集合間的基本關(guān)系講義-高一年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

1.2集合間的基本關(guān)系知識(shí)整合

、Venn圖

Venn圖和數(shù)軸一樣，都是用來解決集合問題的直觀的工具。利用Venn圖,

可以使問題簡(jiǎn)單明了地得到解決。

二、子集和真子集的區(qū)別：

如果集合A是集合B的干集，那么有以下兩種Venn圖的表示方法：

ABA=B

如果集合A是集合B的稟子集，則只有以下一種Venn圖的表示方法:

AB

三、空集0的特征及重要作用：

①空集里沒有任何元素，0也不是空集的元素；

②空集的書寫方法區(qū)別于其它集合，一般的集合外層都有一個(gè)｛｝,元素放在

｛｝之內(nèi)，但是空集0卻不需要加這個(gè)｛卜

③空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，因此在寫一個(gè)集合的

子集的時(shí)候，切勿將空集丟掉；

④空集作為一個(gè)特殊的集合，常常用來作為判斷一個(gè)命題是否正確的反例；

⑤在根據(jù)集合之間的關(guān)系求參數(shù)的值或取值范圍的題目中，空集作為集合的

子集常常出現(xiàn)在解題的第一步，并且也是學(xué)生容易忽略掉的，需要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)。

四、集合的子集的個(gè)數(shù)：

若集合A中有（1個(gè)元素，則A的子集的個(gè)數(shù)為2"個(gè)，A的真子集的個(gè)數(shù)為

2"-1個(gè)，A的非空子集的個(gè)數(shù)為2"-1個(gè)，A的非空真子集的個(gè)數(shù)為2"-2個(gè)。

五、元素與集合、集合與集合之間關(guān)系的區(qū)別：

元素與集合之間的關(guān)系用'”或“任”表示；集合與集合之間的關(guān)系用

“三”，“衛(wèi)”或“”，"”或“=”表示，注意不要混淆了。

六、求參數(shù)的取值范圍問題要特別注意端點(diǎn)。

利用集合與集合之間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍這一類型的題目中，在根據(jù)包

含關(guān)系寫出不等式組的時(shí)候，一定要注意端點(diǎn)處的等號(hào)能不能取到，可畫出數(shù)軸

來直觀地理解，以免出錯(cuò)。

1.2集合間的基本關(guān)系

題型一、判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系

1.已知集合“={丫€^|*<2},則以下關(guān)系正確的是()

A.OeMB.2出M

C,{0,1,2}cMD.{?！?2}

2.下列說法正確的是（）

A.NeZB.TteQC.0=0D.N+CR

3.設(shè)集合A={xeO|x>-l},則（）

A.B.6.正AC.{2}eAD.{砰A

4.給出下列關(guān)系：@|e/?；②卜3忸N；③-④()￡N；@0c{O},其

中正確的個(gè)數(shù)

為()

A.1B.2C.3D.4

5.用*“c”或*填空：

(1)ZN：(2)Z。；⑶0N：(4)RQ.

6.下列命題中正確的有(寫出全部正確的序號(hào)).

①{2,4,6}C{2,3,4,5,6}；②{菱形}G{矩形};③{%4=0}G{0}；

④{（0,1）}G{O,1}；⑤{1}70,1,2};⑥{x|xN2}{x|x>l}.

7.已知集合加={工板是平行四邊形},N={x|x是矩形},P={x|x是正方形},Q

={x}x是菱形},

則（）

A.MRNB.P=NC.Q三PD.Q=N

8.已知集合A={x|f>4},8={紙>8},則（）

A.-2eAB.3eBC.A=BD.AoB

9.已知集合4={1,2,3,4,5},集合3={1,2},若集合C滿足：B

CqA,則集合C的個(gè)數(shù)為（）

A.6個(gè)B.7個(gè)C.8個(gè)D.9個(gè)

題型二、判斷兩個(gè)集合是否相等

I.下列表述錯(cuò)誤的是（）

A.0e{0}B.0c{O}C.{0,1}={1,0}D.{（0,1）}={（l,0））

2.下列各式中：①{0}v{0J2}；②{0,1,2}U{2,1,0}；③0a{0,1,2}；（4）0={0};

⑤{0,1}={（0,1）}；⑥0={0}.正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

3.給出下列四個(gè)命題：

①設(shè)集合用={中〉-1},則{0}G〃；

②空集是任何集合的子集；

③集合4=卜拉=42_118=卜y=J—T1表示同一集合;

④集合尸={凡圻,集合。={b,a},則P=0

其中不正確的命題是（）

A.①②B.②④C.①③D.③④

4.（多選）下面關(guān)于集合的表示正確的是（）

A.3G{My=x?+萬，xw/?}B.{(。力)}={(>,“)}

C.{x|j>l}={y|y>l|D.|xe/?|x2+2=o|=0

5.若忖,0,_l}={她0},則(而產(chǎn)的值為()

