2024八年級數(shù)學下冊專題01二次根式壓軸題三種模型全攻略含解析新版浙教版

Page1專題01二次根式壓軸題四種模型全攻略【類型一二次根式有意義問題】例1．（河南省開封市東北學區(qū)八年級上學期期末數(shù)學試題）若分式有意義，則x的取值范圍為_________．【答案】【解析】【詳解】依據(jù)分式和二次根式有意義的條件即可得出答案．解答：解：∵2024-x≥0，x?2024≠0，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了分式和二次根式有意義的條件，駕馭分式有意義的條件是分母不等于0，二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關鍵．【變式訓練1】（廣西北?！ぐ四昙壠谀┮故阶佑幸饬x，則x的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】干脆利用二次根式中被開方數(shù)的取值范圍即二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)，即可得出答案．【詳解】解：要使式子有意義，則，解得：；故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，精確計算是解題的關鍵．【變式訓練2】（四川巴中·九年級期末）函數(shù)的自變量的取值范圍是______．【答案】##x<0.5【解析】【分析】依據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．【詳解】解：依題意，得，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查的學問點為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．留意當單獨的二次根式在分母時，被開方數(shù)應大于0．【變式訓練3】（上海市西南模范中學七年級期末）假如二次根式有意義，那么x應當滿足的條件是________．【答案】且【解析】【分析】依據(jù)二次根式有意義：被開方數(shù)為非負數(shù)；分式有意義：分母不為零，可得出關于的不等式組，聯(lián)立求解即可．【詳解】依據(jù)題意得：解得：故x應滿足且．【點睛】本題考查了二次根式及分式有意義的條件，解題的關鍵是留意駕馭分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．【類型二二次根式化簡問題】例2．（上海市向東中學七年級期末）下列運算中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】依據(jù)二次根式的性質(zhì)進行計算即可求解．【詳解】A、，故選項A不正確；B、，故選項B不正確；C、，故選項C不正確；D、，故選項D正確．故選：D．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，嫻熟駕馭性質(zhì)是解題的關鍵．【變式訓練1】（海南?？凇ぞ拍昙壠谀┊敃r，化簡：______．【答案】1-x##-x+1【解析】【分析】干脆利用二次根式的性質(zhì)化簡求出答案．【詳解】解：當x<1時，x-1<0，則==1-x．故答案為：1-x．【點睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關鍵是確定x-1的符號．【變式訓練2】（江蘇·南通市新橋中學八年級開學考試）已知a＜b，則化簡二次根式的正確結果是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由于二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，那么﹣a3b≥0，得出a3b≤0，，而a＜b，易確定ab的取值范圍，也就易求二次根式的值．【詳解】解：∵有意義，∴﹣a3b≥0，∴a3b≤0，又∵a＜b，∴a＜0，b≥0，∴，故選：A．【點睛】本題考查二次根式化簡，駕馭二次根式的性質(zhì)和化簡方法，依據(jù)二次根式有意義的條件推斷字母的取值范圍是解題關鍵【變式訓練3】（福建·福州華倫中學八年級期末）已知實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡的結果為______．【答案】1【解析】【分析】依據(jù)數(shù)軸得出，依據(jù)平方及算術平方根化簡即可得．【詳解】解：由數(shù)軸可得，∴，故答案為：1．【點睛】題目主要考查數(shù)軸上的數(shù)的大小，平方及算術平方根的求法，二次根式的化簡等，理解題意，嫻熟駕馭平方及算術平方根的化簡方法是解題關鍵．【類型三二次根式運算問題】例3．（重慶市永川區(qū)年七年級下學期期末數(shù)學試題）計算：．【答案】2【解析】【分析】利用算術平方根，立方根的概念和確定值的意義進行化簡，然后再計算．