剛體力學(xué)課件

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)及角動(dòng)量守恒LwIw剛體力學(xué)剛體力學(xué)rigidbodymechanics本章內(nèi)容本章內(nèi)容剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能關(guān)系第一節(jié)剛體的基本運(yùn)動(dòng)Basicmotionofrigidbody剛體一、剛體概念在外力的作用下,物體的形狀和大小不發(fā)生變化物體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離都保持恒定的物體稱為剛體.剛體是一種理想化的物理模型.在實(shí)際應(yīng)用中,如果研究對(duì)象的形變可以忽略,則可以近似看作剛體處理.剛體可看成是由許多相對(duì)位置不變的質(zhì)點(diǎn)組成的特殊質(zhì)點(diǎn)系。剛體運(yùn)動(dòng)的分類二、剛體運(yùn)動(dòng)的分類rrva平動(dòng)兩點(diǎn)的連線任意剛體保持方向不變。各點(diǎn)的相同，可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)處理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上每點(diǎn)繞同一軸線做圓周運(yùn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)軸空間位置及方向保持不變平面運(yùn)動(dòng)剛體的質(zhì)心被限制在同一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)軸可平動(dòng)，但始終垂直于該平面。定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)都在以某一定點(diǎn)為球心的球面上運(yùn)動(dòng)。一般運(yùn)動(dòng)的混合。與一般轉(zhuǎn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)第二節(jié)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)Fixedaxisrotationofrigidbody剛體轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)平面（包含并于轉(zhuǎn)軸垂直）pqrqrqqw一、描述定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的物理量X參考方向ppp剛體中任一點(diǎn)1、角位置qrad若規(guī)定矢徑OP轉(zhuǎn)動(dòng)方程q((tqq沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正,則順時(shí)針為負(fù).Oqr2、角位移rt0rqdq,不是矢量，但是矢量，rqdq其方向由右手螺旋法則確定轉(zhuǎn)動(dòng)物理量Flash動(dòng)畫無限小角位移的矢量性3、角速度ws1radtdqd也是矢量，用右旋法確定其方向w,wdq轉(zhuǎn)動(dòng)向wdq用矢量表示或時(shí)它們與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)方向成右旋關(guān)系方3、角加速度s2radatwddtdqd22角加速度也是矢量，其方向與的方向相同wd兩個(gè)特定方向。在選定轉(zhuǎn)軸正向后，可以用正負(fù)號(hào)代表其方向特別提示：在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，、、都只有沿軸向的qdwa角加速度假設(shè)剛體沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)w((tw((tD+twD0wD00越轉(zhuǎn)越快w((tw((tD+twD0wD00越轉(zhuǎn)越慢若以豎直向上為轉(zhuǎn)軸正向，則：dq0w0aa角線量關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角量與線量的關(guān)系、二()aatdtdvdtdrwrnavr2(wr)2rrw2POwvaatnaPrOwqddsdsqdrvdtdqdrtdwrs這也是質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)線量與角量的基本關(guān)系適用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體中任一個(gè)質(zhì)量元。公式對(duì)比s021+vt2atqw0+t212t2vv022asw2w022qvv0+atww0+t勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)svt勻速直線運(yùn)動(dòng)addtv加速度vddts速度rx1t2x()tx()位移r1t2()t()qqq角位移wddtq角速度waddt角加速度qwt勻角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定軸質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)或剛體平動(dòng)直線aaa例求1((w時(shí)飛輪的qt2s,2((時(shí)輪緣的t1satna,,at29.3s1rad解法提要w,qdtddtdqwwddt0tqq,0wdt0tqdt0t((2t3+23t2t4+12t2t24.66rad例已知飛輪半徑0.2mRORs2rad2t2+2時(shí)t0wq0000,a1((,dtdwdtdwwdwdt0t0aaawdt0tdt0t2t2+2((2t3+23ta2((2t2+2t14s2radw2t3+23tt12.66s1radaat,RnaRw214.20.8ms2ms2aat+na221.63s2