中考數(shù)學(xué)《圓（一）》練習(xí)含解析

圓（一）

一、選擇題

1.如圖，。。的直徑AB=2,弦AC=1,點(diǎn)D在。。上，則ND的度數(shù)是（）

2.如圖，在。。中，黜=AC，NAOB=50。，則NADC的度數(shù)是（）

A.50°B.40°C.30°D.25°

3.如圖，A,B,C是。。上三點(diǎn)，NACB=25。，則NBAO的度數(shù)是（）

&

A.55°B.60°C.65°D.70°

4.如圖，AB是。。的直徑，CD為弦，CDLAB且相交于點(diǎn)E,則下列結(jié)論中不成立的

是（）

5.如圖，AB為。0直徑，己知NDCB=20。，則/DBA為（）

A.50°B.20°C.60°D.70°

6.如圖，4ABD的三個(gè)頂點(diǎn)在。。上，AB是直徑，點(diǎn)C在。0上，且NABD=52。，則

A.32°B.38°C.52°D.66°

7.如圖，在。。中，直徑CD垂直于弦AB,若NC=25。，則NBOD的度數(shù)是（)

8.如圖，。。為aABC的外接圓，ZA=72°,則NBCO的度數(shù)為（）

9.如圖，AABC的頂點(diǎn)A、B、C均在。O上，若NABC+NAOC=90。，則NAOC的大小是

（）

10.如圖，已知經(jīng)過原點(diǎn)的。P與x、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是劣弧OB上一點(diǎn),

貝UZACB=()

100°D.無法確定

11.4ABC為。。的內(nèi)接三角形，若NAOC=160。，則NABC的度數(shù)是（）

A.80°B.160℃.100°D.80°或100°

12.如圖所示，MN是。。的直徑，作AB_LMN,垂足為點(diǎn)D,連接AM,AN,點(diǎn)C為余

上一點(diǎn)，且宸=氤，連接CM,交AB于點(diǎn)E,交AN于點(diǎn)F,現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①AD=BD；②NMAN=90°；③神前；@ZACM+ZANM=ZMOB；⑤AE=^MF.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

5

13.如圖，點(diǎn)A,B,C是。。上的三點(diǎn)，已知NAOB=100°,那么NACB的度數(shù)是（)

B

14.如圖，圓。是^ABC的外接圓，ZA=68°,則NOBC的大小是（）

15.如圖，AB是00的直徑，C、D是上的兩點(diǎn)，分別連接AC、BC、CD、0D.若

ZDOB=140°,則NACD=（）

16.如圖，四邊形ABCD為。0的內(nèi)接四邊形，已知NBOD=100。,則NBCD的度數(shù)為（）

A.50°B.80°C.100°D.130°

17.如圖，。。是aABC的外接圓，ZACO=45°,則NB的度數(shù)為（)

A.30°B.35°C.40°D.45°

18.如圖A,B,C是。。上的三個(gè)點(diǎn)，若NAOC=100。，則NABC等于（）

R

A.50°B.80°C.100°D.130°

二、填空題

19.如圖，AB為。。的直徑，AB=AC,BC交。。于點(diǎn)D,AC交。。于點(diǎn)E,ZBAC=45",

給出以下五個(gè)結(jié)論：①NEBC=22.5。；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧金是劣弧面的2倍;

⑤AE=BC,其中正確的序號(hào)是

20.將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使頂點(diǎn)C在半圓上，點(diǎn)A、B的

讀數(shù)分別為100°、150°,則NACB的大小為度.

21.如圖所示，A、B、C三點(diǎn)均在上，若NAOB=80。，則NACB=

22.如圖'。。是4ABC的外接圓,AD是。。的直徑'若。。的半徑是4,sinB”則

線段AC的長(zhǎng)為

23.如圖，。0是aABC的外接圓，連接OA,OB,NOBA=48。，則NC的度數(shù)為.

