2024八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專(zhuān)題01二次根式壓軸題三種模型全攻略含解析新版浙教版

Page1專(zhuān)題01二次根式壓軸題四種模型全攻略【類(lèi)型一二次根式有意義問(wèn)題】例1．（河南省開(kāi)封市東北學(xué)區(qū)八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）若分式有意義，則x的取值范圍為_(kāi)________．【答案】【解析】【詳解】依據(jù)分式和二次根式有意義的條件即可得出答案．解答：解：∵2024-x≥0，x?2024≠0，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式和二次根式有意義的條件，駕馭分式有意義的條件是分母不等于0，二次根式有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（廣西北?！ぐ四昙?jí)期末）要使式子有意義，則x的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】干脆利用二次根式中被開(kāi)方數(shù)的取值范圍即二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即可得出答案．【詳解】解：要使式子有意義，則，解得：；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，精確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（四川巴中·九年級(jí)期末）函數(shù)的自變量的取值范圍是______．【答案】##x<0.5【解析】【分析】依據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開(kāi)方數(shù)大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．【詳解】解：依題意，得，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的學(xué)問(wèn)點(diǎn)為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．留意當(dāng)單獨(dú)的二次根式在分母時(shí)，被開(kāi)方數(shù)應(yīng)大于0．【變式訓(xùn)練3】（上海市西南模范中學(xué)七年級(jí)期末）假如二次根式有意義，那么x應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足的條件是________．【答案】且【解析】【分析】依據(jù)二次根式有意義：被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)；分式有意義：分母不為零，可得出關(guān)于的不等式組，聯(lián)立求解即可．【詳解】依據(jù)題意得：解得：故x應(yīng)滿(mǎn)足且．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式及分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是留意駕馭分式有意義，分母不為0；二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．【類(lèi)型二二次根式化簡(jiǎn)問(wèn)題】例2．（上海市向東中學(xué)七年級(jí)期末）下列運(yùn)算中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】依據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】A、，故選項(xiàng)A不正確；B、，故選項(xiàng)B不正確；C、，故選項(xiàng)C不正確；D、，故選項(xiàng)D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，嫻熟駕馭性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（海南?？凇ぞ拍昙?jí)期末）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)：______．【答案】1-x##-x+1【解析】【分析】干脆利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)求出答案．【詳解】解：當(dāng)x<1時(shí)，x-1<0，則==1-x．故答案為：1-x．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是確定x-1的符號(hào)．【變式訓(xùn)練2】（江蘇·南通市新橋中學(xué)八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）已知a＜b，則化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由于二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，那么﹣a3b≥0，得出a3b≤0，，而a＜b，易確定ab的取值范圍，也就易求二次根式的值．【詳解】解：∵有意義，∴﹣a3b≥0，∴a3b≤0，又∵a＜b，∴a＜0，b≥0，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式化簡(jiǎn)，駕馭二次根式的性質(zhì)和化簡(jiǎn)方法，依據(jù)二次根式有意義的條件推斷字母的取值范圍是解題關(guān)鍵【變式訓(xùn)練3】（福建·福州華倫中學(xué)八年級(jí)期末）已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為_(kāi)_____．【答案】1【解析】【分析】依據(jù)數(shù)軸得出，依據(jù)平方及算術(shù)平方根化簡(jiǎn)即可得．【詳解】解：由數(shù)軸可得，∴，故答案為：1．【點(diǎn)睛】題目主要考查數(shù)軸上的數(shù)的大小，平方及算術(shù)平方根的求法，二次根式的化簡(jiǎn)等，理解題意，嫻熟駕馭平方及算術(shù)平方根的化簡(jiǎn)方法是解題關(guān)鍵．【類(lèi)型三二次根式運(yùn)算問(wèn)題】例3．（重慶市永川區(qū)年七年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）計(jì)算：．