matbtanarcna60.4a第三節(jié)力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量lawofrotatingrigidbodywithfixedaxis力矩rPzyxO轉(zhuǎn)動(dòng)平面參考平面((轉(zhuǎn)軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體djj力臂一、力對(duì)軸的力矩0F外力(大小,方向)作用點(diǎn)P(由位置矢量r描述)Mz力矩大小sinFdFrjF對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)無貢獻(xiàn)F對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的貢獻(xiàn)用分力分力描述Mz力對(duì)Z軸的力矩0FFFjFrMz的力矩可以用矢量式表示：因?yàn)樵谵D(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，對(duì)Ｚ軸FMzMzrF方向用右手螺旋法則確定力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩的方向與轉(zhuǎn)軸平行。MzF合力矩合力矩的概念定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所受的合力矩，是指對(duì)轉(zhuǎn)軸的各力矩之矢量和。左圖例子中的合力矩為MzrFsinj111+rFsinj222rFsinjrFsinj333444MzSiMziSiriFsiniij先設(shè)定轉(zhuǎn)軸Ｚ的正方向(設(shè)向上為正)合力矩轉(zhuǎn)軸z剛體+轉(zhuǎn)動(dòng)平面rF124F3FF1r2r3r4j1j4j3j2O假定：各力的方向均在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)定律二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律ri=+riifsinqi∑iFijsin∑riarrmirmii∑2()并對(duì)所有質(zhì)元及其所受力矩求和等式兩邊同時(shí)乘以合外力矩M內(nèi)力矩成對(duì)抵消arrmirmii∑2()得M=tnrmirmiFiOrifiijwa瞬時(shí)瞬時(shí)角加速度角速度qirmirmirmirmirmirmifiFiFi+f=rmirmiaii某質(zhì)元受外力受內(nèi)力ijFisin+ifsinqit=ai=ria其法向分量均通過轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。其切向投影式為ntrmia剛體所獲得的角加速度的大小與剛體I相同；與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。M受到的合外力矩的大小成正比，方向剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律I與剛體的性質(zhì)及質(zhì)量分布有關(guān)的物理量，用表示，稱為：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量續(xù)tnrmirmiFiOrifiijwa瞬時(shí)瞬時(shí)角加速度角速度qirmi2()MraSiaIMaMI或：得：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其計(jì)算比較：aM=IaF=mMFaaImm——質(zhì)量，描述剛體平動(dòng)時(shí)慣性大小的物理量I——轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性大小的物理量I的意義I決定大小的因數(shù)總質(zhì)量、質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸的位置及取向m2kgI的單位質(zhì)量連續(xù)分布的剛體rVdVr2mdr2mIr剛體的密度分布函數(shù)riri2I的計(jì)算式分立的質(zhì)點(diǎn)組成的剛體rmiIS分立質(zhì)點(diǎn)的算例Irmiriri2∑m1r12+2mr22若連接兩小球（視為質(zhì)點(diǎn)）的細(xì)桿的質(zhì)量可以忽略，則：分立質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的剛體m12mOr1r2轉(zhuǎn)軸Irmiriri2∑+2mm121l(sin60)2(sin60)2l0.75(m11l2+2m2l2)O2mm1601l2l轉(zhuǎn)軸直棒算例質(zhì)量連續(xù)分布的剛體LmCdmrdrI均勻直棒對(duì)通過中心且與棒垂直的轉(zhuǎn)軸LmOdmrdrI均勻直棒對(duì)通過棒端且與棒垂直的轉(zhuǎn)軸3mL1r3L2L2211mL2I2rdmL2L22rmLdrCmL31r3L031mL2I2rdmL2rmLdr0O圓盤算例OrdrRmdmdm3I2rdm0R2r2mRdr2r2mRdr20Rr2mR24r40R21R2mI勻質(zhì)圓盤對(duì)通過質(zhì)心且與盤垂直的轉(zhuǎn)軸的rdr取半徑為,寬為的窄帶園環(huán),2dmmpR2pdrr2mRdr2r其質(zhì)量為:2IOIC+md平行軸定理IC通過剛體質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為CCIO通過與該軸平行的另一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為OOmCOd,L質(zhì)心CO則例直棒I121mL2C直棒dL2當(dāng)時(shí)IO31mL2正交軸定理對(duì)于薄板狀剛體xYZOx軸、軸在板內(nèi)，且互相垂直；Y軸通過、軸的交點(diǎn)，且垂直板面ZxY則IzIx+Iy其它典型RRRR12RRLba勻質(zhì)矩形薄板轉(zhuǎn)軸通過中心垂直板面I

