蘇教版八年級數(shù)學暑假第17講實數(shù)全章復習與測試練習(學生版+解析)

第17講實數(shù)全章復習與測試【學習目標】1.了解算術平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根.2.了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數(shù)的平方根，會用立方運算求某些數(shù)的立方根，會用計算器求平方根和立方根.3.了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，有序實數(shù)對與平面上的點一一對應；了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴大為實數(shù)后，概念、運算等的一致性及其發(fā)展變化.4.能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍.【基礎知識】一．近似數(shù)和有效數(shù)字（1）有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字．（2）近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法．（3）規(guī)律方法總結：“精確到第幾位”和“有幾個有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實際意義是不一樣的，前者可以體現(xiàn)出誤差值絕對數(shù)的大小，而后者往往可以比較幾個近似數(shù)中哪個相對更精確一些．二．平方根（1）定義：如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根．（2）求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方．一個正數(shù)a的正的平方根表示為“”，負的平方根表示為“﹣”．正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術平方根，記作．零的算術平方根仍舊是零．平方根和立方根的性質1．平方根的性質：正數(shù)a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．2．立方根的性質：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0．三．算術平方根（1）算術平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術平方根．記為．（2）非負數(shù)a的算術平方根a有雙重非負性：①被開方數(shù)a是非負數(shù)；②算術平方根a本身是非負數(shù)．（3）求一個非負數(shù)的算術平方根與求一個數(shù)的平方互為逆運算，在求一個非負數(shù)的算術平方根時，可以借助乘方運算來尋找．四．非負數(shù)的性質：算術平方根（1）非負數(shù)的性質：算術平方根具有非負性．（2）利用算術平方根的非負性求值的問題，主要是根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，開方的結果也是非負數(shù)列出不等式求解．非負數(shù)之和等于0時，各項都等于0利用此性質列方程解決求值問題．五．立方根（1）定義：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根．這就是說，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．記作：．（2）正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0，負數(shù)的立方根是負數(shù)．即任意數(shù)都有立方根．（3）求一個數(shù)a的立方根的運算叫開立方，其中a叫做被開方數(shù)．注意：符號a3中的根指數(shù)“3”不能省略；對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負數(shù)都有唯一一個立方根．【規(guī)律方法】平方根和立方根的性質1．平方根的性質：正數(shù)a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．2．立方根的性質：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0．六．計算器—數(shù)的開方正數(shù)a的算術平方根a與被開方數(shù)a的變化規(guī)律是：當被開方數(shù)a的小數(shù)點每向左或向右平移2位時，它的算術平方根的小數(shù)點也相應向左或向右平移1位，即a每擴大（或縮?。?00倍，a相應擴大（或縮?。?0倍．七．無理數(shù)（1）、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．說明：無理數(shù)是實數(shù)中不能精確地表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)．如圓周率、2的平方根等．（2）、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，比如4＝4.0，13＝0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如2＝1.414213562．②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比；而無理數(shù)不能．（3）學習要求：會判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，如分數(shù)π2是無理數(shù)，因為π是無理數(shù)．無理數(shù)常見的三種類型（1）開不盡的方根，如等．（2）特定結構的無限不循環(huán)小數(shù)，如0.303003000300003…（兩個3之間依次多一個0）．（3）含有π的絕大部分數(shù)，如2π．