備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)8.1計(jì)數(shù)原理及排列組合(精練)(原卷版+解析)

8.1計(jì)數(shù)原理及排列組合（精練）（提升版）題組一題組一排隊(duì)1．（2022·柳州模擬）今年中國空間站將進(jìn)入到另一個全新的正式建造階段，首批參加中國空間站建造的6名航天員，將會分別搭乘著神舟十四號和神舟十五號載人飛船，接連去往中國空間站，并且在上面“會師”中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)中國空間站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問天實(shí)驗(yàn)艙安排2人，夢天實(shí)驗(yàn)的安排1人．若甲、乙兩人不能同時在一個艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有（）A．44種 B．48種 C．60種 D．50種2．（2022·焦作模擬）小張接到4項(xiàng)工作，要在下周一、周二、周三這3天中完成，每天至少完成1項(xiàng)，且周一只能完成其中1項(xiàng)工作，則不同的安排方式有（）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種3．（2022·汕頭模擬）2022年北京冬季奧運(yùn)會期間，從3名男志愿者和2名女志愿者中選4名去支援“冰壺”“花樣滑冰”“短道速滑”三項(xiàng)比賽志愿者工作，其中冰壺項(xiàng)目需要一男一女兩名，花樣滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．則不同的支援方法的種數(shù)是（）A．36 B．24 C．18 D．424．（2022·內(nèi)江模擬）安排6名醫(yī)生去甲、乙、丙3個單位做核酸檢測，每個單位去2名醫(yī)生，其中醫(yī)生A去甲單位，醫(yī)生B不去乙單位，則不同的選派方式共有（）A．18種 B．12種 C．9種 D．6種5．（2022·益陽模擬）為迎接新年到來，某中學(xué)2022作“唱響時代強(qiáng)音，放飛青春夢想”元旦文藝晚會如期舉行.校文娛組委員會要在原定排好的8個學(xué)生節(jié)目中增加2個教師節(jié)目，若保持原來的8個節(jié)目的出場順序不變，則不同排法的種數(shù)為（）A．36 B．45 C．72 D．906．（2022·佛山模擬）“五經(jīng)”是儒家典籍《周易》、《尚書》、《詩經(jīng)》、《禮記》、《春秋》的合稱．為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，某校在周末興趣活動中開展了“五經(jīng)”知識講座，每經(jīng)排1節(jié)，連排5節(jié)，則《詩經(jīng)》、《春秋》分開排的情況有種．7．（2022·臨沂模擬）志愿服務(wù)是全員核酸檢測工作的重要基礎(chǔ)和保障，某核酸檢測站點(diǎn)需要連續(xù)六天有志愿者參加服務(wù)，每天只需要一名志愿者，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，計(jì)劃依次安排到該站點(diǎn)參加服務(wù)，要求甲不安排第一天，乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)，則不同的安排方案共有（）A．72種 B．81種 C．144種 D．192種8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有8個人男3女）站成一排.(1)女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？(2)其中甲必須站在排頭有多少種不同排法？(3)其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法？(4)其中甲、乙兩人不相鄰有多少種不同的排法？(5)其中甲在乙的左邊有多少種不同的排法？(6)其中甲乙丙不能彼此相鄰，有多少種不同排法？(7)男生在一起，女生也在一起，有多少種不同排法？(8)第3和第6個排男生，有多少種不同排法？(9)甲乙不能排在前3位，有多少種不同排法？(10)女生兩旁必須有男生，有多少種不同排法？題組二題組二排數(shù)1．（2022·河南模擬）由數(shù)字1，2，3組成六位數(shù)（數(shù)字可以不完全使用），若每個數(shù)字最多出現(xiàn)三次，則這樣的六位數(shù)的個數(shù)是（）A．420 B．450 C．510 D．5202．