第10講 用空間向量研究直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系4種常見(jiàn)方法歸類(lèi)原卷版-新高二數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義

用空間向量研究直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系4種常見(jiàn)方法歸類(lèi)1.理解與掌握直線(xiàn)的方向向量，平面的法向量.2.會(huì)用方向向量，法向量證明線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的平行關(guān)系；會(huì)用平面法向量證明線(xiàn)面和面面垂直，并能用空間向量這一工具解決與平行、垂直有關(guān)的立體幾問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)1空間中點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的向量表示1．空間直線(xiàn)的向量表示式設(shè)A是直線(xiàn)上一點(diǎn)，a是直線(xiàn)l的方向向量，在直線(xiàn)l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，設(shè)P是直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)，(1)點(diǎn)P在直線(xiàn)l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝ta，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→)).(2)取定空間中的任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線(xiàn)l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t.使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta.(3)取定空間中的任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線(xiàn)l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→)).注意點(diǎn)：(1)空間中，一個(gè)向量成為直線(xiàn)l的方向向量，必須具備以下兩個(gè)條件：①是非零向量；②向量所在的直線(xiàn)與l平行或重合．(2)直線(xiàn)上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)都可構(gòu)成直線(xiàn)的方向向量．與直線(xiàn)l平行的任意非零向量a都是直線(xiàn)的方向向量，且直線(xiàn)l的方向向量有無(wú)數(shù)個(gè)．(3)空間任意直線(xiàn)都可以由直線(xiàn)上一點(diǎn)及直線(xiàn)的方向向量唯一確定．2．空間平面的向量表示式①如圖，設(shè)兩條直線(xiàn)相交于點(diǎn)O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝xa＋yb.②如圖，取定空間任意一點(diǎn)O，空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x，y，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).我們把這個(gè)式子稱(chēng)為空間平面ABC的向量表示式．③由此可知，空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線(xiàn)向量唯一確定．如圖，直線(xiàn)l⊥α，取直線(xiàn)l的方向向量a，我們稱(chēng)向量a為平面α的法向量．給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a，那么過(guò)點(diǎn)A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0}．注意點(diǎn)：(1)平面α的一個(gè)法向量垂直于平面α內(nèi)的所有向量．(2)一個(gè)平面的法向量有無(wú)限多個(gè)，它們相互平行．易錯(cuò)辨析：（1）空間中給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)方向向量能唯一確定一條直線(xiàn)嗎？答案：能（2）一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定方向向量能否確定一個(gè)平面？答案：不一定，若兩個(gè)定方向向量共線(xiàn)時(shí)不能確定，若兩個(gè)定方向向量不共線(xiàn)能確定．（3）由空間點(diǎn)A和直線(xiàn)l的方向向量能表示直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)？答案：能知識(shí)點(diǎn)2空間平行、垂直關(guān)系的向量表示設(shè)u1，u2分別是直線(xiàn)l1，l2的方向向量，n1，n2分別是平面α，β的法向量．線(xiàn)線(xiàn)平行l(wèi)1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2注：此處不考慮線(xiàn)線(xiàn)重合的情況．但用向量方法證明線(xiàn)線(xiàn)平行時(shí)，必須說(shuō)明兩直線(xiàn)不重合證明線(xiàn)線(xiàn)平行的兩種思路：①用基向量表示出要證明的兩條直線(xiàn)的方向向量，通過(guò)向量的線(xiàn)性運(yùn)算，利用向量共線(xiàn)的充要條件證明．②建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算，利用向量平行的坐標(biāo)表示．線(xiàn)面平行l(wèi)1∥α?u1⊥n1?u1·n1＝0注：證明線(xiàn)面平行時(shí)，必須說(shuō)明直線(xiàn)不在平面內(nèi)；(1)證明線(xiàn)面平行的關(guān)鍵看直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量垂直．