線性代數(shù)與概率統(tǒng)計 課件 第一章 隨機事件的概率

第一章隨機事件的概率隨機事件及概率第一節(jié)兩類現(xiàn)象0102確定性現(xiàn)象條件決定結(jié)果隨機性現(xiàn)象條件不能決定結(jié)果概率論與數(shù)理統(tǒng)計研究的對象隨機現(xiàn)象01水在1個大氣壓下，加熱到100度：沸騰確定02向上拋硬幣：落到地面確定03向上拋硬幣落到地面：正面向上隨機引

言如何描述？數(shù)學(xué)上如何表示？一個現(xiàn)象的發(fā)生，往往受多個甚至是無數(shù)多個因素的影響，其中大量因素的影響是微弱的，時隱時現(xiàn)的，導(dǎo)致現(xiàn)象的結(jié)果呈現(xiàn)隨機性。要研究隨機現(xiàn)象的特點及性質(zhì)，需要進行多次試驗觀測。產(chǎn)生隨機性的原因？01試驗各種科學(xué)實驗和對某事物的觀測的統(tǒng)稱。02隨機試驗01可以在相同的條件下重復(fù)進行；02可能的結(jié)果不止一個，且試驗前明確；03試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。隨機試驗與樣本空間例1寫出下列隨機試驗的樣本空間E1

:擲一粒骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù).03

隨機試驗E的所有可能結(jié)果組成的集合

??中的元素，即E的每個結(jié)果ω.樣本點例1E2

：拋一枚硬幣兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況.E3：記錄某超市一天內(nèi)進入的顧客人數(shù)E4

:

在一大批燈管中任意抽取一個，測試其壽命.01隨機事件隨機試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件隨機事件

數(shù)學(xué)語言描述例1擲一粒骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù).事件

“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”02事件發(fā)生當(dāng)代表試驗結(jié)果的樣本點屬于A時，稱事件A發(fā)生了.事件A“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”

={2,4,6}此時，代表試驗結(jié)果的樣本點“2”屬于A.若試驗的結(jié)果為2點，顯然，事件A發(fā)生了03特殊事件不可能事件不包含任何樣本點的事件，即空集.必然事件每次試驗中一定會發(fā)生.基本事件由一個樣本點組成的單點集.例1若試驗E的樣本空間為{1,

2,

3,

4,

5,

6

}則

Ai

=

{

i

}i

=1,2,3,

…

6都是基本事件.B“點數(shù)為4.5”

,

C

“點數(shù)小于9”？？

A,B不能同時發(fā)生.

A,

B

可以同時發(fā)生.隨機事件的關(guān)系與運算01隨機事件的關(guān)系相容關(guān)系包含關(guān)系事件B包含事件A,

A發(fā)生則B發(fā)生.

相等關(guān)系

不相容關(guān)系（互斥）樣本空間的不同的基本事件都是互斥的Φ與任意事件互斥對立關(guān)系（互逆）A，B兩事件在一次實驗中有且僅一個發(fā)生.

樣本空間的劃分(多個事件)滿足：n個事件B1,

B2

,……,

Bn兩兩互不相容01和事件為必然事件02BA02隨機事件的運算研究事件運算的目的用簡單事件表示復(fù)雜事件方法借助集合的運算和事件

BABA積事件

差事件

事件間的運算規(guī)律設(shè)A,B,C為事件，則有交換律結(jié)合律分配律對偶律引

言隨機事件是集合，在集合上的度量方法：有限集合元素的個數(shù)有限區(qū)間的長度平面有界區(qū)域的面積空間有界區(qū)域的體積集合的質(zhì)量下面我們將針對隨機事件研究一種新的度量方法概率“概率”這種度量，與我們非常熟悉的個數(shù)、長度、面積、體積、質(zhì)量等度量具有完全類似的性質(zhì)和計算方法。數(shù)學(xué)上：如何定義概率？如何計算？設(shè)Ω是隨機試驗E的樣本空間，對E的任一事件A，規(guī)定它對應(yīng)于一個實數(shù)，記為P(A).隨機事件的概率01概率的定義01RAP(A)Ω若兩兩互不相容，則若集合函數(shù)P(

