高中數(shù)學(xué)排列組合經(jīng)典題型全面總結(jié)版

中學(xué)數(shù)學(xué)排列及組合

（一）典型分類講解

一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).

解：由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)當(dāng)優(yōu)先支配，以免不合要求的元素占了這兩個位.

先排末位共有

然后排首位共有C：

最終排其它位置共有A：

由分步計數(shù)原理得=288

練習(xí)題:7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？

二.相鄰元素捆綁策略

例2.7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法.

解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復(fù)合元素，同時丙丁也看成一個復(fù)合元素，再及其它元素進(jìn)行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部

進(jìn)行自排。由分步計數(shù)原理可得共有6A；&=480種不同的排法

要求某幾個元素必需排在一起的問題，可以用捆綁法來解決問題.即將須要相鄰的元素合并為一個元素,再及其它元素

一起作排列，同時要留意合并元素內(nèi)部也必需排列.

練習(xí)題:某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為，

三.不相鄰問題插空策略

例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場，則節(jié)目的出場依次有多少種？

解:分兩步進(jìn)行第一步排2個相聲和3個獨唱共有A；種，其次步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種不

同的方法，由分步計數(shù)原理,節(jié)目的不同依次共有A；種

元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端

練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.假如將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)

目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為30

四.定序問題倍縮空位插入策略

例4.7人排隊,其中甲乙丙3人依次確定共有多少不同的排法

解：（倍縮法）對于某幾個元素依次確定的排列問題，可先把這幾個元素及其他元素一起進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的

全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是：A；/

（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個位置甲乙丙共有，種坐法，則共有種方法。

思索:可以先讓甲乙丙就坐嗎？

（插入法）先排甲乙丙三個人，共有1種排法，再把其余4四人依次插入共有方法

定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理

練習(xí)題：10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高漸漸增加，共有多少排法？品）

五.重排問題求塞策略

例5.把6名實習(xí)生安排到7個車間實習(xí)，共有多少種不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名實習(xí)生安排到車間有工種分法.把其次名實習(xí)生安排到車間也有7種分依此類推，由分步計數(shù)原理共有

76種不同的排法

允許重復(fù)的排列問題的特點是以元素為探討對象，元素不受位置的約束，可以逐?支配各個元素的位置，?般地n不

同的元素沒有限制地支配在m個位置上的排列數(shù)為〃2"種

練習(xí)題：

1.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.假如將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種

數(shù)為42

2.某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法

六.環(huán)排問題線排策略

例6.8人圍桌而坐，共有多少種坐法？

解：圍桌而坐及坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人并從今位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）!

種排法即7!

一般地,n個不同元素作圓形排列，共有（n-1）!種排法.假如從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有A：

練習(xí)題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈120

七.多排問題直排策略

例7.8人排成前后兩排,每排4人，其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

解：8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.個特殊元素有種，再排后4個位置上的特殊元素丙有種,

其余的5人在5個位置上隨意排列有種,則共有種

前排后排

?般地，元素分成多排的排列問題，可歸結(jié)為?排考慮,再分段探討.

練習(xí)題：有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)支配2人就座規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那

么不同排法的種數(shù)是346

八.排列組合混合問題先選后排策略

例8.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.

解:第一步從5個球中選出2個組成復(fù)合元共有C；種方法.再把4個元素（包含一個復(fù)合元素）裝入4個不同的盒內(nèi)有A：種方法，

依據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有C；A：

解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法及相鄰元素捆綁策略相像嗎?

