新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)5 .2 三角函數(shù)的概念

5.2三角函數(shù)的概念

5.2.1三角函數(shù)的概念

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義2掌握任意角三角

函數(shù)（正弦、余弦、正切）在各象限的符號(hào)3會(huì)利用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)求角的正弦、余弦、

正切4掌握公式并會(huì)應(yīng)用.

知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)基?礎(chǔ)

-------------------------------------------------------------------N--------------------

知識(shí)點(diǎn)一任意角的三角函數(shù)的定義

設(shè)a是一個(gè)任意角，aGR,它的終邊。尸與單位圓相交于點(diǎn)尸（x,y）,

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)上叫做a的正弦函數(shù)，記作sina,即sina=1；點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)工叫做a的余弦

函數(shù)，記作cosa,即cosa=g；把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值即U做a的正切，記作tana,

即tana=*xW0).

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，分別記為：

正弦函數(shù)〉=$111方xGR；

余弦函數(shù)），=85彳，XGR;

正切函數(shù)丫=1211*,

思考三角函數(shù)值的大小與點(diǎn)P在角a終邊上位置是否有關(guān)？

答案三角函數(shù)值是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的大小與點(diǎn)P在終邊上的位置無關(guān)，只與角a的

終邊位置有關(guān)，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān).

知識(shí)點(diǎn)二正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)

1.圖示：

sina

2.口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.

知識(shí)點(diǎn)三公式一

sin(a+2k7t)=sina,

cos(a+2hr)=cosa,

tan(a+2E)=tana,

其中kQZ.

終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相笠.

思考同一三角函數(shù)值相等時(shí)，角是否一定相等或相差周角的整數(shù)倍？

答案不一定，如sin30°=sin150。=/

?思考辨析判斷正誤

1.sina表示sin與a的乘積.(X)

2.設(shè)角a終邊上的點(diǎn)P(x,y),廠=|OP|WO,則sin且y越大，sina的值越大.(義)

3.終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.(V)

4.終邊落在y軸上的角的正切函數(shù)值為0.(X)

題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升

-------------------------------------------------------------------1--------------------

一、任意角三角函數(shù)的定義及應(yīng)用

例1(1)已知角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(|,力。，＜0),則tana=.

答案甘4

解析因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上，則卷+V=1，

44

所以\=_予所以tana=_Q.

(2)已知角心的終邊落在射線y=2/(x20)上，求sina,cosa的值.

解設(shè)射線y=2r(x20)上任一點(diǎn)P(xo,州)，

則|。尸|=)=、%+%,

***yo=2Xo,:.r=yj5xo,

??_VO_2A/5_X()_A/5

??sina——,cosoc——二.

r5cr5

延伸探究

1.若將本例(1)中條件“a的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(|,y)0(0)”改為“a的終邊經(jīng)過點(diǎn)

P(—3,—4)”，求角a的正弦、余弦和正切值.

解由已知可得|。P=7(-3A+(-4)2=5.

如圖所示，設(shè)角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)Po(x,y).

分別過點(diǎn)P,Po作x軸的垂線PM,PoMo,

則|MP|=4,|M)Po|=-y,

|OM=3,|OMo|=-x,

△OMPs^OMoPo,

于是，sina=y=1IM島IT〃P|

\OPo\"\OP\

x_|OMo|~\OM\3

cos=;

a=x=[=~\OP(}\\OP\5

ysina4

tana===7,

xcosa3

2.若將本例(2)中條件“a的終邊落在射線y=2x(x2O)上“，換為"a的終邊落在直線)=2%

上”，其結(jié)論又如何呢？

解(1)若a的終邊在第一象限內(nèi),

設(shè)點(diǎn)P(a,2a)(a＞0)是其終邊上任意一點(diǎn),

因?yàn)閞=|OP|=/2+4/=小a

y2a2小xaA/5

所以sin

°〒宣=5，c°s『；=b5.

(2)若a的終邊在第三象限內(nèi),

設(shè)點(diǎn)P(a,2a)(。＜0)是其終邊上任意一點(diǎn),

因?yàn)閞=\OP\=y]a2+4a2=—y[5a[a<0),

所以sina=＞考2^5x亞

cosa=;

5，—y[5a5?

反思感悟利用三角函數(shù)的定義求值的策略

(1)已知角a的終邊在直線上求a的三角函數(shù)值時(shí)，常用的解題方法有以下兩種:

①先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角函數(shù)的定義求出相應(yīng)的三角函數(shù)值.

