高中數(shù)學(xué)-基本不等式（一）教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)過程設(shè)計(jì)以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線展開。

這種安排強(qiáng)調(diào)過程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使數(shù)學(xué)教學(xué)過程成為學(xué)生

對(duì)知識(shí)的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

具體過程安排如下：

-創(chuàng)設(shè)情景，提出問題；

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)教育必須基于學(xué)生的“數(shù)

學(xué)現(xiàn)實(shí)“，現(xiàn)實(shí)情境問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的平臺(tái)，

數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一就是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)

現(xiàn)實(shí)，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí).基

于此，設(shè)置如下情境：

上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)

中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)

車，代表中國人民熱情好客。

［問］你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？

本背景意圖在于利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系，抽象出不

等式在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)基本不等式。

同時(shí)，（幾何畫板輔助教學(xué)）通過幾何畫板演示，

6幾何畫板-［基本不等式］□00

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面積匕=3.69厘米2

面積ACED=3.69厘米2

面積AMDA=3.69厘米2

面積ABHA=3.69厘米2

面積ABCD=20.5厘米2

（面積P'i）+（面積ZkCEDM面積AMDAM面積ABHA）=14.8厘米2

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讓學(xué)生更直觀的抽象、歸納出以下結(jié)論:

二、抽象歸納：

一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)有據(jù)當(dāng)且僅當(dāng)。=方時(shí),

等號(hào)成立。

［問］你能給出它的證明嗎？

學(xué)生在黑板上板書。

特別地，當(dāng)a>0,沅>0時(shí)，在不等式高—［中,以4、VT分別代

替%b,得到什么？

設(shè)計(jì)依據(jù)：類比是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法，此環(huán)節(jié)不僅讓學(xué)生

理解了基本不等式不等式的來源，突破了重點(diǎn)和難點(diǎn)，而且感受了其

中的函數(shù)思想，為今后學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

答案：Jo

【歸納總結(jié)】

如果都是正數(shù)，那么而■土,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成

2

立。

我們稱此不等式為基本不等式。其中學(xué)稱為a,b的算術(shù)平均

數(shù)，瘋稱為。乃的幾何平均數(shù)。

三、理解升華：

1、文字語言敘述：

兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

2、聯(lián)想數(shù)列的知識(shí)理解基本不等式

已知。力是正數(shù)，A是的等差中項(xiàng)，G是。力的正的等比中

項(xiàng)，A與G有無確定的大小關(guān)系？

兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們正的等比中項(xiàng)。

3、符號(hào)語言敘述：

若則有而當(dāng)且僅當(dāng)G多時(shí)，而■空辿。

22

［問］怎樣理解“當(dāng)且僅當(dāng)”？（學(xué)生小組討論，交流看法，師生總

結(jié)）

“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立”的含義是：

當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)，即

2

僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)，即4ct。

2

4、探究基本不等式證明方法：

［問］如何證明基本不等式？

（意圖在于引領(lǐng)學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)基本不等式到理性證明，實(shí)現(xiàn)從感性

認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的升華）

方法一：作差比較或由正4考巨展開證明。

方法二：分析法（完成課本填空）

設(shè)計(jì)依據(jù)：課本是學(xué)生了解世界的窗口和工具，心理學(xué)研究表明：

任何學(xué)習(xí)都是學(xué)習(xí)者自主建構(gòu)的過程.在這個(gè)過程中，離不開學(xué)習(xí)主

體與文本之間的交互作用.有意義的接受學(xué)習(xí)是自主建構(gòu)，有意義的

發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)也是自主建構(gòu).前者的認(rèn)知機(jī)制是同化，它引起認(rèn)知結(jié)構(gòu)的

量變；后者的認(rèn)知機(jī)制是順應(yīng)，它引起認(rèn)知結(jié)構(gòu)的質(zhì)變.既沒有絕對(duì)

的接受學(xué)習(xí)，也沒有絕對(duì)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，總是兩者相互交替、有機(jī)結(jié)合.

所以，課本必須成為學(xué)生賴以學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的文本.在教學(xué)中要讓學(xué)生學(xué)

會(huì)認(rèn)真看書、用心思考，養(yǎng)成講講議議、動(dòng)手動(dòng)筆、仔細(xì)觀察、用心

體會(huì)的好習(xí)慣，真正學(xué)會(huì)讀“數(shù)學(xué)書”。

要證竺效，而①

2

只要證ya________②

要證②，只要證一■■()③

要證③，只要證吊?④

顯然，④是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)。斗時(shí)，④中的等號(hào)成立。

點(diǎn)評(píng)：證明方法叫做分析法，實(shí)際上是尋找結(jié)論的充分條件，執(zhí)果索因

的一種思維方法.