練習(xí)題：一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正副班長有且只有1人參與,

則不同的選法有192種

九.小集團(tuán)問題先整體后局部策略

例9,用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾1,5在兩個奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個？

解：把1,5,2,4當(dāng)作一個小集團(tuán)及3排隊共有種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有種排法，由分步計數(shù)原理共有

練習(xí)題：

1.支配展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫，4幅油畫，5幅國畫，排成一行陳設(shè),要求同一品種的必需連在一起，并且水彩畫不

在兩端，那么共有陳設(shè)方式的種數(shù)為

2.5男生和5女生站成一排照像，男生相鄰,女生也相鄰的排法有種

十.元素相同問題隔板策略

例10.有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個，有多少種安排方案？

解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成9個空隙。在9個空檔中選6個位置插個隔板，可把名額分成7

份，對應(yīng)地分給7個班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有球種分法。

將n個相同的元素分成m份（n,m為正整數(shù)），每份至少一個元素，可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個

空隙中，全部分法數(shù)為

練習(xí)題：

1.10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一有多少裝法？Cg

2.x+y+z+vv=100求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù)

十一.正難則反總體淘汰策略

例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的

取法有多少種？

解：這問題中假如干脆求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法。這十個數(shù)字中有5個偶數(shù)5個奇數(shù),所取的三個數(shù)含有3個偶

數(shù)的取法有Cl,只含有1個偶數(shù)的取法有,和為偶數(shù)的取法共有+點。再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條件的

取法共有cd+C-9

有些排列組合問題，正面干脆考慮比較困難，而它的反面往往比較簡捷，可以先求出它的反面，再從整體中淘汰.

練L題：我們班里有43位同學(xué)，從中任抽5人，正、副班長、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的

抽法有多少種？

十二.平均分組問題除法策略

例12.6本不同的書平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？

解：分三步取書得C：盤種方法,但這里出現(xiàn)重復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEE,若第一步取AB,其次步取CD,第三步取EF

該分法記為(AB,CD,EF),則C：盤中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有A；種取法，而這

些分法僅是(AB,CD,EF)一?種分法，故共有種分法。

平均分成的組，不管它們的依次如何,都是一種狀況，所以分組后要確定要除以(〃為均分的組數(shù))避開重復(fù)計數(shù)。

練習(xí)題：

1將13個球隊分成3組，一組5個隊，其它兩組4個隊，有多少分法？(品《C/A；)

2.10名學(xué)生分成3組，其中一組4人，另兩組3人但正副班長不能分在同一組，有多少種不同的分組方法(1540)

3.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要支配到該年級的兩個班級且每班支配2名，則不同的支配方案種數(shù)為—

yC4/A；=90)

十三.合理分類及分步策略

例13.在一次演唱會上共10名演員，其中8人能能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目，有多少選派方法

解：10演員中有.5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行探討只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員

共有利只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員CG盤種，只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有種，由分類

計數(shù)原理共有+種。

解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事務(wù)發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次

清晰，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的始終。

練習(xí)題:

1.從4名男生和3名女生中選出4人參與某個座談會，若這4人中必需既有男生又有女生，則不同的選法共有”

2.3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人，2號船最多乘2人,3號船只能乘1人，他們?nèi)芜x2只船或3只船,但小孩不能單獨乘一只船,

這3人共有多少乘船方法.(27)

本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：

*以3個全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)

*以3個全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)

*以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)

都可經(jīng)得到正確結(jié)果

十四.構(gòu)造模型策略

例14.公路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞，也不能關(guān)掉兩端的2盞,求

滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？

解：把此問題當(dāng)作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有種

一些不易理解的排列組合題假如能轉(zhuǎn)化為特別熟識的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決

練習(xí)題：某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？(120)

十五.實際操作窮舉策略

例15.設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2,3,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內(nèi)，要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩

個球的編號及盒子的編號相同,有多少投法

解：從5個球中取出2個及盒子對號有點種還剩下3球3盒序號不能對應(yīng)，利用實際操作法，假如剩下3,4,5號球，3,4,5號盒3

號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法，同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法，由分步計數(shù)原理有2盤種

3號盒4號盒5號盒

對于條件比較困難的排列組合問題，不易用公式進(jìn)行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結(jié)果