=(a

+

b)22m12勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸通過中心垂直環(huán)面I

=

m

R

2勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸沿著環(huán)的直徑2I

=2m

R勻質(zhì)厚圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸I

=(R1

+

R2

)22m2勻質(zhì)圓柱體轉(zhuǎn)軸通過中心垂直于幾何軸mI

=

R

+

22m124L勻質(zhì)薄球殼轉(zhuǎn)軸通過球心2I

=2m

R3轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題一四、轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用選例aIM注意：aM、都是矢量，但在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，只有沿軸向的兩個(gè)方向。所以實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可先選定轉(zhuǎn)軸的正方向，進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算求：2pq,時(shí)，w？MmgL21qcos,m2I31LaMIqcos23Lgwdw00wq23Lgqcosqd3Lgqsinw3Lgtddwatdddqdwqwqddw利用例OLm,qmg勻質(zhì)細(xì)桿可繞過端點(diǎn)的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)從水平位置靜止釋放轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題二例已知求T1T2a（以后各例同）Rm1m2m輪軸無摩擦輕繩不伸長輪繩不打滑解法提要T2T1G1G2T2T1aabT1–m1

g=

m1am2

g–

T2=

m2a(

T2

–

T1)

R=Iaa=RaI=mR22轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)線-角聯(lián)立解得a=m1m1+m2+

gm2m21gT1=m1(g+a)T2=m2(g–a)m1gm2g如果考慮有轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦力矩

Mr,則轉(zhuǎn)動(dòng)式為(

T2

–

T1)

