四川省宜賓市敘州區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)一模理試題含解析

Page242024級高三一診模擬考試數(shù)學(xué)（理工類）本試卷共4頁，23小題，滿分150分.考試用時120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則=A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由補(bǔ)集的概念，得，故選C．【考點】集合的補(bǔ)集運算【名師點睛】探討集合的關(guān)系，處理集合的交、并、補(bǔ)的運算問題，常用韋恩圖、數(shù)軸等幾何工具幫助解題．一般地，對離散的數(shù)集、抽象的集合間的關(guān)系及運算，可借助韋恩圖，而對連續(xù)的集合間的運算及關(guān)系，可借助數(shù)軸的直觀性，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化．2.下列函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)各選項對應(yīng)函數(shù)解析式，結(jié)合冪函數(shù)、二次函數(shù)、一次函數(shù)及含確定值函數(shù)的性質(zhì)推斷是否符合題設(shè)要求即可.【詳解】A：為奇函數(shù)，不合題設(shè)，解除；B：為偶函數(shù)，在上遞增，符合題設(shè)；C：為非奇非偶函數(shù)，且定義域上遞減，不合題設(shè)，解除；D：為偶函數(shù)，在上遞減，不合題設(shè)，解除；故選：B3.函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別求出的值，從而求出函數(shù)的零點所在的范圍．【詳解】由題意，，，所以，所以函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是，故選C.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題，依據(jù)零點定理求出即可，本題是一道基礎(chǔ)題．4.已知集合A中元素在映射f下對應(yīng)B中元素，則B中元素在A中對應(yīng)的元素為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意結(jié)合映射的概念列式求解.【詳解】設(shè)B中元素在A中對應(yīng)的元素為，則，解得：，所以B中元素在A中對應(yīng)元素為.故選：A.5.設(shè)平面平面，在平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線,則（）A.直線必垂直于平面 B.直線必垂直于平面C.直線不愿定垂直于平面 D.過的平面與過的平面垂直【答案】C【解析】【分析】由面面垂直，結(jié)合空間直線與平面，平面與平面的關(guān)系對四個選項分別進(jìn)行推斷，得到答案.【詳解】因為平面平面，在平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線選項A中，只有直線是與的交線時，才能得到與平面垂直，所以錯誤；選項B中，只有直線是與的交線時，才能得到與平面垂直，所以錯誤；選項C中，當(dāng)直線是與的交線時，可以得到，當(dāng)直線不是與的交線時，不能得到，所以正確.選項D中，當(dāng)直線不是與的交線時，不能得到，所以不能得到過的平面與過的平面垂直，所以錯誤.故選：C.【點睛】本題考查空間中線面關(guān)系有關(guān)命題的推斷，面面關(guān)系有關(guān)命題的推斷，屬于簡潔題.6.已知某物種經(jīng)過x年后的種群數(shù)量y近似滿意岡珀茨模型：，當(dāng)時，y的值表示2024年年初的種群數(shù)量.若年后，該物種的種群數(shù)量不超過2024年初種群數(shù)量的，則t的最小值為(參考值：)（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意先求出2024年年初的種群數(shù)量，再列出不等式，依據(jù)取對數(shù)法進(jìn)行求解即可.【詳解】因為當(dāng)時，y的值表示2024年年初的種群數(shù)量，所以有，即2024年年初的種群數(shù)量為，當(dāng)年后，該物種的種群數(shù)量不超過2024年初種群數(shù)量的，所以有，所以t的最小值為11，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：依據(jù)題意得到指數(shù)不等式，通過取二次對數(shù)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.7.如圖所示的網(wǎng)格中小正方形的邊長均為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A.9 B.18 C.27 D.54【答案】C【解析】【分析】首先由三視圖還原幾何體，再求表面積.【詳解】由三視圖可知，平面，且，，，,因為平面平面，平面平面，，所以平面，平面，所以，,所以該幾何體的表面積.故選：C8.設(shè)，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】分析：由求出的表達(dá)式，先比較的大小和范圍，再求出的范圍，依據(jù)它們不同的范圍，得出它們的大?。斀猓河捎?，，因為，所以，而，所以，選C.點睛：本題主要考查比較實數(shù)大小，屬于中檔題．比較大小通常接受的方法有：（1）同底的指數(shù)或?qū)?shù)接受單調(diào)性比較；（2）不同底的指數(shù)或?qū)?shù)接受中間量進(jìn)行比較，中間量通常有0,1，等．9.已知是函數(shù)的最大值點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡，依據(jù)最值得到，代入計算得到答案.【詳解】，其中，，當(dāng)，，即，時，函數(shù)有最大值，此時.故選：A.【點睛】本題考查了三角函數(shù)最值，幫助角公式，意在考查學(xué)生的計算實力和轉(zhuǎn)化實力.10.