(2)特別強(qiáng)調(diào)直線(xiàn)在平面外．面面平行α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2注:證明面面平行時(shí)，必須說(shuō)明兩個(gè)平面不重合．(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)平行然后用向量共線(xiàn)進(jìn)行證明．線(xiàn)線(xiàn)垂直l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0(1)兩直線(xiàn)垂直分為相交垂直和異面垂直，都可轉(zhuǎn)化為兩直線(xiàn)的方向向量相互垂直．(2)基向量法證明兩直線(xiàn)垂直即證直線(xiàn)的方向向量相互垂直，坐標(biāo)法證明兩直線(xiàn)垂直即證兩直線(xiàn)方向向量的數(shù)量積為0.線(xiàn)面垂直l1⊥α?u1∥n1??λ∈R，使得u1＝λn1（1）基向量法：選取基向量，用基向量表示直線(xiàn)所在的向量，證明直線(xiàn)所在向量與兩個(gè)不共線(xiàn)向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．（2）坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線(xiàn)方向向量的坐標(biāo)，證明直線(xiàn)的方向向量與兩個(gè)不共線(xiàn)向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．（3）法向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線(xiàn)方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo)，然后說(shuō)明直線(xiàn)方向向量與平面法向量共線(xiàn)，從而證得結(jié)論．面面垂直α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直、線(xiàn)線(xiàn)垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直1、理解直線(xiàn)方向向量的概念(1)直線(xiàn)上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)都可構(gòu)成直線(xiàn)的方向向量．(2)直線(xiàn)的方向向量不唯一．2、利用待定系數(shù)法求法向量的步驟3、求平面法向量的三個(gè)注意點(diǎn)（1）選向量：在選取平面內(nèi)的向量時(shí)，要選取不共線(xiàn)的兩個(gè)向量（2）取特值：在求n的坐標(biāo)時(shí)，可令x，y，z中一個(gè)為一特殊值得另兩個(gè)值，就是平面的一個(gè)法向量（3）注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某個(gè)坐標(biāo)為某特定值時(shí)一定要注意這個(gè)坐標(biāo)不為04、用空間向量證明平行的方法(1)線(xiàn)線(xiàn)平行：證明兩直線(xiàn)的方向向量共線(xiàn)．(2)線(xiàn)面平行：①證明直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線(xiàn)的向量共面，即可用平面內(nèi)的一組基底表示．②證明直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線(xiàn)，轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)平行，利用線(xiàn)面平行判定定理得證．③先求直線(xiàn)的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量垂直．在證明線(xiàn)面平行時(shí)，需注意說(shuō)明直線(xiàn)不在平面內(nèi)．(3)面面平行：①證明兩平面的法向量為共線(xiàn)向量；②轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行、線(xiàn)線(xiàn)平行問(wèn)題．5、用空間向量證明垂直的方法(1)線(xiàn)線(xiàn)垂直：證明兩直線(xiàn)的方向向量互相垂直，即證明它們的數(shù)量積為零．(2)線(xiàn)面垂直：①基向量法：選取基向量，用基向量表示直線(xiàn)所在的向量，證明直線(xiàn)所在向量與兩個(gè)不共線(xiàn)向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．②坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線(xiàn)方向向量的坐標(biāo)，證明直線(xiàn)的方向向量與兩個(gè)不共線(xiàn)向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．③法向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線(xiàn)方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo)，然后說(shuō)明直線(xiàn)方向向量與平面法向量共線(xiàn)，從而證得結(jié)論．(3)面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎荆键c(diǎn)一：求直線(xiàn)的方向向量例1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求直線(xiàn)PC的一個(gè)方向向量．變式1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，另一個(gè)方向向量為，則________，________.變式2．（2022秋·廣西欽州·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線(xiàn)的一個(gè)法向量是，則的傾斜角的大小是（

