高中數(shù)學第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓練題 (19)(含答案解析)

第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓練題（19）

一、單項選擇題（本大題共15小題，共75.0分）

1.在44BC中，4B=2y[n,AC=2后,BC=+AC=12,E,尸,G分別為4B,BC,4c三邊中點,

將4BE尸,A4EG,/GCF分別沿EF,EG,GF向上折起，使4,B,C重合，記為S,則三棱錐S-EFG的

外接球表面積的最小值為（）

a

A.-nB.16TTC.187rD.36兀

2.在三棱錐P—ABC中，PA1底面ABC,AB1AC,AB=6,AC=8,。是線段4c上一點，且AD=

3DC,三棱錐P-ABC的各個頂點都在球。表面上，過點。作球。的截面，若所得截面圓的面積

的最大值與最小值之差為16兀，則球。的表面積為（）

A.72兀B.867rC.112nD.1287r

3.在正方體4BCD-&B1GD1中，E,尸分別為棱A8,8c的中點，過點。「E,尸作該正方體的

截面，截面將正方體分成兩部分，則較小部分與較大部分的體積的比值為（）

4.在正方體48。。-4當6。1中，球名同時與以A為公共頂點的三個面相切，球。2同時與以G為

公共頂點的三個面相切，且兩球相切于點F.若以尸為焦點，4當為準線的拋物線經(jīng)過01、02,

設球為、。2的半徑分別為「1、萬，則斌的值為（）

A.V3-V2B.2-V3C.1-yD.

5.在四面體ABC。中，AB=CD=2,AC=BD=再，AD=BC=V7.E，/分別是AD,BC的中

點，若用一個與直線EF垂直，且與四面體的每個面都相交的平面a去截該四面體，由此得到一

個多邊形截面，則該多邊形截面面積的最大值為（）

A.迥B.V3C.逋D.這

444

6.如圖，四邊形A8C。為正方形，四邊形EFBO為矩形，且平面4BC。

與平面EFBD互相垂直.若多面體ABCDEF的體積為延，則該多面體

3

外接球表面積的最小值為（）

A.67r

B.87r

C.12TT

D.16TT

7.設正方體43。。-4/。1。1內(nèi)部有兩個球。1和。2，已知球Oi與正方體的三個面相切，球內(nèi)與正

方體的六個面均相切，且球01與球。2也相切.設球。1，。2的半徑分別為「，2，則￡=（）

A.V3-V2B.2-V3C.亨D1-T

8.已知某幾何體的三視圖如圖所示，網(wǎng)格中小正方形的邊長為1,則該兒

何體的體積為（）

A.8-兀

2

B.8-F

C.8-2兀

4

D.8-y

9.己知正方體4BC0-公當?shù)摹?的棱長為4,E為SB1的中點，尸為線段。內(nèi)上靠近劣的四等分點,

平面4EF交CCi于點G,則四邊形&EGF的面積為（）

A.2A/65B.10V3C.4VnD.2V2T

10.四面體ABC。的外接球球心在CO上，且CD=2,AB=?當力B_LCD時，四面體4BCO的

體積為（）.

A.立B.在C.iD.在

6644

11.一個棱柱是正四棱柱的條件是（）

A.底面是正方形，有兩個側面是矩形

B.底面是正方形，有兩個側面垂直于底面

C.底面是菱形，且有一個頂點處的三條棱兩兩垂直

D.每個側面都是全等矩形的四棱柱

12.在棱長為1的正方體4BCD-4B1GD1中，點P在側面BCG當上運

動.若點P到點4的距離為紅金則動點P的軌跡在正方形BCG/內(nèi)