24.如圖，點(diǎn)。為前所在圓的圓心，ZB0C=112°,點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上，AD=AC,則

ZD=

25.如圖，點(diǎn)A,B,C是◎。上的點(diǎn)，AO=AB,則NACB=度.

三、解答題(共5小題)

26.已知：如圖，AB為。0的直徑，點(diǎn)C、D在。。上，且BC=6cm,AC=8cm,ZABD=45".(1)

求BD的長(zhǎng)；

(2)求圖中陰影部分的面積.

27.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，EC=BC=DC.

(1)若NCBD=39。，求NBAD的度數(shù)；

(2)求證：Z1=Z2.

28.如圖，。。的半徑為1,A,P,B,C是。。上的四個(gè)點(diǎn)，ZAPC=ZCPB=60°.

(1)判斷aABC的形狀：；

(2)試探究線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)當(dāng)點(diǎn)P位于眾的什么位置時(shí)，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積.

29.如圖，。。是AABC的外接圓，AB是。。的直徑，F(xiàn)O_LAB,垂足為點(diǎn)0,連接AF

并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)D,連接0D交BC于點(diǎn)E,ZB=30°,F0=2?.

(1)求AC的長(zhǎng)度；

(2)求圖中陰影部分的面積.(計(jì)算結(jié)果保留根號(hào))

A

OB

30.如圖，。。的直徑AB的長(zhǎng)為10,弦AC的長(zhǎng)為5,NACB的平分線交。。于點(diǎn)D.

(1)求食的長(zhǎng).

(2)求弦BD的長(zhǎng).

圓（一）

參考答案與試題解析

一、選擇題

1.如圖，。。的直徑AB=2,弦AC=1,點(diǎn)D在。。上，則ND的度數(shù)是（）

【考點(diǎn)】圓周角定理；含30度角的直角三角形.

【專題】幾何圖形問題.

【分析】由。。的直徑是AB,得到NACB=90。，根據(jù)特殊三角函數(shù)值可以求得NB的值，

繼而求得NA和ND的值.

【解答】解：:。。的直徑是AB,

ZACB=90°,

又YAB=2,弦AC=1,

/.sinZCBA=-^-^,

AB2

.,.ZCBA=30°,

.,.ZA=ZD=60°,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單，但在解答時(shí)要注意

特殊三角函數(shù)的取值.

2.如圖，在。。中，AB=AC?NAOB=50。，則NADC的度數(shù)是（)

D

A.50°B.40°C.30°D.25°

【考點(diǎn)】圓周角定理；垂徑定理.

【分析】先求出NAOC=NAOB=50。，再由圓周角定理即可得出結(jié)論.

。在。。中,AB=AC，

.?.NAOONAOB,

VZAOB=50°,

ZAOC=50°,

Z.NADC耳NAOC=25°,

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相

等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵.

3.如圖，A,B,C是。。上三點(diǎn)，NACB=25。，則NBAO的度數(shù)是（）

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【分析】連接OB,要求NBA。的度數(shù)，只要在等腰三角形OAB中求得一個(gè)角的度數(shù)即

可得到答案，利用同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半可得/AOB=50。，然后根據(jù)等腰三

角形兩底角相等和三角形內(nèi)角和定理即可求得.

【解答】解:連接OB,

ZACB=25°,

，ZAOB=2X25°=50°,

由OA=OB,

AZBAO=ZABO,

，NBAO=g(180°-50°)=65°.

2

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理；作出輔助線，構(gòu)建等腰三角形是正確解答本題的關(guān)鍵.

4.如圖，AB是。。的直徑，CD為弦，CDLAB且相交于點(diǎn)E,則下列結(jié)論中不成立的

A.ZA=ZDB.CB=BDC.ZACB=90°D.ZCOB=3ZD

【考點(diǎn)】圓周角定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【分析】根據(jù)垂徑定理、圓周角定理，進(jìn)行判斷即可解答.

