正方形和梯形講義

學(xué)生：科目：數(shù)學(xué)第1階段第次課教師：董英明課題正方形與梯形教學(xué)目標(biāo)掌握正方形的概念及特征，并學(xué)會識別正方形；靈活運(yùn)用正方形的該你那、特征、判定方法解決問題；掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的概念；掌握等腰梯形的性質(zhì)與判定；重點(diǎn)、難點(diǎn)掌握及靈活運(yùn)用正方形與梯形的性質(zhì)與判定考點(diǎn)及考試要求正方形的性質(zhì)和判定梯形的性質(zhì)和判定教學(xué)內(nèi)容知識框架由正方形的定義可以得知，正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一個(gè)角是直角的菱形．

2、正方形具有矩形的性質(zhì)，同時(shí)又具有菱形的性質(zhì)．可以將正方形的性質(zhì)總結(jié)如下：

邊：對邊平行，四邊相等；角：四個(gè)角都是直角；

對角線：對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角．1、幾種特殊梯形的定義、性質(zhì)、判定方法和面積公式：類別定義性質(zhì)判定面積公式梯形一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形中位線平行于兩底且等于兩底和的一半根據(jù)定義判定兩底之和與高的乘積的一半或中位線與高的乘積等腰梯形兩腰相等的梯形1.兩腰相等；

2.同一底上的兩角相等

3.兩條對角線相等

4.等腰梯形是軸對稱圖形1.根據(jù)定義判定；

2.同底兩角相等的梯形。直角梯形一腰垂直于底的梯形具有梯形的一切性質(zhì)根據(jù)定義判定2、解決梯形問題常用的方法：〔1〕“平移腰”：把梯形分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形〔圖1〕；

〔2〕“作高”：使兩腰在兩個(gè)直角三角形中〔圖2〕；

〔3〕“平移對角線”：使兩條對角線在同一個(gè)三角形中〔圖3〕；

〔4〕“延腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個(gè)等腰三角形〔圖4〕；

〔5〕“等積變形”，連結(jié)梯形上底一端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn)，并延長與下底延長線交于一點(diǎn)，構(gòu)成三角形〔圖5〕．