R

–

Mr=Ia再聯(lián)立求解。力矩的功算例RrOrdmmd例求經(jīng)過多長時(shí)間圓盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)？已知粗糙水平面mmmROd平放一圓盤轉(zhuǎn)軸w0解法提要MrMrd總摩擦力矩是各微環(huán)帶摩擦元力矩的積分2prdsdr()dmpr2dmdsd環(huán)帶面積環(huán)帶質(zhì)量gmmdmfdrMrdfdrr2mmgR2r2dr環(huán)帶受摩擦力環(huán)帶受摩擦力矩總摩擦力矩MrMrd2mmgR3由MrIaIddtw1mR22ddtww0t4mg3R4mgR3dtdwOOtw0第四節(jié)剛體的角動(dòng)量角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量LvrqLrmv質(zhì)點(diǎn)對(duì)某參考點(diǎn)的角動(dòng)量OrOqrsinqmv慣性系中的給定點(diǎn)回顧：質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量、角動(dòng)量定理、角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量LrmvSiiiSLi角動(dòng)量定理ddtLrFMdLMdtiiS角動(dòng)量守恒定律0若M則L恒矢量剛體的角動(dòng)量一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量vimriOriwviriwLwI定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量大小方向L與同繞向wLw或與沿軸同指向角動(dòng)量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量是無數(shù)質(zhì)點(diǎn)對(duì)公共轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的矢量和Limriviriw2mririmri任一質(zhì)元對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量LLiw2mriri()SwI所有質(zhì)元（整個(gè)剛體）對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量S所有質(zhì)元都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)以軸為圓心作圓周運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量定理二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理1、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理tdLdM合外力矩角動(dòng)量的時(shí)間變化率（微分形式）（積分形式）0ttL0LL0LIwI0w0dLdtM由轉(zhuǎn)動(dòng)定律aIIwtddM()dtdIwtdLd合外力矩的沖量矩角動(dòng)量的增量dLMdt例求制動(dòng)力F重力R0gmN剎車過程應(yīng)用角動(dòng)量定理飛輪:剎車塊正壓力支座反力均通過轉(zhuǎn)軸,無力矩.0tdtLL0M0例ABDlbFmor0w已知n0w轉(zhuǎn)分時(shí)剎車,秒內(nèi)停轉(zhuǎn)在tm剎車塊與輪緣摩擦系數(shù)飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量0Imr2忽略剎車桿的質(zhì)量n602ps1rad代入得0tdt0I0wmFlbrF0I0wbmlrmrnpbt30mltgmor0wfNR0fABlbFNRR解法提要受力和力矩的分析力矩平衡FlNb0桿AB:R摩擦力f支座反力R,均通過轉(zhuǎn)軸,對(duì)合力矩?zé)o貢獻(xiàn).NFlb即其中M0frmNrmFlbr初角動(dòng)量L00I0wL0末角動(dòng)量(停轉(zhuǎn)),剛體系統(tǒng)的角動(dòng)量定理2.（剛體+質(zhì)點(diǎn)）系的角動(dòng)量定理wOvm1gm1mRR靜止釋放例a求角加速度mm1gm1RMi解法提要取系統(tǒng)：輕繩合外力矩∑mm1LmLm1Iw21mR2wm1vRmR2w對(duì)的角動(dòng)量O對(duì)的角動(dòng)量O同向MiLtddigm1Rtdd(21mR2w+mR2w)21m(m1+)R2wtdd∑∑由得wtddgm12m(m1+)Raa解得又2若一個(gè)系統(tǒng)包含多個(gè)剛體或平動(dòng)物體共軸系統(tǒng)的總合外力矩系統(tǒng)的總沖量矩d1t2ttM()1LLii2∑MiLtddi∑∑系統(tǒng)總角動(dòng)量的變化率系統(tǒng)總角動(dòng)量的增量剛體的角動(dòng)量守恒定律三、“剛體+質(zhì)點(diǎn)”共軸系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒定律系統(tǒng)的角動(dòng)量定理MLtdd由M0Ltdd0——系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒定律若則即共軸系統(tǒng)所受的合外力矩L常矢量SiL特別說明：系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)”共軸系統(tǒng)，對(duì)不僅適用于“剛體+單個(gè)質(zhì)點(diǎn)、形狀可變的單個(gè)剛體、非剛體都適用。此外，上述角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒也適用于剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。角動(dòng)量守恒定律、動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律是自然界的三大守恒定律?；剞D(zhuǎn)儀LwIIwZZ萬向支架基座回轉(zhuǎn)體（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）Z回轉(zhuǎn)儀定向原理Z回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對(duì)稱分布；軸摩擦及空氣阻力很小。受合外力矩為零角動(dòng)量守恒wILZZ常矢量wI其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為常量若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向某方向Z使其以角速度高速旋轉(zhuǎn)則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變而不會(huì)受基座改向的影響Z角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象收臂大小Iw

用外力矩啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩張臂I大小wIwIwIw角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象乘積保持不變變小則變大、變大則變小花樣滑冰中常見的例子角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象變小則Iw變大，乘積保持不變Iw變大則Iw變小收臂大小Iw

用外力矩啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩張臂I大小w花樣滑冰收臂大小Iw張臂Iw大小先使自己轉(zhuǎn)動(dòng)起來收臂大小Iw共軸系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒共軸系統(tǒng)若0IMwS外則LSi恒矢量Sii輪、轉(zhuǎn)臺(tái)與人系統(tǒng)I輪I人臺(tái)初態(tài)全靜LSi初0人沿某一轉(zhuǎn)向撥動(dòng)輪子w輪末態(tài)w人臺(tái)I輪w輪LSi末+I人臺(tái)w人臺(tái)LSi初0得I人臺(tái)w人臺(tái)I輪w輪導(dǎo)致人臺(tái)反向轉(zhuǎn)動(dòng)守恒例題一wA靜已知例AIBIA、B兩輪共軸A以wA作慣性轉(zhuǎn)動(dòng)解法提要

