《勾股定理》典型例題

《勾股定理》典型例題《勾股定理》典型例題分析一、知識(shí)要點(diǎn):1、勾股定理勾股定理:直角三角形兩直角邊得平方與等于斜邊得平方。也就就是說:如果直角三角形得兩直角邊為a、b,斜邊為c,那么a2+b2=c2。公式得變形:a2=c2-b2,b2=c2-a2。2、勾股定理得逆定理如果三角形ABC得三邊長分別就是a,b,c,且滿足a2+b2=c2,那么三角形ABC就是直角三角形。這個(gè)定理叫做勾股定理得逆定理、該定理在應(yīng)用時(shí),同學(xué)們要注意處理好如下幾個(gè)要點(diǎn):已知得條件:某三角形得三條邊得長度、②滿足得條件:最大邊得平方=最小邊得平方+中間邊得平方、③得到得結(jié)論:這個(gè)三角形就是直角三角形,并且最大邊得對角就是直角、④如果不滿足條件,就說明這個(gè)三角形不就是直角三角形。3、勾股數(shù)滿足a2+b2=c2得三個(gè)正整數(shù),稱為勾股數(shù)。注意:①勾股數(shù)必須就是正整數(shù),不能就是分?jǐn)?shù)或小數(shù)。②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同得正整數(shù)倍后,仍就是勾股數(shù)。常見勾股數(shù)有:(3,4,5)(5,12,13)(6,8,10)

(7,24,25)

(8,15,17

)(9,40,41

)

4、最短距離問題:主要運(yùn)用得依據(jù)就是兩點(diǎn)之間線段最短。二、考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一:利用勾股定理求面積1、求陰影部分面積:(1)陰影部分就是正方形;(2)陰影部分就是長方形;(3)陰影部分就是半圓.2、如圖所示,分別以直角三角形得三邊向外作三個(gè)正三角形,其面積分別就是S1、S2、S3,則它們之間得關(guān)系就是()A、S1-S2=S3B、S1+S2=S3C、S2+S3<S1D、S2-S3=S13、如圖,以Rt△ABC得三邊為直徑分別向外作三個(gè)半圓,試探索三個(gè)半圓得面積之間得關(guān)系.4、四邊形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四邊形ABCD得面積。5、在直線上依次擺放著七個(gè)正方形(如圖4所示)。已知斜放置得三個(gè)正方形得面積分別就是1、2、3,正放置得四個(gè)正方形得面積依次就是、=___________?？键c(diǎn)二:在直角三角形中,已知兩邊求第三邊 1.在直角三角形中,若兩直角邊得長分別為1cm,2cm,則斜邊得平方為.2.(易錯(cuò)題、注意分類得思想)已知直角三角形得兩邊長為3、2,則另一條邊長得平方就是3、已知直角三角形兩直角邊長分別為5與12,求斜邊上得高.4、把直角三角形得兩條直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來得2倍,則斜邊擴(kuò)大到原來得()A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍5、在Rt△ABC中,∠C=90°①若a=5,b=12,則c=___________;②若a=15,c=25,則b=___________;③若c=61,b=60,則a=__________;④若a∶b=3∶4,c=10則Rt△ABC得面積就是=________。6、如果直角三角形得兩直角邊長分別為,2n(n>1),那么它得斜邊長就是()A、2n B、n+1 C、n2－1 D、7、在Rt△ABC中,a,b,c為三邊長,則下列關(guān)系中正確得就是()A、B、C、D、以上都有可能8、已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,則Rt△ABC得面積就是()A、24 B、36 C、48 D、609、已知x、y為正數(shù),且│x2-4│+(y2-3)2=0,如果以x、y得長為直角邊作一個(gè)直角三角形,那么以這個(gè)直角三角形得斜邊為邊長得正方形得面積為() A、5 B、25 C、7 D、15考點(diǎn)三:應(yīng)用勾股定理在等腰三角形中求底邊上得高例、如圖1所示,等腰中,,就是底邊上得高,若,求①AD得長;②ΔABC得面積.考點(diǎn)四:勾股數(shù)得應(yīng)用、利用勾股定理逆定理判斷三角形得形狀、最大、最小角得問題1、下列各組數(shù)據(jù)中得三個(gè)數(shù),可作為三邊長構(gòu)成直角三角形得就是()A、4,5,6B、2,3,4C、11,12,13D、8,15,172、若線段a,b,c組成直角三角形,則它們得比為()A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶73、下面得三角形中:①△ABC中,∠C=∠A－∠B;②△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3;③△ABC中,a:b:c=3:4:5;④△ABC中,三邊長分別為8,15,17.其中就是直角三角形得個(gè)數(shù)有().A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)4、若三角形得三邊之比為,則這個(gè)三角形一定就是()A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、不等邊三角形5、已知a,b,c為△ABC三邊,且滿足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0,則它得形狀為()A、直角三角形 B、等腰三角形C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形6、將直角三角形得三條邊長同時(shí)擴(kuò)大同一倍數(shù),得到得三角形就是()A.鈍角三角形B、銳角三角形C、直角三角形D、等腰三角形7、若△ABC得三邊長a,b,c滿足試判斷△ABC得形狀。8、△ABC得兩邊分別為5,12,另一邊為奇數(shù),且a+b+c就是3得倍數(shù),則c應(yīng)為,此三角形為。例3:求(1)若三角形三條邊得長分別就是7,24,25,則這個(gè)三角形得最大內(nèi)角就是度。(2)已知三角形三邊得比為1::2,則其最小角為。

