10.3-冪級數(shù)(部編)課件

10.3冪級數(shù)10.3.1冪級數(shù)及其收斂區(qū)間1.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)前面討論的級數(shù)是常數(shù)項(xiàng)級數(shù)，即級數(shù)的各項(xiàng)都是常數(shù)。如果一個級數(shù)的各項(xiàng)都是定義在某個區(qū)間I上的函數(shù)，則稱該級數(shù)為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，一般可表示為（10.3.1）若給定一點(diǎn)則函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（10.3.1）成為一個常數(shù)項(xiàng)級數(shù)（10.3.2）若級數(shù)（10.3.2）收斂，則稱點(diǎn)是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（10.3.1）的收斂點(diǎn)，否則稱點(diǎn)為發(fā)散點(diǎn)。的收斂點(diǎn)的全體叫做函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（10.3.1）的收斂域。級數(shù)（10.3.1）對于收斂域內(nèi)每一點(diǎn)X,都有唯一確定的和與之對應(yīng)，所以在收斂域內(nèi)的和是x的函數(shù)，稱為的和函數(shù)，記為S(x)，即函數(shù)項(xiàng)級數(shù)是以變量x為公比的等比級數(shù)，由前面討論可知，當(dāng)|x|<1時，級數(shù)收斂，當(dāng)|x|時，級數(shù)發(fā)散，因此，級數(shù)的收斂域?yàn)?-1,1).2.冪級數(shù)的概念當(dāng)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(10.3.1)的各項(xiàng)均為冪函數(shù)時，即得級數(shù)(10.3.3)稱為關(guān)于的冪級數(shù)，其中常數(shù)稱為冪級數(shù)的系數(shù).當(dāng)（10.3.3)式變?yōu)?10.3.4)稱為關(guān)于x的冪級數(shù).作變換則級數(shù)（10.3.3）就變?yōu)榧墧?shù)（10.3.4）,所以，下面首先討論形如(10.3.4)的冪級數(shù)。3.冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間一般的，如果冪級數(shù)不僅在x=0處收斂，那么存在一個正實(shí)數(shù)R，使該冪級數(shù)在對稱區(qū)間（-R,R）內(nèi)一定絕對收斂；在使|x|>R的點(diǎn)x處一定發(fā)散；在x=處斂散性不定。這樣的R稱為冪級數(shù)（10.3.4

）的收斂半徑，而把以下四種區(qū)間統(tǒng)稱為冪的收斂區(qū)間（或收斂域）.級數(shù)一般地，設(shè)冪級數(shù)有則（1）時，收斂半經(jīng)（2）時，收斂半徑（3）時,收斂半徑例10.3.1

求下列冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間。解（1）因?yàn)閯t所以冪級數(shù)的收斂半徑R=1.當(dāng)x=-1時，交錯級數(shù)收斂；當(dāng)x=1時，調(diào)和級數(shù)發(fā)散；所以冪級數(shù)的收斂區(qū)間為[-1，1）.（2）因?yàn)閯t所以冪級數(shù)的收斂半徑收斂區(qū)間為（3）令y=x-2，得級數(shù)由于所以，冪級數(shù)的收斂半徑當(dāng)y=-1時，級數(shù)收斂，當(dāng)y=1時，級數(shù)收斂，所以冪級數(shù)收斂區(qū)間[-1，1]，即而y=x-2，代入得故知的收斂半經(jīng)R=1，收斂區(qū)間為[1，3].（4）所給冪級數(shù)缺少奇數(shù)冪的項(xiàng)，不屬于級數(shù)（10.3.4）的標(biāo)準(zhǔn)形式，不能直接用上述方法求解，根據(jù)比值判別法求解?？梢援?dāng)即時，該級數(shù)絕對收斂；當(dāng)該級數(shù)絕對發(fā)散。所以冪級數(shù)的收斂半徑級數(shù)收斂,所以冪級數(shù)收斂區(qū)間為10.3.2冪級數(shù)的運(yùn)算設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑分別為它們的和函數(shù)分別為記R=min{則在(-R,R)有：1.加法和減法且收斂半徑為R.2.乘法且收斂半徑為R.設(shè)收斂半徑為R，則在(-R,R)內(nèi)有：3.逐項(xiàng)求導(dǎo)且收斂半徑仍為R,但在收斂區(qū)間端點(diǎn)處的斂散性可能改變。4.逐項(xiàng)積分且收斂半徑為R,但