3

的一段曲線長為（）

A67r

?3

B2x/3;r

,3

C4\/3n

.3

D.回

6

13.如圖：AABC^,ABIBC,AACB=60°,。為AC中點，448。沿BZ）邊翻折過程中，直線

AB與直線BC所成的最大角，最小角分別記為曲,由，直線AO與直線8C所成的最大角，最小

角分別記為。2，仇，則有

A.a1<?2?61—02B.的<a2,Pi>仇

C.%>oc2,Pi<02D.劭>C?2,Pl>p2

14.如圖甲，在△ABC中，AB=BC=2,AABC=120°,。為AC的中點，E為AB上一點，且滿

足歷?而=0,將AADE沿。E翻折得到直二面角A-DE-B,連接AC,F是4c的中點，連

接8F,BD,DF（如圖乙所示），則下列結論正確的是（）

A.AD1BD

B.ADE

C.DA與平面A8E所成角的正切值是舊

D.三棱錐"FDC的體積為卷

15.古希臘著名數(shù)學家歐幾里德在《幾何原本）一書中定義了圓錐與直角圓錐這兩個概念：固定直

角三角形的一條直角邊，旋轉直角三角形到開始位置，所形成的圖形稱為圓錐；如果固定的直

角邊等于另一直角邊時，所形成的圓錐稱為直角圓錐，則直角圓錐的側面展開圖（為一扇形）的

圓心角的大小為（）

71

AA.-CB.-37T

C.V27TD.與直角圓錐的母線長有關

二、多項選擇題（本大題共2小題，共8.0分）

16.向體積為1的正方體密閉容器內(nèi)注入體積為x（0<x<1）的液體，旋轉容器，下列說法正確的是

A.當時，容器被液面分割而成的兩個幾何體完全相同

B.Vx6（0,1）.液面都可以成正三角形形狀

當液面與正方體的某條對角線垂直時，液面面積的最大值為

C.4

D.當液面恰好經(jīng)過正方體的某條對角線時，液面邊界周長的最小值為2通

17.對于四面體4-BCD,以下命題中正確的命題是（）

A.若4B=AC=4。，則A8,AC,A￡>與底面所成的角相等

B.若ACLBD,則點A在底面△BCD內(nèi)的射影是的內(nèi)心

C.四面體4-BCD的四個面中最多有四個直角三角形

D.若四面體4-BCD的6條棱長都為1,則它的內(nèi)切球的表面積為？

三、填空題（本大題共9小題，共45.（）分）

18.在四面體ABCD中，若A0=0C=4C=CB=l,則當四面體A8CD的體積最大時，其外接球

的表面積為.

19.在各棱長均為2的正三棱柱ABC-4B1C1中，點P在棱A&上運動，。在底面A8C上運動，|PQ|=

V2,R為PQ的中點，則動點R的軌跡所形成的曲面的面積為.

20.在AABC中，AC=2,BC=3,AC1BC,。為8c邊上的一點，將△4C0折疊至A4加。的位

置，使點G在平面AB力外，且點G在平面ABO上的射影E在線段48上，設4E=x,則x的取

值范圍為.

Cl

D

21.在仇章算術》中，將底面為直角三角形，側棱垂直于底面的三棱柱

稱之為塹堵，如圖，在塹堵ABC-aB1G中，AB=BC,AAA>AB,

塹堵的頂點G到直線&C的距離為m,G到平面&BC的距離為n,則胃的

取值范圍是.

22.如圖（1）是數(shù)學家GeminalDandelin用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型（稱

為“。的de/沅雙球”）；在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側面、截面相

切，設圖中球。1,球。2的半徑分別為3和1.球心距離|。1。2|=8,截面分別與球01，球外切

于E,尸（瓦尸是截口橢圓的焦點），則此橢圓的離心率為

23.如圖，在四面體A8C。中，E、F分別是AB、CD的中點，G、4分別是2C和AO上的動點,

且EH與G尸相交于點K.下列判斷中：

①直線B。經(jīng)過點K-.

@^EIEFC=S團EFH；

③E、F、G、H四點共面，且該平面把四面體ABC。的體積分為相等的兩部分.

所有正確的序號為.

24.在長方體ABCC-4$修1。1中，AD=DDr=1,AB=百，E,吃G分別是棱AB,BC,CC1的中點，

P是底面ABCO內(nèi)一動點，若直線&P與平面EFG沒有公共點，則三角形尸8名面積的最小值為

25.我國南北朝時期的數(shù)學家祖昭(杰出數(shù)學家祖沖之的兒子)，提出了計算體積的祖隨原理：“募

勢既同，則積不容異.”意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，

則這兩個幾何體的體積相等.已知曲線C：y=x2,直線/為曲線C在點(1,1)處的切線.如圖

所示，陰影部分為曲線C、直線/以及x軸所圍成的平面圖形，記該平面圖形繞y軸旋轉一周所

得的幾何體為2過(0,y)(0<y<1)作。的水平截面，所得截面面積S=(用y表示)；試借

助一個圓錐，并利用祖隨原理，得出0體積為.

26.在正三棱錐P-ABC中，PA=2,AB=2近,則P一ABC外接球的半徑為；過棱PA中

點M的平面截外接球所得截面面積的范圍為.

四、解答題(本大題共4小題，共48.0分)

27.如圖，在四棱柱4800-4/165中，底面ABC。是邊長為2的菱形，ABr=CBr.

(1)證明：平面8。2為，平面4BCC；

(2)若=60。，ADBiB是等邊三角形，求點名到平面C/D的距離.

28.如圖所示，在直三棱柱ABC-4出6中，底面是等腰直角三角形，乙4cB=90。，側棱=

2.CA=2,。溟CC］的中點，試問在線段上是否存在一點E(不與端點重合)使得點必到平面

AED的距離為乎?