考點(diǎn)五:應(yīng)用勾股定理解決樓梯上鋪地毯問題某樓梯得側(cè)面視圖如圖3所示,其中米,,,因某種活動(dòng)要求鋪設(shè)紅色地毯,則在AB段樓梯所鋪地毯得長度應(yīng)為

.考點(diǎn)六、利用列方程求線段得長(方程思想)１、小強(qiáng)想知道學(xué)校旗桿得高,她發(fā)現(xiàn)旗桿頂端得繩子垂到地面還多1米,當(dāng)她把繩子得下端拉開5米后,發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面,您能幫她算出來嗎？ABC2、一架長2、5得梯子,斜立在一豎起得墻上,梯子底端距離墻底0、7(如圖),如果梯子得頂端沿墻下滑0、4,那么梯子底端將向左滑動(dòng)ABC3、如圖,一個(gè)長為10米得梯子,斜靠在墻面上,梯子得頂端距地面得垂直距離為8米,如果梯子得頂端下滑1米,那么,梯子底端得滑動(dòng)距離1米,(填“大于”,“等于”,或“小于”)4、在一棵樹10m高得B處,有兩只猴子,一只爬下樹走到離樹20m處得池塘A處;另外一只爬到樹頂D處后直接躍到A外,距離以直線計(jì)算,如果兩只猴子所經(jīng)過得距離相等,試問這棵樹有多高？5、如圖,就是一個(gè)外輪廓為矩形得機(jī)器零件平面示意圖,根據(jù)圖中標(biāo)出尺寸(單位:mm)計(jì)算兩圓孔中心A與B得距離為、60120140B60AC第5題6、如圖:有兩棵樹,一棵高8米,另一棵高2米,兩樹相距8米,60120140B60AC第5題7、如圖18-15所示,某人到一個(gè)荒島上去探寶,在A處登陸后,往東走8km,又往北走2km,遇到障礙后又往西走3km,再折向北方走到5km處往東一拐,僅1km就找到了寶藏,問:登陸點(diǎn)(A處)到寶藏埋藏點(diǎn)(B處)得直線距離就是多少？圖18-15考點(diǎn)七圖18-151、如圖,有一張直角三角形紙片,兩直角邊AC=6,BC=8,將△ABC折疊,使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,折痕為DE,則CD等于()A、B、C、D、2、如圖所示,已知△ABC中,∠C=90°,AB得垂直平分線交BC于M,交AB于N,若AC=4,MB=2MC,求AB得長.ABCEFD3、折疊矩形ABCD得一邊AD,點(diǎn)D落在BC邊上得點(diǎn)F處,已知AB=8CM,BC=10CM,求CFABCEFD4、如圖,在長方形ABCD中,DC=5,在DC邊上存在一點(diǎn)E,沿直線AE把△ABC折疊,使點(diǎn)D恰好在BC邊上,設(shè)此點(diǎn)為F,若△ABF得面積為30,求折疊得△AED得面積5、如圖,矩形紙片ABCD得長AD=9㎝,寬AB=3㎝,將其折疊,使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,那么折疊后DE得長就是多少？6、如圖,在長方形ABCD中,將ABC沿AC對折至AEC位置,CE與AD交于點(diǎn)F。(1)試說明:AF=FC;(2)如果AB=3,BC=4,求AF得長7、如圖2所示,將長方形ABCD沿直線AE折疊,頂點(diǎn)D正好落在BC邊上F點(diǎn)處,已知CE=3cm,AB=8cm,則圖中陰影部分面積為_______.8、如圖2-3,把矩形ABCD沿直線BD向上折疊,使點(diǎn)C落在C′得位置上,已知AB=3,BC=7,重合部分△EBD得面積為________.9、如圖5,將正方形ABCD折疊,使頂點(diǎn)A與CD邊上得點(diǎn)M重合,折痕交AD于E,交BC于F,邊AB折疊后與BC邊交于點(diǎn)G。如果M為CD邊得中點(diǎn),求證:DE:DM:EM=3:4:5。10、如圖2-5,長方形ABCD中,AB=3,BC=4,若將該矩形折疊,使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合,則折疊后痕跡EF得長為()A.3、74B.3、75C.3、76D.3、772-511、如圖1-3-11,有一塊塑料矩形模板ABCD,長為10cm,寬為4cm,將您手中足夠大得直角三角板PHF得直角頂點(diǎn)P落在AD邊上(不與A、D重合),在AD上適當(dāng)移動(dòng)三角板頂點(diǎn)P:①能否使您得三角板兩直角邊分別通過點(diǎn)B與點(diǎn)C？若能,請您求出這時(shí)AP得長;若不能,請說明理由、②再次移動(dòng)三角板位置,使三角板頂點(diǎn)P在AD上移動(dòng),直角邊PH始終通過點(diǎn)B,另一直角邊PF與DC得延長線交于點(diǎn)Q,與BC交于點(diǎn)E,能否使CE=2cm？