·

)滿足下列性質(zhì)，則稱P(A)為事件A的概率.非負性規(guī)范性可列可加性對于n

個互不相容的事件概率具有單調(diào)不減性！02概率的性質(zhì)

不可能事件的概率為零，概率為零的事件不一定是不可能事件！有限可加性

AB AB

本小節(jié)結(jié)束！第一章隨機事件的概率第二節(jié)古典概型01樣本空間只含有有限個樣本點，02每個基本事件發(fā)生的可能性相同則稱這種試驗為古典概型(或等可能概型)若試驗

E

具有如下兩個特點1.定義01基本事件的概率2.概率計算02一般事件的概率A所包含的樣本點個數(shù)Ω

中樣本點數(shù)01加法原理3.計數(shù)原理02乘法原理n=n1+n2+…+

nkA1A2AK…分類計數(shù)n=n1×n2×…×

nkA1A2AK…分步計數(shù)拋一枚骰子兩次，求兩次點數(shù)均為偶數(shù)的概率。例1解樣本空間Ω

{

(i,

j)

|

i,

j

N

,1

i,

j

6

},

n

6

6

36A=“兩次點數(shù)均為偶數(shù)”={

(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6),}An

9,

P(A)

nA

1n 4將一枚硬幣拋擲三次.（1）設(shè)事件A1為“恰有一次出現(xiàn)正面”，求P(A1)（2）設(shè)事件A2為“至少有一次出現(xiàn)正面”，求P(A2)例2解樣本空間

產(chǎn)品抽樣問題一批產(chǎn)品共有N

件，其中次品M

件。從中任取n

次，（每次一件不放回），求事件A“恰好取到k

件次品”的概率。例3解從N件產(chǎn)品中取出n

件，每種取法是一個基本事件所求的概率為條件概率第三節(jié)引言前一節(jié)討論了隨機事件概率的定義及計算方法.01將復(fù)雜事件表示為簡單事件的運算，再利用概率的性質(zhì)來計算復(fù)雜事件的概率；02一些簡單概率模型中概率的計算方法.本節(jié)主要內(nèi)容條件概率的概念；1利用條件概率，研究概率的計算方法。2條件概率許多實際問題中，需要計算在某事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，即為“條件概率”。P(

A

|B)記為將一枚硬幣拋擲兩次，觀察其出現(xiàn)正反面的情況引例設(shè)事件A為“至少有一次為正面”設(shè)事件B為“兩次擲出同一面”現(xiàn)求已知事件A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率

將事件A

已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B

發(fā)生的概率記為P(B|A)設(shè)H為正面，T為反面分析為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率。1.定義設(shè)A，B是兩個事件，且P(A)>0，稱為在事件A發(fā)生條件下事件，B發(fā)生的條件概率。同理可得

2.性質(zhì)1非負性2規(guī)范性3可列可加性對于每一事件B，有P(B|A)≥0對于必然事件Ω

，有P(Ω

|A)=1設(shè)B1

,B2，...是兩兩互不相容事件，則有：一家庭中有兩個小孩，已知其中一個是女孩，問另一個也是女孩的概率是多少？例1解設(shè)事件A表示“兩個都是女孩”，B表示“其中有一個是女孩”M:代表男孩，F(xiàn):代表女孩

{(F

,

F

),

(F

,

M

),

(M

,

F

),

(M

,

M

)}

B

B

{(F,

F

),

(F,

M

),

(M

,

F)}A

{(F

,

F

)}所求概率為

P(

A|

B)

1

/

3乘法公式對任意兩個事件A，B

，由條件概率公式可得乘積事件概率計算方法。01乘法公式設(shè)A，B為兩個隨機事件，則P(

AB)

P(B)P(

A|B)

P(

A)P(B|A)02n個事件的乘法公式P(

A1

A2

An

)

P(

A1

)P(

A2

|

A1

)P(

A3

|

A1

A2

)

P(

An

|

A1

A2

An

1

)本小節(jié)結(jié)束！第一章隨機事件的概率頻率與概率的關(guān)系隨機事件發(fā)生的可能性大?。怕剩ǎ暗剑敝g的一個數(shù)）是客觀存在.

