高中數(shù)學(xué)第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題 (19)(含答案解析)

第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題（19）

一、單項選擇題（本大題共15小題，共75.0分）

1.在44BC中，4B=2y[n,AC=2后,BC=+AC=12,E,尸,G分別為4B,BC,4c三邊中點,

將4BE尸,A4EG,/GCF分別沿EF,EG,GF向上折起，使4,B,C重合，記為S,則三棱錐S-EFG的

外接球表面積的最小值為（）

a

A.-nB.16TTC.187rD.36兀

2.在三棱錐P—ABC中，PA1底面ABC,AB1AC,AB=6,AC=8,。是線段4c上一點，且AD=

3DC,三棱錐P-ABC的各個頂點都在球。表面上，過點。作球。的截面，若所得截面圓的面積

的最大值與最小值之差為16兀，則球。的表面積為（）

A.72兀B.867rC.112nD.1287r

3.在正方體4BCD-&B1GD1中，E,尸分別為棱A8,8c的中點，過點?！窫,尸作該正方體的

截面，截面將正方體分成兩部分，則較小部分與較大部分的體積的比值為（）

4.在正方體48。。-4當(dāng)6。1中，球名同時與以A為公共頂點的三個面相切，球。2同時與以G為

公共頂點的三個面相切，且兩球相切于點F.若以尸為焦點，4當(dāng)為準(zhǔn)線的拋物線經(jīng)過01、02,

設(shè)球為、。2的半徑分別為「1、萬，則斌的值為（）

A.V3-V2B.2-V3C.1-yD.

5.在四面體ABC。中，AB=CD=2,AC=BD=再，AD=BC=V7.E，/分別是AD,BC的中

點，若用一個與直線EF垂直，且與四面體的每個面都相交的平面a去截該四面體，由此得到一

個多邊形截面，則該多邊形截面面積的最大值為（）

A.迥B.V3C.逋D.這

444

6.如圖，四邊形A8C。為正方形，四邊形EFBO為矩形，且平面4BC。

與平面EFBD互相垂直.若多面體ABCDEF的體積為延，則該多面體

3

外接球表面積的最小值為（）

A.67r

B.87r

C.12TT

D.16TT

7.設(shè)正方體43。。-4/。1。1內(nèi)部有兩個球。1和。2，已知球Oi與正方體的三個面相切，球內(nèi)與正

方體的六個面均相切，且球01與球。2也相切.設(shè)球。1，。2的半徑分別為「，2，則￡=（）

A.V3-V2B.2-V3C.亨D1-T

8.已知某幾何體的三視圖如圖所示，網(wǎng)格中小正方形的邊長為1,則該兒

何體的體積為（）

A.8-兀

2

B.8-F

C.8-2兀

4

D.8-y

9.己知正方體4BC0-公當(dāng)?shù)摹?的棱長為4,E為SB1的中點，尸為線段。內(nèi)上靠近劣的四等分點,

平面4EF交CCi于點G,則四邊形&EGF的面積為（）

A.2A/65B.10V3C.4VnD.2V2T

10.四面體ABC。的外接球球心在CO上，且CD=2,AB=?當(dāng)力B_LCD時，四面體4BCO的

體積為（）.

A.立B.在C.iD.在

6644

11.一個棱柱是正四棱柱的條件是（）

A.底面是正方形，有兩個側(cè)面是矩形

B.底面是正方形，有兩個側(cè)面垂直于底面

C.底面是菱形，且有一個頂點處的三條棱兩兩垂直

D.每個側(cè)面都是全等矩形的四棱柱

12.在棱長為1的正方體4BCD-4B1GD1中，點P在側(cè)面BCG當(dāng)上運

動.若點P到點4的距離為紅金則動點P的軌跡在正方形BCG/內(nèi)

3

的一段曲線長為（）

A67r

?3

B2x/3;r

,3

C4\/3n

.3

D.回

6

13.如圖：AABC^,ABIBC,AACB=60°,。為AC中點，448。沿BZ）邊翻折過程中，直線

AB與直線BC所成的最大角，最小角分別記為曲,由，直線AO與直線8C所成的最大角，最小

角分別記為。2，仇，則有

A.a1<?2?61—02B.的<a2,Pi>仇

C.%>oc2,Pi<02D.劭>C?2,Pl>p2

14.如圖甲，在△ABC中，AB=BC=2,AABC=120°,。為AC的中點，E為AB上一點，且滿

足歷?而=0,將AADE沿。E翻折得到直二面角A-DE-B,連接AC,F是4c的中點，連

接8F,BD,DF（如圖乙所示），則下列結(jié)論正確的是（）

A.AD1BD

B.ADE

C.DA與平面A8E所成角的正切值是舊

D.三棱錐"FDC的體積為卷

15.古希臘著名數(shù)學(xué)家歐幾里德在《幾何原本）一書中定義了圓錐與直角圓錐這兩個概念：固定直

角三角形的一條直角邊，旋轉(zhuǎn)直角三角形到開始位置，所形成的圖形稱為圓錐；如果固定的直

角邊等于另一直角邊時，所形成的圓錐稱為直角圓錐，則直角圓錐的側(cè)面展開圖（為一扇形）的

圓心角的大小為（）

71

AA.-CB.-37T

C.V27TD.與直角圓錐的母線長有關(guān)