5、探究基本不等式的幾何意義:借助初中階段學(xué)生熟知的幾何圖形，

引導(dǎo)學(xué)生探究不等式2的幾何解釋，通過數(shù)形結(jié)合，

賦予不等式2幾何直觀。進(jìn)一步領(lǐng)悟不等式中等號(hào)成

立的條件。

如圖：A3是圓的直徑，點(diǎn)。是A3上一點(diǎn)，AC=a,CB=b,

幾何解釋實(shí)質(zhì)可認(rèn)為是:

是，直角三角形斜邊的一半不小于斜邊上的高。

三、探究歸納

下列命題中正確的是

①對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,均有

②當(dāng)時(shí)，由于3BP*，當(dāng)且僅當(dāng)1,一時(shí)，即％=/時(shí)，等號(hào)

成立。所以函數(shù)?的最小值為2；

③當(dāng)”（0,：）時(shí)，有sin*4、4；所以函數(shù)在（0,的

2sinxsinj2

最小值為4。

以上命題均是根據(jù)基本不等式的使用條件中的難點(diǎn)和關(guān)鍵處設(shè)置的，

目的是利用學(xué)生原有的平面幾何知識(shí)，進(jìn)一步領(lǐng)悟到不等式

J辦W生辿成立的條件及當(dāng)且僅當(dāng)4=）時(shí)，等號(hào)成立。這

2

些“陷阱”要讓學(xué)生自己往里跳，然后自己再從中爬出來，完全放手

讓學(xué)生自主探究，老師指導(dǎo)，師生歸納總結(jié)。

結(jié)論：

若兩正數(shù)的乘積為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)，它們的和有最小值;

若兩正數(shù)的和為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)，它們的乘積有最大值。

簡記為：“一正、二定、三相等”。

四、領(lǐng)悟練習(xí)：

公式應(yīng)用之一：

（l）^x>O,x+-的最小值為，此時(shí)______

X5

⑴若a>0,b>0,且a+b=2,則ab的最大值為,此時(shí)

a-,b=o

公式應(yīng)用之二：(最優(yōu)化問題)

設(shè)計(jì)意圖：新穎有趣、簡單易懂、貼近生活的問題，不僅極大地

增強(qiáng)學(xué)生的興趣，拓寬學(xué)生的視野，更重要的是調(diào)動(dòng)學(xué)生探究鉆研的

興趣，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)生活的關(guān)注，讓學(xué)生體會(huì)：數(shù)學(xué)就在我們身邊

的生活中

(1)在學(xué)農(nóng)期間，生態(tài)園中有一塊面積為lOOn?的矩形茶地，

為了保護(hù)茶葉的健康生長，學(xué)校決定用籬笆圍起來，問這個(gè)矩形的長、

寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？

(2)現(xiàn)在學(xué)校倉庫有一段長為36m的籬笆，要圍成一個(gè)矩形菜園，

問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大。最大面積是多少？

五、反思總結(jié)，整合新知：

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲？取得了哪些經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)I?還有哪

些問題需要請(qǐng)教？

設(shè)計(jì)意圖：通過反思、歸納，培養(yǎng)概括能力；幫助學(xué)生總結(jié)經(jīng)驗(yàn)

教訓(xùn)，鞏固知識(shí)技能，提高認(rèn)知水平.

老師根據(jù)情況完善如下：

一個(gè)不等式：若1^0,則有瘋4組咳，當(dāng)且僅當(dāng)“R時(shí),

2

而絲，

2

兩種思想：數(shù)形結(jié)合思想、歸納類比思想。

三個(gè)注意：基本不等式求函數(shù)的最大(小)值是注意：“一正二定三

相等”

學(xué)情分析

為了更好地實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，我將對(duì)學(xué)生情況進(jìn)行一下簡要分析。

對(duì)于高一年級(jí)的學(xué)生來說，他們對(duì)不等式的知識(shí)有了一定的了解，但

對(duì)基本不等式的理解運(yùn)用能力不足。這一階段的學(xué)生正處在由抽象思

維到邏輯思維的過渡期，對(duì)圖形的觀察、分析、總結(jié)可能會(huì)感到比較

困難。這都將成為我組織教學(xué)的考慮因素。

本節(jié)課采用觀察一一感知一一抽象一一歸納一一探究；啟發(fā)誘導(dǎo)、

講練結(jié)合的教學(xué)方法，以學(xué)生為主體，以基本不等式為主線，從實(shí)際

問題出發(fā)，放手讓學(xué)生探究思索。以現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件、幾何

畫板作為教學(xué)輔助手段，加深學(xué)生對(duì)基本不等式的理解。

效果分析

科學(xué)合理的教學(xué)方法能使教學(xué)效果事半功倍，達(dá)到教育學(xué)的和諧

完美與統(tǒng)一。根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn)并結(jié)合新課改的要求，在本節(jié)課中，

