2025版新教材高中數(shù)學第2章直線和圓的方程綜合測試題新人教A版選擇性必修第一冊

其次章綜合測試題(時間：120分鐘，滿分：150分)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知過點M(－2，a)，N(a,4)的直線的斜率為－eq\f(1,2)，則|MN|＝(D)A．10 B．180C．6eq\r(3) D．6eq\r(5)[解析]由kMN＝eq\f(a－4,－2－a)＝－eq\f(1,2)，解得a＝10，即M(－2,10)，N(10,4)，所以|MN|＝eq\r(－2－102＋10－42)＝6eq\r(5).2．圓C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0與圓C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的位置關系是(C)A．外離 B．外切C．相交 D．內(nèi)含[解析]將圓的一般方程化為標準方程得C1：(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，C2：(x－2)2＋(y－2)2＝9，所以C1(－1，－4)，C2(2,2)，r1＝5，r2＝3.從而|C1C2|＝eq\r(32＋62)＝3eq\r(5)，所以r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2.因此兩圓的位置關系為相交．3．已知直線l經(jīng)過點(2,1)，且與直線2x－y＋1＝0垂直，則直線l的一般式方程為(A)A．x＋2y－4＝0 B．x＋2y＝0C．2x－y－3＝0 D．4x－y＝0[解析]因為直線l與直線2x－y＋1＝0垂直，所以直線l的斜率k滿足：k×2＝－1，即k＝－eq\f(1,2)，又直線l經(jīng)過點(2,1)，由直線方程的點斜式得y－1＝－eq\f(1,2)×(x－2)，即x＋2y－4＝0，故選A.4．已知點A(－1,1)和圓C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光線從A經(jīng)x軸反射到圓C上的最短路程是(B)A．6eq\r(2)－2 B.8C．4eq\r(6) D.10[解析]易知點A關于x軸對稱點A′(－1，－1)，A′與圓心(5,7)的距離為eq\r(5＋12＋7＋12)＝10.故所求最短路程為10－2＝8.5．若三條直線l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋y－4＝0，l3：2x－y＋1＝0相交于同一點，則實數(shù)a＝(A)A．－12 B．－10C．10 D．12[解析]由l2：x＋y－4＝0，l3：2x－y＋1＝0，可得交點坐標為(1,3)，代入直線l1：ax＋2y＋6＝0，可得a＋6＋6＝0，所以a＝－12.故選A.6．過直線y＝2x－3上的點作圓C：x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切線，則切線長的最小值為(D)A.eq\r(21) B．eq\r(19)C．2eq\r(5) D．eq\f(\r(55),5)[解析]在直線y＝2x－3上任取一點P(x，y)，過點P作圓C的切線，設切點為A.圓x2＋y2－4x＋6y＋12＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＝1，圓心為C(2，－3)，半徑為r＝1.切線長|PA|＝eq\r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PC))2－r2)＝eq\r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PC))2－1)，又|PC|min＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2×2＋3－3)),\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))2))＝eq\f(4\r(5),5)，所以切線長的最小值為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(5),5)))2－1)＝eq\f(\r(55),5).7．已知圓C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0與圓C2：x2＋y2－14x－2y＋a＝0，若圓C1與圓C2有且僅有一個公共點，則實數(shù)a＝(D)A．14 B．34C．14或45 D．34或14[解析]設圓C1、圓C2的半徑分別為r1、r2.圓C1的方程可化為(x－3)2＋(y＋2)2＝1，圓C2的方程可化為(x－7)2＋(y－1)2＝50－a.由兩圓相切得，|C1C2|＝r1＋r2或|C1C2|＝|r1－r2|，∵|C1C2|＝eq\r(42＋32)＝5，∴r2＋1＝5或|1－r2|＝5?r2＝4或r2＝6或r2＝－4(舍去)．因此，50－a＝16或50－a＝36?a＝34或a＝14，故選D.8．(2024·新課標Ⅰ卷)過點(0，－2)與圓x2＋y2－4x－1＝0相切的兩條直線的夾角為α，則sinα＝(B)A．1 B．eq\f(\r(15),4)C．eq\f(\r(10),4) D．eq\f(\r(6),4)[解析]如圖，x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圓心坐標為(2,0)，半徑r＝eq\r(5)，所以圓心到點(0，－2)的距離為eq\r(2－02＋0＋22)＝2eq\r(2)，由于圓心與點(0，－2)的連線平分角α，所以sineq\f(α,2)＝eq\f(r,2\r(2))＝eq\f(\r(5),2\r(2))＝eq\f(\r(10),4)，所以coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(6),4)，所以sinα＝2sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝2×eq\f(\r(10),4)×eq\f(\r(6),4)＝eq\f(\r(15),4).