【解答】解：A、ZA=ZD,正確；

B、正確；

C、NACB=90°,正確；

D、ZCOB=2ZCDB,故錯(cuò)誤；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧,

也考查了圓周角定理，解集本題的關(guān)鍵是熟記垂徑定理和圓周角定理.

5.如圖，AB為。O直徑，已知NDCB=20。，則/DBA為（）

A.50°B.20°C.60°D.70°

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【專題】計(jì)算題.

【分析】先根據(jù)半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角得到NACB=90。，再利用互余得/

ACD=90°-ZDCB=70°,然后根據(jù)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等求解.

【解答】解：???AB為直徑,

；.NACB=90°,

，ZACD=90°-ZDCB=90°-20°=70°,

AZDBA=ZACD=70°.

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都

等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90。的

圓周角所對(duì)的弦是直徑.

6.如圖，4ABD的三個(gè)頂點(diǎn)在。。上，AB是直徑，點(diǎn)C在。0上，且NABD=52。，則

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【分析】由AB是。。的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，即可求得NADB的度數(shù),

繼而求得NA的度數(shù)，又由圓周角定理，即可求得答案.

【解答】解：???AB是。。的直徑，

/.ZADB=90o,

VZABD=52°,

，ZA=90°-ZABD=38°；

AZBCD=ZA=38°.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理以及直角三角形的性質(zhì).此題難度不大，注意掌握數(shù)形

結(jié)合思想的應(yīng)用.

7.如圖，在。。中，直徑CD垂直于弦AB,若NC=25。，則NBOD的度數(shù)是（）

【考點(diǎn)】圓周角定理；垂徑定理.

【專題】壓軸題.

【分析】由"等弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半"推知ND0B=2NC,得到答案.

【解答】解：?.?在。。中，直徑CD垂直于弦AB,

.?

?"AD=BD?

.,.ZDOB=2ZC=50".

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理、垂徑定理.圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等

弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

8.如圖，。。為aABC的外接圓，NA=72。，則NBCO的度數(shù)為（）

A.15°B.18°C.20°D.28°

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【專題】計(jì)算題.

【分析】連結(jié)0B,如圖，先根據(jù)圓周角定理得到/BOC=2NA=144。，然后根據(jù)等腰三角

形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算NBC。的度數(shù).

【解答】解：連結(jié)0B,如圖，ZB0C=2ZA=2X72°=144°,

VOB=OC,

AZCBO=ZBCO,

AZBCO=^(180°-ZBOC)=-^X(180°-144°)=18°.

22

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都

等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.也考查了等腰三角形的性質(zhì).

9.如圖，AABC的頂點(diǎn)A、B、C均在。。上，若NABC+NAOC=90。，則NAOC的大小是

()

A.30°B.45°C.60°D.70°

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【專題】計(jì)算題.

【分析】先根據(jù)圓周角定理得到NABC=*NAOC,由于NABC+NAOC=90。，所以■1?NAOC+

ZAOC=90°,然后解方程即可.

【解答】解：VZABC=^ZAOC,

而NABC+NAOC=90°,

.,卷NAOC+NAOC=90。，

.,.ZAOC=60".

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都

等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

10.如圖，已知經(jīng)過原點(diǎn)的。P與x、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是劣弧OB上一點(diǎn)，

則NACB=()

A.80°B.90°C.100°D.無法確定

【考點(diǎn)】圓周角定理；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

【分析】由/AOB與NACB是優(yōu)弧AB所對(duì)的圓周角，根據(jù)圓周角定理，即可求得NACB=

ZAOB=90°.

【解答】解：???NAOB與NACB是優(yōu)弧AB所對(duì)的圓周角，

ZAOB=ZACB,

,/ZAOB=90°,

/.ZACB=90o.

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理.此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是觀察圖形，得到NAOB

與NACB是優(yōu)弧AB所對(duì)的圓周角.