注意：判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結果．如是有理數(shù)，而不是無理數(shù)．八．實數(shù)（1）實數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)．（2）實數(shù)的分類：實數(shù)：或實數(shù)：九．實數(shù)的性質（1）在實數(shù)范圍內絕對值的概念與在有理數(shù)范圍內一樣．實數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應的點與原點的距離．（2）實數(shù)的絕對值：正實數(shù)a的絕對值是它本身，負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0．（3）實數(shù)a的絕對值可表示為|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是說實數(shù)a的絕對值一定是一個非負數(shù)，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），則x＝±a．實數(shù)的倒數(shù)乘積為1的兩個實數(shù)互為倒數(shù)，即若a與b互為倒數(shù)，則ab＝1；反之，若ab＝1，則a與b互為倒數(shù)，這里應特別注意的是0沒有倒數(shù)．十．實數(shù)與數(shù)軸（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應關系．任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；反之，數(shù)軸上的任意一個點都表示一個實數(shù)．數(shù)軸上的任一點表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù)．（2）在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應的點與原點的距離．（3）利用數(shù)軸可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點左側，絕對值大的反而?。唬畬崝?shù)大小比較實數(shù)大小比較（1）任意兩個實數(shù)都可以比較大?。龑崝?shù)都大于0，負實數(shù)都小于0，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)比大小，絕對值大的反而?。?）利用數(shù)軸也可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點左側，絕對值大的反而?。浪銦o理數(shù)的大小估算無理數(shù)大小要用逼近法．思維方法：用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值．十三．實數(shù)的運算（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方．（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內仍然適用．【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關鍵”1．運算法則：乘方和開方運算、冪的運算、指數(shù)（特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等．2．運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算．3．運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度．【考點剖析】一．近似數(shù)和有效數(shù)字（共1小題）1．（真題?浦東新區(qū)期末）某班級共有學生36人，其中的同學報名參加乒乓球社團，25%的同學報名參加羽毛球社團．問：報名參加乒乓球社團的同學比報名參加羽毛球社團的同學多百分之幾？（百分號前保留1位小數(shù)）二．平方根（共1小題）2．（2022春?昭陽區(qū)校級月考）一個正數(shù)x的兩平方根分別是2a﹣3和1﹣6a，求x的值．三．算術平方根（共1小題）3．（2022春?海淀區(qū)校級期中）一個數(shù)值轉換器，如圖所示：（1）當輸入的x為81時，輸出的y值是；（2）若輸入有效的x值后，始終輸不出y值，請寫出所有滿足要求的x的值；（3）若輸出的y是，請寫出兩個滿足要求的x值．四．非負數(shù)的性質：算術平方根（共1小題）4．（2022春?西城區(qū)校級期中）設a、b、c都是實數(shù)，且+|b+c+5|＝0，求代數(shù)式3a+b﹣2c的值．五．立方根（共1小題）5．（2022春?長樂區(qū)期中）已知某個正數(shù)的兩個平方根分別是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣3，求a+b的值．六．計算器—數(shù)的開方（共1小題）6．（2020?朝陽區(qū)校級開學）求一個正數(shù)的算術平方根，有些數(shù)可以直接求得，如，有些數(shù)則不能直接求得，如，但可以通過計算器求．還有一種方法可以通過一組數(shù)的內在聯(lián)系，運用規(guī)律求得，請同學們觀察下表：n160.160.00161600160000…4x0.04y400…（1）表格中x＝；y＝；（2）從表格中探究n與數(shù)位的規(guī)律，并利用這個規(guī)律解決下面兩個問題：①已知≈1.435，則≈；②已知＝1.83，若＝0.183，則x＝．七．無理數(shù)（共1小題）7．（2022?賀州二模）下列各數(shù)是無理數(shù)的是（）A．0 B．1 C．2 D．π八．實數(shù)（共1小題）8．（2022春?宜秀區(qū)校級月考）下列說法正確的是（）A．實數(shù)包括有理數(shù)、無理數(shù)和零 B．有理數(shù)包括正有理數(shù)和負有理數(shù) C．無限不循環(huán)小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都是無理數(shù) D．