二、多項選擇題（本大題共2小題，共8.0分）

16.向體積為1的正方體密閉容器內(nèi)注入體積為x（0<x<1）的液體，旋轉(zhuǎn)容器，下列說法正確的是

A.當(dāng)時，容器被液面分割而成的兩個幾何體完全相同

B.Vx6（0,1）.液面都可以成正三角形形狀

當(dāng)液面與正方體的某條對角線垂直時，液面面積的最大值為

C.4

D.當(dāng)液面恰好經(jīng)過正方體的某條對角線時，液面邊界周長的最小值為2通

17.對于四面體4-BCD,以下命題中正確的命題是（）

A.若4B=AC=4。，則A8,AC,A￡>與底面所成的角相等

B.若ACLBD,則點A在底面△BCD內(nèi)的射影是的內(nèi)心

C.四面體4-BCD的四個面中最多有四個直角三角形

D.若四面體4-BCD的6條棱長都為1,則它的內(nèi)切球的表面積為？

三、填空題（本大題共9小題，共45.（）分）

18.在四面體ABCD中，若A0=0C=4C=CB=l,則當(dāng)四面體A8CD的體積最大時，其外接球

的表面積為.

19.在各棱長均為2的正三棱柱ABC-4B1C1中，點P在棱A&上運動，。在底面A8C上運動，|PQ|=

V2,R為PQ的中點，則動點R的軌跡所形成的曲面的面積為.

20.在AABC中，AC=2,BC=3,AC1BC,。為8c邊上的一點，將△4C0折疊至A4加。的位

置，使點G在平面AB力外，且點G在平面ABO上的射影E在線段48上，設(shè)4E=x,則x的取

值范圍為.

Cl

D

21.在仇章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，側(cè)棱垂直于底面的三棱柱

稱之為塹堵，如圖，在塹堵ABC-aB1G中，AB=BC,AAA>AB,

塹堵的頂點G到直線&C的距離為m,G到平面&BC的距離為n,則胃的

取值范圍是.

22.如圖（1）是數(shù)學(xué)家GeminalDandelin用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型（稱

為“。的de/沅雙球”）；在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相

切，設(shè)圖中球。1,球。2的半徑分別為3和1.球心距離|。1。2|=8,截面分別與球01，球外切

于E,尸（瓦尸是截口橢圓的焦點），則此橢圓的離心率為

23.如圖，在四面體A8C。中，E、F分別是AB、CD的中點，G、4分別是2C和AO上的動點,

且EH與G尸相交于點K.下列判斷中：

①直線B。經(jīng)過點K-.

@^EIEFC=S團(tuán)EFH；

③E、F、G、H四點共面，且該平面把四面體ABC。的體積分為相等的兩部分.

所有正確的序號為.

24.在長方體ABCC-4$修1。1中，AD=DDr=1,AB=百，E,吃G分別是棱AB,BC,CC1的中點，

P是底面ABCO內(nèi)一動點，若直線&P與平面EFG沒有公共點，則三角形尸8名面積的最小值為

25.我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖昭(杰出數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子)，提出了計算體積的祖隨原理：“募

勢既同，則積不容異.”意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，

則這兩個幾何體的體積相等.已知曲線C：y=x2,直線/為曲線C在點(1,1)處的切線.如圖

所示，陰影部分為曲線C、直線/以及x軸所圍成的平面圖形，記該平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所

得的幾何體為2過(0,y)(0<y<1)作。的水平截面，所得截面面積S=(用y表示)；試借

助一個圓錐，并利用祖隨原理，得出0體積為.

26.在正三棱錐P-ABC中，PA=2,AB=2近,則P一ABC外接球的半徑為；過棱PA中

點M的平面截外接球所得截面面積的范圍為.

四、解答題(本大題共4小題，共48.0分)

27.如圖，在四棱柱4800-4/165中，底面ABC。是邊長為2的菱形，ABr=CBr.

(1)證明：平面8。2為，平面4BCC；

(2)若=60。，ADBiB是等邊三角形，求點名到平面C/D的距離.

28.如圖所示，在直三棱柱ABC-4出6中，底面是等腰直角三角形，乙4cB=90。，側(cè)棱=

2.CA=2,。溟CC］的中點，試問在線段上是否存在一點E(不與端點重合)使得點必到平面

AED的距離為乎?

29.如圖，已知正四棱柱ABCD-4出加。1底面邊長AB=2,側(cè)棱=3,M為側(cè)棱CC1的中

(1)求證：801AM；

(2)求證：4傳1〃平面當(dāng)。”：

(3)求三棱錐兒-&DM的體積.