11.4ABC為。。的內(nèi)接三角形，若NAOC=160。，則NABC的度數(shù)是()

A.80°B.160℃.100°D.80°或100°

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，由圓周角定理即可求得答案NABC的度數(shù)，又由圓的

內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可求得NABC的度數(shù).

【解答】解：如圖，VZAOC=160°,

/.NABC]ZAOC=yX160°=80°,

?.,NABC+NAB'C=180°,

AZAB,C=180°-ZABC=180°-80°=100°.

ZABC的度數(shù)是:80?；?00°.

故選D.

B'

R

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì).此題難度不大，注意數(shù)形結(jié)

合思想與分類討論思想的應(yīng)用，注意別漏解.

12.如圖所示，MN是。。的直徑，作AB_LMN,垂足為點(diǎn)D,連接AM,AN,點(diǎn)C為眾

上一點(diǎn)，且金篇，連接CM,交AB于點(diǎn)E,交AN于點(diǎn)F,現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①AD=BD；②NMAN=90°；③神氤；@ZACM+ZANM=ZMOB；⑤AE=*MF.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

【考點(diǎn)】圓周角定理；垂徑定理.

【專題】壓軸題.

【分析】根據(jù)AB_LMN,垂徑定理得出①③正確，利用MN是直徑得出②正確，踴=篇

=詢，得出④正確，結(jié)合②④得出⑤正確即可.

【解答】解：：MN是。。的直徑，AB1MN,

，AD=BD,?氤=BM，ZMAN=90°（①②③正確）

?*********^

?AC=AM，

???AC=AM=BM'

/.ZACM+ZANM=ZMOB（④正確）

VZMAE=ZAME,

；.AE=ME,ZEAF=ZAFM,

，AE=EF,

.\AE=yMF（⑤正確）.

正確的結(jié)論共5個(gè).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查圓周角定理，垂徑定理，以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半等知識(shí).

13.如圖，點(diǎn)A,B,C是。。上的三點(diǎn)，已知NAOB=100°,那么NACB的度數(shù)是（）

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【專題】計(jì)算題；壓軸題.

【分析】根據(jù)圖形，利用圓周角定理求出所求角度數(shù)即可.

【解答】解：:NAOB與NACB都對(duì)窟,旦NAOB=100。，

NACB=《NAOB=50°,

故選C

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解本題的關(guān)鍵.

14.如圖，圓。是AABC的外接圓，ZA=68°,則NOBC的大小是（）

A

A.22°B.26°C.32°D.68°

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【分析】先根據(jù)圓周角定理求出NBOC的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：YNA與NBOC是同弧所對(duì)的圓周角與圓心角，NA=68。,

.?.ZBOC=2ZA=136°.

VOB=OC,

ZOBC=——善^—=22°.

2

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相

等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵.

15.如圖，AB是。。的直徑，C、D是。。上的兩點(diǎn)，分別連接AC、BC、CD、0D.若

ZDOB=140°,則NACD=()

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【分析】根據(jù)NDOB=140。，求出NAOD的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求出NACD的度數(shù).

【解答】解:VZDOB=140°,

ZAOD=40°,

ZACD=yZAOD=20°,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，掌握一條弧所對(duì)的圓周角是這條弧所對(duì)的圓心角的

一半是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，四邊形ABCD為。0的內(nèi)接四邊形，已知NBOD=100。,則NBCD的度數(shù)為（）

A.50°B.80°C.100°D.130°

【考點(diǎn)】圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

【分析】首先根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系，求出NBAD的度數(shù)；然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形

的對(duì)角互補(bǔ)，用180。減去NBAD的度數(shù)，求出NBCD的度數(shù)是多少即可.

【解答】解：?.?/BOD=100。，

.,.ZBAD=100°4-2=50°,

/.ZBCD=180o-ZBAD

=180°-50°

=130°

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】（1）此題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周

角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，要熟練掌握.