無論是有理數(shù)還是無理數(shù)都是實數(shù)九．實數(shù)的性質（共1小題）9．（2022春?長垣市期中）﹣2的絕對值是（）A．2﹣ B．﹣2 C． D．1一十．實數(shù)與數(shù)軸（共1小題）10．（2022?石景山區(qū)二模）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（）A．|a|＞b B．b＞a C．a+b＜0 D．ab＞0一十一．實數(shù)大小比較（共1小題）11．（2022?和縣二模）下列四個無理數(shù)中，大于1且小于2的是（）A．3﹣ B．﹣2 C．﹣1 D．2﹣一十二．估算無理數(shù)的大?。ü?小題）12．（2022?和平區(qū)三模）估計的值在（）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間一十三．實數(shù)的運算（共1小題）13．（2022春?西城區(qū)校級期中）計算：+|1﹣|﹣．【過關檢測】一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）方程|4x﹣8|+＝0，當y＞0時，m的取值范圍是（）A．0＜m＜1 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤22．（3分）在實數(shù)范圍內，代數(shù)式||﹣2|﹣3|的值為（）A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不對3．（3分）若a、b是實數(shù)，且，則a+b的值是（）A．3或﹣3 B．3或﹣1 C．﹣3或﹣1 D．3或14．（3分）代數(shù)式的最小值是（）A．0 B．3 C． D．不存在5．（3分）估計的值在（）A．2到3之間 B．3到4之間 C．4到5之間 D．5到6之間6．（3分）已知（x﹣y+3）2+＝0，則x+y的值為（）A．0 B．﹣1 C．1 D．57．（3分）若，則a的取值范圍是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤38．（3分）資陽市2012年財政收入取得重大突破，地方公共財政收入用四舍五入取近似值后為27.39億元，那么這個數(shù)值（）A．精確到億位 B．精確到百分位 C．精確到千萬位 D．精確到百萬位9．（3分）已知實數(shù)的小數(shù)部分為a，的小數(shù)部分為b，則7a+5b的值為（）A． B．0.504 C．2﹣ D．10．（3分）若|x+2|+，則xy的值為（）A．﹣8 B．﹣6 C．5 D．6二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）11．（3分）實數(shù)，0，，，0.1010010001…（兩個1之間依次多一個0），，中，無理數(shù)有．12．（3分）數(shù)軸上到原點距離為的點所表示的實數(shù)是．13．（3分）近似數(shù)1.96精確到了位；近似數(shù)3698000保留3個有效數(shù)字，用科學記數(shù)法表示為．14．（3分）若的值在兩個整數(shù)a與a+1之間，則a＝．15．（3分）如圖，在數(shù)軸上點A和點B之間的整數(shù)是．16．（3分）等腰三角形一腰長為5，一邊上的高為3，則底邊長為．17．（3分）2的平方根是，計算：＝．18．（3分）如圖是由4個邊長為1的正方形構成的“田字格”．只用沒有刻度的直尺在這個“田字格”中最多可以作出以格點為端點、長度為的線段條．三．解答題（共7小題，滿分46分）19．（6分）若a、b、c是有理數(shù)，且滿足等式a+b+c＝2﹣+3，試計算（a﹣c）2013+b2014的值．20．（6分）把下列各數(shù)填入相應的大括號里．π，2，﹣，|﹣|，2.3，30%，，．（1）整數(shù)集：{…}；（2）有理數(shù)集：{…}；（3）無理數(shù)集：{…}．21．（6分）計算下列各題．（1）+﹣；（2）﹣16﹣4；（3）|﹣|﹣+；（4）×﹣2（﹣π）0．22．（6分）設2+的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別是x、y，試求x、y的值與x﹣1的算術平方根．23．（6分）（1）已知與互為相反數(shù)，求（x﹣y）2的平方根；（2）已知|a|＝6，b2＝4，求．24．（8分）求下列各式中x的值．（1）16x2﹣81＝0；（2）﹣（x﹣2）3﹣64＝0．25．（8分）如圖，一個長為5m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端距墻4m．（1）求梯子的頂端距地面的垂直距離；（2）若將梯子的底端向墻推進1m，求梯子的頂端升高了多少米；（3）若使梯子的頂端距地面4.8m，此時應將梯子再向墻推進多少米？第17講實數(shù)全章復習與測試【學習目標】1.了解算術平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根.2.了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數(shù)的平方根，會用立方運算求某些數(shù)的立方根，會用計算器求平方根和立方根.3.了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，有序實數(shù)對與平面上的點一一對應；了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴大為實數(shù)后，概念、運算等的一致性及其發(fā)展變化.4.能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍.【基礎知識】一．近似數(shù)和有效數(shù)字（1）有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字．（2）近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法．