A.0B.1C.-1D.±1

6.已知集合{l,a,20}=2,憑/，則0+》=,

7.設(shè)集合M=[xx=5+；,Zez},集合N=卜卜=；+g,則()

A.M=NB.MNC.MND.M?N

8,若集合A={乂工=2左一1,%eZ},3={x|x=2Z+1,Z￡Z},

C={M%=4&+1,&￡Z},則A,比C的關(guān)系是()

A.C^A=BB.AqCqBC.A=B=CD.BqAqC

9.若集合A=<x|x=m+L,加eZ>,B=<x\x----,nez\,

623

C=<x|尤=4+7，peZ>,則A民c之間的關(guān)系是（）

2o

A.A=B=CB.AUs=cc.A茴5cD.8荷CA

題型三、空集的概念以及判斷

1.下列四個(gè)結(jié)論：①0￡0；②（）€0;③{。卜0;④{。}=。.其中正確結(jié)論的

序號(hào)有幾個(gè)（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.下列選項(xiàng)中正確的有（）

A.{質(zhì)數(shù)}U{奇數(shù)};B.集合{1,2,3}與集合{4,5,6}沒有相同的子

集；

C.空集是任何集合的真子集；D.若AqB,BcC,則AqC；

3.下列關(guān)于空集的說法中，錯(cuò)誤的是（）

A.Oe0B.0c0C.0e{0}D.0c{0}

4.（多選）下列關(guān)系中正確的是（）

A.QeNB.兀wQC.0￡{0}D.0￡{0}

5.（多選）給出下列關(guān)系，其中正確的選項(xiàng)是（）

A.0€{{0}}B.0c{{0}（C.0e{0}D.0c{0}

6.下列四個(gè)命題：（1）空集沒有子集；（2）空集是任何一個(gè)集合的真子集；

（3）0={0};（4）任何一個(gè)集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的子集.其中正確的個(gè)

數(shù)有（）個(gè)

A.0B.1C.2D.4

7.下列命題中正確的是（）

A.空集沒有子集B.空集是任何一個(gè)集合的真子集

C.任何一個(gè)集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的子集

D.設(shè)集合3口A,那么，若x/A,則x/B

8.（多選）下列集合是空集的是（）

A.{ye/?y<。}B.{xe/?,+x+3=()}

C.{xe昨+2020=2020}D.1(x,y)|x2+|y|=0,x,ye/?j

9.（多選）下列四個(gè)集合中，是空集的是（）

A.{小-4=-4}B.1(x,y)|y2=-x2,x,ye/?|

C.|x|a<x<6zjD.1x|x2-x+l=0|

10.下列集合中:①｛（）｝；②｛W+l,x<0,〃eR｝；③｛0｝；④0；⑤

｛x\x=yl-2-rr,n&R,xeR｝；⑥｛（。，。）｝，是空集的為（只填序號(hào)）.

11.已知集合加=*|26<_?<俏+1｝,且M=0,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

12.已知集合4=卜|1+2%+。=0,。61^,若A*0,則。的取值范圍是

13.若集合A=卜“一25+口一1=（）｝=0,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

題型四、判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)

I.集合。=｛X6兇一2〈工一1<2｝的子集的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.8

2.集合｛2,0,1,9｝的真子集的個(gè)數(shù)是（）

A.13B.14C.15D.16

3.集合｛x|-l<x<3,xeN*｝的非空子集個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

4.已知集合加=｛機(jī)|團(tuán)=三+乙+目+產(chǎn)；,x,y,z為非零實(shí)數(shù)｝,則M的子

\x\|j|\z\\xyz\

集的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.8

5.定義集合A*3=｛x[x=,設(shè)4={2,3},8={1,2},則集合4九8

的非空真子集的個(gè)數(shù)為（）

A.12B.14C.15D.16

6.已知集合4={%|V-3X+2=0},8={x[0<x<6,xw/V},則滿足條件

ACqB的集合。的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

7.若集合A={a也c},B^A,則集合8中元素的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.1或2或3個(gè)D.0或1或2或3

個(gè)

8.滿足{a}qM{a,6,c,"}的集合M共有個(gè).

9.若xeA,則就稱A是和美集合，集合”=[-1,0,；,；,1,31的所有非空

X123J

子集中是和美集合的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

10.若非空集合M滿足：（1）Me{1,2,3,4,5）；（2）當(dāng)aeM時(shí)，總有

6-aeM,則符合上述要求的集合M有個(gè).