）A． B． C． D．變式3．【多選】（2022秋·湖北十堰·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正方體中，E為棱上不與，C重合的任意一點(diǎn)，則能作為直線(xiàn)的方向向量的是（

）A． B． C． D．變式4．（2023春·江蘇常州·高二校聯(lián)考期中）已知直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量，且直線(xiàn)l過(guò)A(0，y，3)和B(－1，2，z)兩點(diǎn)，則y－z等于（

）A．0 B．1 C．2 D．3考點(diǎn)二：求平面的法向量例2．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知，，，則平面ABC的一個(gè)法向量可以是（

）A． B． C． D．變式1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則平面的一個(gè)單位法向量是（

）A． B．C． D．變式2．（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑.在鱉臑中，平面，，.若建立如圖所示的“空間直角坐標(biāo)系，則平面的一個(gè)法向量為（

）

A． B． C． D．變式3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在如圖所示的坐標(biāo)系中，為正方體，給出下列結(jié)論：①直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為；②直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為；③平面的一個(gè)法向量為；④平面的一個(gè)法向量為.其中正確的個(gè)數(shù)為（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)變式4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）放置于空間直角坐標(biāo)系中的棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，H是底面中心，平面ABC，寫(xiě)出：平面BHD的一個(gè)法向量___________；變式5．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求：(1)平面的一個(gè)法向量；(2)平面的一個(gè)法向量.變式6．【多選】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知空間中三個(gè)向量，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．與是共線(xiàn)向量 B．與同向的單位向量是C．在方向上的投影向量是 D．平面ABC的一個(gè)法向量是變式7．（2023春·四川成都·高二成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎謩e是平面，的法向量，則平面，交線(xiàn)的方向向量可以是（

）A． B． C． D．變式8．（2023秋·福建南平·高二統(tǒng)考期末）已知四面體ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，．(1)若M是BD的中點(diǎn)，求直線(xiàn)CM與平面ACD所成的角的正弦值；(2)若P，A，C，D四點(diǎn)共面，且BP⊥平面ACD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．變式9．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)在平面內(nèi)，是平面的一個(gè)法向量，則下列點(diǎn)中，在平面內(nèi)的是（

）A． B． C． D．變式10．（2023春·河南·高二臨潁縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)在平面內(nèi)，平面，其中是平面的一個(gè)法向量，則下列各點(diǎn)在平面內(nèi)的是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)三：用空間向量證明平行問(wèn)題判斷直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系例3．（2023秋·湖北黃石·高二校考階段練習(xí)）若直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量為，平面α的一個(gè)法向量為，則（）A．l∥α或l?α B．l⊥αC．l?α D．l與α斜交變式1．（2023春·高二單元測(cè)試）若平面與的法向量分別是，，則平面與的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．無(wú)法判斷變式2．（2023春·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）已知平面與平面是不重合的兩個(gè)平面，若平面α的法向量為，且，，則平面與平面的位置關(guān)系是________.變式3．（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）在長(zhǎng)方體中，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)對(duì)角面所在法向量為，則__________．變式4．【多選】（2023春·甘肅張掖·高二高臺(tái)縣第一中學(xué)校考期中）下列利用方向向量、法向量判斷線(xiàn)、面位置關(guān)系的結(jié)論中正確的是（

）A．若兩條不重合直線(xiàn)，的方向向量分別是，，則B．若直線(xiàn)的方向向量，平面的法向量是，則C．若兩個(gè)不同平面，的法向量分別為，，則D．若平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，，，向量是平面的法向量，則（二）已知直線(xiàn)、平面的平行關(guān)系求參數(shù)例4．（2022秋·廣東廣州·高二廣州市第九十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線(xiàn)的方向向量是，平面的法向量，若直線(xiàn)平面，則______．變式1．（2023秋·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)?？计谀┮阎本€(xiàn)的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量，若，則實(shí)數(shù)_______．變式2．（2022秋·天津薊州·高二?？计谥校┲本€(xiàn)的方向向量是，平面的法向量，若直線(xiàn)，則___________.變式3．（2023春·上?！じ叨Ｂ?lián)考階段練習(xí)）已知平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則的值為_(kāi)_____（三）證明直線(xiàn)、平面的平行問(wèn)題例5．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，三棱柱中側(cè)棱與底面垂直，且AB＝AC＝2，AA1＝4，AB⊥AC，M，N，P，D分別為CC1，BC，AB，的中點(diǎn)．求證：PN∥面ACC1A1；變式1．（2023·天津和平·耀華中學(xué)校考二模）如圖，四棱錐中，側(cè)面PAD為等邊三角形，線(xiàn)段AD的中點(diǎn)為O且底面ABCD，，，E是PD的中點(diǎn)．