練習(xí)題：

1.同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來，然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的安排方式有多少種？（9）

2.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有些種

十六.分解及合成策略

例16.30030能被多少個不同的偶數(shù)整除

分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2X3X5X7XUX13,依題意可知偶因數(shù)必先取2,再從其余5個因數(shù)中任

取若干個組成乘積，全部的偶因數(shù)為：

練習(xí)：正方體的8個頂點可連成多少對異面直線

解：我們先從8個頂點中任取4個頂點構(gòu)成四體共有體共12=58,每個四面體有3對異面直線，正方體中的8個頂點可連成

3x58=174對異面直線

分解及合成策略是排列組合問題的?種最基本的解題策略，把一個困難問題分解成幾個小問題逐?解決，然后依據(jù)問題分解后

的結(jié)構(gòu)，用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理將問題合成,從而得到問題的答案，每個比較困難的問題都要用到這種解題策略

十七.化歸策略

例17.25人排成5X5方陣,現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？

解：將這個問題退化成9人排成3X3方陣,現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列,有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一

行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉，如此接著卜.去.從3X3方隊中選3人的方法有種。再從5X5方陣選出3X3方陣便

可解決問題.從5X5方隊中選取3行3列有C；或選法所以從5X5方陣選不在同一行也不在同一列的3人有選法。

處理困難的排列組合問題時可以把一個問題退化成?個簡要的問題，通過解決這個簡要的問題的解

決找到解題方法，從而進(jìn)下一步解決原來的問題

練習(xí)題:某城市的街區(qū)由12個全等的矩形區(qū)組成其中實線表示公路，從A走到B的最短路徑有多少種？（《=35）

~~~|B

A1-

十八.數(shù)字排序問題查字典策略

例18.由0,1,2,3,4,5六個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)的比324105大的數(shù)？

解:N=2父+2A；+A；+A；+A；=297

數(shù)字排序問題可用查字典法，查字典的法應(yīng)從高位向低位查,依次求出其符合要求的個數(shù)，依據(jù)分類計數(shù)原理求出其總數(shù)。

練習(xí)：用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成沒有重復(fù)的四位偶數(shù),將這些數(shù)字從小到大排列起來,第71個數(shù)是3140

十九.樹圖策略

例19.3人相互傳球,由甲起先發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過5次傳求后，球仍回到甲的手中，則不同的傳球方式有N=1O

1時于條件比較困難的排列組合問題，不易用

練習(xí)：分別編有1,2,3,4,5號碼的人及椅，其中，號人不坐i號椅（1=1,2,3,45）的不同坐法有多少種？N=44

二十.困難分類問題表格策略

例20.有紅、黃、蘭色的球各5只，分別標(biāo)有A、B、C、D、E五個字母，現(xiàn)從中取5只，要求各字母均有且三色齊備,則共有多少種不同的

取法

解：

紅111223

黃123121

*321211

取法clc'.C'-C；c?：c\Ct：JX.

一些日1難的分類選取題,要滿足的條件比牧多，尢從人手，用；常出現(xiàn)更復(fù)戈M漏的狀況，用表格法，則分類明硼，能保證題中須

滿足白j條件，能達(dá)到好的效果.

二十一：住店法策略

解決“允許重復(fù)排列問題”要留意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素

看作“店”，再利用乘法原理干脆求解.

例21.七名學(xué)生爭奪五項冠軍，每項冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有.