【答案】2【解析】【分析】利用算術(shù)平方根，立方根的概念和確定值的意義進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再計(jì)算．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，二次根式的混合運(yùn)算，駕馭算術(shù)平方根和立方根的概念，二次根式的混合運(yùn)算是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（河北·保定市第十七中學(xué)八年級(jí)期末）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】依據(jù)二次根式的乘法法則分別推斷即可．【詳解】A、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、，故選項(xiàng)正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘法運(yùn)算，駕馭二次根式乘法法則是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（西藏自治區(qū)林芝市八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）計(jì)算【答案】【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，關(guān)鍵在于正確應(yīng)用乘法公式，簡(jiǎn)化計(jì)算．【變式訓(xùn)練3】（河北·保定市第十七中學(xué)八年級(jí)期末）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)；(2)．【解析】【分析】（1）利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪得，化簡(jiǎn)，去確定值，利用零指數(shù)冪可得，然后合并同類(lèi)項(xiàng)即可；（2）將化簡(jiǎn)得，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可．(1)解：原式；(2)解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪．解題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算依次和運(yùn)算法則；記住負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：，n為整數(shù)；零指數(shù)冪：．【類(lèi)型四二次根式分母有理化問(wèn)題】例4．（湖南株洲·八年級(jí)期末）閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題．在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：（I）．以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫作分母有理化．（Ⅱ）還可以用以下方法化簡(jiǎn)．(1)請(qǐng)用不同的方法化簡(jiǎn)．①參照（Ⅰ）式，得______；②參照（Ⅱ）式，得______；(2)化簡(jiǎn)：．【答案】(1)①；②(2)【解析】【分析】（1）分別參照（Ⅰ）式、（Ⅱ）式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先參照（Ⅰ）式，把每一個(gè)二次根式分別有理化，然后提出公因數(shù)后再進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得到答案．(1)①②(2)【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，涉及有理化因式、分母有理化、平方差公式，以新定義的形式給出，理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（廣東·佛山市第四中學(xué)三模）計(jì)算：=____________（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】【解析】【分析】依據(jù)平方差公式，把分子分母同時(shí)乘以，將分母有理化即可.【詳解】解：==．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查分母有理化.找出分母的有理化因式，把分子分母同時(shí)乘以分母的有理化因式是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練2】（上海市西南模范中學(xué)七年級(jí)期末）計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】先將分母含二次根式的分?jǐn)?shù)分母有理化，利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算即可．【詳解】解：原式【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算．本題解題的關(guān)鍵是對(duì)分母含二次根式的分?jǐn)?shù)進(jìn)行分母有理化．【變式訓(xùn)練3】（江西·新余市第一中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）閱讀材料（一）假如我們能找到兩個(gè)實(shí)數(shù)x、y使且，這樣，那么我們就稱(chēng)為“和諧二次根式”，則上述過(guò)程就稱(chēng)之為化簡(jiǎn)“和諧二次根式”．例如：，(二)在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)還會(huì)碰上如一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：，那么我們稱(chēng)這個(gè)過(guò)程為分式的分母有理化．依據(jù)閱讀材料解決下列問(wèn)題：(1)化簡(jiǎn)“和諧二次根式”：①______，②______；(2)已知，，求的值；(3)設(shè)的小數(shù)部分為，求證：．【答案】(1)①；②；(2)；(3)見(jiàn)詳解．【解析】【分析】（1）依據(jù)閱讀材料（一）化簡(jiǎn)“和諧二次根式”即可；（2）先依據(jù)閱讀材料（一）化簡(jiǎn)m與n的分母，再依據(jù)閱讀材料（二）進(jìn)行分母有理化即可；（3）先依據(jù)閱讀材料（一）化簡(jiǎn)，求出小數(shù)部分為b的值，再證明即可．(1)解：①，②，(2)，，∴，；(3)證明：，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是估算無(wú)理數(shù)的大小，二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，分式的值，考查了學(xué)生的閱讀理解實(shí)力以及學(xué)問(wèn)的遷移實(shí)力，弄懂題意，嫻熟駕馭二次根式的性質(zhì)、完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【課后訓(xùn)練】一、選擇題1．（江蘇無(wú)錫·一模）函數(shù)中x的取值范圍是（