11.若集合{x|（攵+l）V+xT=0,無eH}有且僅有兩個(gè)子集，則實(shí)數(shù)左=

題型五、求集合的子集（真子集）

1.（多選）若{1,2}。3{1,2,3,4},則3=（）

A.{1,2}B.{1,2,3}C.{1,2,4}D.{1,2,3,4}

2.（多選）已知非空集合”滿足:①M(fèi)a{-2,-1,1,2,3,4},②若xeM,則

/《加.則集合乂可能

是（）

A.{-1,1}B.{-1,1,2,4}C.{1}D.{1,-2,2）

3.已知集合5={0,1,2,3,4,5},A是S的一個(gè)子集，當(dāng)xeA時(shí)，若有彳-喋A,

月.X+1CA,則稱尤為A的一個(gè)“孤立元素”，那么S中無"孤立元素''的4個(gè)元素

的子集共有個(gè)，其中的一個(gè)是.

4.已知集合4={41,4的所有非空真子集的元素之和等于12,則4+b+c的值

為（）

A.1B.2C.3D.4

5.若集合A={l,2},8={x|xeA},C={x|x=A}用列舉法表示集合

B=,

C-.

6.設(shè)集合A={q,%,%,%},若集合A中所有三個(gè)元素的子集中的三個(gè)元素之

和組成的集合為8={2,5,6,8},則集合A=.

7.設(shè)丫是由6的全體正約數(shù)組成的集合，寫出丫的所有子集.

8.已知集合A={a+3,，+2a,0},且3eA.

(1)求實(shí)數(shù)。的值；(2)寫出集合A的所有子集.

9.已知集合4={(%切%+、=2?,：^用，試寫出A的所有子集及真子集.

10.已知集合A滿足條件：若aeA,a/1,則J—eA.

\-a

(1)若2eA,則集合A中是否還有其它元素？若沒有，說明理由；若有，求

出集合A中的所有元素；

(2)集合A是否有可能是只有一個(gè)真子集的集合？如果可能，求出集合A；

如果不能，說明理由.

題型六、根據(jù)集合之間的關(guān)系求參數(shù)的值或取值范圍

1.已知集合”={磯4,*,N={1,x2},若NjM,則實(shí)數(shù)，組成的集合為

()

A.{0}B.{-2,2}C.{-2,0,2}D.{-2,0,1,2}

2.已知集合4={。,m+1,叫，B={3,m+2},若則機(jī)=

3.設(shè)集合A={l,2},B={x?-2=0},若則由實(shí)數(shù)a組成的集合為

()

A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{0,1,2)

4.已知集合”={—2,0,1},'+如_2=0},若NjM,則實(shí)數(shù)a=

()

A.2B.1C.0D.-1

5.(多選)若一個(gè)集合是另一個(gè)集合的子集，則稱這兩個(gè)集合構(gòu)成“鯨吞”；若

兩個(gè)集合有公共元素，且互不為對(duì)方子集，則稱兩個(gè)集合構(gòu)成“蠶食”，對(duì)于集

合4={-1,0,2},8=卜辰2=2”.，若這兩個(gè)集合構(gòu)成“鯨吞”或“蠶食”，則〃可

能的取值為()

A.0B.1C.-D.-1

2

6.已知集合4={犬,2—ar+0=0MeR力eR}.

(1)若A={1},求a,6的值；(2)若8={xeZ|-3Vx<0},且A=8,求a,h

的值.

7.已知A={x|x2+5x-6=0},?=1x|x2+/?x+^=0|,BeA,且8不是空集,

(1)求集合B的所有可能情況；(2)求P、勺的值.

8.A={X|J?+4X=()},B=|jt|x2+2(a+l)jr+a2-1=()1.

(1)若AaB,求實(shí)數(shù)。的值；(2)若B=A,求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

9.設(shè)A={x|-l<xW3},B={x\x>a],若A=8,則。的取值范圍是()

A.{4423}B.C.{a|a>3)D.{a|?<-l)

10.已知集合4=何—14x41},B={^a-\<x<2a-\\,若81則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是()

A.a<\B.a<\C.0<?<lD.Ovavl

11.已知函數(shù)A={x|-1vx<2},3={x|2a-l<xv2a+3},C={x|-3vxv4},若

=則〃的取值范圍是()

A.卜|-g<a<o}B.ja|-^<<z<oj>C.ja|-^<a<o|

D.||-；4a4o}

12.已知集合4={幻血4或x<-5},B={x|?+l<x<o+3},若則實(shí)數(shù)。的

取值范圍________.

13.已知集合4={巾2。45}.

(1)若8占4,B={x\fn+l<x<2m-1},求實(shí)數(shù)，"的取值范圍；

(2)若AS,B={x\m-6<x<2m-\},求實(shí)數(shù)"?的取值范圍；

(3)若A=8,B={x\m-6<x<2m-l],求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

14.設(shè)集合A={X|-1<X4-1<6},B={x\m-\<x<2/n+l）.

（1）當(dāng)xeZ時(shí)，求A的非空真子集的個(gè)數(shù)；（2）若A衛(wèi)8,求加的取值范

圍.