分析：因同一學(xué)生可以同時奪得n項冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作7家“店”，五項冠軍看作5名“客”，每個“客”有7

種住宿法，由乘法原理得7§種.

排列組合易錯題正誤會析

1沒有理解兩個基本原理出錯

排列組合問題基于兩個基本計數(shù)原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問題的前提.

例1從6臺原裝計算機(jī)和5臺組裝計算機(jī)中隨意選取5臺,其中至少有原裝及組裝計算機(jī)各兩臺，則不同的取法有一種.

誤會：因為可以取2臺原裝及3臺組裝計算機(jī)或是3臺原裝及2臺組裝計算機(jī)，所以只有2種取法.

錯因分析：誤會的緣由在于沒有意識到“選取2臺原裝及3臺組裝計算機(jī)或是3臺原裝及2臺組裝計算機(jī)”是完成任務(wù)的兩“類”

方法，每類方法中都還有不同的取法.

正解：由分析，完成第一類方法還可以分成兩步：第一步在原裝計算機(jī)中隨意選取2臺，有種方法；其次步是在組裝計算機(jī)隨意

選取3臺，有種方法，據(jù)乘法原理共有底種方法.同理，完成其次類方法中有種方法.據(jù)加法原理完成全部的選取過程

共有C3C：+C旌或=350種方法.

例2在一次運動會上有四項競賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠狀況共有()種.

(A)㈤(B)43(C)34(D)C；

誤會：把四個冠軍，排在甲、乙、丙三個位置上，選A.

正解：四項競賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有3x3x3x3=34種.

說明：本題還有同學(xué)這樣誤會，甲乙丙奪冠均有四種狀況，由乘法原理得43.這是由于沒有考慮到某項冠軍一旦被一人奪得后，其他

人就不再有4種奪冠可能.

2推斷不出是排列還是組合出錯

在推斷一個問題是排列還是組合問題時，主要看元素的組成有沒有依次性，有依次的是排列，無依次的是組合.

例3有大小形態(tài)相同的3個紅色小球和5個白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？

誤會：因為是8個小球的全排列，所以共有種方法.

錯因分析：誤會中沒有考慮3個紅色小球是完全相同的，5個白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法.

正解：8個小球排好后對應(yīng)著8個位置，題中的排法相當(dāng)于在8個位置中選出3個位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這3個紅球

完全相同，所以沒有依次，是組合問題.這樣共有：=56排法.

3重復(fù)計算出錯

在排列組合中常會遇到元素安排問題、平均分組問題等，這些問題要留意避開重復(fù)計數(shù)，產(chǎn)生錯誤。

例45本不同的書全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為()

(A)480種(B)240種(C)120種(D)96種

誤會：先從5本書中取4本分給4個人，有種方法，剩下的1本書可以給隨意一個人有4種分法，共有4x4：=480種不同的分法，

表1是甲首先分得。、乙分得人、1丙分得C、丁分得d,最終一本書e給甲的狀況；表2是甲首先分得。、乙分得匕、丙分得。、丁分

得d,最終?本書〃給甲的狀況.這兩種狀況是完全相同的，而在誤會中計算成了不同的狀況。正好重復(fù)了一次.

正解：首先把5本書轉(zhuǎn)化成4本書，然后分給4個人.第一步：從5本書中隨意取出2本捆綁成一本書，有種方法；其次步：再

把4本書分給4個學(xué)生，有4：種方法,由乘法原理，共有A：=240種方法，故選B.

例5某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天支配一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有()種.

(A)5040(B)1260(C)210(D)630

誤會：第一個人先選擇2天，其次個人再選擇2天，剩下的3天給第三個人，這三個人再進(jìn)行全排歹人共有：C/C￡A：=126(),選B.

錯因分析：這里是勻稱分組問題.比如：第一人選擇的是周一、周二，其次人選擇的是周三、周四；也可能是第一個人選擇的是周三、周

四，其次人選擇的是周一、周二，所以在全排列的過程中就重復(fù)計算了.正解：種.

4遺漏計算出錯______

在排列組合問題中還可能由于考慮問即不夠全面，因為遺漏某些狀況，而出錯。MIIL3|