證明：平面PAB；變式2．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，平面，D，E分別為棱AB，的中點(diǎn)，，，.證明：平面；變式3．（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)南陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，底面，．點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，，．求證：平面；變式4．（2023·天津南開(kāi)·南開(kāi)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，底面，且，四邊形是直角梯形，且，，，，為中點(diǎn)，在線(xiàn)段上，且.

求證：平面；變式5．（2023·四川成都·?？家荒＃┤鐖D，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點(diǎn).

求證：平面；變式6．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在棱，，上，；點(diǎn)P，Q，R分別在棱，CD，CB上，．求證：平面平面PQR．變式7．（2023·上海普陀·曹楊二中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)1，側(cè)棱長(zhǎng)4，AA1中點(diǎn)為E，CC1中點(diǎn)為F．求證：平面BDE∥平面B1D1F；考點(diǎn)四：利用空間向量證明垂直問(wèn)題（一）判斷直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系例6．（2021秋·北京·高二校考期中）直線(xiàn)的方向向量分別為，則（

）A． B．∥ C．與相交不平行 D．與重合變式1．（2022秋·北京·高二?？茧A段練習(xí)）若直線(xiàn)l的方向向量為，平面的法向量為，則直線(xiàn)l和平面位置關(guān)系是（

）A． B． C． D．不確定變式2．【多選】（2022秋·廣東珠?！じ叨楹Ｊ卸烽T(mén)區(qū)第一中學(xué)校考期末）已知為直線(xiàn)l的方向向量,分別為平面,的法向量（,不重合）,那么下列說(shuō)法中正確的有（

）．A． B．C． D．變式3．（2023春·江蘇·高二南師大二附中校聯(lián)考階段練習(xí)）下列利用方向向量?法向量判斷線(xiàn)?面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（

）A．兩條不重合直線(xiàn)的方向向量分別是，則B．直線(xiàn)的方向向量，平面的法向量是，則C．兩個(gè)不同的平面的法向量分別是，則D．直線(xiàn)的方向向量，平面的法向量是，則變式4．【多選】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）下列命題是真命題的有(

)A．A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A，B，M，N共面B．直線(xiàn)l的方向向量為，直線(xiàn)m的方向向量為，則l與m垂直C．直線(xiàn)l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥αD．平面α經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，是平面α的法向量，則u+t＝1（二）已知直線(xiàn)、平面的垂直關(guān)系求參數(shù)例7．（2023春·北京海淀·高二中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知平面的法向量為，直線(xiàn)的方向向量為，則下列選項(xiàng)中使得的是（

）A． B．C． D．變式1．（江蘇省揚(yáng)州市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題）已知直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為.若，則的值為（

）A． B． C．1 D．4變式2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知是直線(xiàn)l的方向向量，是平面的法向量．若，則______．變式3．（2022秋·廣東珠?！じ叨楹Ｊ袑?shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）若直線(xiàn)l方向向量為，平面的法向量為，且，則m為（

）A．1 B．2 C．4 D．變式4．（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在正三棱錐D-ABC中，，，O為底面ABC的中心，點(diǎn)P在線(xiàn)段DO上，且，若平面PBC，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．（三）證明直線(xiàn)、平面的垂直問(wèn)題例8．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線(xiàn)段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；(2)若點(diǎn)M是線(xiàn)段AP上一點(diǎn)，且AM＝3，試證明AM⊥平面BMC.變式1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是的中點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，證明：．

變式2．（2023春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）如圖，在多面體中，，，都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面平面，平面平面．

(1)判斷，，，四點(diǎn)是否共面，并說(shuō)明理由；(2)在中，試在邊的中線(xiàn)上確定一點(diǎn)，使得平面．變式3．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，底面是等腰三角形，且，又側(cè)棱，面對(duì)角線(xiàn)，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，.