15.已知集合A={x|a-l<x<2a+l},B={x[O<x<l},

（1）若A為空集，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（2）若8是A的真子集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

1.2集合間的基本關(guān)系答案

題型一、判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系

1、【答案】D

【詳解】因?yàn)镸={xeN[xV2},所以M={1,2},

所以0成M,A錯(cuò)誤；B錯(cuò)誤；MU{0,1,2）.C錯(cuò)誤；D正確.故選:D.

2、【答案】D

【詳解】對(duì)于A：N是自然數(shù)集，Z是整數(shù)集，集合之間的關(guān)系應(yīng)為N=Z或N

Z,故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：兀是無理數(shù)，Q是有理數(shù)集，故?！闝,所以

選項(xiàng)B不正確；

對(duì)于C：0表示不含任何元素的集合，而（）是實(shí)數(shù)，故兩者不相等，所以選項(xiàng)C

不正確；

對(duì)于D：N,正整數(shù)集是實(shí)數(shù)集R的子集，即N.qR,故選項(xiàng)D正確；故選：D

3、【答案】B

【詳解】集合A用語言敘述是所有大于一1的有理數(shù)，所以0是集合A中的元

素，故A錯(cuò)，

Q是無理數(shù)，不是集合A中的元素，故B正確，{2}應(yīng)該是集合A的子集，故

C錯(cuò)誤，

{&}不是集合A的子集，故D錯(cuò)誤.故選：B

4、【答案】B

【詳解】對(duì)于①，R表示實(shí)數(shù)集，g是實(shí)數(shù)，所以;eR,故①正確；

對(duì)于②，N表示自然數(shù)集，|-3|=3eN,故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，。表示有理數(shù)集，-6是無理數(shù)，所以-名任Q,故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，N表示自然數(shù)集，OeN,故④錯(cuò)誤；

對(duì)于⑤，空集是任何集合的子集，所以0口（）}正確，故⑤正確.

綜上，①⑤正確，②③④錯(cuò)誤，所以正確的個(gè)數(shù)為2.故選：B

5、【答案】27

【詳解】根據(jù)自然數(shù)集，整數(shù)集，有理數(shù)集，實(shí)數(shù)集的關(guān)系即可得

Z?N；(2)Z：。；(3)Q?N；(4)R?Q.

故答案為：？；？；？；？

6、【答案】①③⑥

【詳解】對(duì)于①，2,4,6w{2,3,4,5,6},則[2,4,6}=[2,3,4,5,6),故①

正確；

對(duì)于②，菱形不屬于矩形，則{菱形}{矩形},故②不正確；對(duì)于③，由

x2=0,解得x=0,則{小^OgO},故③正確；對(duì)于④，(0,1)武0,1},則{(0,

l)}c{0,1},故④不正確；

對(duì)于⑤，集合與集合不能用屬于與不屬于關(guān)系表示，所以{1}W{O,1,2}不正

確；

對(duì)于⑥，{x|xN2}{x|x>l},故⑥正確.故答案為：①③⑥.

7、【答案】B

【詳解】根據(jù)平行四邊形、矩形、正方形、菱形間的相互關(guān)系可知，ACD錯(cuò)

誤，B正確.故選：B

8、【答案】D

【詳解】由集合A={小2>4}={x[x<-2或x>2},3>8}={X,〉2},結(jié)合選

項(xiàng)，可得AqB.

故選：D.

9、【答案】B

【詳解】根據(jù)8C^A,集合C可寫成如下形式：

{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}

所以滿足條件的集合C的個(gè)數(shù)為7個(gè)，選項(xiàng)B正確.故選：B.

題型二、判斷兩個(gè)集合是否相等

1、【答案】D

【詳解】對(duì)于A,0e{0},顯然成立，故正確；對(duì)于B,空集是任何集合的子

集，故正確；

對(duì)于C,由元素的無序性可知{0,1}={1,0},故正確；

對(duì)于D,集合為點(diǎn)集，（0,1）與（1,0）為不同點(diǎn)，故錯(cuò)誤.故選：D

2、【答案】B

【詳解】①集合之間只有包含、被包含關(guān)系，故錯(cuò)誤；

②兩集合中元素完全相同，它們?yōu)橥患希瑒t{0,1,2}={2,1,0},正確；

③空集是任意集合的子集，故0a{0,1,2},正確；

④空集沒有任何元素，故0叫。},錯(cuò)誤；

⑤兩個(gè)集合所研究的對(duì)象不同，故{0，1}，{（0，1）}為不同集合，錯(cuò)誤；

⑥元素與集合之間只有屬于、不屬于關(guān)系，故錯(cuò)誤；...②③正確.故選：B.