30.如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱臺形玻璃容器□的高均為32cs,容器I的底

面對角線AC的長為10V7cm，容器II的兩底面對角線EG,E6的長分別為和62cm.分別

在容器I和容器口中注入水，水深均為12cm.現(xiàn)有一根玻璃棒/,其長度為40cm.(容器厚度、玻

璃棒粗細(xì)均忽略不計)

(1)將/放在容器I中，/的一端置于點A處，另一端置于側(cè)棱CCi上，求/浸入水中部分的長

度;

(2)將/放在容器n中，/的一端置于點E處，另一端置于側(cè)棱GG1上，求/浸入水中部分的長

度.

【答案與解析】

1.答案：B

解析：

本題考查常用不等式的應(yīng)用以及球的表面積的求解，同時考查立體幾何中的補(bǔ)形問題，屬中檔題.

將三棱錐補(bǔ)形成長方體，可得三棱錐S-EFG的外接球的直徑的平方為7+等，進(jìn)而可得7+等2

16,即可三棱錐S—EFG的外接球面積最小值.

解：根據(jù)題意，三棱錐S-EFG的對棱分別相等，將三棱錐S-EFG補(bǔ)成長方體，則對角線分別為

Vn,Vm,VT4,

設(shè)長方體的長寬高分別為%,%z,則/+V="，y2+z2=14,x24-z2=m,

所以/+y2+z2=7+*

所以三棱錐S-EFG的外接球的直徑的平方為7+等，

而標(biāo)+返=6,等之(叱后)=9,當(dāng)爪=n=9時取等號，

所以7+等216,

所以三棱錐S-EFG的外接球面積最小為167r.

故選B.

2.答案：C

解析：解：將三棱錐補(bǔ)成知三棱柱，且三棱錐的外接球與三棱柱的外接球都是球。,設(shè)三角形48c的

中心為0',

設(shè)外接球的半徑為七球心。到平面ABC的距離為x,即。O'=》,連接02,則0'4=5,.-.R2=r2+25,

在三角形ABC中，取AC的中點E,連接。'。，O'E,則O'E=(AB=3

O'D=713，

在RtA。。'。中，0D=7T2+13,由題意得當(dāng)截面與直線。。垂直時，

截面面積最小，

設(shè)此時截面半徑為r,則/=R2-0D2=x2+25-(x2+13)=12,

B

所以截面圓的面積為兀/=1271,

當(dāng)截面過球心時，截面圓的面積最大為兀/?2,...兀R2-12兀=16兀，

所以R2=28,

所以表面積S=4TTR2=112兀，

故選：C.

由題意一條側(cè)棱垂直于底面，補(bǔ)成三棱柱，若所得截面圓的面積的最小值時截面與垂直，所得

截面圓的面積最大值時過球心，分別求出兩種情況的半徑，進(jìn)而求出面積的和，求出球的半徑，進(jìn)

而求出表面積.

本題考查球的表面積的求法，考查三棱錐的外接球與棱長的關(guān)系即球的表面積公式等基礎(chǔ)知識，考

查運算求解能力，是中檔題.

3.答案：D

解析：

本題考查了立體幾何的截面及體積問題，考查空間想象能力，屬于較難題.

設(shè)正方體力BCD—4B1GD1的棱長為6,則其體積為216,延長交DA的延長線于點K,連接KE,

延長。1N交。C的延長線于點連接FL,分別求出力「Da，VM-AKE＞進(jìn)而求出較小部分與較大部

分的體積，從而求出答案.

解：如圖，可以作出截面DiMEFN,設(shè)正方體4BCD—的棱長為6,則其體積為216,

延長。交D4的延長線于點K,連接KE,延長￡)iN交0c的延長線于點3連接FL

因為E,尸分別為棱A8,BC的中點，M,N分別為兩棱的三等分點，

所以4K=CL=3,AM=CN=2,

所以，DI-DKL=孑X6X（5X9X9）=81,^M-AKE=VN-CFL=&X2XQX3X3）=3,

所以正方體被截面分成兩部分，其中一部分的體積為81-6=75,另外一部分的體積為216-75=

141,

所以較小部分與較大部分的體積的比值為工=符.

14147

故選。.

4.答案：B

解析：

本題考查拋物線的定義，內(nèi)切球問題，考查空間想象能力、推理能力和計算能力，屬于較難題.