故選B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知直線l：eq\r(3)x－y＋1＝0，則下列結(jié)論正確的是(CD)A．直線l的傾斜角是eq\f(π,6)B．若直線m：x－eq\r(3)y＋1＝0，則l⊥mC．點(eq\r(3)，0)到直線l的距離是2D．過點(2eq\r(3)，2)與直線l平行的直線方程是eq\r(3)x－y－4＝0[解析]直線l：eq\r(3)x－y＋1＝0的斜率k＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，故直線l的傾斜角是eq\f(π,3)，故A錯誤；因為直線m：x－eq\r(3)y＋1＝0的斜率k′＝eq\f(\r(3),3)，kk′＝1≠－1，故直線l與直線m不垂直，故B錯誤；點(eq\r(3)，0)到直線l的距離d＝eq\f(|\r(3)×\r(3)－0＋1|,\r(\r(3)2＋－12))＝2，故C正確；過點(2eq\r(3)，2)與直線l平行的直線方程是y－2＝eq\r(3)(x－2eq\r(3))，整理得eq\r(3)x－y－4＝0，故D正確．綜上所述，正確的選項為CD.10．已知ab≠0，點M(a，b)為圓x2＋y2＝r2內(nèi)一點，直線m是以點M為中點的弦所在直線，直線l的方程為ax＋by＝r2，則下列結(jié)論正確的是(AD)A．m∥l B．l⊥mC．l與圓相交 D．l與圓相離[解析]因為kMO＝eq\f(b,a)，∴直線m的方程為y－b＝－eq\f(a,b)(x－a)，即ax＋by－a2－b2＝0，∵M在圓內(nèi)，∴a2＋b2<r2，∴m∥l.又圓心到l距離為d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))>r，∴l(xiāng)與圓相離．11．已知點P在圓(x－5)2＋(y－5)2＝16上，點A(4,0)，B(0,2)，則(ACD)A．點P到直線AB的距離小于10B．點P到直線AB的距離大于2C．當∠PBA最小時，|PB|＝3eq\r(2)D．當∠PBA最大時，|PB|＝3eq\r(2)[解析]圓(x－5)2＋(y－5)2＝16的圓心為M(5，5)，半徑為4，直線AB的方程為eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，圓心M到直線AB的距離為eq\f(|5＋2×5－4|,\r(12＋22))＝eq\f(11,\r(5))＝eq\f(11\r(5),5)>4，∴直線AB與圓相離，所以，點P到直線AB的距離的最小值為eq\f(11\r(5),5)－4<2，最大值為eq\f(11\r(5),5)＋4<10，A選項正確，B選項錯誤；如圖所示：當∠PBA最大或最小時，PB與圓M相切，連接MP、BM，可知PM⊥PB，|BM|＝eq\r(0－52＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－5))2)＝eq\r(34)，|MP|＝4，由勾股定理可得|BP|＝eq\r(|BM|2－|MP|2)＝3eq\r(2)，C、D選項正確．故選ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．設O為原點，點M在圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1上運動，則|OM|的最大值為_6__.[解析]圓心C的坐標為(3,4)，∴|OC|＝eq\r(3－02＋4－02)＝5，∴|OM|max＝5＋1＝6.13．傾斜角為eq\f(π,3)且在x軸上的截距為a的直線被圓(x＋a)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則a＝±1.[解析]傾斜角為eq\f(π,3)且在x軸上的截距為a的直線方程為：y＝eq\r(3)(x－a)，即eq\r(3)x－y－eq\r(3)a＝0，圓心(－a,0)到直線的距離為eq\f(|－2\r(3)a|,2)＝|eq\r(3)a|，所以3a2＋1＝4，得a＝±1.14．阿波羅尼斯(約公元前262－190年)證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)k(k＞0，k≠1)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點A，B間的距離為2，動點P滿足eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\r(2)，則動點P的軌跡是半徑為2eq\r(2)的圓.當P，A，B不共線時，△PAB面積的最大值是2eq\r(2).[解析]以經(jīng)過A，B的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(圖略)，則A(－1,0)，B(1,0)．設P(x，y)，因為eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\r(2)，所以eq\f(\r(x＋12＋y2),\r(x－12＋y2))＝eq\r(2)，兩邊平方并整理得：x2＋y2－6x＋1＝0?(x－3)2＋y2＝8.當點P到AB(x軸)的距離最大時，△PAB的面積最大，此時面積為eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2).四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．(本小題滿分13分)已知圓C：x2＋y2－2y－4＝0，直線l：mx－y＋1－m＝0.(1)推斷直線l與圓C的位置關系；(2)若直線l與圓C交于不同兩點A，B，且|AB|＝3eq\r(2)，求直線l的方程．[解析](1)圓C的標準方程為x2＋(y－1)2＝5，所以圓C的圓心為C(0,1)，半徑r＝eq\r(5)，圓心C(0,1)到直線l：mx－y＋1－m＝0的距離d＝eq\f(|0－1＋1－m|,\r(m2＋1))＝eq\f(|m|,\r(m2＋1))<1<eq\r(5)，因此直線l與圓C相交．