（3）規(guī)律方法總結：“精確到第幾位”和“有幾個有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實際意義是不一樣的，前者可以體現(xiàn)出誤差值絕對數(shù)的大小，而后者往往可以比較幾個近似數(shù)中哪個相對更精確一些．二．平方根（1）定義：如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根．（2）求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方．一個正數(shù)a的正的平方根表示為“”，負的平方根表示為“﹣”．正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術平方根，記作．零的算術平方根仍舊是零．平方根和立方根的性質1．平方根的性質：正數(shù)a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．2．立方根的性質：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0．三．算術平方根（1）算術平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術平方根．記為．（2）非負數(shù)a的算術平方根a有雙重非負性：①被開方數(shù)a是非負數(shù)；②算術平方根a本身是非負數(shù)．（3）求一個非負數(shù)的算術平方根與求一個數(shù)的平方互為逆運算，在求一個非負數(shù)的算術平方根時，可以借助乘方運算來尋找．四．非負數(shù)的性質：算術平方根（1）非負數(shù)的性質：算術平方根具有非負性．（2）利用算術平方根的非負性求值的問題，主要是根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，開方的結果也是非負數(shù)列出不等式求解．非負數(shù)之和等于0時，各項都等于0利用此性質列方程解決求值問題．五．立方根（1）定義：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根．這就是說，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．記作：．（2）正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0，負數(shù)的立方根是負數(shù)．即任意數(shù)都有立方根．（3）求一個數(shù)a的立方根的運算叫開立方，其中a叫做被開方數(shù)．注意：符號a3中的根指數(shù)“3”不能省略；對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負數(shù)都有唯一一個立方根．【規(guī)律方法】平方根和立方根的性質1．平方根的性質：正數(shù)a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．2．立方根的性質：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0．六．計算器—數(shù)的開方正數(shù)a的算術平方根a與被開方數(shù)a的變化規(guī)律是：當被開方數(shù)a的小數(shù)點每向左或向右平移2位時，它的算術平方根的小數(shù)點也相應向左或向右平移1位，即a每擴大（或縮小）100倍，a相應擴大（或縮?。?0倍．七．無理數(shù)（1）、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．說明：無理數(shù)是實數(shù)中不能精確地表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)．如圓周率、2的平方根等．（2）、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，比如4＝4.0，13＝0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如2＝1.414213562．②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比；而無理數(shù)不能．（3）學習要求：會判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，如分數(shù)π2是無理數(shù)，因為π是無理數(shù)．無理數(shù)常見的三種類型（1）開不盡的方根，如等．（2）特定結構的無限不循環(huán)小數(shù)，如0.303003000300003…（兩個3之間依次多一個0）．（3）含有π的絕大部分數(shù)，如2π．注意：判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結果．如是有理數(shù)，而不是無理數(shù)．八．實數(shù)（1）實數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)．（2）實數(shù)的分類：實數(shù)：或實數(shù)：九．實數(shù)的性質（1）在實數(shù)范圍內絕對值的概念與在有理數(shù)范圍內一樣．實數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應的點與原點的距離．（2）實數(shù)的絕對值：正實數(shù)a的絕對值是它本身，負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0．（3）實數(shù)a的絕對值可表示為|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是說實數(shù)a的絕對值一定是一個非負數(shù)，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），則x＝±a．實數(shù)的倒數(shù)乘積為1的兩個實數(shù)互為倒數(shù)，即若a與b互為倒數(shù)，則ab＝1；反之，若ab＝1，則a與b互為倒數(shù)，這里應特別注意的是0沒有倒數(shù)．十．