（2022·石家莊模擬）小小的火柴棒可以拼成幾何圖形，也可以拼成數(shù)字.如下圖所示，我們可以用火柴棒拼出1至9這9個數(shù)字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用8根火柴棒以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胗颐娴谋砀裰校]有放入火柴棒的空位表示數(shù)字“0”），那么最多可以表示無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（）.A．8 B．12 C．16 D．203．（2022·濟(jì)南模擬）由1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有（）A．60個 B．48個 C．36個 D．24個4．（2022·浙江模擬）將1，2，3，4，5，6，7，8八個數(shù)字排成一排，滿足相鄰兩項(xiàng)以及頭尾兩項(xiàng)的差均不大于2，則這樣的排列方式共有種.（用數(shù)字作答）5．（2021張家港期中）用1，2，3，4，5這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù).（1）在組成的三位數(shù)中，求所有偶數(shù)的個數(shù)；（2）在組成的四位數(shù)中，求大于2000的自然數(shù)個數(shù)；（3）在組成的五位數(shù)中，求恰有一個偶數(shù)數(shù)字夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間的自然數(shù)的個數(shù).題組三題組三分組分配1．（2022·晉中模擬）北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合.某商場決定派小王和小高等7名志愿者將兩個吉祥物安裝在大廣場上，每人參與且只參與一個吉祥物的安裝，每個吉祥物都至少由三名志愿者安裝，若小王和小高必須安裝不同的吉祥物，則不同的分配方案種數(shù)為（）A．40 B．30 C．20 D．802．（2022·江西模擬）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”，有著可愛的外表和豐富的寓意，深受各國人民的喜愛.為了表彰?兩個志愿者小組，組委會決定將3個不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3個不同造型“雪容融”吉祥物，平均分配給?兩個小組，要求每個小組至少有一個“冰墩墩”，則這6個吉祥物的分配方法種數(shù)為（）A．9 B．18 C．19 D．203（2022·廣東三模）將5名核酸檢測工作志愿者分配到防疫測溫?信息登記?維持秩序?現(xiàn)場指引4個崗位，每名志愿者只分配1個崗位，每個崗位至少分配1名志愿者，則不同分配方案共有（）A．120種 B．240種 C．360種 D．480種4．（2022·晉城二模）第13屆冬殘奧會于3月4日在北京開幕．帶著“一起向未來”的希冀，給疫情下的世界帶來了信心．為了運(yùn)動會的順利舉行，組織了一些志愿者協(xié)助運(yùn)動會的工作．有來自某大學(xué)的2名男老師，2名女老師和1名學(xué)生的志愿者被組織方分配到某比賽場館參加連續(xù)5天的協(xié)助工作，每人服務(wù)1天，如果2名男老師不能安排在相鄰的兩天，2名女老師也不能安排在相鄰的兩天，那么符合條件的不同安排方案共有（）A．120種 B．96種 C．48種 D．24種5．（2022·合肥模擬）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問天實(shí)驗(yàn)艙與夢天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人．若甲、乙兩人不能同時在一個艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有（）A．8種 B．14種 C．20種 D．116種（2021賓縣月考）將四個編號為1，2，3，4的小球放入四個編號為1，2，3，4的盒子中．（1）若每盒至多一球，則有多少種放法？（2）若恰好有一個空盒，則有多少種放法？（3）若每個盒內(nèi)放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，則有多少種放法？7．（2022黃豆）將4個編號為1、2、3、4的不同小球全部放入4個編號為1、2、3、4的4個不同盒子中.求：（1）每個盒至少一個球，有多少種不同的放法？（2）恰好有一個空盒，有多少種不同的放法？（3）每盒放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，有多少種不同的放法？（4）把已知中4個不同的小球換成四個完全相同的小球（無編號），其余條件不變，恰有一個空盒，有多少種不同的放法？題組四題組四涂色1．（2022·重慶九龍坡）隨機(jī)給如圖所示的四塊三角形區(qū)域涂色，有紅、黃、藍(lán)、綠、黑這5種顏色供選擇，則“任意兩個有公共邊的三角形所涂顏色不同”的概率為（