由題意，兩個球的球心?！竿夂蛢汕虻那悬c產(chǎn)均在正方體-48修［￡)1的體對角線4G上，作

出圖示，得到O2F=T2=1，4。2=牛=百，所以力尸=4。2—。2尸=遮一1，結(jié)合4F=A0i+

。1尸=百廠1+「1，可解得6，從而求出會

解：由題意，根據(jù)拋物線的定義，點。2到點F的距離與到直線AB1的距離相等，其中點。2到點尸的

距離即半徑「2，

也即點。2到平面CDD?的距離，點。2到直線4B1的距離即點。2到平面的距離，

因此球。2內(nèi)切于正方體，不妨設(shè)「2=1,兩個球心。1，。2和兩球的切點尸均在體對角線4C1上，

兩個球在平面4殳(?1。處的截面如圖所示，

4Ks-------\

二?一

則02F=r2=1,AO2=等=1所以AF=4。2-。2/=次一1，

7因此+l)q=V3—1,解得r1=2—V3,

又A/=AOr+0、F=W丫1+,

咤=2-△

故選B.

5.答案：B

解析：

本題考查了補(bǔ)形法的應(yīng)用，二倍角公式及三角形面積公式，基本不等式的應(yīng)用，屬于較難題.

補(bǔ)成長，寬，高分別為2,6,1的長方體，在長方體中可解決.

解：補(bǔ)成長，寬，高分別為2,6,1的長方體(如下圖)

由于EF1a,故截面為平行四邊形MNKL,可得KZ,+KN=<7,

設(shè)異面直線BC與4。所成的角為。，則sin。=sin/LHFB=sin上LKN,

算得sin。=sin24HCB=2shi乙HCBcos乙HCB=—，

7

???S四邊形MNKL=NK-KL.S5「NKL<竽(^)2=百,

當(dāng)且僅當(dāng)NK=KL時取等號.

故選：B.

6.答案：A

解析：

本題考查幾何體的棱長與外接球的半徑之間的關(guān)系，和均值不等式的應(yīng)用，及球的表面積公式，屬

于較難題.

由題意可得AC1面EFBD,可得以BCDEF=VC-EFBD+VA-EFBD=2VA_EFBD,再由多面體ABCOE/的

體積為延，計算求出外接球的半徑，再由均值不等式可得外接球的半徑的最小值，進(jìn)而求出外接球

3

的表面積的最小值.

解：設(shè)正方形ABC。的邊長為m矩形BDEF的高為b,

因為正方形A5CD,所以4。180,設(shè)4。仆80=。'，

由因為平面A8CQ與平面EF8O互相垂直，ACc?ABCD,平面4BCDn平面EFBD=BD,

所以4CL面￡F3￡),

所以匕BCDEF=^C-EFBD+^A-EFBD

1,

=^A-EFBD=2*JEFBD'。。

=--y[2a-b--a=-a2b^

323

由題意可得以B8EF=竽，

所以a2b=2或；所以Q2=W^,

b

矩形EFBO的對角線的交點O,連接。O',可得OO'LBD,而。O'u面EFBD,

而平面ABC。1平面EFBD,平面/BCDn平面EFBD=BD,

所以。O'J■面EFBQ,

可得。4=OB=OE=OF都為外接球的半徑R,

所以R2=?)2+(￥a)2=?+?

b20b2a近

-----+------=----+-----+-----

4b42b2b

>3任.紇在=三，

—\42b2b2

當(dāng)且僅當(dāng)6=a時取等，

所以外接球的表面積為S=47TR224兀?|=6兀，

所以外接球的表面積最小值為67T.

故選A.

7.答案：B

解析:

本題考查正方體與球相切的問題，屬于中檔題.

根據(jù)正方體與球相切畫出截面圖，利用正方體體對角線和球半徑的關(guān)系即可求解.

解：不妨設(shè)正方體的棱長為2,球名同時與以A為公共頂點的三個面相切，

由題可知，兩個球心01，。2和兩球的切點均在體對角線AC1上，兩個球在平面處的截面,

如圖所示，則。2尸=萬=1,4。2="=百，

所以4F=AO2-O2F=

又因為4F=A0r+0rF=y/3rr+rx,

所以（百+l）r2=V3—1>解得r[=2—V3.

所以F=2一遮.

?2

故選B.

8.答案：B

解析：

本題考查的知識點是由三視圖，求體積，是基礎(chǔ)題.

由三視圖可知，此幾何體為一個正方體挖去一個以2為半徑的圓錐的四分之一，即可求出其體積.

解：由三視圖可知：此幾何體為一個邊長為2的正方體挖去一個以2為半徑，高為2的圓錐的四分

之一，

11o

V=>^----X-X22X7T=8--7T.

433

故選民

9.答案：C

解析:

本題主要考查點、直線、平面的位置關(guān)系等知識，考查考生的空間想象能力，考查的核心素養(yǎng)是邏

輯推理，屬于較難題.

首先確定點G的位置，然后判斷出四邊形的形狀，最后求解.

解：如圖，在SB】上取一點T,使得B7=1.因為F為線段上靠近5的四等分點，所以2F=1,

連接CT,則&F=CT=V42+1=V17,

22

因為E為BBi的中點，所以Br=7E=l,ArE=<4+2=2V5.