實數(shù)與數(shù)軸（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應關系．任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；反之，數(shù)軸上的任意一個點都表示一個實數(shù)．數(shù)軸上的任一點表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù)．（2）在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應的點與原點的距離．（3）利用數(shù)軸可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點左側，絕對值大的反而?。唬畬崝?shù)大小比較實數(shù)大小比較（1）任意兩個實數(shù)都可以比較大?。龑崝?shù)都大于0，負實數(shù)都小于0，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)比大小，絕對值大的反而小．（2）利用數(shù)軸也可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點左側，絕對值大的反而?。浪銦o理數(shù)的大小估算無理數(shù)大小要用逼近法．思維方法：用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值．十三．實數(shù)的運算（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方．（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內仍然適用．【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關鍵”1．運算法則：乘方和開方運算、冪的運算、指數(shù)（特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等．2．運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算．3．運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度．【考點剖析】一．近似數(shù)和有效數(shù)字（共1小題）1．（真題?浦東新區(qū)期末）某班級共有學生36人，其中的同學報名參加乒乓球社團，25%的同學報名參加羽毛球社團．問：報名參加乒乓球社團的同學比報名參加羽毛球社團的同學多百分之幾？（百分號前保留1位小數(shù)）【分析】先計算出參加乒乓球社團的同學的人數(shù)和報名參加羽毛球社團的同學的人數(shù)，然后根據(jù)增長率的公式計算．【解答】解：參加乒乓球社團的同學的人數(shù)為36×＝16（人），報名參加羽毛球社團的同學的人數(shù)為36×25%＝9（人）因為×100%≈77.8%，所以報名參加乒乓球社團的同學比報名參加羽毛球社團的同學多77.8%．【點評】本題考查了近似數(shù)：近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法．二．平方根（共1小題）2．（2022春?昭陽區(qū)校級月考）一個正數(shù)x的兩平方根分別是2a﹣3和1﹣6a，求x的值．三．算術平方根（共1小題）【分析】根據(jù)一個正數(shù)的兩個平方根的特征進行解答即可．【解答】解：由題意得，2a﹣3+1﹣6a＝0，解得，x＝﹣，所以2a﹣3＝﹣4，1﹣6a＝4，所以x＝（±4）2＝16，答：x＝16．【點評】本題考查平方根，理解平方根的定義是正確解答的關鍵．3．（2022春?海淀區(qū)校級期中）一個數(shù)值轉換器，如圖所示：（1）當輸入的x為81時，輸出的y值是；（2）若輸入有效的x值后，始終輸不出y值，請寫出所有滿足要求的x的值；（3）若輸出的y是，請寫出兩個滿足要求的x值．【分析】（1）根據(jù)算術平方根，即可解答；（2）根據(jù)0和1的算術平方根是它們本身，0和1是有理數(shù)，所以始終輸不出y值；（3）2和4都可以．【解答】解：（1）第一次，81的算術平方根是＝9，9是有理數(shù)，不能輸出；第二次，9的算術平方根是3，3是有理數(shù)不能輸出；第三次，3的算術平方根是，是無理數(shù)，輸出，故答案為：；（2）0和1滿足要求．理由如下：0和1的算術平方根是它們本身，0和1是有理數(shù)，當x＝0和1時，始終輸不出y的值；（3）∵4的算術平方根是2，2的算術平方根是．∴兩個滿足要求的x值為4和2．【點評】本題考查了算術平方根，解決本題的關鍵是熟記算術平方根．四．非負數(shù)的性質：算術平方根（共1小題）4．（2022春?西城區(qū)校級期中）設a、b、c都是實數(shù)，且+|b+c+5|＝0，求代數(shù)式3a+b﹣2c的值．【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質得出a+b﹣6＝0，b+c+5＝0，求出a+b、a﹣c的值，再代入計算即可．【解答】解：∵+|b+c+5|＝0，∴a+b﹣6＝0，b+c+5＝0，∴a+b＝6，a﹣c＝11．∴3a+b﹣2c＝a+b+2a﹣2c＝a+b+2（a﹣c）＝6+2×11＝28，即代數(shù)式3a+b﹣2c的值是28．【點評】本題考查算術平方根、絕對值的非負性，求出a+b、a﹣c的值是正確解答的關鍵．五．立方根（共1小題）5．（2022春?長樂區(qū)期中）已知某個正數(shù)的兩個平方根分別是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣3，求a+b的值．【分析】根據(jù)平方根和立方根的定義，列方程可求得a，b的值，進而可求a+b的值．【解答】解：∵某個正數(shù)的兩個平方根分別是a﹣3和2a+15，∴a﹣3+2a+15＝0，解得a＝﹣4．∵b的立方根是﹣3，∴b＝（﹣3）3＝﹣27．∴a+b＝（﹣4）+（﹣27）＝﹣31．故a+b的值為﹣31．【點評】本題考查平方根和立方根，熟練掌握平方根和立方根的定義是解答本題的關鍵．六．計算器—數(shù)的開方（共1小題）6．（2020?