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，二次根式的混合運算，駕馭算術平方根和立方根的概念，二次根式的混合運算是解題關鍵．【變式訓練1】（河北·保定市第十七中學八年級期末）下列運算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】依據(jù)二次根式的乘法法則分別推斷即可．【詳解】A、，故選項錯誤，不符合題意；B、，故選項錯誤，不符合題意；C、，故選項錯誤，不符合題意；D、，故選項正確，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了二次根式的乘法運算，駕馭二次根式乘法法則是關鍵．【變式訓練2】（西藏自治區(qū)林芝市八年級下學期期末數(shù)學試題）計算【答案】【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式進行計算即可．【詳解】解：【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，關鍵在于正確應用乘法公式，簡化計算．【變式訓練3】（河北·保定市第十七中學八年級期末）計算：(1)(2)【答案】(1)；(2)．【解析】【分析】（1）利用負整數(shù)指數(shù)冪得，化簡，去確定值，利用零指數(shù)冪可得，然后合并同類項即可；（2）將化簡得，再合并同類項即可．(1)解：原式；(2)解：原式．【點睛】本題考查實數(shù)的混合運算，負整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪．解題的關鍵是嫻熟駕馭實數(shù)的混合運算依次和運算法則；記住負整數(shù)指數(shù)冪：，n為整數(shù)；零指數(shù)冪：．【類型四二次根式分母有理化問題】例4．（湖南株洲·八年級期末）閱讀下列材料，然后回答問題．在進行二次根式運算時，我們有時會碰上一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：（I）．以上這種化簡的步驟叫作分母有理化．（Ⅱ）還可以用以下方法化簡．(1)請用不同的方法化簡．①參照（Ⅰ）式，得______；②參照（Ⅱ）式，得______；(2)化簡：．【答案】(1)①；②(2)【解析】【分析】（1）分別參照（Ⅰ）式、（Ⅱ）式進行計算即可；（2）先參照（Ⅰ）式，把每一個二次根式分別有理化，然后提出公因數(shù)后再進行化簡即可得到答案．(1)①②(2)【點睛】本題考查了二次根式的化簡，涉及有理化因式、分母有理化、平方差公式，以新定義的形式給出，理解題意是解題的關鍵．【變式訓練1】（廣東·佛山市第四中學三模）計算：=____________（結果保留根號）．【答案】【解析】【分析】依據(jù)平方差公式，把分子分母同時乘以，將分母有理化即可.【詳解】解：==．故答案為：．【點睛】本題考查分母有理化.找出分母的有理化因式，把分子分母同時乘以分母的有理化因式是解題的關鍵.【變式訓練2】（上海市西南模范中學七年級期末）計算：．【答案】【解析】【分析】先將分母含二次根式的分數(shù)分母有理化，利用二次根式的性質(zhì)化簡，再進行二次根式的混合運算即可．【詳解】解：原式【點睛】本題考查二次根式的混合運算．本題解題的關鍵是對分母含二次根式的分數(shù)進行分母有理化．【變式訓練3】（江西·新余市第一中學八年級階段練習）閱讀材料（一）假如我們能找到兩個實數(shù)x、y使且，這樣，那么我們就稱為“和諧二次根式”，則上述過程就稱之為化簡“和諧二次根式”．例如：，(二)在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時還會碰上如一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：，那么我們稱這個過程為分式的分母有理化．依據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)化簡“和諧二次根式”：①______，②______；(2)已知，，求的值；(3)設的小數(shù)部分為，求證：．【答案】(1)①；②；(2)；(3)見詳解．【解析】【分析】（1）依據(jù)閱讀材料（一）化簡“和諧二次根式”即可；（2）先依據(jù)閱讀材料（一）化簡m與n的分母，再依據(jù)閱讀材料（二）進行分母有理化即可；（3）先依據(jù)閱讀材料（一）化簡，求出小數(shù)部分為b的值，再證明即可．(1)解：①，②，(2)，，∴，；(3)證明：，，，，，．【點睛】本題考查的是估算無理數(shù)的大小，二次根式的性質(zhì)與化簡，分式的值，考查了學生的閱讀理解實力以及學問的遷移實力，弄懂題意，嫻熟駕馭二次根式的性質(zhì)、完全平方公式是解題的關鍵．【課后訓練】一、選擇題1．（江蘇無錫·一模）函數(shù)中x的取值范圍是（