29.如圖，已知正四棱柱ABCD-4出加。1底面邊長AB=2,側棱=3,M為側棱CC1的中

(1)求證：801AM；

(2)求證：4傳1〃平面當。”：

(3)求三棱錐兒-&DM的體積.

30.如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱臺形玻璃容器□的高均為32cs,容器I的底

面對角線AC的長為10V7cm，容器II的兩底面對角線EG,E6的長分別為和62cm.分別

在容器I和容器口中注入水，水深均為12cm.現(xiàn)有一根玻璃棒/,其長度為40cm.(容器厚度、玻

璃棒粗細均忽略不計)

(1)將/放在容器I中，/的一端置于點A處，另一端置于側棱CCi上，求/浸入水中部分的長

度;

(2)將/放在容器n中，/的一端置于點E處，另一端置于側棱GG1上，求/浸入水中部分的長

度.

【答案與解析】

1.答案：B

解析：

本題考查常用不等式的應用以及球的表面積的求解，同時考查立體幾何中的補形問題，屬中檔題.

將三棱錐補形成長方體，可得三棱錐S-EFG的外接球的直徑的平方為7+等，進而可得7+等2

16,即可三棱錐S—EFG的外接球面積最小值.

解：根據(jù)題意，三棱錐S-EFG的對棱分別相等，將三棱錐S-EFG補成長方體，則對角線分別為

Vn,Vm,VT4,

設長方體的長寬高分別為%,%z,則/+V="，y2+z2=14,x24-z2=m,

所以/+y2+z2=7+*

所以三棱錐S-EFG的外接球的直徑的平方為7+等，

而標+返=6,等之(叱后)=9,當爪=n=9時取等號，

所以7+等216,

所以三棱錐S-EFG的外接球面積最小為167r.

故選B.

2.答案：C

解析：解：將三棱錐補成知三棱柱，且三棱錐的外接球與三棱柱的外接球都是球。,設三角形48c的

中心為0',

設外接球的半徑為七球心。到平面ABC的距離為x,即。O'=》,連接02,則0'4=5,.-.R2=r2+25,

在三角形ABC中，取AC的中點E,連接。'。，O'E,則O'E=(AB=3

O'D=713，

在RtA。。'。中，0D=7T2+13,由題意得當截面與直線。。垂直時，

截面面積最小，

設此時截面半徑為r,則/=R2-0D2=x2+25-(x2+13)=12,

B

所以截面圓的面積為兀/=1271,

當截面過球心時，截面圓的面積最大為兀/?2,...兀R2-12兀=16兀，

所以R2=28,

所以表面積S=4TTR2=112兀，

故選：C.

由題意一條側棱垂直于底面，補成三棱柱，若所得截面圓的面積的最小值時截面與垂直，所得

截面圓的面積最大值時過球心，分別求出兩種情況的半徑，進而求出面積的和，求出球的半徑，進

而求出表面積.

本題考查球的表面積的求法，考查三棱錐的外接球與棱長的關系即球的表面積公式等基礎知識，考

查運算求解能力，是中檔題.

3.答案：D

解析：

本題考查了立體幾何的截面及體積問題，考查空間想象能力，屬于較難題.

設正方體力BCD—4B1GD1的棱長為6,則其體積為216,延長交DA的延長線于點K,連接KE,

延長。1N交。C的延長線于點連接FL,分別求出力「Da，VM-AKE＞進而求出較小部分與較大部

分的體積，從而求出答案.

解：如圖，可以作出截面DiMEFN,設正方體4BCD—的棱長為6,則其體積為216,

延長。交D4的延長線于點K,連接KE,延長￡)iN交0c的延長線于點3連接FL

因為E,尸分別為棱A8,BC的中點，M,N分別為兩棱的三等分點，

所以4K=CL=3,AM=CN=2,

所以，DI-DKL=孑X6X（5X9X9）=81,^M-AKE=VN-CFL=&X2XQX3X3）=3,

所以正方體被截面分成兩部分，其中一部分的體積為81-6=75,另外一部分的體積為216-75=

141,

所以較小部分與較大部分的體積的比值為工=符.

14147

故選。.

4.答案：B

解析：

本題考查拋物線的定義，內(nèi)切球問題，考查空間想象能力、推理能力和計算能力，屬于較難題.