朝陽區(qū)校級開學）求一個正數(shù)的算術平方根，有些數(shù)可以直接求得，如，有些數(shù)則不能直接求得，如，但可以通過計算器求．還有一種方法可以通過一組數(shù)的內在聯(lián)系，運用規(guī)律求得，請同學們觀察下表：n160.160.00161600160000…4x0.04y400…（1）表格中x＝0.4；y＝40；（2）從表格中探究n與數(shù)位的規(guī)律，并利用這個規(guī)律解決下面兩個問題：①已知≈1.435，則≈143.5；②已知＝1.83，若＝0.183，則x＝0.03489．【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，然后即可求得所求式子的值；（2）①根據(jù)被開方數(shù)擴大10000倍，算術平方根擴大100倍，即可求得所求式子的值；②根據(jù)算術平方根縮小10倍，被開方數(shù)縮小100倍，即可求得所求式子的值．【解答】解：（1）根據(jù)題意得，x＝0.4，y＝40；故答案為：0.4，40；（2）①已知≈1.435，則≈143.5；故答案為：143.5；②已知＝1.83，若＝0.183，則x＝0.03489．故答案為：0.03489．【點評】本題考查了算術平方根，解題的關鍵在于從小數(shù)點的移動位數(shù)考慮．七．無理數(shù)（共1小題）7．（2022?賀州二模）下列各數(shù)是無理數(shù)的是（）A．0 B．1 C．2 D．π【分析】分別根據(jù)無理數(shù)、有理數(shù)的定義即可判定選擇項．【解答】解：A、0是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故此選項不符合題意；B、1是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故此選項不符合題意；C、2是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故此選項不符合題意；D、π是無理數(shù)，故此選項符合題意．故選：D．【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如π，，0.8080080008…（每兩個8之間依次多1個0）等形式．八．實數(shù)（共1小題）8．（2022春?宜秀區(qū)校級月考）下列說法正確的是（）A．實數(shù)包括有理數(shù)、無理數(shù)和零 B．有理數(shù)包括正有理數(shù)和負有理數(shù) C．無限不循環(huán)小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都是無理數(shù) D．無論是有理數(shù)還是無理數(shù)都是實數(shù)【分析】靈活掌握實數(shù)分類以及有理數(shù)和無理數(shù)概念，注意容易混淆的知識點．【解答】解：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，0屬于有理數(shù)，故A錯誤，有理數(shù)包括正有理數(shù)、負無理數(shù)和0，0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，故B錯誤，無限不循環(huán)的小數(shù)是無理數(shù)，故C錯誤，實數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)，故D正確．故選：D．【點評】考查了實數(shù)的概念，以及有理數(shù)和無理數(shù)概念及分類．九．實數(shù)的性質（共1小題）9．（2022春?長垣市期中）﹣2的絕對值是（）A．2﹣ B．﹣2 C． D．1【分析】根據(jù)實數(shù)的相反數(shù)和絕對值即可得出答案．【解答】解：∵1＜＜2，∴﹣2的絕對值是2﹣．故選：A．【點評】本題考查了絕對值，掌握負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)是解題的關鍵．一十．實數(shù)與數(shù)軸（共1小題）10．（2022?石景山區(qū)二模）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（）A．|a|＞b B．b＞a C．a+b＜0 D．ab＞0【分析】利用數(shù)軸可知a，b的大小和絕對值，然后判斷即可．【解答】解：∵a＜0，b＞0，|a|＜|b|，∴|a|＜b，即A錯誤，不符合題意；b＞a，即B正確，符合題意；a+b＞0，即C錯誤，不符合題意；ab＜0，即D錯誤．不符合題意．故選：B．【點評】本題考查的實數(shù)的大小比較，解題的關鍵是會實數(shù)的大小比較方法．一十一．實數(shù)大小比較（共1小題）11．（2022?和縣二模）下列四個無理數(shù)中，大于1且小于2的是（）A．3﹣ B．﹣2 C．﹣1 D．2﹣【分析】估算無理數(shù)的大小即可得出答案．【解答】解：∵4＜6＜9，∴2＜＜3，∴﹣3＜﹣＜﹣2，∴0＜3﹣＜1，﹣1＜2﹣＜0，故A，D選項不符合題意；∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴0＜﹣2＜1，＜﹣1＜2，故B選項不符合題意，C選項符合題意；故選：C．【點評】本題考查了無理數(shù)，實數(shù)的大小比較，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是解題的關鍵．一十二．估算無理數(shù)的大?。ü?小題）12．（2022?和平區(qū)三模）估計的值在（）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【分析】先估算出的范圍，再得出選項即可．【解答】解：∵＜，∴6＜7，即在6到7之間，故選：C．【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，能估算出的范圍是解此題的關鍵．一十三．實數(shù)的運算（共1小題）13．（2022春?西城區(qū)校級期中）計算：+|1﹣|﹣．【分析】直接利用算術平方根以及立方根的性質、絕對值的性質分別化簡，進而計算得出答案．【解答】解：原式＝3+﹣1﹣2＝．