）A． B． C． D．2．（2022·福建三明）漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶．如圖所示的弦圖由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成．現(xiàn)用5種不同的顏色對這四個直角三角形和一個正方形區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方案有（

）A．180 B．192 C．300 D．4203．（2021·廣西·欽州市大寺中學(xué)）如圖所示是由一個圓?一個三角形和一個長方形構(gòu)成的圖形，現(xiàn)有紅?藍(lán)兩種顏色隨意為其涂色，每個圖形只能涂一種顏色，則相鄰兩個圖形顏色不相同的概率為（

）A． B． C． D．4．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中）如圖所示，積木拼盤由，，，，五塊積木組成，若每塊積木都要涂一種顏色，且為了體現(xiàn)拼盤的特色，相鄰的區(qū)域需涂不同的顏色（如：與為相鄰區(qū)域，與為不相鄰區(qū)域），現(xiàn)有五種不同的顏色可供挑選，則不同的涂色方法的種數(shù)是（

）A．780 B．840 C．900 D．9605．（2021·江西·橫峰中學(xué)）如圖所示的幾何體由三棱錐與三棱柱組合而成，現(xiàn)用種不同顏色對這個幾何體的表面涂色(底面不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有（

）A．種 B．種C．種 D．種\6．（2022·重慶市璧山中學(xué)校）在一個正六邊形的六個區(qū)域涂色（如圖），要求同一區(qū)域同一種顏色，相鄰的兩塊區(qū)域（有公共邊）涂不同的顏色，現(xiàn)有種不同的顏色可供選擇，則不同涂色方案有（）A．種 B．種 C．種 D．種7．（2022·廣東·揭陽市榕城區(qū)仙橋中學(xué)）現(xiàn)有6種不同的顏色，給圖中的6個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有（

）A．720種 B．1440種 C．2880種 D．4320種8．（2022·全國·高三課時練習(xí)）用紅、黃、藍(lán)、綠、橙五種不同顏色給如圖所示的5塊區(qū)域、、、、涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，有共公邊的區(qū)域使用不同顏色，則共有涂色方法（

）A．120種 B．720種 C．840種 D．960種9．（2022·黑龍江齊齊哈爾）學(xué)習(xí)涂色能鍛煉手眼協(xié)調(diào)能力，更能提高審美能力.現(xiàn)有四種不同的顏色：湖藍(lán)色、米白色、橄欖綠、薄荷綠，欲給小房子中的四個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不涂同一顏色，且橄欖綠與薄荷綠也不涂在相鄰的區(qū)域內(nèi)，則共有______種不同的涂色方法.10．（2022·湘贛皖模擬）用四種顏色給正四棱錐的五個頂點(diǎn)涂色，要求每個頂點(diǎn)涂一種顏色，且每條棱的兩個頂點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂法有（）A．72種 B．36種 C．12種 D．60種11．（2022·浙江模擬）如圖，用4種不同的顏色給圖中的8個區(qū)域涂色，每種顏色至少使用一次，每個區(qū)域僅涂一種顏色，且相鄰區(qū)域所涂顏色互不相同，則區(qū)域，，，和，，，分別各涂2種不同顏色的涂色方法共有種；區(qū)域，，，和，，，分別各涂4種不同顏色的涂色方法共有種.8.1計(jì)數(shù)原理及排列組合（精練）（提升版）題組一題組一排隊(duì)1．（2022·柳州模擬）今年中國空間站將進(jìn)入到另一個全新的正式建造階段，首批參加中國空間站建造的6名航天員，將會分別搭乘著神舟十四號和神舟十五號載人飛船，接連去往中國空間站，并且在上面“會師”中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)中國空間站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問天實(shí)驗(yàn)艙安排2人，夢天實(shí)驗(yàn)的安排1人．