由題意，兩個球的球心。「外和兩球的切點產(chǎn)均在正方體-48修［￡)1的體對角線4G上，作

出圖示，得到O2F=T2=1，4。2=牛=百，所以力尸=4。2—。2尸=遮一1，結合4F=A0i+

。1尸=百廠1+「1，可解得6，從而求出會

解：由題意，根據(jù)拋物線的定義，點。2到點F的距離與到直線AB1的距離相等，其中點。2到點尸的

距離即半徑「2，

也即點。2到平面CDD?的距離，點。2到直線4B1的距離即點。2到平面的距離，

因此球。2內(nèi)切于正方體，不妨設「2=1,兩個球心。1，。2和兩球的切點尸均在體對角線4C1上，

兩個球在平面4殳(?1。處的截面如圖所示，

4Ks-------\

二?一

則02F=r2=1,AO2=等=1所以AF=4。2-。2/=次一1，

7因此+l)q=V3—1,解得r1=2—V3,

又A/=AOr+0、F=W丫1+,

咤=2-△

故選B.

5.答案：B

解析：

本題考查了補形法的應用，二倍角公式及三角形面積公式，基本不等式的應用，屬于較難題.

補成長，寬，高分別為2,6,1的長方體，在長方體中可解決.

解：補成長，寬，高分別為2,6,1的長方體(如下圖)

由于EF1a,故截面為平行四邊形MNKL,可得KZ,+KN=<7,

設異面直線BC與4。所成的角為。，則sin。=sin/LHFB=sin上LKN,

算得sin。=sin24HCB=2shi乙HCBcos乙HCB=—，

7

???S四邊形MNKL=NK-KL.S5「NKL<竽(^)2=百,

當且僅當NK=KL時取等號.

故選：B.

6.答案：A

解析：

本題考查幾何體的棱長與外接球的半徑之間的關系，和均值不等式的應用，及球的表面積公式，屬

于較難題.

由題意可得AC1面EFBD,可得以BCDEF=VC-EFBD+VA-EFBD=2VA_EFBD,再由多面體ABCOE/的

體積為延，計算求出外接球的半徑，再由均值不等式可得外接球的半徑的最小值，進而求出外接球

3

的表面積的最小值.

解：設正方形ABC。的邊長為m矩形BDEF的高為b,

因為正方形A5CD,所以4。180,設4。仆80=。'，

由因為平面A8CQ與平面EF8O互相垂直，ACc?ABCD,平面4BCDn平面EFBD=BD,

所以4CL面￡F3￡),

所以匕BCDEF=^C-EFBD+^A-EFBD

1,

=^A-EFBD=2*JEFBD'。。

=--y[2a-b--a=-a2b^

323

由題意可得以B8EF=竽，

所以a2b=2或；所以Q2=W^,

b

矩形EFBO的對角線的交點O,連接。O',可得OO'LBD,而。O'u面EFBD,

而平面ABC。1平面EFBD,平面/BCDn平面EFBD=BD,

所以。O'J■面EFBQ,

可得。4=OB=OE=OF都為外接球的半徑R,

所以R2=?)2+(￥a)2=?+?

b20b2a近

-----+------=----+-----+-----

4b42b2b

>3任.紇在=三，

—\42b2b2

當且僅當6=a時取等，

所以外接球的表面積為S=47TR224兀?|=6兀，

所以外接球的表面積最小值為67T.

故選A.

7.答案：B

解析:

本題考查正方體與球相切的問題，屬于中檔題.

根據(jù)正方體與球相切畫出截面圖，利用正方體體對角線和球半徑的關系即可求解.

解：不妨設正方體的棱長為2,球名同時與以A為公共頂點的三個面相切，

由題可知，兩個球心01，。2和兩球的切點均在體對角線AC1上，兩個球在平面處的截面,

如圖所示，則。2尸=萬=1,4。2="=百，

所以4F=AO2-O2F=

又因為4F=A0r+0rF=y/3rr+rx,

所以（百+l）r2=V3—1>解得r[=2—V3.

所以F=2一遮.

?2

故選B.

8.答案：B

解析：

本題考查的知識點是由三視圖，求體積，是基礎題.

由三視圖可知，此幾何體為一個正方體挖去一個以2為半徑的圓錐的四分之一，即可求出其體積.

解：由三視圖可知：此幾何體為一個邊長為2的正方體挖去一個以2為半徑，高為2的圓錐的四分

之一，

11o

V=>^----X-X22X7T=8--7T.

433

故選民

9.答案：C

解析:

本題主要考查點、直線、平面的位置關系等知識，考查考生的空間想象能力，考查的核心素養(yǎng)是邏

輯推理，屬于較難題.

首先確定點G的位置，然后判斷出四邊形的形狀，最后求解.

解：如圖，在SB】上取一點T,使得B7=1.因為F為線段上靠近5的四等分點，所以2F=1,

連接CT,則&F=CT=V42+1=V17,

22

因為E為BBi的中點，所以Br=7E=l,ArE=<4+2=2V5.