以A、B為系統(tǒng)，忽略軸摩擦，脫離驅(qū)動(dòng)力矩后，系統(tǒng)受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。初態(tài)角動(dòng)量wAAI+0()AI+BIwAB末態(tài)角動(dòng)量得wABwAAI()AI+BI求兩輪嚙合后一起作慣性轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度wABwAB第五節(jié)principlework-energyoffixed-axisrotationofrigidbody剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能關(guān)系力矩的功一、力矩的功和功率OqdjPrrdtFcosFrd2pj()rdFrdsinjdAFrdF力的元功力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所作功可以用力矩的功來計(jì)算dAAq12qMqdq12q剛體由轉(zhuǎn)到M作的總功為PAddtwMqddtM力矩作功的瞬時(shí)功率FrsinjqdMqddAMqd力矩的元功轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能rmiviriw剛體中任一質(zhì)元的速率Eik21rmivi221rmiriw22該質(zhì)元的動(dòng)能對(duì)所有質(zhì)元的動(dòng)能求和rmiri2()∑EkEik21w2∑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IzEk21w2剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能公式得IzwOzrivirmi合外力矩的功轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量剛體的動(dòng)能定理三、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理由

力矩的元功dAqdM轉(zhuǎn)動(dòng)定律bIMdAbIqdIwdtdqdIqdtdwdIwwd則AdAqdMq0qw0wIwwd2121202IwIwmAv21mv202？21回憶質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理稱為動(dòng)能定理例題三由Aw212I0w212I得w2AI代入得w247gL解法提要41LgmA4qdcos02pLqgm從水平擺至垂直，重力矩作正功IIc+md2由平行軸定理Lm2121+m412L（）Lm2487已知例求擺至垂直位置時(shí)桿的w34Lqw00wgmO水平位置靜止釋放14L含平動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)問題四、含的功能原理質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)+rE機(jī)械A(chǔ)外力A非保守內(nèi)力矩力力矩(E動(dòng)+)E勢(shì)(E動(dòng)+)E勢(shì)00()E平動(dòng)+E轉(zhuǎn)動(dòng)()E+E00平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)A外力力矩0A非保守內(nèi)力矩力0+A外力A非保守內(nèi)力矩力力矩0E則或者以及若在一個(gè)過程中恒量系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律例解法提要對(duì)滑輪和重物分別運(yùn)用剛體和質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理求解方法一:滑輪qr212wI0((T0重物THm1gH212m1v0gmNTwrOTm1gv方法二:取滑輪,輕繩,重物,地球?yàn)橄到y(tǒng)用系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律求解wrOHv00vm1212m1v+212wIgm1H0vrw因,I221mr代入可得v(21m1m+m1(2gH2gH因TT,Hrq,vrwI221mr,聯(lián)立解得v(21m1m+m1(2gH2gH例v00Ovm1gm1mHrI221mr滑輪輕繩不伸長輪繩不打滑輪軸無摩擦由靜止釋放求下行時(shí)Hm1的v已知rE機(jī)械能+A非保守內(nèi)力力矩A外力力矩0系統(tǒng)機(jī)械能守恒0以的初始位置為重力勢(shì)能的零勢(shì)點(diǎn)m1例已知例彈嵌于棒Olm2v0m1子彈03上擺最大轉(zhuǎn)角求v0木棒聯(lián)立解得6v0m11g(2l3)(())m2+2m1m2+3m1解法提要以彈、棒為系統(tǒng)擊入階段子彈擊入木棒瞬間，系統(tǒng)在鉛直位置，受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。