若甲、乙兩人不能同時在一個艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有（）A．44種 B．48種 C．60種 D．50種【答案】C【解析】由題意，要安排甲，乙，丙，丁等6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問天實(shí)驗(yàn)艙安排2人，夢天實(shí)驗(yàn)艙安排1人，共有種方案；若甲、乙兩人同時在天和核心艙做實(shí)驗(yàn)，則有種方案；若甲、乙兩人同時在問天實(shí)驗(yàn)艙做實(shí)驗(yàn)，則有種方案所以甲、乙兩人不能同時在一個艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則共有60-12-4=44不同的安排方案.故選：C2．（2022·焦作模擬）小張接到4項(xiàng)工作，要在下周一、周二、周三這3天中完成，每天至少完成1項(xiàng)，且周一只能完成其中1項(xiàng)工作，則不同的安排方式有（）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種【答案】C【解析】先從4項(xiàng)工作中選1項(xiàng)安排在周一完成，再從剩下的工作中選2項(xiàng)安排在周二或周三，所以不同的安排方式有種。故答案為：C3．（2022·汕頭模擬）2022年北京冬季奧運(yùn)會期間，從3名男志愿者和2名女志愿者中選4名去支援“冰壺”“花樣滑冰”“短道速滑”三項(xiàng)比賽志愿者工作，其中冰壺項(xiàng)目需要一男一女兩名，花樣滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．則不同的支援方法的種數(shù)是（）A．36 B．24 C．18 D．42【答案】A【解析】第一步從3名男志愿者和2名女志愿者各選一名志愿者去支援冰壺項(xiàng)目，選法共有種；第二步從剩余的3人中選一人去支援花樣滑冰，選法共有種；第三步從剩余的2人中選一人去支援短道速滑，選法共有種；依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的支援方法的種數(shù)是，故答案為：A.4．（2022·內(nèi)江模擬）安排6名醫(yī)生去甲、乙、丙3個單位做核酸檢測，每個單位去2名醫(yī)生，其中醫(yī)生A去甲單位，醫(yī)生B不去乙單位，則不同的選派方式共有（）A．18種 B．12種 C．9種 D．6種【答案】A【解析】根據(jù)題意分2種情況討論：（1）B去甲單位，則A，B在一起，都去甲單位，將剩下4人分為2組，安排在乙、丙兩個單位即可，有種安排方法；（2）B不去甲單位，則B必去丙單位，在剩下4人中選出2人安排在乙單位，再將剩下2人分別安排到甲、丙，有種安排方法，則有種安排方法，故答案為：A5．（2022·益陽模擬）為迎接新年到來，某中學(xué)2022作“唱響時代強(qiáng)音，放飛青春夢想”元旦文藝晚會如期舉行.校文娛組委員會要在原定排好的8個學(xué)生節(jié)目中增加2個教師節(jié)目，若保持原來的8個節(jié)目的出場順序不變，則不同排法的種數(shù)為（）A．36 B．45 C．72 D．90【答案】D【解析】采用插空法即可：第1步：原來排好的8個學(xué)生節(jié)目產(chǎn)生9個空隙，插入1個教師節(jié)目有9種排法；第2步：排好的8個學(xué)生節(jié)目和1個教師節(jié)目產(chǎn)生10個空隙，插入1個教師節(jié)目共有10種排法，故共有9×10＝90種排法.故答案為：D.6．（2022·佛山模擬）“五經(jīng)”是儒家典籍《周易》、《尚書》、《詩經(jīng)》、《禮記》、《春秋》的合稱．為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，某校在周末興趣活動中開展了“五經(jīng)”知識講座，每經(jīng)排1節(jié)，連排5節(jié)，則《詩經(jīng)》、《春秋》分開排的情況有種．【答案】72【解析】先將《周易》、《尚書》、《禮記》進(jìn)行排列，共有種排法再從產(chǎn)生的4個空位中選2個安排《詩經(jīng)》、《春秋》，共有種排法所以滿足條件的情形共有種．故答案為：727．