）A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＞2【答案】B【解析】【分析】利用二次根式有意義的條件，列不等式計(jì)算即可．【詳解】由二次根式有意義的條件知：，解得，故的取值范圍為，故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)自變量的取值范圍和二次根式有意義的條件，二次根式有意義的條件為根號(hào)下式子大于等于0．2．（江蘇·常州市朝陽(yáng)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，算術(shù)平方根的開(kāi)方結(jié)果也是非負(fù)數(shù)，當(dāng)a的值不確定時(shí)要分狀況探討，即帶上確定值符號(hào)．【詳解】解：∵a的值不確定，可取隨意實(shí)數(shù)，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)，在化簡(jiǎn)的過(guò)程中要留意，其中a可取隨意實(shí)數(shù)．3．（四川巴中·九年級(jí)期末）下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】干脆利用二次根式的加減運(yùn)算法則以及二次根式的除法運(yùn)算法則、二次根式的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而推斷得出答案．【詳解】解：A、，無(wú)法合并，故此選項(xiàng)不合題意；B、，故此選項(xiàng)符合題意；C、，故此選項(xiàng)不合題意；D、，故此選項(xiàng)不合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確駕馭相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．4．（安徽合肥·八年級(jí)期末）函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且【答案】B【解析】【分析】依據(jù)分母不為0，被開(kāi)方數(shù)大于等于0進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由題意得：x+3≥0且x-2≠0，∴x≥-3且x≠2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了自變量的取值范圍，嫻熟駕馭此函數(shù)關(guān)系式中分母不為0，被開(kāi)方數(shù)大于等于0是解題的關(guān)鍵．5．（湖南·長(zhǎng)沙市湘一立信試驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期末）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A．2a B．2b C．﹣2b D．﹣2a【答案】B【解析】【分析】依據(jù)數(shù)軸推斷b?a、b、a與0的大小關(guān)系，然后依據(jù)二次根式以及確定值的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：由數(shù)軸可知：a＜?b＜0＜b＜?a，∴b?a＞0，∴原式＝b＋b?a＋a＝2b，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是嫻熟運(yùn)用二次根式的性質(zhì)以及確定值的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．二、填空題6．（上海市培佳雙語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期中）化簡(jiǎn)：（a＞0）＝___．【答案】【解析】【分析】二次根式的化簡(jiǎn)公式：，再把原式化為，再結(jié)合公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.【詳解】解：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)，駕馭“”是解難題的關(guān)鍵.7．（浙江寧波·八年級(jí)期末）化簡(jiǎn)_____；______．【答案】

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##【解析】【分析】依據(jù)算術(shù)平方根可以計(jì)算出的值，依據(jù)分母有理化可以計(jì)算的值．【詳解】解：＝π﹣3，＝＝﹣1，故答案為：π﹣3，﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，嫻熟駕馭運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．8．（山東泰安·九年級(jí)期末）函數(shù)的自變量的取值范圍是__________．【答案】且【解析】【分析】當(dāng)表達(dá)式的分母中含有自變量時(shí)，自變量取值要使分母不為零．當(dāng)函數(shù)的表達(dá)式是偶次根式時(shí)，自變量的取值范圍必需使被開(kāi)方數(shù)不小于零．據(jù)此可得自變量x的取值范圍．【詳解】解：由題可得，，解得：且x≠4．故答案為：且x≠4【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)自變量的取值范圍，自變量的取值范圍必需使含有自變量的表達(dá)式都有意義．9．（四川省榮縣中學(xué)校九年級(jí)期中）函數(shù)中，自變量x的取值范圍是_____________．【答案】x≥1且x≠2【解析】【分析】依據(jù)被開(kāi)方數(shù)大于等于0，零指數(shù)冪的底數(shù)不等于0列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：由題意得，x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得x≥1且x≠2．故答案為：x≥1且x≠2．