例6用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的比1000大的奇數(shù)共有()

(A)36個(B)48個(C)66個(D)72個

誤會：如右圖，最終一位只能是1或3有兩種取法，又因為第1位不能是0,在最終一位取定后只有3種取

法，剩下3個數(shù)排中間兩個位置有A；種排法，共有2x3xA：=36個.

錯因分析：誤會只考慮了四位數(shù)的狀況，而比1(X)0大的奇數(shù)還可能是五位數(shù).

正解：任一個五位的奇數(shù)都符合要求，共有2x3xA1=36個，再由前面分析四位數(shù)個數(shù)和五位數(shù)個數(shù)之和共有72個，選D.

5忽視題設(shè)條件出錯

在解決排列組合問題時確定要留意題目中的每一句話甚至每一個字和符號，不然就可能多解或者漏解.

例7如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得運用同一顏色，現(xiàn)有上一^

種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有_________種.(以數(shù)字作答)

誤會：先著色第一區(qū)域，有4種方法，剩下3種顏色涂四個區(qū)域，即有…?種顏色涂相對的(^3―y/

兩塊區(qū)域，有利I由乘法原理共有：4x12=48種.

錯因分析：沒有看清題設(shè)“有4種顏色可供造號”，不確定須要4種顏色全部運用，用3種也可以完成任務(wù).

正解：當(dāng)運用四種顏色時，由前面的誤會知有48種著色方法；當(dāng)僅運用三種顏色時：從4種顏色中選取3種有種方法，先著色第一

區(qū)域，有3種方法，剩下2種顏色涂四個區(qū)域，只能是一種顏色涂第2、4區(qū)域，另一種顏色涂第3、5區(qū)域，有2種著色方法，由乘法

原理有。彳x3x2=24種.綜上共有：48+24=72種.

例8已知辦2一〃=。是關(guān)于x的一元二次方程，其中。、8￡{1,2,3,4},求解集不同的一元二次方程的個數(shù).

誤會:從集合{1,2,3,4}中隨意取兩個元素作為〃、b,方程有A：個，當(dāng)〃、8取同一個數(shù)時方程有1個，共有A：+l=13個.

錯因分析：誤會中沒有留意到題設(shè)中：“求解集不回的……”所以在上述解法中要去掉同解狀況，由于同解、同解，故要減去2個。

正解：由分析，共有13—2=11個解集不同的一捻二版去程.

6未考慮特殊狀況出錯

在排列組合中要特殊留意一些特殊狀況，一有疏漏就會出錯.

例9現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是

()

(A)1024種(B)1023種(Q1536種(D)1535種

誤：因為共有人民幣10張，每張人民幣都有取和不取2種狀況，減去全不取的1種狀況，共有210-1=1023種.

錯因分析：這里100元面值比較特殊有兩張，在誤會中被計算成4種狀況，事實上只有不取、取?張和取二張3種狀況.

正解：除100元人民幣以外每張均有取和不取2種狀況，100元人民幣的取法有3種狀況，再減去全不取的1種狀況，所以共有

29x3-1=1535種.

7題意的理解偏差出錯

例10現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有()利L

(A).A：(B)A；—A：,用(C).A；(D)-4：

誤會：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有A?種排法，5人排好后產(chǎn)生6個空檔，插入甲、乙、丙三人有A1種方法，這樣共

有8?A：種排法,選A.

錯因分析：誤會中沒有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”的含義，得到的結(jié)果是“甲、乙、丙三人耳不理郃”的狀況.“甲、乙、

丙三人不能相鄰”是指甲、乙、丙三人不能同時相鄰，但允許其中有兩人相鄰.

正解：在8個人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數(shù)，即

故選B.

8解題策略的選擇不當(dāng)出錯

例10高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進(jìn)行社會實踐，其中工廠甲必需有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同

的安排方案有().

(A)16種(B)18種(C)37種(D)48種

誤會：甲工廠先派一個班去，有3種選派方法，剩下的2個班均有4種選擇，這樣共有3x4x4=48種方案.

錯因分析：明顯這里有重復(fù)計算.如：。班先派去了甲工廠，Z?班選擇時也去了甲工廠，這及6班先派去了甲工廠，。班選擇時也去

