圖2圖3P→Q→R→P即為所求。師生活動(dòng)：學(xué)生分析解題思路，并相互補(bǔ)充，然后獨(dú)立完成作圖。步驟為：（1）實(shí)際問題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，點(diǎn)P、Q看成是直線BC同側(cè)的兩定點(diǎn)，并畫出圖（如圖2）；（2）由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ為最短路徑中的必經(jīng)線路；（3）在直線BC上找到一點(diǎn)R，使得PR+QR最短，與“將軍飲馬”一樣，先作點(diǎn)P或是點(diǎn)Q的對稱點(diǎn)，再連接對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的線段，與BC相交的點(diǎn)即為所求。（如圖3）設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固解決最短路徑問題的基本策略和基本方法。（五）布置作業(yè)（30秒）課本93頁，復(fù)習(xí)題13，第15題（六）能力提升如圖，A為馬廄，牧馬人要從馬廄牽出馬，先到草地邊牧馬，再到河邊飲馬，最后回到馬廄.請你幫他確定這一天的最短路線圖1圖2A→N→M→A即為所求。設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生解決“最短路徑問題”的能力。（如圖2）八、教學(xué)反思數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的知識內(nèi)容和所使用方法的本質(zhì)的認(rèn)識，它是形成數(shù)學(xué)意識和數(shù)學(xué)能力的橋梁，是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)方法解決有關(guān)問題的靈魂，在初中階段，轉(zhuǎn)化思想不僅是眾多數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)，更是解決實(shí)際問題的金鑰匙。本節(jié)課始終體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想的作用和價(jià)值。首先是將實(shí)際問題中的“A地”“B地”“河”等抽象為數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”和“線”，這是將實(shí)際問題