【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關鍵．【過關檢測】一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）方程|4x﹣8|+＝0，當y＞0時，m的取值范圍是（）A．0＜m＜1 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2【分析】先根據(jù)非負數(shù)的性質列出方程組，用m表示出y的值，再根據(jù)y＞0，就得到關于m的不等式，從而求出m的范圍．【解答】解：根據(jù)題意得：，解方程組就可以得到，根據(jù)題意得2﹣m＞0，解得：m＜2．故選：C．【點評】本題考查了初中范圍內的兩個非負數(shù)，利用非負數(shù)的性質轉化為解方程，這是考試中經(jīng)常出現(xiàn)的題目類型．2．（3分）在實數(shù)范圍內，代數(shù)式||﹣2|﹣3|的值為（）A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不對【分析】由二次根式被開方數(shù)大于等于0可知﹣（x+5）2＝0，然后將﹣（x+5）2＝0代入進行計算即可．【解答】解：由二次根式被開方數(shù)大于等于0可知：﹣（x+5）2＝0，∴原式＝||0﹣2|﹣3|＝|2﹣3|＝|﹣1|＝1．故選：A．【點評】本題主要考查的是二次根式的性質，由二次根式被開方數(shù)大于等于0求得﹣（x+5）2＝0是解題的關鍵．3．（3分）若a、b是實數(shù)，且，則a+b的值是（）A．3或﹣3 B．3或﹣1 C．﹣3或﹣1 D．3或1【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得，解不等式可得b＝1，進而得到a的值，然后再計算出a+b的值．【解答】解：由題意得：，解得：b＝1，則：a＝±2，∴當a＝2，b＝1時，a+b＝3，當a＝﹣2，b＝1時，a+b＝﹣1，故選：B．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．4．（3分）代數(shù)式的最小值是（）A．0 B．3 C． D．不存在【分析】首先由代數(shù)式的有意義，即可求得x的取值范圍，然后由，，都隨x的增大而增大，即可得當x取最小值時，代數(shù)式的值最小，代入即可求得答案．【解答】解：若代數(shù)式有意義，則，解得：x≥2，∵由，，都隨x的增大而增大，∴當x＝2時，代數(shù)式的值最小，即++＝1+0+2＝3．故選：B．【點評】此題考查了函數(shù)的最值問題，考查了二次根式的意義．此題難度適中，解題的關鍵是根據(jù)題意求得x的取值范圍．5．（3分）估計的值在（）A．2到3之間 B．3到4之間 C．4到5之間 D．5到6之間【分析】利用”夾逼法“得出的范圍，繼而也可得出的范圍．【解答】解：∵2＝＜＝3，∴3＜＜4，故選：B．【點評】此題考查了估算無理數(shù)的大小的知識，屬于基礎題，解答本題的關鍵是掌握夾逼法的運用．6．（3分）已知（x﹣y+3）2+＝0，則x+y的值為（）A．0 B．﹣1 C．1 D．5【分析】先根據(jù)非負數(shù)的性質列出關于x、y的方程組，求出x、y的值即可．【解答】解：∵（x﹣y+3）2+＝0，∴，解得，∴x+y＝﹣1+2＝1．故選：C．【點評】本題考查的是解二元一次方程組，熟知解二元一次方程組的加減消元法和代入消元法是解答此題的關鍵．7．（3分）若，則a的取值范圍是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3【分析】根據(jù)題中條件可知a﹣3≥0，直接解答即可．【解答】解：，即a﹣3≥0，解得a≥3；故選：B．【點評】本題主要考查二次根式的性質與化簡，題中涉及使根式有意義的知識點，屬于基礎題．8．（3分）資陽市2012年財政收入取得重大突破，地方公共財政收入用四舍五入取近似值后為27.39億元，那么這個數(shù)值（）A．精確到億位 B．精確到百分位 C．精確到千萬位 D．精確到百萬位【分析】近似數(shù)精確到哪一位，應當看末位數(shù)字實際在哪一位．【解答】解：∵27.39億末尾數(shù)字9是百萬位，∴27.39億精確到百萬位．故選：D．【點評】本題考查了近似數(shù)的確定，熟悉數(shù)位是解題的關鍵．9．（3分）已知實數(shù)的小數(shù)部分為a，的小數(shù)部分為b，則7a+5b的值為（）A． B．0.504 C．2﹣ D．【分析】求出的大小，推出1＜＜，求出a，同理求出＞＞1，求出b，代入求出即可．【解答】解：2＜＜3，∴7＜5+＜8，∴1＜＜，∴的整數(shù)部分是1，小數(shù)部分是a＝﹣1＝，同理求出的小數(shù)部分是b＝﹣1＝，∴7a+5b＝7×+5×＝﹣，故選：D．【點評】本題考查了無理數(shù)的大小的應用，關鍵是確定和的范圍．10．（3分）若|x+2|+，則xy的值為（）A．﹣8 B．﹣6 C．5 D．6【分析】已知任何數(shù)的絕對值一定是非負數(shù)，二次根式的值一定是一個非負數(shù)，由于已知的兩個非負數(shù)的和是0，根據(jù)非負數(shù)的性質得到這兩個非負數(shù)一定都是0，從而得到一個關于x、y的方程組，解方程組就可以得到x、y的值，進而求出xy的值．【解答】解：∵|x+2|≥0，≥0，而|x+2|+＝0，∴x+2＝0且y﹣3＝0，∴x＝﹣2，y＝3，∴xy＝（﹣2）×3＝﹣6．故選：B．【點評】本題考查的是非負數(shù)的性質，一元一次方程的解法及代數(shù)式的求值．題目注重基礎，比較簡單．二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）11．（3分）實數(shù)，0，，，0.1010010001…（兩個1之間依次多一個0），，中，無理數(shù)有2個．【分析】先根據(jù)算術平方根和立方根的定義得到﹣＝2，＝﹣5，然后根據(jù)無理數(shù)的定義得到0.1010010001…（兩個1之間依次多一個0），是無理數(shù)．【解答】解：∵﹣＝2，＝﹣5，∴無理數(shù)有：0.1010010001…（兩個1之間依次多一個0），．故答案為：2個．【點評】本題考查了無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)．