高中數(shù)學(xué)-化歸與轉(zhuǎn)化思想

高中數(shù)學(xué)-化歸與轉(zhuǎn)化思想

目錄

1.考點(diǎn)回顧....................................................................1

2.經(jīng)典例題剖析...............................................................2

3.選擇題：....................................................................6

4.解答題：....................................................................7

5.解析答案：..................................................................8

1.考點(diǎn)回顧

化歸與轉(zhuǎn)化的思想，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時采用某種方式，借助某

種函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或已知條件將問題通過變換加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決

問題的思想。轉(zhuǎn)化是將數(shù)學(xué)命題由一種形式向另一種形式的變換過程，化歸是

把待解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問

題。化歸轉(zhuǎn)化思想是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的思想方法，堪稱數(shù)學(xué)思想的精髓，它滲

透到了數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的各個領(lǐng)域和解題過程的各個環(huán)節(jié)中。轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化與

不等價轉(zhuǎn)化。等價轉(zhuǎn)化后的新問題與原問題實(shí)質(zhì)是一樣的，不等價轉(zhuǎn)則部分地

改變了原對象的實(shí)質(zhì)，需對所得結(jié)論進(jìn)行必要的修正。

應(yīng)用化歸轉(zhuǎn)化思想解題的原則應(yīng)是化難為易、化生為熟、化繁為簡，盡量

是等價轉(zhuǎn)化。常見的轉(zhuǎn)化有：

1、等與不等的相互轉(zhuǎn)化

等與不等是數(shù)學(xué)中兩個重要的關(guān)系，把不等問題轉(zhuǎn)化成相等問題，可以減

少運(yùn)算量，提高正確率；把相等問題轉(zhuǎn)化為不等問題，能突破難點(diǎn)找到解題的

突破口。

2、正與反的相互轉(zhuǎn)化

對于那些從“正面進(jìn)攻”很難奏效或運(yùn)算較難的問題，可先攻其反面，從

而使正面問題得以解決。

3、特殊與一般的相互轉(zhuǎn)化

對于那些結(jié)論不明或解題思路不易發(fā)現(xiàn)的問題，可先用特殊情形探求解題

思路或命題結(jié)論，再在一般情況下給出證明，這不失為一種解題的明智之舉。

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4、整體與局部的相互轉(zhuǎn)化

整體由局部構(gòu)成，研究某些整體問題可以從局部開始。

5、高維與低維的相互轉(zhuǎn)化

事物的空間形成，總是表現(xiàn)為不同維數(shù)且遵循由低維想高維的發(fā)展規(guī)律，

通過降維轉(zhuǎn)化，可把問題有一個領(lǐng)域轉(zhuǎn)換到另一個領(lǐng)域而得以解決，這種轉(zhuǎn)化

在復(fù)數(shù)與立體幾何中特別常見。

6、數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化

通過挖掘已知條件的內(nèi)涵，發(fā)現(xiàn)式子的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性

解決問題，使問題簡化。

7、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化

2.經(jīng)典例題剖析

例1、設(shè)/(x)=x-lTn2x+2alnx(x>0).

(I)令尸。)=才。)，討論尸⑶在(°，+8)內(nèi)的單調(diào)性并求極值；

(II)求證:當(dāng)時，恒有x>ln2x-2alnx+l.

解析：(I)討論也的在O+8)內(nèi)的單調(diào)性并求極值只需求出廠(%)的導(dǎo)數(shù)

F(X)即可解決；

(II)要證當(dāng)X>1時，恒有x>ln2>2alnx+l,可轉(zhuǎn)化為證x>l時

x-ln2x+2?lnx-l>0,亦即轉(zhuǎn)化為時/㈤>°恒成立;因/⑴=0,于是可

轉(zhuǎn)化為證明"力>/⑴，即八幻在(Lx°)上單調(diào)遞增，這由(I)易知。

,21nx2a..

f\x)=1------+—,x>0

答案：(I)解：根據(jù)求導(dǎo)法則有％》,

故E(x)=4'(x)=x—21nx+2a,x>0

F'(x)=1--=—―x>0

于是％》,

列表如下：

X(0,2)2(2+8)

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F'(x)—0+

E(x)、、極小值尸⑵

故知2x）在（°，2）內(nèi)是減函數(shù)，在（2，+8）內(nèi)是增函數(shù)，

所以，在％=2處取得極小值尸⑵=2-21n2+2,

（II）證明:由心°知，尸3的極小值尸（2）=2—21n2+2a＞0.

于是由上表知，對一切xc（°，+8）,恒有尸（x）=^'（x）＞0.

從而當(dāng)x＞。時，恒有/（幻＞°,故A?在3+8）內(nèi)單調(diào)增加.

所以當(dāng)1時，/*）＞/（I）=。，即x-1—In2x+2?lnx＞0.

故當(dāng)%＞］時,恒有%＞ln2＞-2aln%+l.