圖1圖2圖3圖4圖5

綜上所述：解決梯形問題的根本思想和方法就是通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把梯形問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的平行四邊形和三角形問題來解決?？键c(diǎn)一：正方形正方形的定義：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形。正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形。正方形的性質(zhì)：所以，正方形具有矩形的性質(zhì)，同時(shí)又具有菱形的性質(zhì)．性質(zhì)定理1：正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊相等。所以，正方形具有矩形的性質(zhì)，同時(shí)又具有菱形的性質(zhì)．性質(zhì)定理2：正方形的對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。正方形同時(shí)具有矩形和菱形的所有性質(zhì)，正方形的性質(zhì)可歸納為以下四條：〔1〕正方形的對邊平行，并且四條邊相等；〔2〕正方形的四個(gè)角都是直角；〔3〕正方形的對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；〔4〕正方形既是軸對稱圖形〔有四條對稱軸〕，又是中心對稱圖形。正方形的特殊性質(zhì)：正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45度；正方形兩條對角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，兩條對角線與邊的夾角也是45度。正方形的判定：判定定理1：有一組鄰邊相等的矩形是正方形；判定定理2：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；定義：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形。正方形的判定方法正方形、矩形、菱形及平行四邊形四者之間有什么關(guān)系呢？典型例題1、(2008浙江義烏)以下命題中，真命題是()A．兩條對角線垂直的四邊形是菱形B．對角線垂直且相等的四邊形是正方形C．兩條對角線相等的四邊形是矩形D．兩條對角線相等的平行四邊形是矩形〔2008廣州市〕如右圖，每個(gè)小正方形的邊長為1，把陰影局部剪下來，用剪下來的陰影局部拼成一個(gè)正方形，那么新正方形的邊長是〔〕AB2CD4、〔2008佛山12〕如圖，P是正方形ABCD對角線BD上一點(diǎn)，且BP=BC，那么∠ACP度數(shù)是°．BCBCDAP5、(2008黑龍江黑河)：正方形中，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交〔或它們的延長線〕于點(diǎn)．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)〔如圖1〕，易證．〔1〕當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)〔如圖2〕，線段和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜測，并加以證明．〔2〕當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜測．BBBBMBCNCNMCNM圖1圖2圖3AAADDD課堂練習(xí)1、以正方形ABCD的對角線AC為一邊作菱形AEFC，那么∠FAB＝＿＿＿。2、一個(gè)正方形的對角線長3cm，那么它的面積為＿＿＿。3、如下圖，把25個(gè)邊長為1的小正方形拼成一個(gè)大正方形，A、B、C、D都是小正方形的頂點(diǎn)，那么四邊形ABCD的面積為＿＿＿。4、正方形ABCD中，對角線的長是10cm，點(diǎn)P是AB上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)P到AC、BD的距離之和是＿＿＿。5、在正方形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，那么四邊形EFGH是＿＿＿形。6、如下圖不，在正方形ABCD中，M是BC上一點(diǎn)，連結(jié)AM，作AM的垂直平分線GH交AB于G，交CD于H，假設(shè)AM＝10cm，那么GH＝＿＿。10、如圖，正方形ABCD和正方形OEFG的邊長均為4，O是正方形ABCD的旋轉(zhuǎn)對稱中心，那么圖中陰影局部的面積是＿＿。精心選一選！1、在四邊形ABCD中，O是對角線的交點(diǎn)，以下條件能判定這個(gè)四邊形是正方形的是＿＿。A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB、AD∥BC，∠A＝∠CC、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC2、如下圖，在正方形ABCD中，H是BC延長線上一點(diǎn)，使CE＝CH，連結(jié)DH，延長BE交DH于G，那么下面結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是＿＿＿＿。A、BE＝DHB、∠H＋∠BEC＝90°C、BG⊥DHD、∠HDC＋∠ABE＝90°3、正方形具有而菱形沒有的性質(zhì)是＿＿＿。A、對角線互相平分B、每條對角線平分一組對角C、對角線相等D、對邊相等4、以線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B為頂點(diǎn)作位置不同的正方形，一共可作＿＿。A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)5、在正方形ABCD所在平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使P點(diǎn)與A、B、C、D中兩點(diǎn)都連在一個(gè)等邊三角形，那么這樣的P點(diǎn)有＿＿。A、5個(gè)B、12個(gè)C、9個(gè)D、15個(gè)6、如下圖，以正方形ABCD中AD邊為一邊向外作等邊ΔADE，那么∠AEB＝＿。A、10°B、15°C、20°D、12.5°7、以下說法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是＿＿A、四個(gè)角相等的四邊形是矩形B、四條邊相等的四邊形是正方形C、對角線相等的菱形是正方形D、對角線互相垂直的矩形是正方形8、如下圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝2DC，M、N分別在AB兩邊的延長線上，且有MA＝AB＝BN，那么MC與DN的關(guān)系是＿＿。A、相等B、垂直C、垂直且相等D、不能確定9、兩條鄰邊分別是15cm和20cm的平行四邊形最大面積是＿＿＿＿cm2。A、75B、150C、200D、300簡答與證明1、如下圖，正方形ABCD中，P是對角線AC上一點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F。請猜測EF與PD的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系，并說明理由。2、：如下圖，在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公共頂點(diǎn)A，把正方形AEFG繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如下圖位置，連結(jié)DG、BE。試說明：DG＝BE。3、：如下圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AD、DC的交點(diǎn)，AF、BE交于點(diǎn)G，連結(jié)CG，試說明：ΔCGB是等腰三角形。