連接&T,FC,由平面平行的性質定理可知四邊形&FC7為平行四邊形，

故C77/A1F,同理在CG上取一點G',使得CG'=1,

連接EG',FG',貝IJ有C77/G'E〃4F,EG，=CT=A#=E，

故EG'與4F共面，即G'與G重合，且四邊形&EGF為平行四邊形.

取。4的中點K,連接EK,則EK=BD="+42=4位,

在RtAFEK中，EF=J(4V2)2+1=V33>

在中，cos血1尸=2*2后舊=礴=后

sinz.E/l1F=

故四邊形為EGF的面積為2x|x2V5xV17x^=4向,

故選C.

10.答案：A

解析：

本題考查球的內(nèi)接多面體，棱錐的體積，涉及線面垂直的判定，屬于基礎題.

連接。A,OB,取A8中點M,先證得4B1平面CQM,進一步證明CD_L平面AO8,以。48為底面

的兩個三棱錐的體積和即為所求.

解：由已知可得當4B1CD時，

取AB中點M,???0A=0B,OMLAB,

又TC014B,CDCiOM=0,CD,OMu平面COM,

AB1平面CDM,DM,CMu平面CDM,

AB1DM,AB1CM,

又：M為AB中點，

???AD=DB,AC=CB,

又「四面體ABCD的外接球球心在C￡＞上，

.??球心。為CO中點，

0A1CD,OB1CD,

又???40,BO是平面0A3中的兩條相交直線，

???CD1平面AOB.

四面體4BCD的體積為

11

^A-BCD=3'S-OB?0C+鼠SMOB'0D,

又?.?外接球的直徑CD=2,AOA=OB=1,

又丁AB=V3?BM=—，***OM—

2/

匕-BCD=g,SAAOB,CD=/.*2=*

故選A.

11.答案：C

解析：解：上、下底面都是正方形，且側棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱.

故A和8錯在有可能是斜棱柱，

D錯在上下底面有可能不是正方形，

底面是菱形，且有一個頂點處的三條棱兩兩垂直能保證上、下底面都是正方形，且側棱垂直于底面.

故選C.

上、下底面都是正方形，且側棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱.仔細考慮四個備選取項，按照正

四棱柱的概念進行求解.

本題考查正四棱柱的概念，解題時要認真思考，仔細解答，注意區(qū)分題設條件.

12.答案：D

解析：

本題首先要弄清楚曲線的形狀，再根據(jù)曲線的性質及解析幾何知識即可求出長度.

本題以正方體為載體，考查軌跡，考查曲線的周長，有一定的難度.

解：由題意得動點尸的軌跡是以A為球心，半徑為十的球面被平面BBiGC截得的的圓，落在正方

形BBiGC內(nèi)的曲線即為四分之一圓弧，

截面半徑為r=J（叫=凈

故這段弧長為工x2兀x⑨=&.

436

故選O.

13.答案:D

解析：

本題考查空間幾何體中線線夾角的應用，屬于基礎題.△ABD沿8。邊翻折過程中，形成以為軸，

AB為母線的圓錐和以8。為軸，AO為母線的圓錐.

解：翻折到180。時，所成角最小，可知片=30。，4D,BC所成角最小，的=?！?，翻折?！銜r，

48,BC所成角最大，可知的=90。，翻折過程中，可知A。的投影可與BC垂直，所以2D,BC所成最

大角a?=90。，所以即=90,/?1-30",a2—90二年=。

故選D

14.答案：D

解析：

本題考查簡單多面體及其結構特征，考查空間中直線與直線的位置關系，考查線面平行的判定，考

查棱錐的體積計算，考查空間思維能力，屬于較難題.

由題，利用多面體及其結構特征，分別對選項進行分析討論，求證其正確性，即可求解得到答案.

解：如圖甲，???AB=BC=2,/.ABC=120。，

在折疊前的團ABC中，取。C的中點G,連接BD,BG,

由余弦定理可得4c=2g，^DAE=30°.

???D為AC的中點，

***AD=DC=\/3?DD.LACBD=1,

??瓦F-OELAZ?，

在Rt&lOE中，DE=^-,AE=~,故=

2'22

在RtZiSOG中，*”/8仁。=器=負=竽，

tailZ.ADE=tan60,=5/3

NBGDrNADE=>BG與。E不平行.

