2025屆新高考數(shù)學沖刺復習：橢圓

知識點一橢圓的定義1.定義：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于

(大于|F1F2|)的點的軌跡.2.焦點：兩個定點F1，F(xiàn)2.3.焦距：兩焦點間的距離|F1F2|.4.幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝

(常數(shù))且2a

|F1F2|.常數(shù)2a>知識點二橢圓的標準方程

焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程__________________________________圖形

焦點坐標________________________________________a，b，c的關系__________F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)b2＝a2－c2A.(5,0)，(－5,0) B.(0,5)，(0，－5)C.(0,12)，(0，－12) D.(12,0)，(－12,0)√解析c2＝169－25＝144.c＝12，故選C.求適合下列條件的橢圓的標準方程.(1)焦點在y軸上，且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0)；解因為橢圓的焦點在y軸上，又橢圓經(jīng)過點(0,2)和(1,0)，解因為橢圓的焦點在y軸上，由橢圓的定義知，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，解析由直線AB過橢圓的一個焦點F1，知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8.8解析設Q(x，y)，P(x0，y0)，由點Q是線段OP的中點知x0＝2x，y0＝2y，如圖所示，已知動圓P過定點A(－3,0)，并且在定圓B：(x－3)2＋y2＝64的內(nèi)部與其內(nèi)切，求動圓圓心P的軌跡方程.解設動圓P和定圓B內(nèi)切于點M，動圓圓心P到兩定點A(－3,0)和B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，所以動圓圓心P的軌跡是以A，B為左、右焦點的橢圓，其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，解析最短弦是過焦點F(c，0)且與焦點所在坐標軸垂直的弦.√直線y＝x＋1與橢圓x2＋

＝1的位置關系是A.相離 B.相切C.相交 D.無法確定√因為Δ＝22＋12＝16＞0，所以直線與橢圓相交.√

橢圓

＋y2＝1的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則|PF2|＝_____.√解析由題意知，A(－a，0)，B(0，b)，F(xiàn)(c，0)，∴c2－a2＋ac＝0，即e2＋e－1＝0，解析由PF1⊥PF2，知△F1PF2是直角三角形，(1)有兩個不同的公共點；(1)試求動點P的軌跡方程C；解設動點P的坐標是(x，y)，(2)設直線l：y＝kx＋1與(1)中曲線C交于M，N兩點，當|MN|＝

時，求直線l的方程.x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.A.9x－y－4＝0 B.9x＋y－5＝0C.4x＋2y－3＝0 D.4x－2y－1＝0√6.已知以F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點的橢圓與直線x＋

y＋4＝0有且僅有一個公共點，則橢圓的長軸長為_____.12345678910111213141516解析由已知可得直線方程為y＝2x－2，|OF|＝1，1234567891011121314151612345678910111213141516∴直線AB的斜率為1，可得直線AB的方程為y＝x＋1.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，12345678910111213141516整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2).1234567891011121314151610.某海域有A，B兩個島嶼，B島在A島正東4海里處，經(jīng)多年觀察研究發(fā)現(xiàn)，某種魚群洄游的路線是曲線C，曾有漁船在距A島、B島距離和為8海里處發(fā)現(xiàn)過魚群.以A，B所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系.(1)求曲線C的標準方程；解由題意知曲線C是以A，B為焦點且長軸長為8的橢圓，12345678910111213141516(2)某日，研究人員在A，B兩島同時用聲納探測儀發(fā)出不同頻率的探測信號(傳播速度相同)，A，B兩島收到魚群在P處反射信號的時間比為5∶3，問你能否確定P處的位置(即點P的坐標)?12345678910111213141516解由于A，B兩島收到魚群發(fā)射信號的時間比為5∶3，∴設此時距A，B兩島的距離比為5∶3，即魚群分別距A，B兩島的距離為5海里和3海里.設P(x，y)，B(2,0)，由|PB|＝3，∴x＝2，y＝±3，∴點P的坐標為(2,3)或(2，－3).12345678910111213141516√綜合運用1234567891011121314151612.以F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)為焦點且與直線x－y＋3＝0有公共點的橢圓中，離心率最大的橢圓方程是√12345678910111213141516得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，由Δ≥0得b2≥4，所以b2的最小值為4，則b2＝4時，e取最大值，故選C.1234567891011121314151661234567891011121314151614.斜率為1的直線l與橢圓

＋y2＝1相交于A，B兩點，則|AB|的最大值為________.12345678910111213141516解析方法一

設直線l的方程為y＝x＋t，整理得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.∵Δ＝64t2－80(t2－1)>0，設直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，12345678910111213141516方法二

根據(jù)橢圓的對稱性，當直線斜率固定時，直線過原點時截橢圓所得弦長最長，1234567891011121314151615.已知橢圓的左焦點為F1，有一質(zhì)點A從F1處以速度v開始沿直線運動，經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射(無論經(jīng)過幾次反射速率始終保持不變)，若質(zhì)點第一次回到F1時，它所用的最長時間是最短時間的7倍，則橢圓的離心率e為12345678910111213141516拓廣探究√解析假設長軸在x軸，短軸在y軸，以下分為三種情況：(1)球從F1沿x軸向左直線運動，碰到左頂點必然原路反彈，這時第一次回到F1路程是2(a－c)；(2)球從F1沿x軸向右直線運動，碰到右頂點必然原路反彈，這時第一次回到F1路程是2(a＋c)；(3)球從F1沿x軸斜向上(或向下)運動，碰到橢圓上的點A，反彈后經(jīng)過橢圓的另一個焦點F2，再彈到橢圓上一點B，反彈后經(jīng)過點F1，此時小球經(jīng)過的路程是4a.綜上所述，從點F1沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點F1時，小球經(jīng)過的最大路程是4a，最小路程是2(a－c).1234567891011121314151612345678910111213141516(1)求橢圓C的方程；解得a2＝4，b2＝3，c2＝1，1234567891011121314151612345678910111213141516解顯然直線AB的斜率不為0，設AB的方程為