②注意到角的終邊為直線，所以應(yīng)分兩種情況來處理，取射線上任一點(diǎn)坐標(biāo)(a,b)(a#O),則

ba,正切值tana=5.

對(duì)應(yīng)角的正弦值sina=,余弦值cosa=

7a2+扶y]a2+b2

(2)當(dāng)角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)的形式給出時(shí)，要根據(jù)問題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.

跟蹤訓(xùn)練1已知角a的終邊過點(diǎn)P(-3a,4a)(aW0),則2sin?+cosa=

答案1或一1

解析因?yàn)閞=q(-3a)2+(4a)2=5|a|,

①若”>0,則r=5a,角a在第二象限.

y4。4x—3。3

sina=cosa=~=~^-

r~5a~5"「5a

所以2sina+cos0=5—；=1.

②若a<0,則r=-5m角a在第四象限,

4。4—3a3

sina=——=—7,cosa——~=7.

—5aJ—5aJ

所以2sina+cosa=—g+；=-1.

二、三角函數(shù)值符號(hào)的運(yùn)用

例2(1)已知點(diǎn)？?jī)z116{,85編在第四象限，則角a的終邊在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

(2)下列各式：

①sin(-100°)；②cos(—220°)；③tan(-10)；④cos兀.

其中符號(hào)為負(fù)的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

答案(1)C(2)D

[tana>0,

解析(1)因?yàn)辄c(diǎn)p在第四象限，所以有

[cos?<0,

由此可判斷角a的終邊在第三象限.

(2)—100。在第三象限,故sin(—100。)<0；—220。在第二象限，故cos(—220。)<0；

一106(一%，一3兀)，在第二象限，故tan(-IO)<O,cosn=-l<0.

反思感悟判斷三角函數(shù)值正負(fù)的兩個(gè)步躲

(1)定象限：確定角a所在的象限.

(2)定符號(hào)：利用三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律，即''一全正，二正弦，三正切，四余弦”來判斷.

跟蹤訓(xùn)練2已知點(diǎn);>6出如(：0$公在第三象限，則角a的終邊在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案C

三、公式一的應(yīng)用

例3計(jì)算下列各式的值：

(l)sin(-l395°)cos1HO°+cos(-l020°)sin750°；

八、.(HKV12兀，

(2)sml?cos-^tan4n.

解(1)原式

=sin(-4X360。+45°)cos(3X360。+30°)+cos(-3X360°+60°)sin(2X360°+30°)

=sin45°cos300+cos60°sin30°

^2^3,ll^6

-=2X2+2Xx2-=4十4-4.

(2)原式=sin(—2n+5)+cos(2兀+卷)tan(47t+0)=sin*+cos?X0=g.

反思感悟利用誘導(dǎo)公式一求解任意角的三角函數(shù)的步驟

跟蹤訓(xùn)練3（1）8$405。的值是（）

答案C

解析cos405°=cos(45°+360°)=cos45°=

257t,(15叫

(2)sin亍+tan(F=

答案/+1

sin號(hào)+tan(|一號(hào)=sin(j+8兀)+tan(；-4兀)=7C.兀Al

解析=smz-rtan不2?上?

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

「--------------------------------------------------------------------------N----------------------

1.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)（一4,3）,則cosa等于（）

A4c3「3n4

A.gB.gC.—D.一§

答案D

2.如(一315。)的值是()

A.一坐B.-1C.乎D.g

答案C

解析sin(-315o)=sin(-360o+45°)=sin45。=拳

3.若sin夕cos0>0,貝U9在()

A.第一或第四象限B.第一或第三象限

C.第一或第二象限D(zhuǎn).第二或第四象限

答案B

解析因?yàn)閟in0-cos仍>0,

所以sin9<0,cos夕<0或sinGO,cos0>0,

所以。在第一象限或第三象限.

5.y=sinx+tanx的定義域?yàn)?/p>

答案卜卜#方+航，k《z-

產(chǎn)R,

解析要使函數(shù)有意義，需滿足珞+也，舊,

函數(shù)的定義域?yàn)椴凡?彳+航，kU

■課堂小結(jié)

1.知識(shí)清單：

(1)三角函數(shù)的定義及求法；

(2)三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)；

(3)公式一.

2.方法歸納：負(fù)角化為正角、大角化為小角的化歸思想；角的終邊位置上點(diǎn)的不確定引起的

分類討論思想.