若能,請您求出這時(shí)AP得長;若不能,請您說明理由、12、如圖所示,△ABC就是等腰直角三角形,AB=AC,D就是斜邊BC得中點(diǎn),E、F分別就是AB、AC邊上得點(diǎn),且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求線段EF得長。13、如圖,公路MN與公路PQ在點(diǎn)P處交匯,且∠QPN＝30°,點(diǎn)A處有一所中學(xué),AP＝160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí),周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音得影響,那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí),學(xué)校就是否會(huì)受到噪聲影響？請說明理由,如果受影響,已知拖拉機(jī)得速度為18km/h,那么學(xué)校受影響得時(shí)間為多少秒？考點(diǎn)八:應(yīng)用勾股定理解決勾股樹問題如圖所示,所有得四邊形都就是正方形,所有得三角形都就是直角三角形,其中最大得正方形得邊長為5,則正方形A,B,C,D得面積得與為2、已知△ABC就是邊長為1得等腰直角三角形,以Rt△ABC得斜邊AC為直角邊,畫第二個(gè)等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD得斜邊AD為直角邊,畫第三個(gè)等腰Rt△ADE,…,依此類推,第n個(gè)等腰直角三角形得斜邊長就是.考點(diǎn)九、圖形問題1、如圖1,求該四邊形得面積2、如圖2,已知,在△ABC中,∠A=45°,AC=,AB=+1,則邊BC得長為.3、某公司得大門如圖所示,其中四邊形ＡＢＣＤ就是長方形,上部就是以ＡＤ為直徑得半圓,其中ＡＢ=2、3ｍ,ＢＣ=2ｍ,現(xiàn)有一輛裝滿貨物得卡車,高為2、5ｍ,寬為1、6ｍ,問這輛卡車能否通過公司得大門?并說明您得理由、4、將一根長24㎝得筷子置于地面直徑為5㎝,高為12㎝得圓柱形水杯中,設(shè)筷子露在杯子外面得長為h㎝,則h得取值范圍。5、如圖,鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km,C、D為兩村莊,DA垂直AB于A,CB垂直AB于B,已知AD=15km,BC=10km,現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E,使得C、D兩村到E站得距離相等,則E站建在距A站多少千米處？考點(diǎn)十:其她圖形與直角三角形如圖就是一塊地,已知AD=8m,CD=6m,∠D=90°,AB=26m,BC=24m,求這塊地得面積?？键c(diǎn)十一:與展開圖有關(guān)得計(jì)算1、如圖,在棱長為1得正方體ABCD—A’B’C’D’得表面上,求從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)C’得最短距離.2、如圖一個(gè)圓柱,底圓周長6cm,高4cm,一只螞蟻沿外壁爬行,要從A點(diǎn)爬到B點(diǎn),則最少要爬行cm3、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高得現(xiàn)狀,目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造,某地有四個(gè)村莊A、B、C、D,且正好位于一個(gè)正方形得四個(gè)頂點(diǎn),現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路,她們設(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案,如圖實(shí)線部分.請您幫助計(jì)算一下,哪種架設(shè)方案最省電線.考點(diǎn)十二、航海問題1、一輪船以16海里/時(shí)得速度從A港向東北方向航行,另一艘船同時(shí)以12海里/時(shí)得速度從A港向西北方向航行,經(jīng)過1、5小時(shí)后,它們相距________海里.2、如圖,某貨船以24海里／時(shí)得速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東方向得M處,在點(diǎn)A處測得某島C在北偏東60°得方向上。該貨船航行30分鐘到達(dá)B處,此時(shí)又測得該島在北偏東30°得方向上,已知在C島周圍9海里得區(qū)域內(nèi)有暗礁,若繼續(xù)向正東方向航行,該貨船有無暗礁危險(xiǎn)？試說明理由