2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第5章平面向量與復(fù)數(shù)第2講平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示提能訓(xùn)練

第2講平面對量的基本定理及坐標(biāo)表示A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．若e1，e2是平面α內(nèi)的一組基底，則下列四組向量能作為平面α的一組基底的是(B)A．e1－e2，e2－e1 B．e1＋e2，e1－e2C．2e2－3e1，－6e1＋4e2 D．2e1＋e2，e1＋eq\f(1,2)e2[解析]由e1，e2是平面α內(nèi)的一組基底，則e1，e2為非零不共線向量，對A，e1－e2＝－(e2－e1)，故e1－e2，e2－e1共線，不符題意；對B，e1＋e2，e1－e2不能相互線性表示，故不共線，滿足題意；對C,2e2－3e1＝eq\f(1,2)(－6e1＋4e2)，故2e2－3e1，－6e1＋4e2共線，不滿足題意；對D,2e1＋e2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1＋\f(1,2)e2))，故2e1＋e2，e1＋eq\f(1,2)e2共線，不滿足題意，故選B.2．已知點A(1,0)，B(2,2)，向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，－1)，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(C)A．(1,2) B．(－1，－2)C．(3,1) D．(－3，－1)[解析]依據(jù)點A，B的坐標(biāo)可求出向量eq\o(BA,\s\up6(→))的坐標(biāo)，然后依據(jù)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))即可求出向量eq\o(AC,\s\up6(→))的坐標(biāo).eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(－1，－2)＝(3,1)．故選C.3．(2024·陜西漢中月考)已知向a，b滿足a－b＝(1，－5)，a＋2b＝(－2,1)，則b＝(C)A．(1,2) B．(1，－2)C．(－1,2) D．(－1，－2)[解析]∵a－b＝(1，－5)①，a＋2b＝(－2,1)②，∴②－①得3b＝(－3,6)．∴b＝(－1,2)．故選C.4．(2024·山西晉中市新一雙語學(xué)校月考)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，則c＝(B)A．3a＋b B．3a－bC．－a＋3b D．a(chǎn)＋3b[解析]設(shè)c＝λa＋μb，則(4,2)＝(λ－μ，λ＋μ)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－μ＝4，,λ＋μ＝2.))解得：λ＝3，μ＝－1，則c＝3a－b故選B.5．設(shè)向量a＝(－3,4)，向量b與向量a方向相反，且|b|＝10，則向量b的坐標(biāo)為(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，\f(8,5))) B．(－6,8)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，－\f(8,5))) D．(6，－8)[解析]因為a與b的方向相反，所以可設(shè)b＝(3t，－4t)(t>0)，又|b|＝10，則9t2＋16t2＝100，解得t＝2或t＝－2(舍去)，所以b＝(6，－8)．6．如圖所示，若向量e1、e2是一組單位正交向量，則向量2a＋b在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(A)A．(3,4) B．(2,4)C．(3,4)或(4,3) D．(4,2)或(2,4)[解析]以向量a、b公共的起點為坐標(biāo)原點，建立如圖坐標(biāo)系．可得向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))且b＝(1,3)，結(jié)合向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算性質(zhì)，即可得到向量2a＋b在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．以向量a、b公共的起點為坐標(biāo)原點，建立如圖坐標(biāo)系，∵e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，∴a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，∵b＝(1,3)，∴2a＋b＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))＋(1,3)＝(3,4)，即2a＋b在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(3,4)，故選A.7．△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，則角C的大小為(B)A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2) D．eq\f(2π,3)[解析]因為向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)且p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即c2－a2－b2＋ab＝0，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，因為0<C<π，所以C＝eq\f(π,3).故選B.8．(2024·江西新余第一中學(xué)模擬)如圖，已知△OAB，若點C滿足eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝(D)A.eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(2,9) D．eq\f(9,2)[解析]∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,3)，μ＝eq\f(2,3)，∴eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝3＋eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).故選D.二、多選題9．(2024·聊城一中模擬)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，AC與BD交于點M，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則下列結(jié)論正確的是(ABD)A.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b B．eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋bC.eq\o(BM,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b D．eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)a＋b[解析]eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b，故A正確；eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋b，故B正確；eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，故C錯誤；eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)a＋b，故D正確．10．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若點A，B，C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m可以是(ABD)A．－2 B．eq\f(1,2)C．1 D．－1[解析]各選項代入驗證，若A，B，C三點不共線即可構(gòu)成三角形．因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假設(shè)A，B，C三點共線，則1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三點就可構(gòu)成三角形．11．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且|eq\o(MP,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(MN,\s\up6(→))|，則P點的坐標(biāo)為(BD)A．(－8,1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，－\f(5,2)))[解析]設(shè)P(x，y)，則eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x－3，y＋2)，而eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－8,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2)))，當(dāng)eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－4，,y＋2＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(3,2).))