（2022·臨沂模擬）志愿服務(wù)是全員核酸檢測工作的重要基礎(chǔ)和保障，某核酸檢測站點(diǎn)需要連續(xù)六天有志愿者參加服務(wù)，每天只需要一名志愿者，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，計(jì)劃依次安排到該站點(diǎn)參加服務(wù)，要求甲不安排第一天，乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)，則不同的安排方案共有（）A．72種 B．81種 C．144種 D．192種【答案】D【解析】若乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)，不同的排法種數(shù)為，若乙和丙在相鄰兩天且甲安排在第一天參加服務(wù)，不同的排法種數(shù)為，由間接法可知，滿足條件的排法種數(shù)為種.故答案為：D.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有8個人男3女）站成一排.(1)女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？(2)其中甲必須站在排頭有多少種不同排法？(3)其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法？(4)其中甲、乙兩人不相鄰有多少種不同的排法？(5)其中甲在乙的左邊有多少種不同的排法？(6)其中甲乙丙不能彼此相鄰，有多少種不同排法？(7)男生在一起，女生也在一起，有多少種不同排法？(8)第3和第6個排男生，有多少種不同排法？(9)甲乙不能排在前3位，有多少種不同排法？(10)女生兩旁必須有男生，有多少種不同排法？【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)【解析】(1)根據(jù)題意，先將3名女生看成一個整體，考慮三人之間的順序，有種情況，將這個整體與5名男生全排列，有種情況，則女生必須排在一起的排法有種；(2)根據(jù)題意，甲必須站在排頭，有1種情況，將剩下的7人全排列，有種情況，則甲必須站在排頭有種排法；(3)根據(jù)題意，將甲乙兩人安排在中間6個位置，有種情況，將剩下的6人全排列，有種情況，則甲、乙兩人不能排在兩端有種排法；(4)根據(jù)題意，先將出甲乙之外的6人全排列，有種情況，排好后有7個空位，則7個空位中，任選2個，安排甲乙二人，有種情況，則甲、乙兩人不相鄰有種排法；(5)根據(jù)題意，將8人全排列，有種情況，其中甲在乙的左邊與甲在乙的右邊的情況數(shù)目相同，則甲在乙的左邊有種不同的排法；(6)根據(jù)題意，先將出甲乙丙之外的5人全排列，有種情況，排好后有6個空位，則6個空位中，任選3個，安排甲乙丙三人，有種情況，其中甲乙丙不能彼此相鄰有種不同排法；(7)根據(jù)題意，先將3名女生看成一個整體，考慮三人之間的順序，有種情況，再將5名男生看成一個整體，考慮5人之間的順序，有種情況，將男生、女生整體全排列，有種情況，則男生在一起，女生也在一起，有種不同排法；(8)根據(jù)題意，在5個男生中任選2個，安排在第3和第6個位置，有種情況，將剩下的6人全排列，有種情況，則第3和第6個排男生，有種不同排法；(9)根據(jù)題意，將甲乙兩人安排在后面的5個位置，有種情況，將剩下的6人全排列，有種情況，甲乙不能排在前3位，有種不同排法；(10)根據(jù)題意，將5名男生全排列，有種情況，排好后除去2端有4個空位可選，在4個空位中任選3個，安排3名女生，有種情況，則女生兩旁必須有男生，有種不同排法.題組二題組二排數(shù)1．（2022·河南模擬）由數(shù)字1，2，3組成六位數(shù)（數(shù)字可以不完全使用），若每個數(shù)字最多出現(xiàn)三次，則這樣的六位數(shù)的個數(shù)是（）A．420 B．450 C．510 D．520【答案】C【解析】所求的六位數(shù)分三類，第一類：一個數(shù)字出現(xiàn)0次，另外兩個數(shù)字各出現(xiàn)3次，有個；第二類：一個數(shù)字出現(xiàn)1次，一個數(shù)字出現(xiàn)2次，一個數(shù)字出現(xiàn)3次，有個；第三類；每個數(shù)字出現(xiàn)2次，有個.所以共有個滿足題意的六位數(shù).故答案為：C.2．（2022·石家莊模擬）小小的火柴棒可以拼成幾何圖形，也可以拼成數(shù)字.如下圖所示，我們可以用火柴棒拼出1至9這9個數(shù)字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用8根火柴棒以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胗颐娴谋砀裰校]有放入火柴棒的空位表示數(shù)字“0”），那么最多可以表示無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（）.A．8 B．12 C．16 D．