函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到的圖象，若，且，，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求得的解析式，再利用正弦函數(shù)的最大值，推斷當(dāng)，時，的取得最大值，從而求得的最大值．【詳解】解：將函數(shù)圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到的圖象．若，則和都取得最大值3，故和相差一個周期的整數(shù)倍．故當(dāng)，時，的取得最大值．，，的取得最大值為，故選：．11.已知點都在球的球面上，，是邊長為1的等邊三角形，與平面所成角的正弦值為，若，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】若是的中點，則是△的中心，連接，由線面垂直、面面垂直的判定可得面面，過作面，由面面垂直的性質(zhì)知必在直線上，即為與面所成角，再過作交于，結(jié)合已知可知是中點，為的中點，即可確定球心的位置，進(jìn)而求表面積.【詳解】由題設(shè)，若是的中點，則是的中心，連接，如下圖示：由題設(shè)知：，，又，則面，而面，即面面，過作面，則必在直線上，易知：為與平面所成角的平面角，又與平面所成角的正弦值為，，可得．過作交于，易知：，而，即，又，故為的中點，，∴，即是球心，故球的半徑為1，∴球的表面積為．故選：B.12.設(shè)函數(shù)恰有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】恰有兩個極值點，則恰有兩個不同的解，求出可確定是它的一個解，另一個解由方程確定，令通過導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)值域求出方程有一個不是1的解時t應(yīng)滿意的條件.【詳解】由題意知函數(shù)的定義域為，.因為恰有兩個極值點，所以恰有兩個不同的解，明顯是它的一個解，另一個解由方程確定，且這個解不等于1.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而，且.所以，當(dāng)且時，恰有兩個極值點，即實數(shù)的取值范圍是.故選：C【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)與方程的應(yīng)用，屬于中檔題.第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.計算:___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)根式、指數(shù)冪運算以及對數(shù)的定義運算求解.【詳解】由題意可得：，即.故答案為：.14.若tan≤1，則x的取值范圍是__________．【答案】(k∈Z)【解析】【分析】先換元令z＝2x－，在一個周期上解tanz≤1，再擴(kuò)展到定義域上解得＋kπ<z≤＋kπ，即可求解.【詳解】令z＝2x－，在上滿意tanz≤1的z的值是<z≤，在整個定義域上有＋kπ<z≤＋kπ，解不等式＋kπ<2x－≤＋kπ，得－＋<x≤＋，k∈Z．【點睛】本題主要考查了正切型函數(shù)的單調(diào)性，換元法解不等式，屬于中檔題.15.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為______.【答案】【解析】分析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再令、得到函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最值；【詳解】解：因為，則定義域為所以令解得，即在上單調(diào)遞增，令解得，即在上單調(diào)減，所以在處取得微小值，也就是最小值且，又因為，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，故答案為：【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.16.銳角中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，有，且，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】先利用三角函數(shù)恒等變形求出，利用正弦定理表示出，用三角函數(shù)求出的取值范圍.【詳解】因為，所以.因為,所以，所以.所以.因為為銳角三角形，所以，所以,所以.所以，即.因為為銳角三角形，所以，解得：由正弦定理得：，.所以.因為，所以，所以.因為，所以，所以，所以.即在中，由兩邊之和大于第三邊，所以.綜上所述：.故答案為：【點睛】解三角形的最值問題包括兩類：（1）利用正弦定理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值；（2）利用余弦定理轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用幫助角公式化簡，求出最小正周期；（2）將代入可求出，結(jié)合的范圍，求出，因為，由兩角和的余弦公式求出結(jié)果.【詳解】．（1）函數(shù)的最小正周期．（2）由，得，即．由，得，∴，∴．18.記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因為，所以，即．又因為，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因為，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因為，所以，解得或，當(dāng)時，（舍去）．當(dāng)時，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相像如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造幫助線利用相像的性質(zhì)如圖，作，交于點E，則．由，得．在中，．在中．因為，所以，整理得．又因為，所以，即或．下同解法1．[方法五]：平面對量基本定理因為，所以．以向量為基底，有．所以，即，又因為，所以．③由余弦定理得，所以④聯(lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標(biāo)原點，所在直線為x軸，過點D垂直于的直線為y軸，長為單位長度建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點B在以D為圓心，3為半徑的圓上運動．