3、【答案】C

【詳解】①應(yīng)為{OEM,錯(cuò)誤；

②根據(jù)空集的性質(zhì)，空集是任何集合的子集，正確；

③人士工次》或8={y|y20},顯然不是同一集合，錯(cuò)誤；

④由題設(shè)，尸、。中所含元素一樣，即尸=。，正確；故選：C

4、【答案】CD

【詳解】A項(xiàng)：因?yàn)閥=f+兀？兀，所以巾=/+肛xeR},故A錯(cuò)誤；

B項(xiàng)：若則{（a,b）}w{（b,a）},故B錯(cuò)誤；

C項(xiàng):{x|x>l}={y|y>l},故C正確；

D項(xiàng)：因?yàn)閃+2/2,所以f+2=0無解，故D正確，故選：CD.

5、【答案】C

-2r2?

【詳解】因?yàn)殁?0,-1}={岫,0},所以;二;或;二，

,\a2=afa=0_....,?[a=l,\a2=bfa=-l

由（，可r解得八?（z不符合，舍去）x或人由?可解得（?,

b=-\[0=-1[8=—1[a=-l[o=l

綜上，ab=-\,則（燦）2以=-1.故選：C.

6、【答案】2或4或1

【詳解】?.?{1,a,2b]={2,凡自，；.2e{l,a,2b],

若a=2或25=2,則。=2或。=1.

當(dāng)a=2時(shí)，（1,2,%}={2,b2,1）,

BPb2=2b,解得方=0或人=2,止匕時(shí)“+b=2+0=2或a+人=2+2=4,

當(dāng)。=1時(shí)，{1,a,2]={2,1,今,即解得a=0,a+b=0+l=l,

所以。+。=2或4或1,故答案為：2或4或1.

7、【答案】B

【詳解】M=\xx=—+^,k&Z

tn1J

當(dāng)女=2加(〃？eZ)時(shí),N=Xx=—+—,,

42JI22

當(dāng)女=2加一l(mwZ)時(shí)，N=keZ卜卜/nGZ>=M,

所以MN,故選：B.

8、【答案】A

【詳解】由已知可知，集合A、8為奇數(shù)集，則A=8,

?：C-^x\x-2x2k+l,keZ^^B,故C=A=8.故選：A.

9、【答案】B

【詳解】YA={x|x="z+1,/"ez1={x6/n+l?

x-----,m&Z>,

6

B=<jx[x=]-g,〃eZx|x='±〃eZx\,x=—3r^+-lj,eZ另\,

C=b|x=5+：,”z}=[x[x=^,pwz},顯然AU8=C,故選：B.

題型三、空集的概念以及判斷

1、【答案】B

【詳解】①0三0,正確；②Ow0,因?yàn)?。e0,所以錯(cuò)誤；③｛。｝#0,正確；

④｛0｝=0,因?yàn)椋?｝表示集合中有一個(gè)元素，是“0”，但是0表示集合中一個(gè)元素

也沒有，所以錯(cuò)誤.

故選：B

2、【答案】D

【詳解】A.2是質(zhì)數(shù)，但是它不是奇數(shù)，所以｛質(zhì)數(shù)｝u｛奇數(shù)｝錯(cuò)誤，所以該選

項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.集合｛1,2,3｝與集合｛4,5,6｝有相同的子集0,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.空集是任何非空集合的真子集，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.若Aub,B口C,則A=C,所以該選項(xiàng)正確.故選：D

3、【答案】A

【詳解】A：因?yàn)閑用于元素與集合之間，故A錯(cuò)誤；

B：因?yàn)榭占侨魏渭系淖蛹?，故B正確；

C：因?yàn)閧0}中的元素是0,故C正確；

D：因?yàn)榭占侨魏渭系淖蛹?，故D正確；故選：A

4、【答案】ACD

【詳解】自然數(shù)集中包含0,故OeN,A正確；乃是無理數(shù)，故乃仁。，B錯(cuò)

誤；

空集是任意集合的子集，故C,D正確.故選：ACD

5、【答案】BCD

【詳解】顯然。不是集合{{0}}的元素，所以A不正確；0￡((0)1,所以B正

確；

0e{0},滿足元素與集合的關(guān)系，所以C正確；

0a{0},滿足集合與集合的包含關(guān)系，所以D正確；故選：BCD.

6、【答案】A

【詳解】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故(1)、(2)

錯(cuò)

又空集中不含任何元素，04。},故(3)錯(cuò)誤；空集只有空集一個(gè)子集，故

(4)錯(cuò)

綜上所述正確的個(gè)數(shù)為0個(gè)。故選A

7、【答案】D

【詳解】A選項(xiàng)，空集是其本身的子集，A錯(cuò)；

B選項(xiàng)，空集是任一非空集合的真子集，B錯(cuò)；

C選項(xiàng)，空集只有一個(gè)子集，即是空集本身；C錯(cuò)；

D選項(xiàng)，若BuA,則B中元素都在A中，A中沒有的元素，則B中也沒有；故

D正確.故選：D.