（2）此題還考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和

它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）.

17.如圖，。。是AABC的外接圓，ZACO=45°,則NB的度數(shù)為（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【分析】先根據(jù)OA=OC,NACO=45?？傻贸鯪OAC=45。，故可得出/AOC的度數(shù)，再由

圓周角定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：VOA=OC,ZACO=45°,

/.ZOAC=45°,

,ZAOC=180°-45°-45°=90°,

AZB="1-ZA0C=45o.

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相

等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵.

18.如圖A,B,C是。0上的三個(gè)點(diǎn)，若NAOC=100。，則NABC等于（）

R

A.50°B.80°C.100°D.130°

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【分析】首先在會(huì)上取點(diǎn)D,連接AD,CD,由圓周角定理即可求得ND的度數(shù)，然后

由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，求得NABC的度數(shù).

【解答】解：如圖，在優(yōu)弧窟上取點(diǎn)D,連接AD,CD,

ZAOC=100",

；.NADC卷NAOC=50。，

，ZABC=1800-ZADC=130°.

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相

等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵.

二、填空題

19.如圖，AB為。。的直徑，AB=AC,BC交。。于點(diǎn)D,AC交。。于點(diǎn)E,ZBAC=45°,

給出以下五個(gè)結(jié)論：①/EBC=22.5。；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧金是劣弧面的2倍;

⑤AE=BC,其中正確的序號(hào)是①②④.

【考點(diǎn)】圓周角定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)；弧長(zhǎng)的計(jì)算.

【專題】壓軸題.

【分析】根據(jù)圓周角定理，等邊對(duì)等角，等腰三角形的性質(zhì)，直徑對(duì)的圓周角是直角等

知識(shí)，運(yùn)用排除法逐條分析判斷.

【解答】解：連接AD,AB是直徑，

貝AD±BC,

又???△ABC是等腰三角形，

故點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，即BD=CD,故②正確；

VAD是NBAC的平分線，

由圓周角定理知，ZEBC=ZDAC=^-ZBAC=22.5",故①正確；

,/ZABE=900-ZEBC-NBAD=45°=2NCAD,故④正確；

VZEBC=22.5°,2ECWBE,AE=BE,，AEW2CE,③不正確;

???AE=BE,BE是直角邊，BC是斜邊，肯定不等，故⑤錯(cuò)誤.

綜上所述，正確的結(jié)論是：①②④.

故答案是：①②④.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及弧長(zhǎng)的計(jì)算等.利用了

圓周角定理，等邊對(duì)等角，等腰三角形的性質(zhì)，直徑對(duì)的圓周角是直角求解.

20.將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使頂點(diǎn)C在半圓上，點(diǎn)A、B的

讀數(shù)分別為100°、150°,則NACB的大小為25度.

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【專題】計(jì)算題.

【分析】連接OA,OB,根據(jù)題意確定出NAOB的度數(shù)，利用圓周角定理即可求出NACB

的度數(shù).

【解答】解：連接OA,OB,由題意得：NAOB=50。，

,/ZACB與NAOB都對(duì)第，

/.ZACB=yZAOB=25",

故答案為：25

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解本題的關(guān)鍵.

21.如圖所示，A、B、C三點(diǎn)均在。。上，若NAOB=80。，則NACB=40

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【專題】計(jì)算題.

【分析】直接根據(jù)圓周角定理求解.

【解答】解：zACB=-1-ZAOB=^-X80°=40°.

故答案為40.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都

等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

22.如圖，。。是AABC的外接圓，AD是。。的直徑，若。。的半徑是4,sinB=p則

【考點(diǎn)】圓周角定理；解直角三角形.

【專題】計(jì)算題.

【分析】連結(jié)CD如圖，根據(jù)圓周角定理得到NACD=90。，ZD=ZB,則sinD=sinB=],

然后在RtAACD中利用ND的正弦可計(jì)算出AC的長(zhǎng).