3.常見誤區(qū)：三角函數(shù)值的大小只與角的大小有關(guān)，與終邊上的點(diǎn)無關(guān)；正切函數(shù)的定義域

為I，卜考+伍kGZp

課時(shí)對(duì)點(diǎn)練注重雙底強(qiáng)化落實(shí)

g基礎(chǔ)鞏固

1.已知角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)（一坐，一；），則sina的值為（）

A.一坐B.一；C.坐D.；

答案B

2.若cosa=一半，且角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（x,2）,則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)彳是（）

A.2小B.±2小C.-2^2D.一2小

答案D

解析因?yàn)閏osa=—坐<0,所以x<0,

又/?=4?轉(zhuǎn)，由題意得右看=一坐，

所以x=-2，I故選D.

3.有下列命題，其中正確的個(gè)數(shù)是（）

①終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等；

②同名三角函數(shù)值相等的角也相等；

③終邊不相同，它們的同名三角函數(shù)值一定不相等；

④不相等的角，同名三角函數(shù)值也不相等.

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析對(duì)于①，由誘導(dǎo)公式一可得正確；

對(duì)于②，由sin30°=sin150°=）

但30。4150。，所以②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，如a=60。，夕=120。的終邊不相同,

但sin60°=sin120°=坐,所以③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，由③中的例子可知④錯(cuò)誤.

4.代數(shù)式sin（—330°）cos390°的值為（）

答案B

解析由誘導(dǎo)公式可得，

sin(-330°)cos390°=sin30°Xcos300

5.函數(shù)y=3sinx+y/—cosx的定義域是（）

A.（2E,2%兀+兀），kGZ

B.2E+5,2E+兀,1￡Z

兀

C.E+/,kit-Yit,k￡Z

D.[2E,2E+?c],1WZ

答案B

解析由sinx^O,—cosx^O,

得x為第二象限角或y軸正半軸上的角或x軸負(fù)半軸上的角，

JT

所以2E+2〈xW2E+兀，攵￡Z.

6.若420。角的終邊所在直線上有一點(diǎn)（一4,ci）,則。的值為

答案一4小

解析由三角函數(shù)定義知，tan420。=一*

又tan420°=tan（360°+60°）=tan60。=小，

；.一a=小，.*.a=-4-\/3.

7.點(diǎn)P（tan2019。，cos2019。）位于第象限.

答案四

解析因?yàn)?019°=5X360°+219°,

所以2019。與219。終邊相同，是第三象限角，

所以tan2019°>0,cos2019°<0,

所以點(diǎn)尸位于第四象限.

8.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)（3〃-9,a+2）,且cosaWO,sin?>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

考點(diǎn)三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)

題點(diǎn)三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)

答案（-2,3]

解析由cosa^0,sina>0可知，角a的終邊落在第二象限內(nèi)或y軸的正半軸上，所以

3o—9W0,

解得一2<aW3.

〃+2>0,

9.已知角a的終邊過點(diǎn)尸（12,a）,且tana=^,求sina+cosQ的值.

解根據(jù)三角函數(shù)的定義，tana=的=K，

所以〃=5,所以P(12,5).這時(shí)r=13,

51217

所以sina=石，cos從而sina+cos

10.化簡(jiǎn)下列各式：

75TI

(l)sin/TI+COSs兀+cos(—5兀)+tan不

(2)a2sin810°-/?2cos900°+2^tan1125°.

371

解⑴原式=sin1兀+cosg+cosn+l

=-1+0—1+1=—1.

(2)原式=/sin90。一/cos180°+2a/?tan45°

=a2+Z>2+2ab=(a+b)2.

牙綜合運(yùn)用

11.如果點(diǎn)P（sin8+cosasinHeos。）位于第二象限，那么角。所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案C

sin0+cos0<0,

解析???P點(diǎn)位于第二象限,

sin0-cos0>0,

貝！I有sin0<0且cosG<0,

...角J位于第三象限.

12.某點(diǎn)從點(diǎn)（1,0）出發(fā)，沿單位圓/+9=1按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)竽弧長到達(dá)。點(diǎn)，則。點(diǎn)的

坐標(biāo)為（）

A.（_/坐）B.（一哈一§

C.（T-乎）D.（一坐,

答案A

解析由三角函數(shù)定義可得/co號(hào)，siny）,

2n1.27ts

cos-y=—2?sin,y=?

13.如果cosx=|cosx|,那么角x的取值氾圍是.

7ETT

答案［2也一》2E+升kQZ

解析因?yàn)閏osx=|cosx|,所以cosxNO,所以角x的終邊落在y軸或其右側(cè)