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點評】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，許多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡潔的問題，相像是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；方法四：構(gòu)造幫助線作出相像三角形，結(jié)合余弦定理和相像三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯選擇；方法五：平面對量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面對量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.19.設(shè)函數(shù)，其中.曲線在點處的切線方程為.（1）確定，的值；（2）若，過點可作曲線的幾條不同的切線？【答案】（1），；（2）3條.【解析】【分析】（1）求，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，，即可求得，的值；（2）求出以及，設(shè)切點為，利用切點與點所在直線的斜率等于以及切點滿意的解析式列方程，利用導(dǎo)數(shù)推斷對應(yīng)函數(shù)零點的個數(shù)即可求解.【詳解】（1）由得，，因為曲線在點處的切線方程為，所以切線的斜率為，且故，.（2）時，，，點不在的圖象上，設(shè)切點為，則切線斜率，所以，即上式有幾個解，過就能作出的幾條切線.令，則，由可得或；由，可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以極大值為，微小值為，所以有三個零點，即過可作出的條不同的切線.20.如圖，在三棱柱中，四邊形為菱形，，平面平面﹐Q在線段AC上移動，P為棱的中點．（1）若H為BQ中點，延長AH交BC于D，求證：平面﹔（2）若二面角的平面角的余弦值為，求點P到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取BB1中點E，連接AE，EH，結(jié)合已知條件易得EH∥B1Q、AE∥PB1，依據(jù)線面平行的判定可證面，面，再由面面平行的判定及性質(zhì)即可證結(jié)論.（2）連接PC1，AC1有PC1⊥AA1，由面面垂直的性質(zhì)可得PC1⊥面ABB1A1，過P作PR⊥AA1交BB1于點R，進(jìn)而構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)=λ=λ(0,-2,2)，λ∈[0,1]，確定相關(guān)點坐標(biāo)，求面PQB1、面AA1C1C的法向量，依據(jù)已知二面角的余弦值求參數(shù)λ，進(jìn)而可得，連接BP，應(yīng)用等體積法求P到平面BQB1的距離.【小問1詳解】取中點，連接，如圖，∵為中點，∴在平行四邊形中，分別為的中點，∴由EH∩AE=E且面，面，所以面，面，又PB1∩B1Q=B1，所以面EHA∥面B1QP，∵平面，∴平面.【小問2詳解】連接，∵四邊形為菱形，∴，又，∴為正三角形，∵為的中點，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，在平面內(nèi)過點作交于點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，∴，∴，∵，，∴，∴，設(shè)平面的法向量為，則得，令，則，∴平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，二面角的平面角為，則，∴或（舍），∴，∴.又，∴，∴，連接，設(shè)點到平面的距離為，則，∴，即點到平面的距離為.21.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，探討函數(shù)的零點個數(shù)；（2）若在上單調(diào)遞增，且，求的最大值.【答案】（1）當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點；當(dāng)或時，即或時，函數(shù)有一個零點；當(dāng)即時，函數(shù)無零點；（2）的最大值為2.【解析】【分析】（1）整理得，故函數(shù)零點的個數(shù)取決于的零點個數(shù)，等價轉(zhuǎn)化為與的值域之間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求解即可求得結(jié)果；（2）依據(jù)題意，恒成立，據(jù)此求得范圍；再構(gòu)造函數(shù)求得的最小值，即可求得的最大值.【詳解】（1）當(dāng)時，，故的零點個數(shù)，取決于的零點個數(shù).分別參數(shù)可得，令，則，令，解得；令，解得；故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.故，又，當(dāng)時，恒成立.故當(dāng)或，即或時，有一個零點；當(dāng)，即時，有兩個零點；當(dāng)，即時，沒有零點.（2）依據(jù)題意，在時恒成立.當(dāng)時，，明顯不存在使得恒成立；當(dāng)時，是單調(diào)減函數(shù)，且趨近于正無窮時，趨近于負(fù)無窮，不滿意題意；當(dāng)時，，令，解得；令，解得；故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，要滿意題意，只需成立即可.綜上所述，若在恒成立，則且，即，則，令，則，令，解得；令，解得，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.故，即，則.又，故，故的最大值為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的零點問題，涉及利用導(dǎo)數(shù)探討恒成立問題，以及雙變量問題，屬綜合困難題.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題計分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點