wv0+m1v0lm1l+I該瞬間之始該瞬間之末彈棒彈棒上擺階段彈嵌定于棒內(nèi)與棒一起上擺，用系統(tǒng)動(dòng)能定理，其中非保守內(nèi)力的功為零，m1gcosl(103(+21m2gcosl(103(外力（重力）的功A外0上擺末動(dòng)能()m2121v+21wI2上擺初動(dòng)能31vwlIm2l2,其中第五節(jié)剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)一、剛體平面平行運(yùn)動(dòng)的描述特點(diǎn)剛體內(nèi)在垂直于該平面的直線上各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全相同剛體上任一質(zhì)元都在平行于一個(gè)固定參考平面的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)定義可以利用與參考平面平行的平面在剛體上截出一個(gè)平面圖形，它在該平面上的位置和運(yùn)動(dòng)一經(jīng)確定，則剛體的位置和運(yùn)動(dòng)也隨之確定在剛體上截出的與參考平面平行的平面圖形基面在基面上選取的參考點(diǎn)基點(diǎn)確定這個(gè)被截出的圖形在該平面上的AxyAj（）、、位置，需要三個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)：基點(diǎn)基面但繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)與基點(diǎn)的選擇無關(guān)?；c(diǎn)選擇不同，基點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)也不同，=基點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)+繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)=基面的運(yùn)動(dòng)jABjD1jD2jD1jD2二、轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心純滾動(dòng)1、轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心jDAA'BB'若以為基點(diǎn)，則任意點(diǎn)ABvrBvA+wAB若vB0則該點(diǎn)稱為剛體的B轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心剛體在該時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)就等效于繞轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)2、純滾動(dòng)基面C轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心vCwr質(zhì)心的速度質(zhì)心的加速度aCarwa,分別是圓柱體純滾動(dòng)時(shí)的角速度和角加速度若半徑為的圓柱面在平面上滾動(dòng)時(shí)，接觸點(diǎn)的速度為，則稱為純滾動(dòng)。0此時(shí)，接觸點(diǎn)就是轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心r三、剛體平面平行運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程以質(zhì)心為基點(diǎn)，則剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)C質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)+繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律FxacxSmFyacySm由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律aMSICC剛體上任意一點(diǎn)的速度、加速度BarBaC+aCBCvrBvC+wCBC可以證明，剛體的動(dòng)能21mvC2Ek21w2IC+C圓形物體作純滾動(dòng)時(shí)：vCwraCar進(jìn)動(dòng)簡介：進(jìn)動(dòng)可以繞對(duì)稱軸高速旋轉(zhuǎn)的剛體稱為回轉(zhuǎn)儀（陀螺）陀螺在繞對(duì)稱軸高速轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，還繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象稱進(jìn)動(dòng)r０MＺmgqrqsinＬＬ+Ｌd０ＬdＺqjdLqsinMLtdd由Ｍ＝０時(shí)，不變。Ｌ即陀螺的轉(zhuǎn)動(dòng)速度和轉(zhuǎn)軸方向均不變，沒有進(jìn)動(dòng)產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)的原因：外力對(duì)支點(diǎn)的力矩Ｍ＝００。wＺ００Ｌ陀螺角動(dòng)量增量的方向與外力矩的方向一致，但的大小不變，只有Ｍ方向改變，故產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)。d＝ＭtdＭ＝０時(shí)Ｌ回轉(zhuǎn)定向儀進(jìn)動(dòng)守恒例題三求

滿足什么條件時(shí)，小球（視為質(zhì)點(diǎn)）擺至鉛垂位置與棒彈碰而小球恰好靜止。直棒起擺角速度lw？勻質(zhì)直棒與單擺小球的質(zhì)量相等兩者共面共轉(zhuǎn)軸水平靜止釋放例mOllm靜懸彈碰忽略摩擦聯(lián)立解得l3l,gw23l()120.577l~~~~1.861gl解法提要對(duì)擺球、直棒系統(tǒng)mgl21mv2小球下擺階段從水平擺到彈碰即將開始由動(dòng)能定理得I31ml2其中

球、棒相碰瞬間在鉛垂位置，系統(tǒng)受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。+剛要碰時(shí)系統(tǒng)角動(dòng)量0剛碰過后系統(tǒng)角動(dòng)量0mvlwI+球棒球棒彈碰階段21Iw221mv2彈碰過程能量守恒球體算例勻質(zhì)實(shí)心球?qū)π妮S的ImORrryyddmdm2rR2y2rRp343m可看成是許多半徑不同的共軸薄圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量