點(diǎn)評：對于證明〃x）＞g（x）在區(qū)間①力）恒成立問題，常運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化思

想轉(zhuǎn)化為證明〃x）-g（x）＞°在區(qū)間（0/）上恒成立，令〃（x）=/（x）-g（x）,即

可轉(zhuǎn)化為在①/）上以初榜＞0,這樣只需求出/2（x）在區(qū)間3"）上的最小值即可

解決之。這種化歸轉(zhuǎn)化的思想方法在近幾年高考中經(jīng)常用到。

（1）求他"｝的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)"”=&，3-2%，證明其中〃

為正整數(shù).

解：

,、3

0＜?！ǎ家?，a

方法二：由（1）可知2

....a'^-2"南

因?yàn)?,所以

（2）-aY

??（3-2??）＜

由4戶1可得12J,

。；（32a“）（卜”

即＜2＞

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ayl3-2a<-―

兩邊開平方得n7n27.

即b?<bn+l,〃為正整數(shù).

例、在平面直角坐標(biāo)系中，已知△A6C的頂點(diǎn)4-4,0）和C（4,0）,頂

x2y2<sinA+sinC

---F—=1----------=

點(diǎn)8在橢圓259上，則sin8.

例、若一條直線與一個正四棱柱各個面所成的角都為。，則cosa=

解：不妨認(rèn)為這個正四棱柱為正方體，與正方體的所有面成角相等時，為

與相交于同一頂點(diǎn)的三個相互垂直的平面所成角相等，即為對角線與該正方體

cosa=—V72^=——V6

所成角.故133.

點(diǎn)評：象這種“特殊與一般的相互轉(zhuǎn)化”在高考的選擇題和填空題中經(jīng)常

應(yīng)用

例、已知函數(shù)/（x）=d-

（1）求曲線y="x）在點(diǎn)”（力/⑺）處的切線方程；

（2）設(shè)如果過點(diǎn)（⑦份可作曲線y=/a）的三條切線，證明：

-a<b</（?）

解析：（1）通過求導(dǎo)得出切線的斜率，從而由點(diǎn)斜式較易寫出切線方

程；（2）由（1）易得過點(diǎn)（⑦切的曲線的切線方程g"）二°,曲線

y=/a）有三條切線可轉(zhuǎn)化為方程g⑺=0有三個相異的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)

y=g⑺有三個零點(diǎn)，故只需g⑴的極大值大于零且g⑺的極小值小于零。

答案：解：（1）/⑴的導(dǎo)數(shù)/（幻=3/-1.曲線y=./a）在點(diǎn)

/?，/⑺）處的切線方程為：y-/（0=/Wx-0,即y=（3『-l）x-2/.

（2）如果有一條切線過點(diǎn)（《嘰則存在L使"=（3產(chǎn)

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若過點(diǎn)3,切可作曲線y=的三條切線，則方程2尸—3“2+以+6=0有

三個相異的實(shí)數(shù)根.記gQ）=2/_3加+.+,貝,'（。=6/-6。，=6，（，一。）

當(dāng)f變化時,g（）g'?）變化情況如下表：

t(—8,0)0(0,a)a(Q,+00)

g'(f)+0—0+

極大值極小值

gQ)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)

a+bb-f（a）

由g。）的單調(diào)性，當(dāng)極大值。+6<?；驑O小值匕一了⑷〉。時，方程g⑺=°

最多有一個實(shí)數(shù)根；

t=0,t=—

當(dāng)a+〃=0時，解方程g（，）二°得2,即方程g（/）=°只有兩個相

異的實(shí)數(shù)根；

_a_

當(dāng)"一〃G=°時，解方程g⑺=0得‘一5,‘一"，即方程gQ）=o只有兩

個相異的實(shí)數(shù)根.

綜上，如果過（3勿可作曲線丁=/（龍）三條切線，即g（'）二°有三個相異的

a+b>0,

<

實(shí)數(shù)根，則.即~a<b<f（d）

點(diǎn)評：將證明不等式的問題通過等價轉(zhuǎn)化化歸為函數(shù)的極值問題來討論，

這是近年來高考試題中常出現(xiàn)的一種類型。

例、已知函數(shù)/（x）=e'一去，xeR

（I）￥=e,試確定函數(shù)A?的單調(diào)區(qū)間；

（H）若&〉°,且對于任意xeR,“國）>°恒成立，試確定實(shí)數(shù)％的取

值范圍；

解析：（I）求出八幻的導(dǎo)函數(shù)，易得八幻的單調(diào)區(qū)間；

（II）易知網(wǎng)助是偶函數(shù)，于是"船>°對任意xeR成立可等價轉(zhuǎn)化為

/（幻>0對任意xeO成立，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為/（幻在。+8）上的最小值大于零，

從而求出實(shí)數(shù)％的取值范圍。

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答案：解：（［）由攵=€得/（幻=6'-5，所以尸（x）=e，e

由/'（x）>°得x>1,故/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+°°）,

由fXx）<0得x<1,故/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是S4）.