）A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＞2【答案】B【解析】【分析】利用二次根式有意義的條件，列不等式計算即可．【詳解】由二次根式有意義的條件知：，解得，故的取值范圍為，故答案為：B．【點睛】本題考查函數(shù)自變量的取值范圍和二次根式有意義的條件，二次根式有意義的條件為根號下式子大于等于0．2．（江蘇·常州市朝陽中學八年級階段練習）下列計算正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，算術平方根的開方結果也是非負數(shù)，當a的值不確定時要分狀況探討，即帶上確定值符號．【詳解】解：∵a的值不確定，可取隨意實數(shù)，∴，故選：C．【點睛】主要考查了二次根式的化簡，在化簡的過程中要留意，其中a可取隨意實數(shù)．3．（四川巴中·九年級期末）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】干脆利用二次根式的加減運算法則以及二次根式的除法運算法則、二次根式的性質(zhì)分別化簡，進而推斷得出答案．【詳解】解：A、，無法合并，故此選項不合題意；B、，故此選項符合題意；C、，故此選項不合題意；D、，故此選項不合題意；故選：B．【點睛】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確駕馭相關運算法則是解題關鍵．4．（安徽合肥·八年級期末）函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且【答案】B【解析】【分析】依據(jù)分母不為0，被開方數(shù)大于等于0進行計算即可．【詳解】解：由題意得：x+3≥0且x-2≠0，∴x≥-3且x≠2，故選：B．【點睛】本題考查了自變量的取值范圍，嫻熟駕馭此函數(shù)關系式中分母不為0，被開方數(shù)大于等于0是解題的關鍵．5．（湖南·長沙市湘一立信試驗學校八年級期末）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點如圖所示，化簡的結果是（）A．2a B．2b C．﹣2b D．﹣2a【答案】B【解析】【分析】依據(jù)數(shù)軸推斷b?a、b、a與0的大小關系，然后依據(jù)二次根式以及確定值的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：由數(shù)軸可知：a＜?b＜0＜b＜?a，∴b?a＞0，∴原式＝b＋b?a＋a＝2b，故選：B．【點睛】本題考查二次根式的運算，解題的關鍵是嫻熟運用二次根式的性質(zhì)以及確定值的性質(zhì)，本題屬于基礎題型．二、填空題6．（上海市培佳雙語學校八年級期中）化簡：（a＞0）＝___．【答案】【解析】【分析】二次根式的化簡公式：，再把原式化為，再結合公式進行化簡即可.【詳解】解：故答案為：【點睛】本題考查的是二次根式的化簡，駕馭“”是解難題的關鍵.7．（浙江寧波·八年級期末）化簡_____；______．【答案】

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##【解析】【分析】依據(jù)算術平方根可以計算出的值，依據(jù)分母有理化可以計算的值．【詳解】解：＝π﹣3，＝＝﹣1，故答案為：π﹣3，﹣1．【點睛】本題考查二次根式的混合運算，嫻熟駕馭運算法則是解答本題的關鍵．8．（山東泰安·九年級期末）函數(shù)的自變量的取值范圍是__________．【答案】且【解析】【分析】當表達式的分母中含有自變量時，自變量取值要使分母不為零．當函數(shù)的表達式是偶次根式時，自變量的取值范圍必需使被開方數(shù)不小于零．據(jù)此可得自變量x的取值范圍．【詳解】解：由題可得，，解得：且x≠4．故答案為：且x≠4【點睛】本題主要考查了函數(shù)自變量的取值范圍，自變量的取值范圍必需使含有自變量的表達式都有意義．9．（四川省榮縣中學校九年級期中）函數(shù)中，自變量x的取值范圍是_____________．【答案】x≥1且x≠2【解析】【分析】依據(jù)被開方數(shù)大于等于0，零指數(shù)冪的底數(shù)不等于0列式計算即可得解．【詳解】解：由題意得，x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得x≥1且x≠2．故答案為：x≥1且x≠2．【點睛】本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個方面考慮：（1）當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負．10．（全國·八年級期中）如圖，實數(shù)，在數(shù)軸上的位置，化簡__．【答案】【解析】【分析】干脆利用數(shù)軸得出a<0，，a-b<0，進而化簡求出答案．【詳解】解：由數(shù)軸可得：，，則，∴．故答案為：．【點睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確得出各式的符號是解題關鍵．