vDEA.AB,將4力DE沿OE翻折,得到直二面角力一DE-B,如圖乙,

AE1DE.EBLDE

AEC\EB=E,AE,EBu平面AEB,

：.DE1平面AEB,Z.AEB=90

對于4選項，AB2=AE2+EB2=AD=6,BD=1，

：.BD2+AD2AB2,故AO與B。不垂直；

對于B選項，;G為。C的中點，F(xiàn)為AC的中點,

FG//AD,???FG,平面ADE,ADu平面ADE,

故FG〃平面ADE,

假設8/7/平面ADE,

?：BFCFG=F,BF,FGu平面8GF,

可得平面BGF〃平面ADE,

???平面BGFn平面DEBC=BG,平面ADEn平面。EBC=DE,

進而可得BG〃OE,

這與BG與OE不平行矛盾，故8尸與平面AOE不平行；

對于C選項，???DEJ?平面AEB,D4與平面ABE所成角為NO.AE-3（）,

???tan/ZME=3，故C選項錯誤：

3

對于。選項，VAE1BE,AE1DE,

BECDE=E,BE,OEu平面5EDC,

xx

可得4E_L平面BEDCfVB-FDC=^F-BDC=9sABDC?="^V3xlxix|=^,

3zozzzo

故選o.

15.答案：C

解析：

本題主要考查圓錐的側面展開圖以及扇形圓心角的求法，屬于基礎題.

關鍵在于熟悉圓錐的側面展開圖所得扇形與圓錐本身各個系數(shù)之間的關系.

解：設該直角邊長為。，

???圓錐的側面展開圖所得扇形弧長1=2Tia,

圓錐的側面展開圖所得扇形半徑即圓錐母線r=V2a,

.??直角圓錐的側面展開圖（為一扇形）的圓心角的大小為1毫瓜k,

故選C.

16.答案：ACD

解析：

本題考查了簡單多面體（棱柱、棱錐、棱臺）及其結構特征，考查了學生的空間想象能力，屬于較難

題.

利用正方體的對稱性，逐項判斷得結論.

解：當x=T時，由正方體的對稱性知：

容器被液面分割而成的兩個幾何體完全相同，因此A正確;

平面EFGHMN〃平面ABiDi，與對角線4c垂直，

而此時截面EFGHMN的面積最大.

因為六邊形EFG4MN是邊長為正的正六邊形，

2

2

所以面積為6x^x（曰）=乎，因此B不正確，C正確;

由正方體的對稱性知：過正方體的某條對角線的截面,

截面周長最小時，P、。分別是所在邊的中點，

此時平行四邊形APGQ的周長為4X苧=2花，因此。正確.

所以說法正確的是ACD

故選ACZ).

17.答案：ACD

解析：

本題考查了空間幾何體的結構特征，球的表面積，空間中線線，線面的位置關系，屬于中檔題.

對于A,根據(jù)線面角的定義即可判斷；對于B,根據(jù)線面垂直的判定和性質可知，0是4BCO的垂心，

對于C在正方體中，找出滿足題意的四面體，即可得到直角三角形的個數(shù)，對于。作出正四面體的

圖形，找到球的球心位置，說明0E是內(nèi)切球的半徑，利用直角三角形，逐步求出內(nèi)切球的表面積.

解：對于A選項，因為ZB=AC=AD,設點A在平面BCO內(nèi)的射影是0,

因為。=—,smZ-ACO=—,smZ-ADO=—,

sinZJlBABACAD

所以sin乙4B。=sin乙4C。=sinZ-ADO,

則A8,AC,AO與底面所成的角相等，故A正確；

對于8選項，設點A在平面BC。內(nèi)的射影是0,

則4。1平面BCD,CDu平面BCD,

故A。LCD,又4B1CD,

AOnAB=A,AO,ABABO,

故CDL平面ABO,又OBu平面ABO,

則CD1OB,

同理可證BDIOC,所以。是△BCO的垂心，故B不正確；

如圖：將四面體A-BCD置于正方體中，直角三角形的直角頂點已經(jīng)標出，直角三角形的個數(shù)是4.故

C正確；

如圖，。為正四面體ABC。的內(nèi)切球的球心，正四面體的棱長為1；

所以4E=11==紇

、33

因為8。2-0E2=BE2,所以(當-0E)2-0E2=(4產(chǎn)

所以。E=立，所以球的表面積為4兀-0E2=￡故。正確.

126

故選：ACD.

18.答案:京

解析：

本題主要考查棱柱、棱錐、棱臺的側面積、表面積和體積以及利用導數(shù)求最值，綜合性較強，屬于

中檔題.

當BC1平面AC￡),四面體ABCD的體積最大，求出球的半徑，代入表面積公式中求解即可.

解：當BCL平面AC。，四面體ABCD的體積最大.

正三角形AC。的外接圓半徑為r=O-=隹，

2sin43

從而，外接球半徑R滿足R2=r2+G)2=.

所以外接球表面積為4兀產(chǎn)=：兀.

故答案為1兀.

7T

19.答案:

6

解析：

本題考查了空間幾何體的結構特征，考查了球的表面積，考查了立體幾何中的軌跡問題，考查立體

幾何的空間想象能力，屬于較難的題目.

