高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)一輪用書文科數(shù)學(xué)配北師版高考解答題專項(xiàng)四　立體幾何中的綜合問題

高考解答題專項(xiàng)四立體幾何中的綜合問題1.(2021安徽十校聯(lián)盟摸底考試)已知多面體ABCDEF如圖所示,其中四邊形ABCD為菱形,AF∥平面CDE,且A,D,E,F四點(diǎn)共面.(1)求證:平面ABF∥平面CDE;(2)若∠ABC=90°,且AD=5,DE=6,AF=2,EF=41,求證:AD⊥CE.證明(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴AB∥CD.∵AB?平面CDE,CD?平面CDE,∴AB∥平面CDE.又AF∥平面CDE,AF∩AB=A,∴平面ABF∥平面CDE.(2)∵AF∥平面CDE,AF?平面ADEF,平面ADEF∩平面CDE=DE,∴AF∥DE.在線段ED上取一點(diǎn)G,使得EG=4,則DG=2=AF,又DG∥AF,∴四邊形ADGF是平行四邊形,∴FG=AD=5,FG∥AD.∵EF=41,∴EF2=EG2+FG2,∴EG⊥FG,∴AD⊥ED.∵∠ABC=90°,四邊形ABCD是菱形,∴AD⊥DC.又DC∩DE=D,DC,DE?平面CDE,∴AD⊥平面CDE.∵CE?平面CDE,∴AD⊥CE.2.(2021浙江杭州模擬)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=AC=BC=3PA,PB⊥平面PAC,E,F分別為AC,PB的中點(diǎn).(1)求證:AC⊥EF;(2)求PB與平面ABC所成角的正弦值.(1)證明連接PE,BE,∵AB=AC=BC,∴AC⊥BE.∵PB⊥平面PAC,∴PB⊥PA,PB⊥PC,在Rt△ABP和Rt△CBP中,AB=BC,PB=PB,∴Rt△ABP≌Rt△CBP,∴PA=PC,∴AC⊥PE.∵PE∩BE=E,PE,BE均在平面PEB中,∴AC⊥平面PEB,∵EF?平面PEB,∴AC⊥EF.(2)解由(1)知AC⊥平面PEB,又AC?平面ABC,∴平面PEB⊥平面ABC,平面PEB∩平面ABC=BE.過點(diǎn)P作PD⊥BE,垂足為點(diǎn)D,∴PD⊥平面ABC,∴∠PBE就是PB與平面ABC所成的角,不妨設(shè)PA=1,在等腰三角形PAC中,PA=PC=1,AC=3,則AE=32,在Rt△PAE中,由勾股定理計(jì)算得PE=12,等邊三角形ABC中,BE=在Rt△BPE中,sin∠PBE=PEBE=13,即PB與平面3.(2021河北唐山模擬)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ACC1A1⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=BC=CC1=2.(1)證明:A1C⊥AB1;(2)若A1B1與平面AB1C1所成角的正弦值為24,求四面體ACB1A1的體積(1)證明∵平面ACC1A1⊥平面ABC,平面ACC1A1∩平面ABC=AC,BC?平面ABC,∠ACB=90°,∴BC⊥平面ACC1A1.又A1C?平面ACC1A1,∴BC⊥A1C.∵BC∥B1C1,∴B1C1⊥A1C.∵AC=CC1=2,∴四邊形ACC1A1是菱形,∴AC1⊥A1C.又B1C1∩AC1=C1,B1C1和AC1均在平面AB1C1中,∴A1C⊥平面AB1C1.又AB1?平面AB1C1,∴A1C⊥AB1.(2)解設(shè)AC1∩A1C=D,連接B1D.由(1)可知A1C⊥平面AB1C1,∴B1D為A1B1在平面AB1C1上的射影,則∠A1B1D即為A1B1與平面AB1C1所成的角.∵A1B1=22,sin∠A1B1D=24,∴A1D=∴A1C=A1C1=CC1=2,S△A1CC1∴V四面體ACB1A1=V三棱錐B1-4.(2021貴州凱里模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面四邊形ABCD是菱形,∠DAB=30°,PD⊥平面ABCD,AD=2,點(diǎn)E為AB上一點(diǎn),且AEAB=m,點(diǎn)F為PD中點(diǎn)(1)若m=12,證明:直線AF∥平面PEC(2)是否存在一個(gè)常數(shù)m,使得平面PED⊥平面PAB?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.(1)證明取PC的中點(diǎn)M,連接FM,EM,如圖所示.因?yàn)镕,M分別為PD,PC的中點(diǎn),所以FM∥CD,FM=12CD因?yàn)锳EAB=12,所以E所以AE∥CD,AE=12CD所以FM∥AE,FM=AE.所以四邊形AEMF為平行四邊形,所以AF∥EM.因?yàn)锳F?平面PEC,EM?平面PEC,所以直線AF∥平面PEC.(2)解存在一個(gè)常數(shù)m=32,使得平面PED⊥平面PAB,理由如下要使平面PED⊥平面PAB,只需AB⊥DE.因?yàn)锳B=AD=2,∠DAB=30°,所以AE=ADcos30°=3.又因?yàn)镻D⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,所以PD⊥AB.因?yàn)镻D∩DE=D,PD,DE均在平面PED中,所以AB⊥平面PED.因?yàn)锳B?平面PAB,所以平面PED⊥平面PAB,所以m=AEAB5.(2021寧夏中衛(wèi)三模)如圖,四邊形BCC1B1是某半圓柱的軸截面(過上下底面圓心連線的截面),線段AA1是該半圓柱的一條母線,點(diǎn)D為線段AA1的中點(diǎn).