我采用了講授法、演示法、引導(dǎo)啟發(fā)法等教學(xué)方法。通過理解掌握基

本不等式，并能運(yùn)用基本不等式解決一些簡單問題；培養(yǎng)了學(xué)生探究

能力以及分析問題解決問題的能力。按照創(chuàng)設(shè)情景，提出問題一剖

析歸納證明一幾何解釋一應(yīng)用（最值的求法、實(shí)際問題的解決）的

過程呈現(xiàn)。啟動(dòng)觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動(dòng)，培

養(yǎng)學(xué)生的思維能力，體會(huì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法，通過運(yùn)用多媒體的教

學(xué)手段，引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)探索基本不等式性質(zhì)，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)律的方

法，體驗(yàn)成功的樂趣。

教師的教是為了學(xué)生更好地學(xué)，結(jié)合本節(jié)內(nèi)容，我將學(xué)法確定為

自主探究法、分析歸納法。充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的眼、手、腦等多種感官參

與學(xué)習(xí)，既培養(yǎng)了他們的學(xué)習(xí)興趣，又使他們感受到了學(xué)習(xí)的樂趣，

通過問題情境的設(shè)置，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是從實(shí)際中來，培養(yǎng)學(xué)生用

數(shù)學(xué)的眼光看世界,通過數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界，從而培養(yǎng)學(xué)生善于思考、

勤于動(dòng)手的良好品質(zhì)。取得了很好的效果

教材分析

1、本節(jié)教材的地位和作用

“基本不等式”是必修5的重點(diǎn)內(nèi)容，在課本封面上就體現(xiàn)出

來了(展示課本和參考書封面)。它是在學(xué)完“不等式的性質(zhì)”、“不

等式的解法”及“線性規(guī)劃”的基礎(chǔ)上對(duì)不等式的進(jìn)一步研究.在不

等式的證明和求最值過程中有著廣泛的應(yīng)用。求最值又是高考的熱點(diǎn)。

同時(shí)本節(jié)知識(shí)又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思想，有利于培養(yǎng)

學(xué)生良好的思維品質(zhì)。

2、教學(xué)目標(biāo)

(1)知識(shí)目標(biāo):探索基本不等式的證明過程；會(huì)用基本不等式解

決最值問題。

(2)能力目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生觀察、試驗(yàn)、歸納、判斷、猜想等思維

能力。

(3)情感目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度，體會(huì)數(shù)與形的和

諧統(tǒng)一，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和勇于探索的精

神。

3、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)制定如下的教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索基本

不等式。

難點(diǎn):基本不等式的內(nèi)涵及幾何意義的挖掘，用基本不等式求最

值。

測評(píng)練習(xí)

］、若a>0,貝！___________若而>0,貝！+______

aba

2>若w>0,且滿足根+〃=6,則加〃有最值,此時(shí)

m=2n=.

若八〃>0且滿足以力=6,則〃有最_____值_______，此時(shí)

m=1n=

3、把36寫成兩個(gè)正數(shù)的積，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，它們的和最

?。?/p>

4、已知a>0,b>0,且4a+b=l,求出?的最大值。

5、已知x>2,求丁=%+」一的最小值

x-2

6、把18寫成兩個(gè)正數(shù)的和，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，它們的積最

大？

7、已知x<0,求函數(shù)/(x)=2+3x的最大值。

X

課后反思

我校教學(xué)指導(dǎo)方針為：“低起點(diǎn)，高觀點(diǎn)，高目標(biāo)”。新課程標(biāo)

準(zhǔn)中對(duì)知識(shí)的發(fā)生的過程提出了較高的要求，多次使用了“經(jīng)歷”、

“感受”、“探索”等情感，態(tài)度與價(jià)值觀要求行為動(dòng)詞，重視學(xué)生對(duì)

問題的探究能力。

在證明基本不等式時(shí)，

A2+V

4,,=>........—>xy

一般方法：x,y￡R,(x—y),202,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，

等號(hào)成立。

x2+y2a+b、r-r

f-r---------之VClb

令x=J",y=",所以22xy=2，當(dāng)且僅

當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。

接下來提問學(xué)生能否有別的方法證明該不等式，沒想到學(xué)生思維

活躍，提出了兩種證法，令我始料不及，收獲很大。

證法2：當(dāng)a>0,b>0時(shí)，有(a—b)：>0=>a：+b22ab

=>（a+b）24ab

=a+b?—2疝（舍

去）或a+b>2疝

=>2

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)

成立

證法3：當(dāng)a>0,b>0時(shí)，（日一近）'■>CRa+b—2疝20