常見形式有：開方開不盡的數(shù)，如等；無限不循環(huán)小數(shù)，如0.1010010001…等；字母表示無理數(shù)，如π等．12．（3分）數(shù)軸上到原點距離為的點所表示的實數(shù)是1﹣或﹣1．【分析】分點在原點的左邊與右邊兩種情況求解．【解答】解：①原點左邊到原點的距離為﹣1的點是1﹣，②原點右邊到原點的距離為﹣1的點是﹣1，所以數(shù)軸上到原點的距離為﹣1的點是1﹣或﹣1，故答案為1﹣或﹣1．【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，注意需要分點在原點的左右兩邊兩種情況求解，避免漏解而導致出錯．13．（3分）近似數(shù)1.96精確到了百分位；近似數(shù)3698000保留3個有效數(shù)字，用科學記數(shù)法表示為3.70×106．【分析】一個近似數(shù)的有效數(shù)字是從左邊第一個不是0的數(shù)字起，后面所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字．注意對一個數(shù)進行四舍五入時，若要求近似到個位以前的數(shù)位時，首先要對這個數(shù)用科學記數(shù)法表示．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．它的有效數(shù)字的個數(shù)只與a有關，而與n的大小無關．【解答】解：近似數(shù)1.96精確到了百分位；近似數(shù)3698000保留3個有效數(shù)字，用科學記數(shù)法表示為3.70×106，故答案為：百分，3.70×106．【點評】本題考查了科學記數(shù)法與有效數(shù)字．把一個數(shù)M記成a×10n（1≤|a|＜10，n為整數(shù)）的形式，這種記數(shù)的方法叫做科學記數(shù)法．規(guī)律：（1）當|a|≥1時，n的值為a的整數(shù)位數(shù)減1；（2）當|a|＜1時，n的值是第一個不是0的數(shù)字前0的個數(shù)，包括整數(shù)位上的0．14．（3分）若的值在兩個整數(shù)a與a+1之間，則a＝2．【分析】利用”夾逼法“得出的范圍，繼而也可得出a的值．【解答】解：∵2＝＜＝3，∴的值在兩個整數(shù)2與3之間，∴可得a＝2．故答案為：2．【點評】此題考查了估算無理數(shù)的大小的知識，屬于基礎題，解答本題的關鍵是掌握夾逼法的運用．15．（3分）如圖，在數(shù)軸上點A和點B之間的整數(shù)是2．【分析】可用“夾逼法”估計，的近似值，得出點A和點B之間的整數(shù)．【解答】解：1＜＜2；2＜＜3，∴在數(shù)軸上點A和點B之間的整數(shù)是2．故答案為：2．【點評】此題主要考查了無理數(shù)的估算能力，解決本題的關鍵是得到最接近無理數(shù)的兩個有理數(shù)的值．現(xiàn)實生活中經(jīng)常需要估算，估算應是我們具備的數(shù)學能力，“夾逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．16．（3分）等腰三角形一腰長為5，一邊上的高為3，則底邊長為8或或3．【分析】由已知的是一邊上的高，分腰上的高于底邊上的高兩種情況，當高為腰上高時，再分銳角三角形與鈍角三角形兩種情況，當三角形為銳角三角形時，如圖所示，在直角三角形ACD中，由AC及CD的長，利用勾股定理求出AD的長，由AB﹣AD求出BD的長，在直角三角形BDC中，由BD及CD的長，即可求出底邊BC的長；當三角形為鈍角三角形時，如圖所示，同理求出AD的長，由AB+AD求出BD的長，同理求出BC的長；當高為底邊上的高時，如圖所示，由三線合一得到BD＝CD，在直角三角形ABD中，由AB及AD的長，利用勾股定理求出BD的長，由BC＝2BD即可求出BC的長，綜上，得到所有滿足題意的底邊長．【解答】解：如圖所示：當?shù)妊切螢殇J角三角形，且CD為腰上的高時，在Rt△ACD中，AC＝5，CD＝3，根據(jù)勾股定理得：AD＝＝4，∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1，在Rt△BDC中，CD＝3，BD＝1，根據(jù)勾股定理得：BC＝＝；當?shù)妊切螢殁g角三角形，且CD為腰上的高時，在Rt△ACD中，AC＝5，CD＝3，根據(jù)勾股定理得：AD＝＝4，∴BD＝AB+AD＝5+4＝9，在Rt△BDC中，CD＝3，BD＝9，根據(jù)勾股定理得：BC＝＝3；當AD為底邊上的高時，如圖所示：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝5，根據(jù)勾股定理得：BD＝＝4，∴BC＝2BD＝8，綜上，等腰三角形的底邊長為8或或3．故答案為：8或或3【點評】此題考查了勾股定理，以及等腰三角形的性質，利用了分類討論的數(shù)學思想，要求學生考慮問題要全面，注意不要漏解．17．（3分）2的平方根是±，計算：＝﹣2．【分析】原式利用平方根及立方根定義計算即可得到結果．【解答】解：2的平方根為±，＝﹣2，故答案為：±；﹣2【點評】此題考查了立方根，以及平方根，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵．18．（3分）如圖是由4個邊長為1的正方形構成的“田字格”．只用沒有刻度的直尺在這個“田字格”中最多可以作出以格點為端點、長度為的線段8條．【分析】如圖，由于每個小正方形的邊長為1，那么根據(jù)勾股定理容易得到長度為的線段，然后可以找出所有這樣的線段．【解答】解：如圖，所有長度為的線段全部畫出，共有8條．【點評】此題是一個探究試題，首先探究如何找到長度為的線段，然后利用這個規(guī)律找出所有這樣的線段．三．解答題（共7小題，滿分46分）19．（6分）若a、b、c是有理數(shù)，且滿足等式a+b+c＝2﹣+3，試計算（a﹣c）2013+b2014的值．【分析】根據(jù)題意先求出a、b、c的值，然后代入求解．【解答】解：∵a、b、c是有理數(shù)，且滿足等式a+b+c＝2﹣+3，∴a＝2，b＝﹣1，c＝3，則（a﹣c）2013+b2014＝﹣12013+（﹣1）2014＝0．【點評】本題考查了實數(shù)的運算，解答本題