4、如下圖，在RtΔABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分線交于點(diǎn)D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，試說明四邊形CEDF為正方形。5、：如下圖，E、F分別是正方形的邊BC、DC上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，求證：BE＋DF＝EF6、如下圖，在正方形ABCD中，M為AB上任意一點(diǎn)，MN⊥DM，BN平分∠CBE，試說明：MD＝MN。7、：如下圖，ABCD是正方形，過B作BF∥AC，E是BF上一點(diǎn)，四邊形AEFC是菱形，試說明：∠FCA＝5∠F。8、如下圖，ABCD是正方形，AE∥DB，BE＝BD，BE交AD于F，試說明：ΔDEF是腰三角形。考點(diǎn)二:梯形梯形的概念：一組對邊平行，而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。在梯形中，平行的兩邊叫做梯形的底邊，不平行的兩邊叫做梯形的腰，夾在兩底之間的垂線段叫做梯形的高。梯形是特殊的四邊形，它保持了四邊形的一般性質(zhì)，同時(shí)還具有其特殊的性質(zhì)：從邊看成，平行的一組對邊不能相等，否那么它就成了平行四邊形；從角看成，同一腰上的兩個(gè)角互補(bǔ)；梯形上下底是以長短區(qū)分的，不是由位置確定的。2、等腰梯形的定義：把兩腰相等的梯形叫等腰梯形。3、等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個(gè)底角相等，兩個(gè)對角線相等。梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。4、等腰梯形的判定：在同一底上的兩個(gè)底角相等的梯形是等腰梯形。等腰梯形的判定方法有：兩腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上的兩個(gè)底角相等的梯形是等腰梯形；對角線相等的梯形是等腰梯形；對角互補(bǔ)的梯形是等腰梯形。簡單平面圖形的重心：作用于物體的各局部的重力，可以看成做一個(gè)大小等于各個(gè)重邊總和的力作用于物體的苛一點(diǎn)，這一點(diǎn)就叫做物體的重心。注：一條線段的重心就是這條線段的中點(diǎn)；三角形的重心是它的三條中線的交點(diǎn)；平行四邊形的重心是兩條對角線的交點(diǎn)；中心對稱圖形的重心是它的對稱中心點(diǎn)，軸對稱圖形的重心一定在它的對稱軸上。典型例題DDCFBAE(2008年浙江省紹興市)如圖，沿虛線將剪開，那么得到的四邊形是〔〕A．梯形 B．平行四邊形 C．矩形 D．菱形〔2008年山東省濰坊市〕如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,BC=BD,∠A=100°,那么∠C=()A.80°B.70°C.75°D.60°3.〔2008年湖南省邵陽市〕學(xué)生在討論命題：“如圖〔1〕，梯形中，，，那么．”的證明方法時(shí)，提出了如下三種思路．思路1：過一個(gè)頂點(diǎn)作另一腰的平行線，轉(zhuǎn)化為等腰三角形和平行四邊形；思路2：過同一底邊上的頂點(diǎn)作另一條底邊的垂線，轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形；思路3：延長兩腰相交于一點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為等腰三角形．請你結(jié)合以上思路，用適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明該命題．ADADCB圖〔1〕4.(2008廣東深圳)如圖5，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，過點(diǎn)A作AE∥BD，交CD的延長線于點(diǎn)E，且∠C＝2∠E．〔1〕求證：梯形ABCD是等腰梯形．〔2〕假設(shè)∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的長．課堂練習(xí)選擇題：1．四邊形四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為2：2：1：3，那么此四邊形是〔〕A任意四邊形B任意梯形C等腰梯形D直角梯形2．在周長為40cm的梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC交BC于E，AD＝5cm，那么△ABE的周長為〔〕A40cmB30cmC20cmD15cm3．以線段a＝16，b＝13，c＝10,d＝6為邊畫梯形，其中a、c為兩底，這樣的梯形〔〕A可畫一個(gè)B能畫二個(gè)C能畫無數(shù)個(gè)D不能畫4．梯形上底長為6cm，過上底一個(gè)頂點(diǎn)引一腰的平行線交下底所得三角形周長為5cm，那么這個(gè)梯形周長為〔〕A151cmB201cmC207cmD263cm5．以下圖形中不是中心對稱圖形的是〔〕A線段B矩形C等腰梯形D正方形填空題：梯形上底長為5cm，過上底的一端引一腰的平行線與下底相交，假設(shè)所得三角形的周長為20cm，那么梯形的周長為__________。等腰梯形的上底與高相等，下底是上底的3倍，那么下底的一個(gè)底角為__________。假設(shè)等腰梯形ABCD的周長為30cm，AD∥BC,BC＝2AD，BD平分∠ABC，那么AB＝________,AD＝________,∠A＝_______，∠B＝________。梯形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝4：1：2，那么∠D＝__________。在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,∠B＝2∠D，AD＝a，CD＝b，那么AB＝________。等腰梯形的腰長與上底相等，下底是上底的2倍，那么這個(gè)梯形的各內(nèi)角度數(shù)分別為__________。梯形ABCD的AD∥BC(AD>BC)，AD＝m，BC＝n,∠B＝55°,∠C＝70°，那么CD＝__________。O為梯形ABCD的對角線交點(diǎn)，BO＝2DO,△AOD的面積為a，那么△ODC的面積為_________。解答題：如圖，梯形ABCD的AD∥BC，AB＝AD＝DC，BD＝BC，求∠C的度數(shù)。課后作業(yè)1.〔2007濱州〕對角線互相垂直平分的四邊形是〔〕A．平行四邊形、菱形 B．矩形、菱形 C．矩形、正方形 D．菱形、正方形2.〔2008常州〕順次連接菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是〔〕A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四邊形 D.矩形3.〔2008揚(yáng)州〕如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以下結(jié)論中不正確的選項(xiàng)是〔〕A．當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形B．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形ＡＦＣＤＢＥDCBAC．當(dāng)∠ＡＦＣＤＢＥDCBA4.〔2007連云港〕如圖，在中，點(diǎn)分別在邊，，上，且，．以下四個(gè)判斷中，不正確的選項(xiàng)是〔〕A．四邊形是平行四邊形B．如果，那么四邊形是矩形C．如果平分，那么四邊形是菱形D．如果且，那么四邊形是菱形5.〔2007德州〕如圖，四邊形為矩形紙片．把紙片折疊，使點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處，折痕為．假設(shè)，那么等于〔〕ＡＤA．B．C．D．ＡＤＢＦＣＥＢＦＣＥ6.〔2008濰坊〕如圖，矩形的周長為，兩條對角線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，分別交于點(diǎn)，連結(jié)，那么的周長為〔〕A．5cm B．8cm