20【答案】D【解析】由題意用2根火柴棒表示數(shù)字1，3根火柴棒表示數(shù)字7，4根火柴棒表示數(shù)字4，5根火柴棒表示數(shù)字2，3或者5，6根火柴棒表示數(shù)字6或9，7根火柴棒表示數(shù)字8，數(shù)字不重復(fù)，因此8根火柴棒只能分成兩級：2和6，3和5，組成兩個數(shù)字，還有數(shù)字只能為0，這樣組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)個數(shù)為：．故答案為：D．3．（2022·濟(jì)南模擬）由1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有（）A．60個 B．48個 C．36個 D．24個【答案】C【解析】先排個位，然后排萬位，再排其它位置，所以由1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有個.故答案為：C4．（2022·浙江模擬）將1，2，3，4，5，6，7，8八個數(shù)字排成一排，滿足相鄰兩項(xiàng)以及頭尾兩項(xiàng)的差均不大于2，則這樣的排列方式共有種.（用數(shù)字作答）【答案】16【解析】根據(jù)題意可將該排列問題看成一個圓環(huán)上有1，2，3，4，5，6，7，8八個數(shù)字使其滿足題意要求進(jìn)行擺放，有兩種情形，如下圖所示：然后再將此圓環(huán)分別從某一個數(shù)字處剪開排成一列，一個作為頭一個作為尾，則每一個圓環(huán)有8種剪開方式情況，故滿足題意的有種.故答案為：16.5．（2021張家港期中）用1，2，3，4，5這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù).（1）在組成的三位數(shù)中，求所有偶數(shù)的個數(shù)；（2）在組成的四位數(shù)中，求大于2000的自然數(shù)個數(shù)；（3）在組成的五位數(shù)中，求恰有一個偶數(shù)數(shù)字夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間的自然數(shù)的個數(shù).【答案】（1）24（2）96（3）48【解析】（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①三位偶數(shù)的個位必須是2或4，有2種情況，②在剩下的4個數(shù)字中任選2個，作為三位數(shù)的百位?十位，有種情況，則有個三位偶數(shù)，（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①要求四位數(shù)大于2000，其千位數(shù)字必須為2?3?4?5，有4種情況，②在剩下的4個數(shù)字中任選3個，作為三位數(shù)的百位?十位?個位，有種情況，則有個符合題意的四位數(shù)；（3）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①選出1個偶數(shù)，夾在兩個奇數(shù)之間，有種情況，②將這個整體與其他2個數(shù)字全排列，有種情況，其中有2個偶數(shù)夾在奇數(shù)之間的情況有2種，則有種恰有一個偶數(shù)數(shù)字夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間的情況，故有個符合題意的五位數(shù).題組三題組三分組分配1．（2022·晉中模擬）北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合.某商場決定派小王和小高等7名志愿者將兩個吉祥物安裝在大廣場上，每人參與且只參與一個吉祥物的安裝，每個吉祥物都至少由三名志愿者安裝，若小王和小高必須安裝不同的吉祥物，則不同的分配方案種數(shù)為（）A．40 B．30 C．20 D．80【答案】A【解析】小王和小高必須安裝不同的吉祥物，則有（種）分配方案，剩下5人分兩組，一組2人，一組3人，有（種）分配方案，然后分配到參與兩個吉祥物的安裝，有（種）分配方案，則共有40種分配方案.故答案為：A.2．（2022·江西模擬）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”，有著可愛的外表和豐富的寓意，深受各國人民的喜愛.為了表彰?兩個志愿者小組，組委會決定將3個不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3個不同造型“雪容融”吉祥物，平均分配給?兩個小組，要求每個小組至少有一個“冰墩墩”，則這6個吉祥物的分配方法種數(shù)為（）A．9 B．18 C．19 D．