連接&T,FC,由平面平行的性質(zhì)定理可知四邊形&FC7為平行四邊形，

故C77/A1F,同理在CG上取一點G',使得CG'=1,

連接EG',FG',貝IJ有C77/G'E〃4F,EG，=CT=A#=E，

故EG'與4F共面，即G'與G重合，且四邊形&EGF為平行四邊形.

取。4的中點K,連接EK,則EK=BD="+42=4位,

在RtAFEK中，EF=J(4V2)2+1=V33>

在中，cos血1尸=2*2后舊=礴=后

sinz.E/l1F=

故四邊形為EGF的面積為2x|x2V5xV17x^=4向,

故選C.

10.答案：A

解析：

本題考查球的內(nèi)接多面體，棱錐的體積，涉及線面垂直的判定，屬于基礎(chǔ)題.

連接。A,OB,取A8中點M,先證得4B1平面CQM,進(jìn)一步證明CD_L平面AO8,以。48為底面

的兩個三棱錐的體積和即為所求.

解：由已知可得當(dāng)4B1CD時，

取AB中點M,???0A=0B,OMLAB,

又TC014B,CDCiOM=0,CD,OMu平面COM,

AB1平面CDM,DM,CMu平面CDM,

AB1DM,AB1CM,

又：M為AB中點，

???AD=DB,AC=CB,

又「四面體ABCD的外接球球心在C￡＞上，

.??球心。為CO中點，

0A1CD,OB1CD,

又???40,BO是平面0A3中的兩條相交直線，

???CD1平面AOB.

四面體4BCD的體積為

11

^A-BCD=3'S-OB?0C+鼠SMOB'0D,

又?.?外接球的直徑CD=2,AOA=OB=1,

又丁AB=V3?BM=—，***OM—

2/

匕-BCD=g,SAAOB,CD=/.*2=*

故選A.

11.答案：C

解析：解：上、下底面都是正方形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱.

故A和8錯在有可能是斜棱柱，

D錯在上下底面有可能不是正方形，

底面是菱形，且有一個頂點處的三條棱兩兩垂直能保證上、下底面都是正方形，且側(cè)棱垂直于底面.

故選C.

上、下底面都是正方形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱.仔細(xì)考慮四個備選取項，按照正

四棱柱的概念進(jìn)行求解.

本題考查正四棱柱的概念，解題時要認(rèn)真思考，仔細(xì)解答，注意區(qū)分題設(shè)條件.

12.答案：D

解析：

本題首先要弄清楚曲線的形狀，再根據(jù)曲線的性質(zhì)及解析幾何知識即可求出長度.

本題以正方體為載體，考查軌跡，考查曲線的周長，有一定的難度.

解：由題意得動點尸的軌跡是以A為球心，半徑為十的球面被平面BBiGC截得的的圓，落在正方

形BBiGC內(nèi)的曲線即為四分之一圓弧，

截面半徑為r=J（叫=凈

故這段弧長為工x2兀x⑨=&.

436

故選O.

13.答案:D

解析：

本題考查空間幾何體中線線夾角的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.△ABD沿8。邊翻折過程中，形成以為軸，

AB為母線的圓錐和以8。為軸，AO為母線的圓錐.

解：翻折到180。時，所成角最小，可知片=30。，4D,BC所成角最小，的=?！悖?。°時，

48,BC所成角最大，可知的=90。，翻折過程中，可知A。的投影可與BC垂直，所以2D,BC所成最

大角a?=90。，所以即=90,/?1-30",a2—90二年=。

故選D

14.答案：D

解析：

本題考查簡單多面體及其結(jié)構(gòu)特征，考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，考查線面平行的判定，考

查棱錐的體積計算，考查空間思維能力，屬于較難題.

由題，利用多面體及其結(jié)構(gòu)特征，分別對選項進(jìn)行分析討論，求證其正確性，即可求解得到答案.

解：如圖甲，???AB=BC=2,/.ABC=120。，

在折疊前的團(tuán)ABC中，取。C的中點G,連接BD,BG,

由余弦定理可得4c=2g，^DAE=30°.

???D為AC的中點，

***AD=DC=\/3?DD.LACBD=1,

??瓦F-OELAZ?，

在Rt&lOE中，DE=^-,AE=~,故=

2'22

在RtZiSOG中，*”/8仁。=器=負(fù)=竽，

tailZ.ADE=tan60,=5/3

NBGDrNADE=>BG與。E不平行.