先畫出圖形，可得動點R的軌跡所形成的曲面是以4為球心，半徑直的球面的一部分，因為

2

NBA。=:,由此得解.

解：各棱長均為2的正三棱柱ABC-中，點尸在棱441上運動，

。在底面ABC上運動，\PQ\=V2,R為尸。的中點，

如圖所示：

因為Z4PQ是直角三角形，AR

所以動點R的軌跡所形成的曲面是以A為球心,

半徑直的球面的一部分，因為:

2

分析可知動點R的軌跡所形成的曲面的面積為1?

故答案為...

20.答案：（等,2）

解析：

本題考查簡單多面體及其結構特征折疊問題以及余弦定理，考查空間想象能力和運算求解能力，屬

于難題.

2

連接CE交AO于F,設CD=3貝IJBD=3-t,CAD=t,BE=V13-x.ACr=2,CrE=V4-x.

可求

得”=瞿，因為。<"3,所以警。（房由CJ>EF,可求得。<x<2,綜上可得警<

x<2.

解：如圖，連接CE交AO于F,設CD=3

C

2

因為4c=2,BC=3,貝i」BD=3-t,CXD=t,BE=713-x>ACX=2,CXE=V4-x.

在?BOE中，DE2=BEP+BE2-2BDBE-cosB

=(3-t)2+(V13-x)2-2(3-t)(V13-x)--^=,

222

在AG。*,CXE+DE=CjD,

所以4-爐+(3-t)2+(g-x)2--^=(3-t)(A^13-x)=t2,

整理得x=生亙，

3t+4

因為0<t<3,所以警<x<m，①

由折疊過程知CE14。，

ACCD2t

CF=GF=

EF=JC/2_C[E2=JW-4+1,

顯然，CrF>EF,

所以￡>卓一4+7,解得0<x<2,（2）

/+4d+4o

由①②知粵<x<2,

故答案為e浮,2）.

21.答案:（季⑨

解析：

設=1,=a,利用等面積法和等體積法求出m,w與a的關系，根據(jù)a的范圍得出:的值.

本題考查了空間距離的計算，棱錐的體積公式，屬于中檔題.

解：設4B=BC=1,AAA=a(a>1),

22

則AC=近，AXC=Va+2.=Ta+1,且8到平面ACqAi的距離為日.

m==魯

4]CVa2+

???AiA_L底面ABC,BCu底面ABC,AXA1BC,

ABIBC,ABC\AA1=A,AB,u平面4送8,

???8C_L平面例B,4iBu平面BC14B,

xV<，+1

S&A、BC=1xBC=2

2

IZ1rVa+1

遇C-.n=~~n，

1°V211rxy[2a

IBCAGCXXXaX=,

又匕：-A=%-35A41C1C,T=i2^T6

’71=而于

m_V2a2+22—2,

n\la2+2a2+2

42

?,-a>l,.,-<2--<2,

故答案為：除m

22.答案：誓

解析：

本題考查橢圓的簡單幾何性質及圓錐的結構特點，畫出軸截面，利用已知求出a,c即可求解.

解：畫出軸截面如下圖，

o

由已知O2/7/O1E,|。2用=1,|0[E]=3,02F1BC,OrE1BC,\OiO2\=8,

所以皿=12起!=工

得|。2*=2,|。1川=6,

又皿=工

人|。％|3'

所以QEI=4,\OA\=6,

所以siiMBOA-[.Z：OAB3(),

1

+,1/陰|0周I。川

在AOAB中，由正弦定理有.=.小力=.//：八」…心，

s\nZ.l3()AsinZ(J￡>-4sin(Z.A()U+.>())

所以|4引=城泉=舊一遍，

同理在△04C中，求得|/1(；|=底+行，

所以橢圓中長軸2a=\AB\+\AC\=2同，

求得|4F|=V3,|A￡|=3V3，

所以橢圓中焦距2c=\AF\+\AE\=4w,

所以橢圓的離心率為e=￡=等=延.

av155

故答案為區(qū).

5

23.答案：①③

解析：

本題考查了平面的基本性質和推論中關于三線共點問題，三角形的面積，三棱錐體積等基本知識，

考查了空間想象能力、數(shù)學運算能力、邏輯推理能力，屬于較難題.

通過平面的基本性質與推論很容易證明三線共點，①正確；兩個三角形的面積，一個為定值，另一

個不是定值，②不正確；通過K點的特殊位置和運動，空間想象體積的變化，通過嚴謹?shù)倪壿嬐评恚?/p>

得出結論③正確.

解：

①項，因為E“nFG=K,所以KeEH,且EHU平面48D,

K6平面ABD

同理可得，Ke平面

又因為平面48。n平面：BD，所以Ke8。，

所以EH,BD,尸G三條直線相交于同一點.故①正確.