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個(gè)方面考慮：（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取全體實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開(kāi)方數(shù)非負(fù)．10．（全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的位置，化簡(jiǎn)__．【答案】【解析】【分析】干脆利用數(shù)軸得出a<0，，a-b<0，進(jìn)而化簡(jiǎn)求出答案．【詳解】解：由數(shù)軸可得：，，則，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確得出各式的符號(hào)是解題關(guān)鍵．三、解答題11．（遼寧·沈陽(yáng)市第一三四中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】干脆利用二次根式的性質(zhì)、立方根的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而合并得出答案.【詳解】解：原式＝2﹣3×﹣2﹣1×（）3＝2﹣﹣2﹣3＝﹣2﹣2.【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪等學(xué)問(wèn)點(diǎn)，能正確依據(jù)學(xué)問(wèn)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵．12．（湖南·長(zhǎng)沙市雅禮試驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)．【答案】-a-2b【解析】【分析】依據(jù)數(shù)軸即可得到a＜0，a+b＜0，b-a＞0，即可化簡(jiǎn)原式．【詳解】解：由題可得，a＜0＜b，|a|＞|b|，∴a＜0，a+b＜0，b-a＞0，∴=|a|+|a+b|-|b-a|=-a-a-b-b+a=-a-2b．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，嫻熟駕馭是解題的關(guān)鍵．13．（山西運(yùn)城·八年級(jí)期末）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)2(2)【解析】【分析】（1）先依據(jù)平方差公式和二次根式的乘除法計(jì)算，再算加減即可；（2）先依據(jù)立方根的定義和完全平方公式計(jì)算，再算加減即可．(1)原式=；(2)原式=．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，嫻熟駕馭二次根式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈敏運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．整式的乘法的運(yùn)算公式及運(yùn)算法則對(duì)二次根式的運(yùn)算同樣適應(yīng)．14．（安徽·日照港中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）（1）（）2﹣（）2；（2）（）﹣（）．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用平方差公式計(jì)算求解即可；（2）把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式、去括號(hào)、合并求解即可．【詳解】解：（1）原式；（2）原式＝2＝3．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，二次根式的化簡(jiǎn)求值等學(xué)問(wèn)．解題的關(guān)鍵在于嫻熟駕馭平方差公式，二次根式的化簡(jiǎn)．15．（重慶巫溪·七年級(jí)期末）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)依據(jù)乘方運(yùn)算、開(kāi)立方與開(kāi)平方運(yùn)算法則即可求得；(2)依據(jù)乘方運(yùn)算、去確定值符號(hào)法則、開(kāi)平方運(yùn)算及去括號(hào)法則即可求得．(1)解：；(2)解：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，嫻熟駕馭和運(yùn)用各運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．16．（云南·昆明市第三中學(xué)八年級(jí)期末）計(jì)算題(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）依據(jù)積的乘方的逆運(yùn)用和平方差公式以及二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）首先把括號(hào)里面各二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式再合并同類(lèi)二次根式，再除以，再依據(jù)零指數(shù)冪和負(fù)指數(shù)冪運(yùn)算即可．(1)解：＝＝＝(2)解：＝＝＝【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，嫻熟駕馭運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．17．（山東濟(jì)南·八年級(jí)期中）視察下列一組等式，解答后面的問(wèn)題：(1)化簡(jiǎn)：______，______（n為正整數(shù)）(2)比較大小：______（填“”，“”或“”）(3)依據(jù)上面的結(jié)論，找規(guī)律，請(qǐng)干脆寫(xiě)出下列算式的結(jié)果：______【答案】(1)；(2)(3)【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，分子分母分別乘以，，即可求解；（2）先求出和，即可求解；（3）依據(jù)題意，原式可變形為，即可求解．(1)解：；，故答案是：，；(2)解：∵，，且，∴，∴，∴，故答案是：＜；(3)解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的分母有理化，二次根式的混合運(yùn)算，比較二次根式的大小，明確題意，理解題意是解題的關(guān)鍵．18．（山東濟(jì)南·八年級(jí)期末）閱讀下面問(wèn)題：＝＝－1；1/＋＝1×(－)/(＋)/(－)＝－；1/＋＝1×(－)/(＋)/(－)＝－；試求：(1)＝________；