2023-2024學(xué)年云南大學(xué)附中星耀學(xué)校高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年云南大學(xué)附中星耀學(xué)校高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若z=1+i，則|z|=(

)A.0 B.1 C.2 D.2.已知命題p：存在x∈R，使得cosx<1；命題q：對(duì)任意x∈R，都有ex2≥1，則下列命題中為真命題的是A.p和q都是真命題 B.(￢p)和q都是真命題

C.p和(￢q)都是真命題 D.p和q都是假命題3.已知向量a,b滿足|a|=1，(4a+bA.12 B.1 C.2 4.某校運(yùn)動(dòng)會(huì)，一位射擊運(yùn)動(dòng)員10次射擊射中的環(huán)數(shù)依次為：7，7，10，9，7，6，9，10，7，8.則下列說法錯(cuò)誤的是(

)A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8 B.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7

C.這組數(shù)據(jù)的極差為4 D.這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為95.已知圓O：x2+y2=4，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線段PP1(P1在y軸上)，MA.4x2+16y2=1 B.166.已知函數(shù)y=x2?cosx?a在(?π,π)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為A.1 B.?1 C.2 D.?27.已知正四棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為1，下底面邊長(zhǎng)為2，體積為7，則正四棱臺(tái)的側(cè)棱與底面所成角的正切值為(

)A.322 B.2 C.8.已知函數(shù)f(x)=|lnx|，若f(x1)=f(x2)A.2 B.2 C.22二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π6A.f(x)的圖象向左平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)=sin(2x+π3)的圖象

B.直線x=2π3是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸

C.f(x)在10.已知函數(shù)f(x)=x3?ax+2(a∈R)，則A.當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)存在極值點(diǎn)

B.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為直線y=2x，則a=1

C.點(diǎn)(0,2)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心

D.當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)11.已知圓C：x2+y2?10x+13=0，拋物線W：y2=4x的焦點(diǎn)為F，A.存在點(diǎn)P，使△PFC為等邊三角形

B.若Q為C上一點(diǎn)，則|PQ|最小值為1

C.若|PC|=4，則直線PF與C相切

D.若以PF為直徑的圓與C相外切，則|PF|=22?12三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a5+a913.在△ABC中，tanA，tanB是方程x2?6x+7=0的兩個(gè)根，則C的值是______．14.如表為一個(gè)開關(guān)陣列，每個(gè)開關(guān)只有“開”和“關(guān)”兩種狀態(tài)，按其中一個(gè)開關(guān)1次，將導(dǎo)致自身和所有相鄰的開關(guān)改變狀態(tài).例如，按(2,2)將導(dǎo)致(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)改變狀態(tài).如果要求只改變(1,1)的狀態(tài)，則需按開關(guān)的最少次數(shù)為______．(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asinB=bsin2A．

(1)求角A；

(2)若b=1，△ABC的面積為3，求△ABC的周長(zhǎng)．16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=?lnx+ax+a2?2．

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求過點(diǎn)(1,f(1))的切線方程；

(2)若f(x)有極值且f(x)≥0恒成立，求17.(本小題15分)

如圖，已知四邊形ABCD為矩形，AB=4，AD=2，E為DC的中點(diǎn)，將△ADE沿AE進(jìn)行翻折，使點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，且PB=23．

(1)證明：PA⊥BE；

(2)求平面PAE與平面PCE18.(本小題17分)

2024年九省聯(lián)考后很多省份宣布高考數(shù)學(xué)采用新的結(jié)構(gòu)，多選題由4道減少到3道，分值變?yōu)橐活}6分，多選題每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有兩項(xiàng)或三項(xiàng)是正確的，全部選對(duì)得6分，有錯(cuò)選或全不選的得0分.若正確答案是“兩項(xiàng)”的，則選對(duì)1個(gè)得3分；若正確答案是“三項(xiàng)”的，則選對(duì)1個(gè)得2分，選對(duì)2個(gè)得4分.某數(shù)學(xué)興趣小組研究答案規(guī)律發(fā)現(xiàn)，多選題正確答案是兩個(gè)選項(xiàng)的概率為p，正確答案是三個(gè)選項(xiàng)的概率為1?p(其中0<p<1)．