vDEA.AB,將4力DE沿OE翻折,得到直二面角力一DE-B,如圖乙,

AE1DE.EBLDE

AEC\EB=E,AE,EBu平面AEB,

：.DE1平面AEB,Z.AEB=90

對于4選項，AB2=AE2+EB2=AD=6,BD=1，

：.BD2+AD2AB2,故AO與B。不垂直；

對于B選項，;G為。C的中點，F(xiàn)為AC的中點,

FG//AD,???FG,平面ADE,ADu平面ADE,

故FG〃平面ADE,

假設(shè)8/7/平面ADE,

?：BFCFG=F,BF,FGu平面8GF,

可得平面BGF〃平面ADE,

???平面BGFn平面DEBC=BG,平面ADEn平面。EBC=DE,

進(jìn)而可得BG〃OE,

這與BG與OE不平行矛盾，故8尸與平面AOE不平行；

對于C選項，???DEJ?平面AEB,D4與平面ABE所成角為NO.AE-3（）,

???tan/ZME=3，故C選項錯誤：

3

對于。選項，VAE1BE,AE1DE,

BECDE=E,BE,OEu平面5EDC,

xx

可得4E_L平面BEDCfVB-FDC=^F-BDC=9sABDC?="^V3xlxix|=^,

3zozzzo

故選o.

15.答案：C

解析：

本題主要考查圓錐的側(cè)面展開圖以及扇形圓心角的求法，屬于基礎(chǔ)題.

關(guān)鍵在于熟悉圓錐的側(cè)面展開圖所得扇形與圓錐本身各個系數(shù)之間的關(guān)系.

解：設(shè)該直角邊長為。，

???圓錐的側(cè)面展開圖所得扇形弧長1=2Tia,

圓錐的側(cè)面展開圖所得扇形半徑即圓錐母線r=V2a,

.??直角圓錐的側(cè)面展開圖（為一扇形）的圓心角的大小為1毫瓜k,

故選C.

16.答案：ACD

解析：

本題考查了簡單多面體（棱柱、棱錐、棱臺）及其結(jié)構(gòu)特征，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于較難

題.

利用正方體的對稱性，逐項判斷得結(jié)論.

解：當(dāng)x=T時，由正方體的對稱性知：

容器被液面分割而成的兩個幾何體完全相同，因此A正確;

平面EFGHMN〃平面ABiDi，與對角線4c垂直，

而此時截面EFGHMN的面積最大.

因為六邊形EFG4MN是邊長為正的正六邊形，

2

2

所以面積為6x^x（曰）=乎，因此B不正確，C正確;

由正方體的對稱性知：過正方體的某條對角線的截面,

截面周長最小時，P、。分別是所在邊的中點，

此時平行四邊形APGQ的周長為4X苧=2花，因此。正確.

所以說法正確的是ACD

故選ACZ).

17.答案：ACD

解析：

本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，球的表面積，空間中線線，線面的位置關(guān)系，屬于中檔題.

對于A,根據(jù)線面角的定義即可判斷；對于B,根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)可知，0是4BCO的垂心，

對于C在正方體中，找出滿足題意的四面體，即可得到直角三角形的個數(shù)，對于。作出正四面體的

圖形，找到球的球心位置，說明0E是內(nèi)切球的半徑，利用直角三角形，逐步求出內(nèi)切球的表面積.

解：對于A選項，因為ZB=AC=AD,設(shè)點A在平面BCO內(nèi)的射影是0,

因為。=—,smZ-ACO=—,smZ-ADO=—,

sinZJlBABACAD

所以sin乙4B。=sin乙4C。=sinZ-ADO,

則A8,AC,AO與底面所成的角相等，故A正確；

對于8選項，設(shè)點A在平面BC。內(nèi)的射影是0,

則4。1平面BCD,CDu平面BCD,

故A。LCD,又4B1CD,

AOnAB=A,AO,ABABO,

故CDL平面ABO,又OBu平面ABO,

則CD1OB,

同理可證BDIOC,所以。是△BCO的垂心，故B不正確；

如圖：將四面體A-BCD置于正方體中，直角三角形的直角頂點已經(jīng)標(biāo)出，直角三角形的個數(shù)是4.故

C正確；

如圖，。為正四面體ABC。的內(nèi)切球的球心，正四面體的棱長為1；

所以4E=11==紇

、33

因為8。2-0E2=BE2,所以(當(dāng)-0E)2-0E2=(4產(chǎn)

所以。E=立，所以球的表面積為4兀-0E2=￡故。正確.

126

故選：ACD.

18.答案:京

解析：

本題主要考查棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積、表面積和體積以及利用導(dǎo)數(shù)求最值，綜合性較強(qiáng)，屬于

中檔題.

當(dāng)BC1平面AC￡),四面體ABCD的體積最大，求出球的半徑，代入表面積公式中求解即可.

解：當(dāng)BCL平面AC。，四面體ABCD的體積最大.

正三角形AC。的外接圓半徑為r=O-=隹，

2sin43

從而，外接球半徑R滿足R2=r2+G)2=.

所以外接球表面積為4兀產(chǎn)=：兀.

故答案為1兀.

7T

19.答案:

6

解析：

本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查了球的表面積，考查了立體幾何中的軌跡問題，考查立體

幾何的空間想象能力，屬于較難的題目.