了甲工廠是同一種狀況，而在上述解法中當(dāng)作了不一樣的狀況，并且這種重復(fù)很難解除.

正解：用間接法冼計算3個班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的狀況，即：4x4x4-3x3x3=37種方案.

(二)典型例題講解

例1用。到9這10個數(shù)字.可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？

分析：這一問題的限制條件是：①沒有重復(fù)數(shù)字；②數(shù)字“0”不能排在千位數(shù)上；③個位數(shù)字只能是0、2、4、

6、8、，從限制條件入手，可劃分如下：

假如從個位數(shù)入手，四位偶數(shù)可分為：個位數(shù)是“0”的四位偶做，個位數(shù)是

2、4、6、8的四位偶數(shù)(這是因為零不能放在千位數(shù)上).由此解法一及二.

假如從千位數(shù)入手.四位偶數(shù)可分為：千位數(shù)是1、3、5、7、9和千位數(shù)是2、4、6、8兩類，由此得解法三.

假如四位數(shù)劃分為四位奇數(shù)和四位偶數(shù)兩類，先求出四位個數(shù)的個數(shù)，用解除法，得解法四.

解法1：當(dāng)個位數(shù)上排“0”時，千位，百位，十位上可以從余下的九個數(shù)字中任選3個來排列，故有"個；

當(dāng)個位上在“2、4、6、8”中任選一個來排，則千位上從余下的八個非零數(shù)字中任選一個，百位，十位上再從余

下的八個數(shù)字中任選兩個來排，按乘法原理有（個）.

沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有

閥+?府=5（M+1792=2296個.

解法2：當(dāng)個位數(shù)上排“0”時，同解一有崗個；當(dāng)個位數(shù)上排2、4、6、8中之一時，千位，百位，十位上可從

余下9個數(shù)字中任選3個的排列數(shù)中減去千位數(shù)是“0”排列數(shù)得：?（反-蜀）個

/.沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有

耳+"?（反—履）=5（M+1792=2296個.

解法3；千位數(shù)上從1、3、5、7、9中任選一個，個位數(shù)上從0、2、4、6、8中任選一個，百位,十位上從余下

的八個數(shù)字中任選兩個作排列有

心聞?&個

干位上從2、4、6、8中任選一個，個位數(shù)上從余下的四個偶數(shù)中隨意選一個（包括0在內(nèi)），百位，十位從余下

的八個數(shù)字中隨意選兩個作排列，有

?A：?&個

/.沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有

.?A卜片+A：?4：?&=2296個.

解法4：將沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)字劃分為兩類：四位奇數(shù)和四位偶數(shù).

沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有-個.

其中四位奇數(shù)有A；（反-&）個

，沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有

_用_4⑷_硝=ioX閥_用_5閥+5A；

=4用+5用

=36Ag+5A；

=41A；

=2296個

說明：這是典型的簡潔具有限制條件的排列問題，上述四種解法是基本、常見的解法、要仔細(xì)體會每種解法的實

質(zhì)，駕馭其解答方法，以期敏捷運用.

典型例題二

例2三個女生和五個男生排成一排

（1）假如女生必需全排在一起，可有多少種不同的排法？

（2）假如女生必需全分開，可有多少種不同的排法？

（3）假如兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？

（4）假如兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？

解：（1）（捆綁法）因為三個女生必需排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這樣同五個男生合一起共有

六個元素，然成一排有種不同排法.對于其中的每一種排法，三個女生之間又都有用對種不同的排法，因此共有

=4320種不同的排法.

（2）（插空法）要保證女生全分開，可先把五個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空檔.這樣共有4個