(1)在一次模擬考試中，學(xué)生甲對(duì)某個(gè)多選題完全不會(huì)，決定隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)，若p=13，求學(xué)生甲該題得2分的概率；

(2)針對(duì)某道多選題，學(xué)生甲完全不會(huì)，此時(shí)他有三種答題方案：

Ⅰ：隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)；Ⅱ：隨機(jī)選兩個(gè)選項(xiàng)；Ⅲ：隨機(jī)選三個(gè)選項(xiàng)．

①若p=12，且學(xué)生甲選擇方案Ⅰ，求本題得分的數(shù)學(xué)期望；

②以本題得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，p的取值在什么范圍內(nèi)唯獨(dú)選擇方案19.(本小題17分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別為l1：y=2x和l2：y=?2x，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0),O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)M，N是雙曲線C上不同的兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線MN、OQ的斜率分別為k1、k2，

證明：k1?k2為定值；

(3)直線y=4x?6與雙曲線的右支交于點(diǎn)A1，B1(A1在B1的上方)，過點(diǎn)A1，B1分別作l2，l1的平行線，交于點(diǎn)P1，過點(diǎn)P1且斜率為

參考答案1.C

2.A

3.B

4.D

5.D

6.B

7.D

8.C

9.BCD

10.BC

11.AC

12.16

13.π414.5

15.解(1)因?yàn)閍sinB=bsin2A，

由正弦定理得sinAsinB=2sinBsinAcosA，

因?yàn)榻茿，B，C為△ABC的內(nèi)角，

所以sinA>0，sinB>0，

所以cosA=12，

而A∈(0,π)，

所以A=π3；

(2)因?yàn)閎=1，S△ABC=12bcsinA=12c?32=3，16.解：(1)定義域(0,+∞)，當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=?lnx+2x+2，f′(x)=?1x+2，f′(1)=1，f(1)=4，

所以過點(diǎn)(1,f(1))的切線方程為y?4=1?(x?1)，即x?y+3=0．

(2)f(x)≥0?f(x)min≥0，f′(x)=?1x+a．

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，f(x)無極值，故a≤0舍去；

當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)=ax?1x，f(x)在(0,1a)上單調(diào)遞減，[1a,+∞)上單調(diào)遞增，存在極小值，

f(x)min=f(1a)=lna+a217.解：(1)證明：由題知AE=BE=22，

所以AB2=AE2+BE2，

所以△ABE為直角三角形，BE⊥AE，

因?yàn)镻E=DE=2，BE=22，PB=23，

所以PB2=PE2+BE2，

所以△PBE為直角三角形，BE⊥PE，

因?yàn)镻E∩AE=E，

所以BE⊥平面PAE，因?yàn)镻A?平面PAE，

所以PA⊥BE．

(2)由題知以B為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系B?xyz，

取AE中點(diǎn)M，由題知PE=AE，所以PM⊥AE，

由(1)知BE⊥平面PAE，所以BE⊥PM，

因?yàn)锳E∩BE=E，所以PM⊥平面ABE，

B(0,0,0)，A(0,4,0)C(2,0,0)，E(2,2,0)，M(1,3,0)，P(1,3,2)，

CE=(0,2,0)，CP=(?1,3,2)，

設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為m=(x,y,z)，

則2y=0?x+3y+2z=0，

，y=0，令x=2，則z=1，

18.解：(1)記事件A為“正確答案選兩個(gè)選項(xiàng)”，事件B為“學(xué)生甲得2分”，

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A?)P(B|A?)=13×0+23×C31C41=12，

即學(xué)生甲該題得2分的概率為12；

(2)①記X為“從四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)的得分”，

所以X可以取X023P331則數(shù)學(xué)期望E(X)=0×38+2×38+3×14=32；

②記X為“從四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)的得分”，

則P(X=0)=p×2C41+(1?p)×1C41=1+p4，

P(X=2)=p×0+(1?p)×C31C41=34(1?p)，

P(X=3)=p×C21C41+(1?p)×0=12p，

所以E(X)=0×1+p4+2×34(1?p)+3×19.解：(1)因?yàn)殡p曲線C的兩條漸近線分別為l1：y=2x和l2：y=?2x，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0)，

所以c=5ba=2a2=b2+