先畫出圖形，可得動點R的軌跡所形成的曲面是以4為球心，半徑直的球面的一部分，因為

2

NBA。=:,由此得解.

解：各棱長均為2的正三棱柱ABC-中，點尸在棱441上運動，

。在底面ABC上運動，\PQ\=V2,R為尸。的中點，

如圖所示：

因為Z4PQ是直角三角形，AR

所以動點R的軌跡所形成的曲面是以A為球心,

半徑直的球面的一部分，因為:

2

分析可知動點R的軌跡所形成的曲面的面積為1?

故答案為...

20.答案：（等,2）

解析：

本題考查簡單多面體及其結(jié)構(gòu)特征折疊問題以及余弦定理，考查空間想象能力和運算求解能力，屬

于難題.

2

連接CE交AO于F,設(shè)CD=3貝IJBD=3-t,CAD=t,BE=V13-x.ACr=2,CrE=V4-x.

可求

得”=瞿，因為。<"3,所以警。（房由CJ>EF,可求得。<x<2,綜上可得警<

x<2.

解：如圖，連接CE交AO于F,設(shè)CD=3

C

2

因為4c=2,BC=3,貝i」BD=3-t,CXD=t,BE=713-x>ACX=2,CXE=V4-x.

在?BOE中，DE2=BEP+BE2-2BDBE-cosB

=(3-t)2+(V13-x)2-2(3-t)(V13-x)--^=,

222

在AG。*,CXE+DE=CjD,

所以4-爐+(3-t)2+(g-x)2--^=(3-t)(A^13-x)=t2,

整理得x=生亙，

3t+4

因為0<t<3,所以警<x<m，①

由折疊過程知CE14。，

ACCD2t

CF=GF=

EF=JC/2_C[E2=JW-4+1,

顯然，CrF>EF,

所以￡>卓一4+7,解得0<x<2,（2）

/+4d+4o

由①②知粵<x<2,

故答案為e浮,2）.

21.答案:（季⑨

解析：

設(shè)=1,=a,利用等面積法和等體積法求出m,w與a的關(guān)系，根據(jù)a的范圍得出:的值.

本題考查了空間距離的計算，棱錐的體積公式，屬于中檔題.

解：設(shè)4B=BC=1,AAA=a(a>1),

22

則AC=近，AXC=Va+2.=Ta+1,且8到平面ACqAi的距離為日.

m==魯

4]CVa2+

???AiA_L底面ABC,BCu底面ABC,AXA1BC,

ABIBC,ABC\AA1=A,AB,u平面4送8,

???8C_L平面例B,4iBu平面BC14B,

xV<，+1

S&A、BC=1xBC=2

2

IZ1rVa+1

遇C-.n=~~n，

1°V211rxy[2a

IBCAGCXXXaX=,

又匕：-A=%-35A41C1C,T=i2^T6

’71=而于

m_V2a2+22—2,

n\la2+2a2+2

42

?,-a>l,.,-<2--<2,

故答案為：除m

22.答案：誓

解析：

本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)及圓錐的結(jié)構(gòu)特點，畫出軸截面，利用已知求出a,c即可求解.

解：畫出軸截面如下圖，

o

由已知O2/7/O1E,|。2用=1,|0[E]=3,02F1BC,OrE1BC,\OiO2\=8,

所以皿=12起!=工

得|。2*=2,|。1川=6,

又皿=工

人|。％|3'

所以QEI=4,\OA\=6,

所以siiMBOA-[.Z：OAB3(),

1

+,1/陰|0周I。川

在AOAB中，由正弦定理有.=.小力=.//：八」…心，

s\nZ.l3()AsinZ(J￡>-4sin(Z.A()U+.>())

所以|4引=城泉=舊一遍，

同理在△04C中，求得|/1(；|=底+行，

所以橢圓中長軸2a=\AB\+\AC\=2同，

求得|4F|=V3,|A￡|=3V3，

所以橢圓中焦距2c=\AF\+\AE\=4w,

所以橢圓的離心率為e=￡=等=延.

av155

故答案為區(qū).

5

23.答案：①③

解析：

本題考查了平面的基本性質(zhì)和推論中關(guān)于三線共點問題，三角形的面積，三棱錐體積等基本知識，

考查了空間想象能力、數(shù)學(xué)運算能力、邏輯推理能力，屬于較難題.

通過平面的基本性質(zhì)與推論很容易證明三線共點，①正確；兩個三角形的面積，一個為定值，另一

個不是定值，②不正確；通過K點的特殊位置和運動，空間想象體積的變化，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评恚?/p>

得出結(jié)論③正確.

解：

①項，因為E“nFG=K,所以KeEH,且EHU平面48D,

K6平面ABD

同理可得，Ke平面

又因為平面48。n平面：BD，所以Ke8。，

所以EH,BD,尸G三條直線相交于同一點.故①正確.