三、解答題11．（遼寧·沈陽市第一三四中學八年級階段練習）計算：．【答案】【解析】【分析】干脆利用二次根式的性質(zhì)、立方根的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)以及負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡，進而合并得出答案.【詳解】解：原式＝2﹣3×﹣2﹣1×（）3＝2﹣﹣2﹣3＝﹣2﹣2.【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，負整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪等學問點，能正確依據(jù)學問點進行計算和化簡是解此題的關鍵．12．（湖南·長沙市雅禮試驗中學八年級開學考試）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡．【答案】-a-2b【解析】【分析】依據(jù)數(shù)軸即可得到a＜0，a+b＜0，b-a＞0，即可化簡原式．【詳解】解：由題可得，a＜0＜b，|a|＞|b|，∴a＜0，a+b＜0，b-a＞0，∴=|a|+|a+b|-|b-a|=-a-a-b-b+a=-a-2b．【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，二次根式的性質(zhì)與化簡，嫻熟駕馭是解題的關鍵．13．（山西運城·八年級期末）計算：(1)(2)【答案】(1)2(2)【解析】【分析】（1）先依據(jù)平方差公式和二次根式的乘除法計算，再算加減即可；（2）先依據(jù)立方根的定義和完全平方公式計算，再算加減即可．(1)原式=；(2)原式=．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，嫻熟駕馭二次根式的運算法則是解答本題的關鍵．在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈敏運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．整式的乘法的運算公式及運算法則對二次根式的運算同樣適應．14．（安徽·日照港中學八年級階段練習）（1）（）2﹣（）2；（2）（）﹣（）．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用平方差公式計算求解即可；（2）把各二次根式化為最簡二次根式、去括號、合并求解即可．【詳解】解：（1）原式；（2）原式＝2＝3．【點睛】本題考查了平方差公式，二次根式的化簡求值等學問．解題的關鍵在于嫻熟駕馭平方差公式，二次根式的化簡．15．（重慶巫溪·七年級期末）計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)依據(jù)乘方運算、開立方與開平方運算法則即可求得；(2)依據(jù)乘方運算、去確定值符號法則、開平方運算及去括號法則即可求得．(1)解：；(2)解：．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，嫻熟駕馭和運用各運算法則是解決本題的關鍵．16．（云南·昆明市第三中學八年級期末）計算題(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）依據(jù)積的乘方的逆運用和平方差公式以及二次根式的運算法則計算即可；（2）首先把括號里面各二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式，再除以，再依據(jù)零指數(shù)冪和負指數(shù)冪運算即可．(1)解：＝＝＝(2)解：＝＝＝【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，嫻熟駕馭運算法則是解題的關鍵．17．（山東濟南·八年級期中）視察下列一組等式，解答后面的問題：(1)化簡：______，______（n為正整數(shù)）(2)比較大?。篲_____（填“”，“”或“”）(3)依據(jù)上面的結論，找規(guī)律，請干脆寫出下列算式的結果：______【答案】(1)；(2)(3)【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，分子分母分別乘以，，即可求解；（2）先求出和，即可求解；（3）依據(jù)題意，原式可變形為，即可求解．(1)解：；，故答案是：，；(2)解：∵，，且，∴，∴，∴，故答案是：＜；(3)解：．【點睛】本題主要考查了二次根式的分母有理化，二次根式的混合運算，比較二次根式的大小，明確題意，理解題意是解題的關鍵．18．（山東濟南·八年級期末）閱讀下面問題：＝＝－1；1/＋＝1×(－)/(＋)/(－)＝－；1/＋＝1×(－)/(＋)/(－)＝－；試求：(1)＝________；