20【答案】B【解析】依題意小組“冰墩墩”可能有1個或2個，①小組有1個“冰墩墩”，則有種分配方法；②小組有2個“冰墩墩”，則有種分配方法；綜上可得一共有種分配方法；故答案為：B3（2022·廣東三模）將5名核酸檢測工作志愿者分配到防疫測溫?信息登記?維持秩序?現(xiàn)場指引4個崗位，每名志愿者只分配1個崗位，每個崗位至少分配1名志愿者，則不同分配方案共有（）A．120種 B．240種 C．360種 D．480種【答案】B【解析】首先從5人中選出2人作為一組，再與其余3人一同分配到4個不同的崗位，故有種不同的分配方案；故答案為：B4．（2022·晉城二模）第13屆冬殘奧會于3月4日在北京開幕．帶著“一起向未來”的希冀，給疫情下的世界帶來了信心．為了運(yùn)動會的順利舉行，組織了一些志愿者協(xié)助運(yùn)動會的工作．有來自某大學(xué)的2名男老師，2名女老師和1名學(xué)生的志愿者被組織方分配到某比賽場館參加連續(xù)5天的協(xié)助工作，每人服務(wù)1天，如果2名男老師不能安排在相鄰的兩天，2名女老師也不能安排在相鄰的兩天，那么符合條件的不同安排方案共有（）A．120種 B．96種 C．48種 D．24種【答案】C【解析】若將2名男老師安排在相鄰兩天，由捆綁法知有種安排方案，同理將2名女老師安排在相鄰兩天，有種安排方案，2名男老師安排在相鄰兩天且2名女老師也安排在相鄰兩天，有種安排方案，所以符合條件的安排方案共有.故答案為：C.5．（2022·合肥模擬）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問天實(shí)驗(yàn)艙與夢天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人．若甲、乙兩人不能同時在一個艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有（）A．8種 B．14種 C．20種 D．116種【答案】B【解析】按照甲是否在天和核心艙劃分，①若甲在天和核心艙，天和核心艙需要從除了甲乙之外的三人中選取兩人，剩下兩人去剩下兩個艙位，則有種可能；②若甲不在天和核心艙，需要從問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙中挑選一個，剩下四人中選取三人進(jìn)入天和核心艙即可，則有種可能；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有6+8=14種可能.故答案為：B.（2021賓縣月考）將四個編號為1，2，3，4的小球放入四個編號為1，2，3，4的盒子中．（1）若每盒至多一球，則有多少種放法？（2）若恰好有一個空盒，則有多少種放法？（3）若每個盒內(nèi)放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，則有多少種放法？【解析】（1）24（2）144（3）8【答案】（1）每盒至多一球，這是4個元素全排列問題，共有種．答：共有24種放法．（2）先取四個球中的兩個“捆”在一起，有種選法，把它與其他兩個球共三個元素分別放入四個盒子中的三個盒子，有種投放方法，所以共有（種）放法．答：共有144種放法．（3）一個球的編號與盒子編號相同的選法有種，當(dāng)一個球與一個盒子的編號相同時，用局部列舉法可知其余三個球的投入方法有2種，故共有（種）放法．答：共有8種放法．7．（2022黃豆）將4個編號為1、2、3、4的不同小球全部放入4個編號為1、2、3、4的4個不同盒子中.求：（1）每個盒至少一個球，有多少種不同的放法？（2）恰好有一個空盒，有多少種不同的放法？（3）每盒放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，有多少種不同的放法？（4）把已知中4個不同的小球換成四個完全相同的小球（無編號），其余條件不變，恰有一個空盒，有多少種不同的放法？【答案】(1）24（2）144（3）8（4）12【解析】（1）解：根據(jù)題意知，每個盒子里有且只有一個小球，所求放法種數(shù)為（種）；（2）解：先將4個小球分為3組，各組的球數(shù)分別為2、1、1，然后分配給4個盒子中的3個盒子，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，所求的放法種數(shù)為（種）；（3）解：考查編號為1的盒子中放入編號為1的小球，則其它3個球均未放入相應(yīng)編號的盒子，那么編號為2、3、4的盒子中放入的小球編號可以依次為3、4、2或4、2、3，因此，所求放法種數(shù)為（種）；（4）解：按兩步進(jìn)行，空盒編號有4種情況，然后將4個完全相同的小球放入其它3個盒子，沒有空盒，則只需在4個完全相同的小球所形成的3個空（不包括兩端）中插入2塊板，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，所求的放法種數(shù)為（種）.