（II）由川T）=加）可知,刎）是偶函數(shù).

于是/（IX）>。對任意xeR成立等價于°對任意x、0成立.

由/'（X）=e'—Z=0得%=］n%.

①當(dāng)kw（0,1］時，f\x）=ex-k>l-k^0（x>0）

此時/（幻在0+8）上單調(diào)遞增.

故/（幻>/（0）=1>0,符合題意.

②當(dāng)攵￡（1,+8）時，］n攵>0.

當(dāng)X變化時/'"），/（X）的變化情況如下表：

X(0,lnZ)InZ(lnZ,+oo)

f'M——0+

單調(diào)遞

f(x)極小值單調(diào)遞增

減

由此可得，在D+00）上,f（）nk）=k-khik

依題意，k-k\nk>0,又

綜合①，②得，實(shí)數(shù)出的取值范圍是°<左<，

3.選擇題：

1.若函數(shù)/（x）=〃E+4a^+3的定義域?yàn)镽

,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

（o,3|］（o,34）.吟D.吟

A.4B.4C.

y=ig（11）

2.函數(shù)17的圖象關(guān)于（）

A、原點(diǎn)對稱B、x軸對稱C、y軸對稱D、直線y=

x對稱

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3,若。、力滿足/+〃=1,則（1一2）。+。份有

]_3

A.最小值2和最大值1B.最小值4和最大值1

3

C.最小值4但無最大值D.最大值1,但無最小值

4.若關(guān)于x的不等式（1+尸口4/+4的解集是M,則對任意實(shí)常數(shù)％,

總有：（）

A、26M,OEM；B、2紀(jì)M,0《M；C、2GM,0至M；D、2《M,

OGM.

5.若不等式x2+ax+120對于一切xe（0,2）成立，則a的取值范圍是

6,若J（」+3）2+（y-l）2—?dú)w一y+3|=°,則點(diǎn)例（Q）的軌跡是

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

填空題：

7.P（x,y）在直線x+2y—3=0上運(yùn)動，則x2+y2的最小值是.

8.在一6,4,-2,0,1,3,5,7這8個數(shù)中，任取兩個不同的數(shù)分別

作為虛數(shù)。+次的實(shí)部和虛部，則所組成的所有不同虛數(shù)中，模大于5的虛數(shù)

的個數(shù)是.

4.解答題：

/（x）=2sin?|—+x|-\/3cos2xxe—

9.已知函數(shù)14J,L42..

（I）求/（X）的最大值和最小值；

XG71兀

（H）若不等式〃'⑴一叫＜2在上恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范

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5.解析答案:

1.C解析：函數(shù)/(X)=.公2+4辦+3的定義域?yàn)镽,

」.依2+4依+320對XWR恒成立。當(dāng)。=0時有320對XWR恒成立，符合題

意；當(dāng)。。。時，要使?2+4以+32。對xeR恒成立，必、須。>0且

3

—之。>0

A=16?9--12a<0,解得4。

aG[0,—]

綜上4,故選c.

--------1>0XG(—1,1),

2.A解析：函數(shù)定義域滿足1-%

???+=--l)=lg=lgl=0，

U+x)\1—X)1+XJ\1—Xy_

???/(—x)=l/(x).?.f(x)為奇數(shù)，.?.選A.

3.B解析：因〃、6滿足/+/=1,故可設(shè)a=cose,/2=sin%

則(1一a/?)(l+。份=

1,17

(1-cosOsin6)(1+cos^sin0)=1--sin-20=-^cos4^+—

3

所以(1-a份(1+a份的最大值為1,最小值為1,故選B。

4.A解析：方法1：代入判斷法，將”=2,x=°分別代入不等式中，判

斷關(guān)于k的不等式解集是否為R；

方法2：求出不等式的解集：(1+6?忘/+4

nxW4也(R+D+g__2=>X<[(A:2+1)+-^2]mm=2庫2

左2+1k2+l/+i%；故選A。

_a_a

5.解析：設(shè)f(x)=x2+ax+l,則對稱軸為x=2,若2>

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5_

2,即a<-l時，則f(x)在(0,2)上是減函數(shù)，應(yīng)有f(5)>0=>-2<

X<—1;

_a1

若2<0,即Q0時，則f(x)在(0,2)上是增函數(shù)，應(yīng)有f(0)=

1>0恒成立，故a>0

a1aa2a2..a2^_

—————1-1——0

若0W2<2,即—iwawo,貝胸有f(2)=424恒

成立，故一lWaWO

5_

綜上，有一2益o

J(x+3)2+(y-l)2_3

x-y+3

6.C解析：由J(x+3)、(yT)2-|x-y+3]=o得后,

由雙曲線的定義知點(diǎn)的軌跡是雙曲線。故選c。

9

7.5解析：x2+y2為原點(diǎn)與直線x+2y—3=0上的點(diǎn)距離的平方，其