(2)設圓心到直線l的距離為d，則d＝eq\r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，又d＝eq\f(|m|,\r(m2＋1))，∴eq\f(|m|,\r(m2＋1))＝eq\f(\r(2),2)，解得m＝±1，∴所求直線l的方程為x－y＝0或x＋y－2＝0.16．(本小題滿分15分)過點M(1,2)的直線l.(1)當l在兩個坐標軸上的截距的確定值相等時，求直線l的方程；(2)若l與坐標軸交于A、B兩點，原點O到l的距離為1時，求直線l的方程以及△AOB的面積．[解析](1)當l過原點時，設l方程為y＝kx，∴2＝k，∴l(xiāng)方程為y＝2x，當l不過原點時，設l方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，①a＝b時，把M(1,2)代入得eq\f(1,a)＋eq\f(2,a)＝1，∴a＝3，l方程為x＋y－3＝0；②a＝－b時，把M(1,2)代入得eq\f(1,a)－eq\f(2,a)＝1，a＝－1，l方程為x－y＋1＝0.綜上所述，直線l的方程為：2x－y＝0或x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.(2)依題，直線l斜率存在，設其為k，設l方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，∴原點O到l的距離d＝eq\f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝1，則k＝eq\f(3,4)，∴直線l的方程為3x－4y＋5＝0；△AOB的面積S＝eq\f(1,2)×eq\f(5,3)×eq\f(5,4)＝eq\f(25,24).17．(本小題滿分15分)已知圓C的圓心在直線2x－y＝0上，且與y軸相切于點(0,2)．(1)求圓C的方程；(2)若圓C與直線l：x－y＋m＝0交于A，B兩點，___________，求m的值．從下列三個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：條件①：∠ACB＝120°；條件②：|AB|＝eq\r(3)；條件③：eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2).注：假如選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．[解析](1)設圓心坐標為C(a，b)，半徑為r，因為圓心C在直線2x－y＝0上，所以2a＝b.又圓C與y軸相切于點(0,2)，所以a＝1，b＝2，r＝|a－0|＝1，所以圓C的圓心坐標為C(1,2)，r＝1，則圓C的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝1.(2)假如選擇條件①，因為∠ACB＝120°，|CA|＝|CB|＝1，所以圓心C到直線l的距離d＝|CA|·cos60°＝eq\f(1,2)，則d＝eq\f(|1－2＋m|,\r(1＋1))＝eq\f(1,2)，解得m＝1±eq\f(\r(2),2).假如選擇條件②，因為|AB|＝eq\r(3)，|CA|＝|CB|＝1，可知圓心C到直線l的距離d＝eq\f(1,2).則d＝eq\f(|1－2＋m|,\r(1＋1))＝eq\f(1,2)，解得m＝1±eq\f(\r(2),2).假如選擇條件③，因為eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)，所以|eq\o(CA,\s\up6(→))|·|eq\o(CB,\s\up6(→))|·cos∠ACB＝－eq\f(1,2)，得∠ACB＝120°，又|CA|＝|CB|＝1，所以圓心C到直線l的距離d＝|CA|·cos60°＝eq\f(1,2)，則d＝eq\f(|1－2＋m|,\r(1＋1))＝eq\f(1,2)，解得m＝1±eq\f(\r(2),2).18．(本小題滿分17分)如圖，已知一艘海監(jiān)船O上配有雷達，其監(jiān)測范圍是半徑為25km的圓形區(qū)域，一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東40km的A處動身，徑直駛向位于海監(jiān)船正北30km的B處島嶼，速度為28km/h.問：這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測到？若能，持續(xù)時間多長？(要求用坐標法)[解析]如圖，以O為原點，東西方向為x軸建立直角坐標系，則A(40,0)，B(0,30)，圓O方程x2＋y2＝252.直線AB方程：eq\f(x,40)＋eq\f(y,30)＝1，即3x＋4y－120＝0.設O到AB距離為d，則d＝eq\f(|－120|,5)＝24<25，所以外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測到．設持續(xù)時間為t，則t＝eq\f(2\r(252－242),28)＝0.5(h)，即外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測到，持續(xù)時間是0.5h.19．(本小題滿分17分)已知點P(2,1)是圓O：x2＋y2＝8內(nèi)一點，直線l：y＝kx－4.(1)若圓O的弦AB恰好被點P(2,1)平分，求弦AB所在直線的方程；(2)若過點P(2,1)作圓O的兩條相互垂直的弦EF，GH，求四邊形EGFH面積的最大值；(3)若k＝eq\f(1,2)，Q是l上的動點，過Q作圓O的兩條切線，切點分別為C，D.證明：直線CD過定點．[解析](1)由題意知AB⊥OP，∴kAB·kOP＝－1，∵kOP＝eq\f(1,2)，∴kAB＝－2，∴弦AB所在直線的方程為y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.(2)設點O到直線EF、GH的距離分別為d1，d2，則deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)＝|OP|2＝5，|EF|＝2eq\r(r2－d\o\al(2,1))＝2eq\r(8－d\o\al(2,1))，|GH|＝2eq\r(r2－d\o\al(2,2))＝2eq\r(8－d\o\al(2,2)).∴S四邊形EGFH＝eq\f(1,2)|EF|·|GH|