【解答】解：連結(jié)CD,如圖，

VAD是。。的直徑，

/.ZACD=90°,

VZD=ZB,

.\sinD=sinB=-v，

4

AC1

在R3ACD中，VsinD=~^-,

AD4

/.AC=^-AD=—X8=2.

44

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都

等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90。的

圓周角所對(duì)的弦是直徑.也考查了解直角三角形.

23.如圖，。。是aABC的外接圓，連接OA,OB,ZOBA=48°,則NC的度數(shù)為42。.

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得NAOB的度數(shù)，再進(jìn)一步根據(jù)圓周角定理求解.

【解答】解：VOA=OB,ZOBA=48",

，NOAB=NOBA=48°,

:.ZAOB=180°-48°X2=84°,

AZC=^-ZAOB=42",

故答案為：42°.

【點(diǎn)評(píng)】此題綜合運(yùn)用了三角形的內(nèi)角和定理以及圓周角定理.解決本題的關(guān)鍵是熟記

一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.

24.如圖，點(diǎn)。為前所在圓的圓心，ZBOC=112°,點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上，AD=AC,則

ZD=28°.

O

BD

【考點(diǎn)】圓周角定理；等腰三角形的性質(zhì).

【分析】由AD=AC,可得NACD=NADC,由NBAC=NACD+NADC=2/D,可得NBAC的

度數(shù)，由ND=^NBAC即可求解.

【解答】解：:AD=AC,

/.ZACD=ZADC,

VZBAC=ZACD+ZADC=2ZD,

/.ZBAC=yZBOC=-j-X112°=56°,

.,.ZD=yZBAC=28°,

故答案為:28°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出ND與NBOC

的關(guān)系.

25.如圖，點(diǎn)A,B,C是。。上的點(diǎn)，AO=AB,則NACB=150度.

【考點(diǎn)】圓周角定理；等邊三角形的判定與性質(zhì)；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)AO=AB,且OA=OB,得出AOAB是等邊三角形，再利用圓周角和圓心角

的關(guān)系得出NBAC+NABC=30。，解答即可.

【解答】解：；點(diǎn)A,B,C是。。上的點(diǎn)，AO=AB,

AOA=OB=AB,

/.△OAB是等邊三角形，

/.ZAOB=60°,

/.ZBAC+ZABC=30o,

.,.ZACB=150°,

故答案為：150

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓心角、圓周角定理問題，關(guān)鍵是根據(jù)AO=AB,且OA=OB,得出

△OAB是等邊三角形.

三、解答題

26.已知：如圖,AB為。0的直徑，點(diǎn)C、D在。0上，且BC=6cm,AC=8cm,ZABD=45°.（1）

求BD的長(zhǎng)；

（2）求圖中陰影部分的面積.

【考點(diǎn)】圓周角定理；勾股定理；扇形面積的計(jì)算.

【分析】（1）由AB為。。的直徑，得到NACB=90。，由勾股定理求得AB,OB=5cm.連

OD,得到等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)S陰影=S扇形-SAOBD即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）..28為。。的直徑，

，NACB=90°,

BC=6cm,AC=8cm,

/.AB=10cm.

/.OB=5cm.

連OD,

VOD=OB,

.,.ZODB=ZABD=45°.

.,.ZBOD=90°.

?*-BD=7oB2+OD2=5^/2cm-

901\/\z25兀一50?

——n?5r22--X5cX5r=cm2.

36024

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積，三

角形的面積，連接OD構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

27.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，EC=BC=DC.

(1)若/CBD=39°,求/BAD的度數(shù)；

(2)求證：Z1=Z2.

【考點(diǎn)】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】計(jì)算題.

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由BC=DC得到NCBD=NCDB=39。，再根據(jù)圓周角

定理得/BAC=NCDB=39。，ZCAD=ZCBD=39°,所以NBAD=NBAC+NCAD=78°；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由EC=BC得NCEB=NCBE,再利用三角形外角性質(zhì)得NCEB=

N2+NBAE,貝IJN2+NBAE=N1+NCBD,力口上NBAE=NCBD,所以N1=N2.

