高中數(shù)學必修第一冊第2 課時補集及綜合應(yīng)用

第2課時補集及綜合應(yīng)用

新知初探?自主學習—突出基礎(chǔ)性

知識點補集

1.全集

在研究集合與集合之間的關(guān)系時，如果所要研究的集合都是某一給定集合的子集，那么

稱這個給定的集合為全集，全集通常用u表示.

2.補集

狀元隨筆全集并不是一個含有任何元素的集合，

僅包含所研究問題涉及的所有元素.

CuA的三層含義：

(l)CuA表示一個集合；

(2)A是U的子集，即AUU；

(3)EuA是U中不屬于A的所有元素組成的集合.

基礎(chǔ)自測

1.設(shè)全集。=~集合尸={x|-2Wx<3},則Cd等于()

A.{x|無<一2或x23}B.{x|x<—2或x>3}

C.{x|xW—2或x>3}D.{x|xW—2且尤23}

2.已知全集。=11,A={尤|尤WO},B={x\x^l},則集合C/AUB)等于()

A.{x|x20}B.{x|xWl}

C.{x|0WxWl}D.{x|0<x<l}

3.已知集合。={2,3,6,8},A={2,3},B={2,6,8},則([uA)nB=

課堂探究,素養(yǎng)提升一強化創(chuàng)新性

題型1補集的運算[教材P18例5]

例1已知4=(—1,+8),2=(—8,2],求[RA,CRB.

【解析】在數(shù)軸上表示出A和8,如圖所示.

-3-2-1O123"

由圖可知[RA=(-8,—1],[RB=[2,+°°).

秋材反思

求補集的原則和方法

(1)一■個基本原則.

求給定集合A的補集，從全集U中去掉屬于集合A的元素后，由所有剩下的元素組成

的集合即為A的補集.

(2)兩種求解方法：

①若所給的集合是有關(guān)不等式的集合，則常借助于數(shù)軸，把已知集合及全集分別表示在

數(shù)軸上，然后再根據(jù)補集的定義求解，注意端點值的取舍.

②若所給的集合是用列舉法表示，則用Venn圖求解.

跟蹤訓練1(1)已知全集。={1,2,3,4,5},A={1,3},則［以=()

A.0B.{1,3}

C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}

利用補集定義直接求.

(2)設(shè)全集為R,集合A={x|0VxV2},B={x\x^l］,則AG(CRB)=()

A.{MO<xWl}

B.{x\O<x<l}

C.{x|l?2}

D.{x|0<x<2}

利用數(shù)軸表示集合A、B,結(jié)合數(shù)軸求出結(jié)果.

題型2集合交、并、補的綜合運算［經(jīng)典例題］

先求［uB,再求AGCuB.

例2(1)已知全集。={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6),集合3=

［1,3,4,6,7},則集合AA(C")=()

A.{2,5}B.{3,6}

C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}

根據(jù)集合的交集、補集、并集運算，畫數(shù)軸，即可求解.

(2)已知全集U=R,A=［x\~4^x<2},8={x［—1<XW3},P={x|x<0或x之求

AAB,(CuB)UP,(AnB)A(Cc/P).

方法歸佃

求集合交、并、補運算的方法

常借助于數(shù)軸，把已知集合及全集分別表

示在數(shù)軸上，然后再根據(jù)交、并、補集的

定義求解，這樣處理比較形象直觀，解答

過程中注意邊界問題.

先把集合中的元素一一列舉出來，然后結(jié)合

交、并、補集的定義來求解，另外針對此類問

題,在解答過程中也常常借助于Venn圖來求

解，這樣處理起來相對來說比較直觀、形

儂，且解答時不易由感.

跟蹤訓練2已知全集U={x|xW4},集合A={x|-2V%V3},B={x|—3V%W3}.求［以,

AAB,Ct/(AAB),(C(/A)nB.

借助數(shù)軸求出［uA,［uB再運算.

題型3補集思想的應(yīng)用［經(jīng)典例題］

例3已知集合A={x|f—4x+2〃z+6=0},2={x|x<0},若AcBK。，求實數(shù)機的取

值范圍.

狀元隨筆?AnB=0,對于集合A而言，分A=0與AW0兩種情況.A=0表示方程無

實根.

②B={x|x<O},而ACB=0,故A{x|xNO},即已知方程的根為非負實根.

③A20保證了AW。，即原方程有實根；X1+X22O與xiX2》。保證了原方程兩根非負.

如果兩根都大于1,則等價形式為伊一二:匕。而不是卜+*2>2，

(01—1)(尤2—1)>。，[X1X2>1.

④由于ACB#0,故方程X2—4x+2m+6=0一定有解，故我們還可以設(shè)全集U=

{m|AN0}={m|mW-1}.止匕時，{m|—3WmW-1}關(guān)于U的補集也是3},結(jié)果相

同.

方法歸他

(1)運用補集思想求參數(shù)范圍的方法：

①否定已知條件，考慮反面問題；

②求解反面問題對應(yīng)的參數(shù)范圍；

③將反面問題對應(yīng)參數(shù)的范圍取補集.

(2)補集思想適用的情況：

從正面考慮，情況較多，問題較復雜的時候，往往考慮運用補集思想.根據(jù)補集的定義，

得到關(guān)于m的方程n?—m—1=5,解得m的值后還需檢驗.

跟蹤訓練3設(shè)全集U={3,6,nr-m-l],4={|3-2訓，6},[以={5},求實數(shù)九

第2課時補集及綜合應(yīng)用

新知初探咱主學習

知識點

[uA{x|x￡U且x&A}

[基礎(chǔ)自測]

1.解析：由尸={X|-2Wx<3}得2或x\3}.

答案：A

2.解析：4^18={尤以忘0或；121},

所以1u(AUB)={x[O<x<l}.故選D.

答案：D

3.解析：先計算[以，再計算QA)CB.

V17={2,3,6,8},A=[2,3},二[必={6,8}.

；.([uA)nB={6,8}n{2,6,8}={6,8}.

答案：{6,8}

課堂探究?素養(yǎng)提升

跟蹤訓練1解析：(1)本小題考查集合的運算.

VU={1,2,3,4,5},A={1,3},：.[uA=[2,4,5).

⑵本題主要考查集合的基本運算.

由B—{x|x^1},得[RB={x|x<l},

借助于數(shù)軸，可得4門(}2)={鄧)<無<1},故選B.

CRB

答案：(1)C(2)B

例2【解析】⑴因為U={1,2,3,4,5,6,7,8},B={1,3,4,6,7),所以

luB={2,5,8}.又4={2,3,5,6},

所以AC([08)={2,5}.

(2)將集合A,B,P分別表示在數(shù)軸上，如圖所示.

因為4={尤|—4Wx<2},B={x[—1<%W3},

所以AnB={x[—l<x<2},{尤|xW—1或x>3}.

又「二口博三?；騲2|},

所以(1uB)UP={x|xW0或x2|}.

又[d={x[O<x<§,所以(4m8)口([￡/尸)={況-14<2}('1國0<乂<|}=00<%<2}.

【答案】(1)A(2)見解析一

跟蹤訓練2解析：把全集U和集合A,8在數(shù)軸上表示如下：

由圖可知,[以={x|xW—2或3WxW4},

AnB={x|—2<x<3},

CtXAAB)={x|xW—2或3WxW4},

(Ct^4)AB={x|—3<xW—2或x=3}.

例3【解析】先求AnB=。時機的取值范圍.

(1)當A=0時，①

方程%2—4%+2m+6=0無實根，所以/=(一4)2—4(2機+6)V0,解得相>一1.

(2