②項，5團(tuán)￡也為定值，"為A。上的動點，又因為AO與￡尸為異面直線，

所以4到EF的距離是變化的，所以S@EFH是變化的，故②不正確.

③項，當(dāng)K與。重合時，”與。重合，G與C重合，如圖(1)所示，

此時平面EGFH即為平面ECD,

因為E為AB中點，所以平面EC。把四面體分成體積相等的兩部分.

D(KH)

圖⑴

當(dāng)K遠(yuǎn)離。時，平面EGFH使兩部分體積發(fā)生了變化,

一部分在三棱錐4-ECO的基礎(chǔ)上，

多出了一個三棱錐E-GCF的體積，如圖2所示，

少了一個三棱錐E—FD”的體積，如圖3所示，

過低D做DM//AB,DN〃BC,分別交EK,GK于點M,N,

連接MN,如圖4所示:

?PH_MD_MD_DK

??DM//AB,HA~AE~BE~BKf

?CG_DN_DK

??DN//BC,BG-BG-BK'

—DH=—CG,???D一H=C—G=,h

HABGADBC

???yE-GCF=^hVA_BCD,VE_HDF=VH_EFD=\hVA_BCD,

"%-GCF=%-HDF，

所以無論E、F、G、”如何變化，平面把四面體ABC。的體積分為相等的兩部分，③正確.

故答案為：①③

24.答案:遺

4

解析：

本題考查多面體的截面性質(zhì)，屬較難題.利用面面平行的性質(zhì)補(bǔ)全截面EFG為截面EFGHQR,得到

△B/P為直角三角形，再求面積的最小值.

解：如圖，補(bǔ)全截面E『G為截面ErGH”,H、Q、R分別為所在棱的中點，

易知平面ZCDi〃平面設(shè)BRIAC于點R,

vD]Pu平面ACDi，

二直線DiP〃平面EFG,又P6AC,

???當(dāng)P與R重合時，BP最短為BR,此時APBBi的面積最小，

由等積法：^BRXAC=^BAxBC,

得BR=—,又BBi_L平面ABCD,

2

：.BBr1BP,ZiPBBi為直角三角形，

故S哂p="SB】xBP=今

故答案為立.

4

.答案：；(l-y)2(O<y<l)

25qiz;

解析：

本題考查幾何體的截面面積與幾何體的體積計算，屬于中檔題.

第一問，因為過(0,y)(0<y<1)作0的水平截面為環(huán)形，且等高時，拋物線對應(yīng)的點的橫坐標(biāo)為與，

切線對應(yīng)的橫坐標(biāo)為小，則*=y，%2=?，則截面面積即可求解；

第二問，借助一個圓錐,設(shè)高為y時，此時的圓錐截面半徑的r,圓錐的底面半徑為R，則42=7r(號I),

得r=1,由三角形相似得3=?,解得/?=；,即可求解.

NK1L

解：由y=%2得，yr=2x,

則k=yr\x=i=2,

則直線I為y-1=2(%-1),即y=2x-1,

因為過（0,y）（04y41）作0的水平截面為環(huán)形，且等高時，

拋物線對應(yīng)的點的橫坐標(biāo)為%,切線對應(yīng)的橫坐標(biāo)為犯，

則好=y,x2-等，

則截面面積S=7rx22—7T%12=TC（言'）—Tiy=TC（號

7T

=1（1-y）2（04y41）;

借助一個圓錐，設(shè)高為y時，

此時的圓錐截面半徑的r,圓錐的底面半徑為R,

則n"=n（與，＞

得“?，

由三角形相似得￡=字,

解得R=

則I后推二;X7TX（；）X1=工,

由祖曬原理得，0體積為盤

故答案為：（1一y）2（04y《l）；合.

26.答案:V3;\n,3TT]

解析：

本題考查正三棱錐的外接球的半徑與棱長的關(guān)系及過一點的截面的面積的最值，屬于中檔題.

由正三棱錐的棱長可得棱錐的高及底面外接圓的半徑，再由外接球的半徑和高，底面外接圓的半徑

之間的關(guān)系求出外接球的半徑，而過PA中點M的截面過球心時最大，即大圓的面積，當(dāng)0M垂直

于截面時可得截面面積的最小值，即以PA為直徑的圓，進(jìn)而求出截面的面積的范圍.

解：在正三棱錐中，

取底面三角形ABC的外接圓的圓心E,

則底面外接圓的半徑r=4E=22x立x2=延.

233

連接尸E可得PE，面A3C,

所以棱錐的高PE=舊2_正=*一律j=第，

設(shè)外接球的圓心為0,半徑為七則R2=N+（R-PE）2,

22

即：2PE-R=N+PE2,即2x苧?/?=（呼）+（言），

解得：R=百，

由外接球的半徑可得球心在三棱錐的外部，

過M的平面截三棱錐P-ABC的外接球所得截面的面積最大值為過球心的大圓，

所以截面的面積的最大值為：77x卜8）’：加