證明：平面；變式4．（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱臺(tái)中，平面平面ABCD，底面ABCD為正方形，，.

求證：平面.變式5．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，△ABC是一個(gè)正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD.求證：平面DEA⊥平面ECA.變式6．（2022秋·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，底面是梯形，點(diǎn)E在上，．求證：平面平面；變式7．（2022秋·廣東深圳·高二深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┮阎涸谒睦忮F中，底面為正方形，側(cè)棱平面，點(diǎn)為中點(diǎn)，．求證：平面平面；1．如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

證明：；2．如圖，在長(zhǎng)方體中，E、P分別是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，．求證：面；3．如圖所示，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，是的中點(diǎn)，底面，．證明：平面平面；4．如圖，直三棱柱中，，，，側(cè)棱，側(cè)面的兩條對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)為D，的中點(diǎn)為M．求證：平面；5．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)．(1)試確定點(diǎn)的位置，使得平面；6．如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為2，D為中點(diǎn)．求證：平面；7．如圖1，已知是上．下底邊長(zhǎng)分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對(duì)稱(chēng)軸折成直二面角，如圖2．證明：；8．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，與交于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)F．求證：平面；一、單選題1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若在直線(xiàn)l上，則直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量為（

）A． B．C． D．2．（2023秋·天津河北·高二天津外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期末）如圖，在三棱錐中，底面，，，，D為棱的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·廣西柳州·高二校考期末）已知直線(xiàn)，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）①直線(xiàn)的截距為

②向量是直線(xiàn)的一個(gè)法向量③過(guò)點(diǎn)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程為④若直線(xiàn)，則A． B． C． D．4．（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）不重合的兩條直線(xiàn)，的方向向量分別為，．不重合的兩個(gè)平面，的法向量分別為，，直線(xiàn)，均在平面，外．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．5．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，有正方體，給出下列結(jié)論：①直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為；②直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為；③平面的一個(gè)法向量為；④平面的一個(gè)法向量為．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）．A．1 B．2 C．3 D．46．（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）若，分別為直線(xiàn)，的一個(gè)方向向量，則（

）．A． B．與相交，但不垂直C． D．不能確定7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)向量是直線(xiàn)l的方向向量，是平面α的法向量，則（

）A． B．或 C． D．8．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知平面內(nèi)的兩個(gè)向量=(2，3，1)，=(5，6，4)，則該平面的一個(gè)法向量為（

）A．(1，－1，1) B．(2，－1，1)C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1)9．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，是不重合的兩個(gè)平面，，的法向量分別為，，和是不重合的兩條直線(xiàn)，，的方向向量分別為，，那么的一個(gè)充分條件是（）A．，，且， B．，，且C．，，且 D．，，且10．（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，若，則（

）A．-2 B．2 C．6 D．1011．（2023春·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)在平面內(nèi)，是平面的一個(gè)法向量，則下列點(diǎn)P中，在平面內(nèi)的是（

）A． B． C． D．二、填空題12．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知直線(xiàn)l在平面外，直線(xiàn)l的方向向量是，平面的法向量是，則l與的位置關(guān)系是___________（填“平行”或“相交”）13．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)平面的一個(gè)法向量分別為，則的位置關(guān)系為_(kāi)_______．14．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，且，則________.15．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知是直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量，是平面α的一個(gè)法向量，若l⊥α，則a，b的值分別為_(kāi)_______.二、多選題16．（2023春·廣西南寧·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）若是平面的一個(gè)法向量，是平面的一個(gè)法向量，，是直線(xiàn)上不同的兩點(diǎn)，則以