所以P點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2))).同理當(dāng)eq\o(MP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))時，可解得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，－\f(5,2))).故選BD.三、填空題12．已知點A(1,3)，B(4，－1)，寫出一個與向量eq\o(AB,\s\up6(→))共線的向量坐標(biāo)為(6，－8)(答案不唯一).[解析]因為A(1,3)，B(4，－1)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－4)，所以與向量eq\o(AB,\s\up6(→))共線的向量的坐標(biāo)可以是(3λ，－4λ)，λ∈R.13．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個頂點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標(biāo)為(2,4).[解析]∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→)).設(shè)點D的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(DC,\s\up6(→))＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))故點D的坐標(biāo)為(2,4)．14．(2024·廣西賀州聯(lián)考)已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(m，n)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3,8)，則mn＝7.[解析]∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(m＋2，n＋1)＝(3,8)，∴m＋2＝3，n＋1＝8，∴m＝1，n＝7，∴mn＝7.15．若{α，β}是一個基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，則稱(x，y)為向量γ在基底{α，β}下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量a在基底{p＝(1，－1)，q＝(2,1)}下的坐標(biāo)為(－2,2)，則a在基底{m＝(－1,1)，n＝(1,2)}下的坐標(biāo)為(0,2).[解析]因為a在基底{p，q}下的坐標(biāo)為(－2,2)，所以a＝－2p＋2q＝(2,4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝2，,x＋2y＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))所以a在基底{m，n}下的坐標(biāo)為(0,2)．四、解答題16．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)當(dāng)k為何值時，ka－b與a＋2b共線；(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三點共線，求m的值．[解析](1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵ka－b與a＋2b共線，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－eq\f(1,2).(2)解法一：∵A，B，C三點共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,3＝mλ，))解得m＝eq\f(3,2).解法二：eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，∵A，B，C三點共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝eq\f(3,2).B組實力提升1．(多選題)設(shè)a是已知的平面對量且a≠0，關(guān)于向量a的分解，有如下四個命題(向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線)，則真命題是(AB)A．給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋cB．給定向量b和c，總存在實數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μcC．給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實數(shù)λ，使a＝λb＋μcD．給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μc[解析]∵向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，∴b≠0，c≠0，給定向量a和b，只需求得其向量差a－b，即為所求的向量c，故總存在向量c，使a＝b＋c，故A正確；當(dāng)向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線時，向量b，c可作基底，由平面對量基本定理可知結(jié)論成立，故B正確；取a＝(4,4)，μ＝2，b＝(1,0)，無論λ取何值，向量λb都平行于x軸，而向量μc的模恒等于2，要使a＝λb＋μc成立，依據(jù)平行四邊形法則，向量μc的縱坐標(biāo)確定為4，故找不到這樣的單位向量c使等式成立，故C錯誤；因為λ和μ為正數(shù)，所以λb和μc代表與原向量同向的且有固定長度的向量，這就使得向量a不愿定能用兩個單位向量的組合表示出來，故不愿定能使a＝λb＋μc成立，故D錯誤．故選AB.2．已知點A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，且點P在直線x－2y＝0上，則λ的值為(B)A.eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(3,2) D．－eq\f(3,2)[解析]設(shè)P(x，y)，則由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)．所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又點P在直線x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－eq\f(2,3).3．(2024·湖北四校調(diào)研)如圖所示，在△ABC中，點D在線段BC上，且BD＝3DC.若eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(λ,μ)＝(B)A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．2 D．eq\f(2,3)[解析]本題考查向量的線性運(yùn)算.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,4)，μ＝eq\f(3,4)，從而求得eq\f(λ,μ)＝eq\f(1,3)，故選B.4．(2024·豫南九校聯(lián)考)如圖，A，B分別是射線OM，ON上的點，給出下列向量：若這些向量均以O(shè)為起點，則終點落在陰影區(qū)域內(nèi)(包括邊界)的向量有(B)A.eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→)) B．eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)) D．eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up6(→))[解析]在ON上取點C，使得OC＝2OB，以O(shè)A，OC為鄰邊作平行四邊形OCDA(圖略)，則eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))，其終點不在陰影區(qū)域內(nèi)，解除A，同理解除C，D，故選B.5．在△ABC中已知點O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，AD與BC交于點M，則點M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,7)，2)).[解析]如圖，∵O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝(0,5)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,3)，∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(0,5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(4,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－\f(7,4)))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)