8、【答案】AB

【詳解】A：由yeR上丁為恒成立，故卜€(wěn)/?/<0}=0；

B：方程/+尤+3=0無解，故{X€R,+X+3=O}=0；

C：{xe/?|x+2020=2020}={0},不為空集；D：{(x,y)|x2+|>-|=0)={(0,0)},不為空

集.故選：AB

9、【答案】CD

【詳解】選項(xiàng)A,{#-4=-4}={0},不正確；選項(xiàng)B,

{(x,y)lr=-x2,x,ywR}={(0,0)),不正確；

選項(xiàng)C,{x\a<x<a]=0,正確；

選項(xiàng)D,X2-X+1=0,A=1-4=-3<0,方程無解，{x|x，-x+l=O,xe/?}=0.故

選：CD

10、【答案】②④⑤.

【詳解】①中有元素0,③中有元素0,⑥中有元素(0,0),它們都不是空集；

②中元素X=/+L1,...不存在任何一個(gè)元素屬于集合②，②是空集；

同理，⑤也是空集；。代表空集，即④是空集.故答案為：②④⑤.

11、【答案】{川“訓(xùn)

【詳解】VM=0,：.2m>m+l,故答案為{印根21}.

12、【答案】{alaWl}

【詳解】?.?集合4={x|/+2x+a=0,aeR},且A#0,.?.方程/+2x+a=0有解，

A=4-4a>0,解得：a<\.故4的取值范圍是

13、【答案】{*40}

【詳解】由題意，集合A={x|ar2_2以+。-1=0}=。，若。=0時(shí)，集合

4=a-1=。}=。,滿足題意;

若"0時(shí)，要使得集合4={x辰2-2ar+a-l=0}=九則滿足

A=(-2a)2-4々(。-1)=4。<0,解得”0,

綜上可得，實(shí)數(shù)〃的取值范圍是{*40}.故答案為：

題型四、判斷集合的子集(真子集)的個(gè)數(shù)

1、【答案】D

【詳解】由題意P={xeN[T<x<3}={01,2},有三個(gè)元素，其子集有8個(gè).故

選：D.

2、【答案】C

【詳解】集合⑵0,1⑼含有4個(gè)元素,則集合億0,1,9}的真子集有2-1=15

（個(gè)），故選：C

3、【答案】A

【詳解】???{x|-1<X<3,XWN，}={1,2},??.集合共有22=4個(gè)子集，，非空子集個(gè)數(shù)

為4-1=3個(gè)，故選：A

4、【答案】D

【詳解】因?yàn)榧稀彼緳C(jī)=5+育+百+而，八八z為非零實(shí)數(shù)},

所以當(dāng)x,y,z都是正數(shù)時(shí)，加=4；當(dāng)x，%z都是負(fù)數(shù)時(shí)，m=-4.

當(dāng)x,y,z中有一個(gè)是正數(shù)，另兩個(gè)是負(fù)數(shù)時(shí)，機(jī)=0,

當(dāng)x,y,z中有兩個(gè)是正數(shù)，另一個(gè)是負(fù)數(shù)時(shí)，%=0,

所以集合M中的元素是3個(gè)，所以M的子集個(gè)數(shù)是8,故選：D.

5、【答案】B

【詳解】Aafi={2,3,4,6},所以集合AA3的非空真子集的個(gè)數(shù)為2-2=14,故

選：B.

6、【答案】C

【詳解】因?yàn)榫?{1北-3X+2=0}={1,2},B={x|0<x<6,xeA^}={1,2,3,4,5}A

C=B

所以集合。的個(gè)數(shù)為23-1=7,故選：C

7、【答案】D

【詳解】因?yàn)锽UA,而集合A的子集有：0,集合中沒有元素，元素個(gè)數(shù)為

0;

⑷、抄}、{c},單元素集，集合中含有1個(gè)元素;

{46}、{&￡?}、{b,c},雙元素集，集合中含有2個(gè)元素；

{。也。},三元素集，集合中含有3個(gè)元素；

所以集合8中元素的個(gè)數(shù)是?；?或2或3個(gè).故選：D

8、【答案】7

【詳解】由題意可得，知=｛4｝或知=｛4,。｝或加=｛°,耳或〃=｛。,力或"=｛4,。,<;｝

或加=｛4也4｝或/=｛。,。/｝,即集合M共有7個(gè)。故答案為：7

9、【答案】D

【詳解】先考慮含一個(gè)元素的子集，并且其倒數(shù)是其本身，有｛-1｝，律，

再考慮含有兩個(gè)元素的和美集合，有｛-1」｝,七,3｝,

含有三個(gè)元素的子集且為和美集合的是卜11，3｝，｛弓，3｝,

含有四個(gè)元素的子集且為和美集合的是卜草，；，3｝.