②項，5團￡也為定值，"為A。上的動點，又因為AO與￡尸為異面直線，

所以4到EF的距離是變化的，所以S@EFH是變化的，故②不正確.

③項，當K與。重合時，”與。重合，G與C重合，如圖(1)所示，

此時平面EGFH即為平面ECD,

因為E為AB中點，所以平面EC。把四面體分成體積相等的兩部分.

D(KH)

圖⑴

當K遠離。時，平面EGFH使兩部分體積發(fā)生了變化,

一部分在三棱錐4-ECO的基礎上，

多出了一個三棱錐E-GCF的體積，如圖2所示，

少了一個三棱錐E—FD”的體積，如圖3所示，

過低D做DM//AB,DN〃BC,分別交EK,GK于點M,N,

連接MN,如圖4所示:

?PH_MD_MD_DK

??DM//AB,HA~AE~BE~BKf

?CG_DN_DK

??DN//BC,BG-BG-BK'

—DH=—CG,???D一H=C—G=,h

HABGADBC

???yE-GCF=^hVA_BCD,VE_HDF=VH_EFD=\hVA_BCD,

"%-GCF=%-HDF，

所以無論E、F、G、”如何變化，平面把四面體ABC。的體積分為相等的兩部分，③正確.

故答案為：①③

24.答案:遺

4

解析：

本題考查多面體的截面性質，屬較難題.利用面面平行的性質補全截面EFG為截面EFGHQR,得到

△B/P為直角三角形，再求面積的最小值.

解：如圖，補全截面E『G為截面ErGH”,H、Q、R分別為所在棱的中點，

易知平面ZCDi〃平面設BRIAC于點R,

vD]Pu平面ACDi，

二直線DiP〃平面EFG,又P6AC,

???當P與R重合時，BP最短為BR,此時APBBi的面積最小，

由等積法：^BRXAC=^BAxBC,

得BR=—,又BBi_L平面ABCD,

2

：.BBr1BP,ZiPBBi為直角三角形，

故S哂p="SB】xBP=今

故答案為立.

4

.答案：；(l-y)2(O<y<l)

25qiz;

解析：

本題考查幾何體的截面面積與幾何體的體積計算，屬于中檔題.

第一問，因為過(0,y)(0<y<1)作0的水平截面為環(huán)形，且等高時，拋物線對應的點的橫坐標為與，

切線對應的橫坐標為小，則*=y，%2=?，則截面面積即可求解；

第二問，借助一個圓錐,設高為y時，此時的圓錐截面半徑的r,圓錐的底面半徑為R，則42=7r(號I),

得r=1,由三角形相似得3=?,解得/?=；,即可求解.

NK1L

解：由y=%2得，yr=2x,

則k=yr\x=i=2,

則直線I為y-1=2(%-1),即y=2x-1,

因為過（0,y）（04y41）作0的水平截面為環(huán)形，且等高時，

拋物線對應的點的橫坐標為%,切線對應的橫坐標為犯，

則好=y,x2-等，

則截面面積S=7rx22—7T%12=TC（言'）—Tiy=TC（號

7T

=1（1-y）2（04y41）;

借助一個圓錐，設高為y時，

此時的圓錐截面半徑的r,圓錐的底面半徑為R,

則n"=n（與，＞

得“?，

由三角形相似得￡=字,

解得R=

則I后推二;X7TX（；）X1=工,

由祖曬原理得，0體積為盤

故答案為：（1一y）2（04y《l）；合.

26.答案:V3;\n,3TT]

解析：

本題考查正三棱錐的外接球的半徑與棱長的關系及過一點的截面的面積的最值，屬于中檔題.

由正三棱錐的棱長可得棱錐的高及底面外接圓的半徑，再由外接球的半徑和高，底面外接圓的半徑

之間的關系求出外接球的半徑，而過PA中點M的截面過球心時最大，即大圓的面積，當0M垂直

于截面時可得截面面積的最小值，即以PA為直徑的圓，進而求出截面的面積的范圍.

解：在正三棱錐中，

取底面三角形ABC的外接圓的圓心E,

則底面外接圓的半徑r=4E=22x立x2=延.

233

連接尸E可得PE，面A3C,

所以棱錐的高PE=舊2_正=*一律j=第，

設外接球的圓心為0,半徑為七則R2=N+（R-PE）2,

22

即：2PE-R=N+PE2,即2x苧?/?=（呼）+（言），

解得：R=百，

由外接球的半徑可得球心在三棱錐的外部，

過M的平面截三棱錐P-ABC的外接球所得截面的面積最大值為過球心的大圓，

所以截面的面積的最大值為：77x卜8）’：加