題組四題組四涂色1．（2022·重慶九龍坡）隨機(jī)給如圖所示的四塊三角形區(qū)域涂色，有紅、黃、藍(lán)、綠、黑這5種顏色供選擇，則“任意兩個有公共邊的三角形所涂顏色不同”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：隨機(jī)給如圖所示的四塊三角形區(qū)域涂色，有紅，黃，藍(lán)，綠，黑這5種顏色供選擇，每個三角形均有種涂法，故基本事件總數(shù)，有公共邊的三角形為不同色，先考慮中間一塊涂色有5種方法，其他的三個三角形在剩下的4中顏色中任意涂色均可有種涂法，這一共有種涂法，所求概率為．故選：A．2．（2022·福建三明）漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶．如圖所示的弦圖由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成．現(xiàn)用5種不同的顏色對這四個直角三角形和一個正方形區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方案有（

）A．180 B．192 C．300 D．420【答案】D【解析】如圖，將五個區(qū)域表示為①②③④⑤，對于區(qū)域①②③，三個區(qū)域兩兩相鄰，有種；對于區(qū)域④⑤，若①與⑤顏色相同，則④有3種情況，若①與⑤顏色不同，則⑤有2種情況，④有2種情況，此時區(qū)域④⑤的情況有種情況；則一共有種情況故選：D．3．（2021·廣西·欽州市大寺中學(xué)）如圖所示是由一個圓?一個三角形和一個長方形構(gòu)成的圖形，現(xiàn)有紅?藍(lán)兩種顏色隨意為其涂色，每個圖形只能涂一種顏色，則相鄰兩個圖形顏色不相同的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】用兩種顏色為圖形涂色基本事件有：（紅，藍(lán)，藍(lán)），（紅，藍(lán)，紅），（紅，紅，藍(lán)），（紅，紅，紅），（藍(lán)，藍(lán)，藍(lán)），（藍(lán)，藍(lán)，紅），（藍(lán)，紅，藍(lán)），（藍(lán)，紅，紅），共個基本事件.相鄰兩個圖形顏色不相同的情形為：（紅，藍(lán)，紅），（藍(lán)，紅，藍(lán)），共2個基本事件，所以所求的概率為，故選：C.4．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中）如圖所示，積木拼盤由，，，，五塊積木組成，若每塊積木都要涂一種顏色，且為了體現(xiàn)拼盤的特色，相鄰的區(qū)域需涂不同的顏色（如：與為相鄰區(qū)域，與為不相鄰區(qū)域），現(xiàn)有五種不同的顏色可供挑選，則不同的涂色方法的種數(shù)是（

）A．780 B．840 C．900 D．960【答案】D【解析】先涂，則有種涂法，再涂，因?yàn)榕c相鄰，所以的顏色只要與不同即可，有種涂法，同理有種涂法，有種涂法，有種涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可知不同的涂色方法種數(shù)為．故選：D.5．（2021·江西·橫峰中學(xué)）如圖所示的幾何體由三棱錐與三棱柱組合而成，現(xiàn)用種不同顏色對這個幾何體的表面涂色(底面不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有（

）A．種 B．種C．種 D．種\【答案】C【解析】第一步：涂三棱錐P-ABC的三個側(cè)面，因?yàn)橐笙噜彽拿婢煌怨灿蟹N不同的涂法，第二步：涂三棱柱ABC-的三個側(cè)面，先涂側(cè)面有種涂法，再涂和只有1種涂法，所以涂三棱柱的三個側(cè)面共有種涂法，所以對幾何體的表面不同的涂色方案共有種涂法，故選：C6．（2022·重慶市璧山中學(xué)校）在一個正六邊形的六個區(qū)域涂色（如圖），要求同一區(qū)域同一種顏色，相鄰的兩塊區(qū)域（有公共邊）涂不同的顏色，現(xiàn)有種不同的顏色可供選擇，則不同涂色方案有（）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【解析】考慮、、三個區(qū)域用同一種顏色，共有方法數(shù)為種；考慮、、三個區(qū)域用種顏色，共有方法數(shù)為種；考慮、、三個區(qū)域用種顏色，共有方法數(shù)為種．所以共有方法數(shù)為種．故選：C．7．（2022·廣東·揭陽市榕城區(qū)仙橋中學(xué)）現(xiàn)有6種不同的顏色，