10、【答案】7

【詳解】根據(jù)條件：若元素aeM,則6-aeM,

將集合｛1,2,3,4,5｝的元素分成三組；1和5;2和4;3.VMe（1,2,3,4,51,

當(dāng)M中元素只有一個(gè)時(shí)，用=｛3｝;當(dāng)M中元素只有二個(gè)時(shí)，"=｛1.5｝或｛2,4｝；

當(dāng)M中元素只有三個(gè)時(shí)，”=｛1,3,5｝或｛2,3,4｝；當(dāng)M中元素只有四個(gè)時(shí)，

A=｛1,2,4,5｝；

當(dāng)M中元素有五個(gè)時(shí)，M=｛123,4,5｝；綜上所述得：則集合M個(gè)數(shù)是：7,故

答案為：7.

11、【答案】一1或

【詳解】因?yàn)榧希鹸|（Z+l）x2+x-Z=O,xeR｝有且僅有兩個(gè)子集，所以集合中僅

有1個(gè)元素，

即（4+1）/+》_%=0只有一個(gè)根，當(dāng)左+1=0,即4=一1時(shí)，x=—1成立，

當(dāng)女+1x0,即4片一1時(shí)，△=1+4及（左+1）=0,即4公+4々+1=0,解得k=_；,

故答案為：-1或

題型五、求集合的子集（真子集）

1、【答案】ABC

【詳解】V{1,2}cB{1,2,3,4},2}或8={L2,3}或5={1,2,4).

故選：ABC.

2、【答案】AC

【詳解】由題意可知3名"且4走而-2或2與4同時(shí)出現(xiàn)，所以-2后M且

2任M,所以滿足條件的非空集合M有{TJ,⑴，故選：AC

3、【答案】6(0,1,2,3}

【詳解】因?yàn)榧?={0』,2,3,4,5},根據(jù)題意知只要有元素與之相鄰，則該元

素不是孤立元素，

所以S中無“孤立元素”的4個(gè)元素的子集有{0』,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},

{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5}.其中一個(gè)可以是{0,1,2,3}.

故答案為：6；{0,123}.

4、【答案】D

【詳解】因?yàn)榧先?包也得的所有非空真子集為：

{a},,{c],{a,b},{a,c},{b,c},

所以有4+/2+C+Q+0+4+C+匕+c=12=>3(o+h+c)=12=〃+b+c=4,故選：D

5、【答案】{1,2}{0,{1},{2},{1,2})

【詳解】由題意得，A={1,2},B={小S}={1,2},

則集合C中的元素是集合A的子集:0,{1},{2},{1,2},

所以集合。={0,{1},{2},{1,2}},

故答案為:{1,2},{0,⑴，⑵，{1,2}).

6、【答案】{-1,125}

【詳解】集合A中三個(gè)元素的子集為：{《，生,也}、{知%,包}、{4，色，%}、

{%%&}，

因?yàn)榧螦中所有三個(gè)元素的子集中的三個(gè)元素之和組成的集合為

3={2,5,6,8},

q+%+%=2

4+，+%=：,解得生=1

所以得到所以集合A={-1,125}.故答案為:

a3=2

。2+〃3+=8=5

｛-1,1,2,5｝

7、解:因?yàn)?的正約數(shù)有1、2、3、6,所以丫=｛123,6｝,

所以丫的子集有：。、｛1｝、｛2｝、｛3｝、｛6｝、｛1,2｝、｛1,3｝、｛1,6｝、｛2,3｝、｛2,6｝、

｛3,6｝、｛1,2,3｝、｛1,2,6｝、｛1,3,6｝、｛2,3,6｝、｛1,2,3,6｝共16個(gè)；

8、【答案】⑴1

（2）0,｛4｝,｛3｝,｛0｝,｛4,3｝,｛4,0｝,｛3,0｝,｛4,3,0｝

【解析】（1）V3eA,A=｛a+3,/+2a,0｝

當(dāng)。+3=3時(shí)，a=0,此時(shí)/+2“=0,由于集合中的元素不能重復(fù)，故舍去

當(dāng)t?+2a=3時(shí)，”=1或-3,當(dāng)a=l時(shí)，A=｛4,3,0｝符合要求；當(dāng)。=-3時(shí)，a+3=0,

此時(shí)集合A中有兩個(gè)0,故舍去，綜上：?=1

（2）由（1）知，A=｛4,3,0｝,

故A的所有子集為：0,｛4｝,｛3｝,｛0｝,｛4,3｝,｛4,0｝,集0｝,｛4,3,0｝

9、【答案】

A的子集有0,｛（。，2）｝,｛（1』）｝,｛（2,0）｝,｛（0,2）,（1,1）｝,｛（0,2卜（2,0）｝,

｛（1,1）,（2,0））,｛（0,2）,（1,1）,（2,0）｝.