(1)證明:AB⊥A1C;(2)若AB=AC=1,且點(diǎn)B1到平面BC1D的距離為1,求線段BB1的長.(1)證明由題意可知AA1⊥平面ABC,AB?平面ABC,∴AA1⊥AB.∵∠BAC所對(duì)的弦BC為半圓的直徑,∴∠BAC=π2,∴AB⊥AC∵AA1和AC是平面AA1C1C內(nèi)兩條相交直線,∴AB⊥平面AA1C1C.∵A1C?平面AA1C1C,∴AB⊥A1C.(2)解設(shè)BB1=a,∵AB=AC=1,且∠BAC=π2∴BC=AB又CC1=a,∴BC1=BC在等腰直角三角形ABC中,取BC的中點(diǎn)E,連接AE,則AE⊥BC,取BC1的中點(diǎn)為P,連接DP,PE,∵PE∥CC1,PE=12CC1,AD∥CC1,AD=12CC∴AD∥PE,AD=PE,∴四邊形ADPE是平行四邊形.∵PE∥CC1,CC1⊥平面ABC,∴PE⊥平面ABC.∵AE?平面ABC,∴PE⊥AE,∴四邊形ADPE是矩形.∵AB=AC,∴AE⊥BC,∴AE⊥平面BCC1B1,則PD⊥平面BCC1B1.又PD=AE=22∴V三棱錐D-BB∵點(diǎn)B1到平面BC1D的距離是1,∴V三棱錐B1-BD∵V三棱錐D-B∴a=2,即BB1=2.6.(2021河北正定中學(xué)高三月考)如圖,在四棱錐A-BCDE中,四邊形BCDE為菱形,AB=AD=3,BD=23,AE=AC,點(diǎn)G是棱AB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),點(diǎn)F是AC的中點(diǎn).(1)證明:DF∥平面CEG;(2)點(diǎn)H為線段BD上一點(diǎn),設(shè)BH=tBD,若AH⊥平面CEG,試確定t的值.(1)證明取AG的中點(diǎn)I,記BD∩CE=O,連接FI,DI,GO,在△ACG中,F,I分別是AC,AG的中點(diǎn),所以FI∥CG.因?yàn)镚B=GI,所以同理可得OG∥DI.又因?yàn)镕I∩DI=I,CG∩GO=G,所以平面GCO∥平面IFD.又DF?平面IFD,所以DF∥平面CEG.(2)解因?yàn)榈酌鍮CDE是菱形,所以O(shè)C⊥OD.因?yàn)锳E=AC,BC=BE,AB=AB,所以△ABC≌△ABE,則易得GC=GE,又因?yàn)镺是EC的中點(diǎn),所以O(shè)C⊥OG.因?yàn)镺G∩OD=O,OG,OD均在平面ABD中,所以O(shè)C⊥平面ABD,又AG?平面ABD,所以O(shè)C⊥AG,即OC⊥AB.因?yàn)锳B=AD=3,BD=23,所以cos∠ABD=AB則OG=B=1+3=2,則OG2+BG2=OB2,所以BG⊥OG,即AB⊥OG.又因?yàn)镺C∩OG=O,OC,OG均在平面CEG中,所以AB⊥平面CEG.若AH⊥平面CEG,則H與B重合.故t=0.7.(2021寧夏銀川模擬)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E為CD的中點(diǎn),把△ADE沿AE翻折,翻折后點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)H,使得平面AHE⊥平面ABCE.(1)求證:AH⊥BE;(2)在CH上確定一點(diǎn)F,使AH∥平面BEF;(3)求四棱錐F-ABCE的體積.(1)證明∵平面AHE⊥平面ABCE,平面AHE∩平面ABCE=AE,又由已知可得AE=BE=2,AB=2,∴BE⊥AE.又BE?平面ABCE,∴BE⊥平面AHE.∵AH?平面AHE,∴BE⊥AH,即AH⊥BE.(2)解連接AC交BE于點(diǎn)G,則CGGA在線段CH上取CH的三等分點(diǎn)F(靠近C),連接FG,則CFCH=CGCA=1而AH?平面BEF,FG?平面BEF,則AH∥平面BEF.(3)解取AE中點(diǎn)O,連接HO,則HO⊥AE,又平面AHE⊥平面ABCE,且平面AHE∩平面ABCE=AE,∴HO⊥平面ABCE.在Rt△AHE中,可得HO=22∵F為CH的三等分點(diǎn)F(靠近C),∴F到平面ABCE的距離為13可得四棱錐F-ABCE的體積為13×12×(1+2)×8.(2021廣西欽州模擬)如圖,已知等腰梯形ABCD滿足AD∥BC,2AD=BC=2,∠DCB=π3,沿對(duì)角線BD將△ABD折起,翻折后,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)H,使得平面HBD⊥平面BCD(1)若點(diǎn)E是棱HD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),證明:BE⊥CD;(2)若點(diǎn)P,N分別是棱CD,BC的中點(diǎn),K是棱BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試判斷三棱錐K-HNP的體積是否為定值?若是,求出這個(gè)定值;若不是,試說明理由.(1)證明如圖,在等腰梯形中,過A,D分別作底邊的垂線,垂足分別為M,N,在Rt△DNC中,CN=12因?yàn)椤螪CB=π3,所以∠NDC=π6,所以CD=在△ABD中,AB=AD=1,∠BAD=2π由余弦定理可知,BD=12在△BDC中,BD=3,BC=2,CD=1,滿足BD2+CD2=BC2,所以BD⊥CD.因?yàn)槠矫鍴BD⊥平面BCD,且平面HBD∩平面BCD=BD,CD?平面BCD,所以CD⊥平面HBD.又因?yàn)锽E?平面HBD,所以CD⊥B