可通過多次試驗觀測來估計.1.事件發(fā)生的頻率則稱比值

在相同的條件下將試驗E重復(fù)

次，若事件A

發(fā)生了次，為A

發(fā)生的頻率．頻率具有波動性，不能作為概率的定義.缺點頻率在一定程度上反映了Ａ發(fā)生的可能性大小.反應(yīng)由實際經(jīng)驗可知：010203當(dāng)ｎ越來越大時，頻率具有穩(wěn)定性.這種“穩(wěn)定性”也就是通常所說的統(tǒng)計規(guī)律性.頻率的穩(wěn)定值——概率的統(tǒng)計定義.

(不便于演繹推理)歷史上曾有人做過試驗,試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時，出現(xiàn)正反面的機會均等。大量的隨機試驗表明：概率n→

lim fn

(

A)存在，這個值就是概率？２.頻率的性質(zhì)非負性：01(2)

規(guī)范性：02有限可加性：若A1,A2,…,

Ak

兩兩互不相容，則03幾何概型古典概型是關(guān)于試驗的結(jié)果為有限個且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同的概率模型。保留等可能性，結(jié)果有無限多個推廣：特別樣本空間為區(qū)間，平面上的有界區(qū)域，空間中的有界區(qū)域。設(shè)Ω為平面有界區(qū)域，在Ω內(nèi)等可能地任意取點。1.定義點落入Ω中任何區(qū)域A的可能性的大小與區(qū)域A

的面積成正比，而與其位置和形狀無關(guān)，稱具有這種特性的試驗為二維幾何概型.等可能記事件A

為“點落在區(qū)域A內(nèi)”2.概率的計算ΩA2.概率的計算01由等可能性知02由可知A: 區(qū)間S: 長度一維幾何概型二維幾何概型三維幾何概型A:立體區(qū)域S:體積（會面問題）甲、乙兩人相約在晚上6點到7點之間在某地會面,先到者等候另

一人20分鐘，過時就離開.假定每個人可在指定的一小時內(nèi)任意時

刻到達，試計算兩人能會面成功的概率.例事件A=“兩人能會面成功”解記6點為計時時刻0，以分鐘為時間單位，以x,

y分別表示甲、乙兩人到達會面地點的時刻.樣本空間為兩人能會面成功的充要條件是所求概率為本小節(jié)結(jié)束！第一章隨機事件的概率獨立性第四節(jié)一、事件的相互獨立性1引例盒中有5個球（3黑2白），每次取出一個，有放回地取兩次。A=第一次抽取，取到黑球B=第二次抽取，取到黑球則有P(BA)=P(B),表示A的發(fā)生并不影響B(tài)發(fā)生的可能性大小。2定義設(shè)A,B是兩事件，如果滿足等式則稱事件A、B

相互獨立，簡稱A、B

獨立。說明事件A與事件B相互獨立，是指事件A的發(fā)生與事件B發(fā)生的概率無關(guān)。容易知道，若P(A)>0，P(B)>0,則A、B相互獨立,與A、B互不相容不能同時成立。兩事件相互獨立與兩事件互斥的關(guān)系兩事件相互獨立二者之間沒有必然聯(lián)系兩事件互斥請同學(xué)們思考3三事件相互獨立的概念設(shè)A,B,C是三個事件，如果滿足不等式則稱事件A,B,C

相互獨立。二