A的真子集有0,｛（。，2）｝,｛（1,1）｝,（（2,0））,｛（0,2）,（1,1）｝,｛（0,2）,（2,0）｝,

｛（覃）,（2,0）｝.

［詳解】VA=｛（x,y）\x+y=2,x,yeN｝，,A=｛（0,2）,（1#,（2,0）｝,

A的子集有0,｛（0,2）｝,｛（1,1）｝,｛（2,0）｝,｛（0,2）,（1』）｝,｛（0,2）,（2,0）｝,｛（1,1）,（2,0）｝,

｛（0,2）,（1,1）,（2,0））.

A的真子集有0,｛（0,2）｝,｛（11）｝,｛（2,0）｝,｛（0,2）,（1,1）｝,｛（0,2）,（2,0）｝,｛（U）,（2,O）｝.

10、【答案】（1）2,-1,；；（2）不能，理由見解析.

【詳解】（1）根據(jù)條件，若2eA,貝U」=-leA,廠..

1-21一（-1）21--

這兩個(gè)元素為-14，所以集合A中的所有元素為2,-1,

（2）若A為單元素集，則“=3；整理成，/-〃+1=0;△=1-4<0；.?.該方程

1一。

無解；

即A不可能是單元素集.所以集合A不可能是只有一個(gè)真子集的集合.

題型六、根據(jù)集合之間的關(guān)系求參數(shù)的值或取值范圍

1、【答案】c

【詳解】因?yàn)镹uM,所以X=解得X=0,x=l或丁=4,解得x=±2,

當(dāng)x=0時(shí)，M={1,4,0},7V={l,0},NjM,滿足題意.

當(dāng)x=l時(shí)，用={1,4,1},不滿足集合的互異性.

當(dāng)x=2時(shí)，M={1,4,2},N={1,4},若NjM,滿足題意.

當(dāng)x=-2時(shí)，M={l,4,-2},N={1,4},若NjM,滿足題意.

故選：C.

2、【答案】2

【詳解】由8aA,結(jié)合已知條件由下列兩種情況：

①若/n+l=3,則加=2,此時(shí)4={0,3,4},B={3,4},滿足8=A；

②若m2=39則/n=+>/3,

(i)當(dāng)加=6時(shí)，A={0,^+1,3),3={3,若+2},不滿足BuA；

(ii)當(dāng)〃?=-右時(shí)，A=[0,-^3+1,3),8邛，-石+2},不滿足8=A,

綜上所述，%=2.故答案為：2.

3、【答案】D

【詳解】由題意，當(dāng)3=0時(shí)，”的值為0；

當(dāng)8=舊時(shí)，〃的值為2;當(dāng)8={2}時(shí)，。的值為1,故選：D

4、【答案】B

【詳解】對(duì)于集合M因?yàn)楣?/+8>0,所以N中有兩個(gè)元素，且乘積為-2,

又因?yàn)镹=所以N={-2,1},所以一“=_2+1=-1.即a=l.故選：B.

5、【答案】ACD

【詳解】如果3=A,則8=0,解得“V0,

如果兩個(gè)集合有公共元素則-leB,解得。=2,經(jīng)檢驗(yàn)符合，或2e8,解得

"=；,經(jīng)檢驗(yàn)符合.

故選：ACD.

?(。=2{a=-3

6、【答案】⑴,.(2)

[b=l;[b=2

【詳解】⑴若A={1},則有!n，解得[：=；；

[△=〃-4b=0[h=l

(2)B={xeZ|-3<x<0}={-2,-1},因?yàn)锳=3,

所以n,解得19-

[l+a+b=O[b=2

7、【答案】(1)8={~6}或8={1}或8={Y,1}；(2)或或《二

【詳解】(1)；A={x,+5x-6=。}={-6,1},B=A且3w0,

貝1」8={-6}或8={1}或8={-6/}；

2x(-6)=-pfn=12

(2)若8={-6},由韋達(dá)定理可得,',解得'"；

(-6)=q國=36

若8=傅，由韋達(dá)定理可得工"1=一"，解得?72；

U=q國=1

若8={-6/},由韋達(dá)定理可得<(=：；]：,解得

綜上所述，?=￡或?72或[。=二

(q=36[q=1國=-6

8、【答案】(1)1⑵或。=1}.

【詳解】⑴A={x|d+4x=0}={-4,0},因?yàn)锳=B,

所以-4和0是方程x2+2(a+l)x+/-l=0的兩個(gè)根，

A=4(a+l)2-4(a2-l)>0

所以2(〃+1)=4,解得。=1,所以實(shí)數(shù)。的值是1;

a2-l=0

(2)A={x|x?+4x=0}={-4,0},因?yàn)锽=A,

所以當(dāng)6=0時(shí)，△=4(〃+1)2_4(/_1)<0,解得a<T,符合題意；

A=4