【解答】(1)解：?；BC=DC,

NCBD=NCDB=39°,

VZBAC=ZCDB=39°,ZCAD=ZCBD=39°,

/.ZBAD=ZBAC+ZCAD=39°+39O=78°；

(2)證明：VEC=BC,

NCEB=NCBE,

而NCEB=N2+NBAE,ZCBE=Z1+ZCBD,

Z2+ZBAE=Z1+ZCBD,

VZBAE=ZBDC=ZCBD,

AZ1=Z2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都

等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.也考查了等腰三角形的性質(zhì).

28.如圖，。。的半徑為1,A,P,B,C是。。上的四個(gè)點(diǎn)，ZAPC=ZCPB=60".

（1）判斷aABC的形狀：等邊三角形；

（2）試探究線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）當(dāng)點(diǎn)P位于眾的什么位置時(shí)，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積.

備用圖

【考點(diǎn)】圓周角定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理.

【分析】（1）利用圓周角定理可得/BAC=NCPB,NABC=NAPC,而/APC=NCPB=60。，

所以NBAC=NABC=60。，從而可判斷AABC的形狀；

（2）在PC上截取PD=AP,則4APD是等邊三角形，然后證明△APB04ADC,證明BP=CD,

即可證得；

（3）過點(diǎn)P作PELAB,垂足為E,過點(diǎn)C作CF_LAB,垂足為F,把四邊形的面積轉(zhuǎn)化

為兩個(gè)三角形的面積進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)點(diǎn)P為篇的中點(diǎn)時(shí)，PE+CF=PC從而得出最大面積.

【解答】證明：（1）4ABC是等邊三角形.

證明如下：在。。中

???/BAC與NCPB是前所對(duì)的圓周角，NABC與NAPC是金所對(duì)的圓周角，

/.ZBAC=ZCPB,ZABC=ZAPC,

又?.,NAPC=NCPB=60°,

；.NABC=NBAC=60°,

.,.△ABC為等邊三角形；

（2）在PC上截取PD=AP,如圖1,

又?.,NAPC=60°,

.?.△APD是等邊三角形，

，AD=AP=PD,ZADP=60°,即NADC=120°.

又,:ZAPB=ZAPC+ZBPC=120°,

/.ZADC=ZAPB,

在4APB和4ADC中，

'/APB=NADC

?NABP=NACD，

AP=AD

.,.△APB絲△ADC(AAS),

；.BP=CD,

又YPD=AP,

；.CP=BP+AP；

(3)當(dāng)點(diǎn)P為第的中點(diǎn)時(shí)，四邊形APBC的面積最大.

理由如下，如圖2,過點(diǎn)P作PELAB,垂足為E.

過點(diǎn)C作CFLAB,垂足為F.

???S/、APB=*AB?PE,SMBC=*AB?CF,

?二S四邊彩APBCn5AB*(PE+CF),

當(dāng)點(diǎn)P為靠的中點(diǎn)時(shí)，PE+CF=PC,PC為。。的直徑，

,此時(shí)四邊形APBC的面積最大.

又「。。的半徑為1,

.?.其內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)AB=?,

??S四邊形APBC=1X2XV3=V3-

B

圖2

p,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定、三角形的面積公式以及三角形的

全等的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，證明4APB且AADC是關(guān)鍵.

29.如圖，。。是aABC的外接圓，AB是。。的直徑，F(xiàn)O±AB,垂足為點(diǎn)0,連接AF

并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)D,連接0D交BC于點(diǎn)E,NB=30。，F(xiàn)0=2?.

(1)求AC的長(zhǎng)度；

(2)求圖中陰影部分的面積.(計(jì)算結(jié)果保留根號(hào))