空檔，加上兩邊兩個男生外側(cè)的兩個位置，共有六個位置，再把三個女生插入這六個位置中，只要保證每個位置至多

插入一個女生，就能保證隨意兩個女生都不相鄰.由于五個男生排成一排有A；種不同排法，對于其中隨意一種排法,

從上述六個位置中選出三個來讓三個女生插入都有Al種方法，因此共有8-=14400種不同的排法.

（3）解法1：（位置分析法）因為兩端不能排女生，所以兩端只能選擇5個男生中的2個，有種不同的排法，

對于其中的隨意一種排法，其余六位都有種排法，所以共有醴=14400種不同的排法.

解法2：（間接法）3個女生和5個男生排成一排共有A：種不同的排法，從中扣除女生排在首位的種排法

和女生排在末位的種排法，但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的狀況時被扣去一次，在扣除女

生排在未位的狀況時又被扣去一次，所以還需加一次回來，由于兩端都是女生有種不同的排法，所以共有

A；+4試=14400種不同的排法.

解法3：（元素分析法）從中間6個位置中選擇出3個來讓3個女生排入，有種不同的排法，對于其中的隨意

一種排活，其余5個位置又都有種不同的排法，所以共有A，A；=14400種不同的排法，

（4）解法1：因為只要求兩端不都排女生，所以假如首位排了男生，則未位就不再受條件限制了，這樣可有

種不同的排法；假如首位排女生，有種排法，這時末位就只能排男生，有4種排法，首末兩端隨意排定一種狀況

后，其余6位都有種不同的排法，這樣可有A；種不同排法.因此共有A；+4卜A；?=36000種

不同的排法.

解法2：3個女生和5個男生排成一排有A；種排法，從中扣去兩端都是女生排法街種，就能得到兩端不都

是女生的排法種數(shù).

因此共有4=36000種不同的排法.

說明：解決排列、組合（下面將學(xué)到，由于規(guī)律相同，順便提及，以下遇到也同樣處理）應(yīng)用問題最常用也是最

基本的方法是位置分析法和元素分析法.

若以位置為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其它位置，有兩個以上約束條件，往往是考慮一個約束條件的

同時要兼顧其它條件.

若以元素為主，需先滿足特殊元素要求再處理其它的元素.

間接法有的也稱做解除法或排異法，有時用這種方法解決問題來得簡潔、明快.

捆綁法、插入法對于有的問題確是適用的好方法，要仔細(xì)搞清在什么條件下運用.

典型例題三

例3排一張有5個歌頌節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。

（1）任何兩個舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？

（2）歌頌節(jié)目及舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？

解：（1）先排歌頌節(jié)目有用種，歌頌節(jié)目之間以及兩端共有6個位子，從中選4個放入舞蹈節(jié)目，共有中方

法，所以任兩個舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：=43200.

（2）先排舞蹈節(jié)目有中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個空位，恰好供5個歌頌節(jié)目放入。所以歌頌

節(jié)目及舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：A：=2880種方法。

說明：對于“間隔”排列問題，我們往往先排個數(shù)較少的元素，再讓其余元素插空排列。否則，若先排個數(shù)較多

的元素，再讓其余元素插空排時，往往個數(shù)較多的元素有相鄰狀況。如本題（2）中，若先排歌頌節(jié)目有再排舞

蹈節(jié)目有A；,這樣排完之后，其中含有歌頌節(jié)目相鄰的狀況，不符合間隔排列的要求。

典型例題四

例4某一天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課，假如第一節(jié)不排體育，最終一節(jié)不

排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排課程表的方法.

分析及解法1：6六門課總的排法是其中不符合要求的可分

為：體育排在第一書有4；種排法，如圖中I；數(shù)學(xué)排在最終一節(jié)有

種排法，如圖中H；但這兩種排法，都包括體育排在第一書數(shù)學(xué)排在I粵J

最終一節(jié)，如圖中m,這種狀況有種排法，因此符合條件的排法

應(yīng)是：

A：-2A；+A：=5（M（種）.

分析及解法2：依據(jù)要求，課程表支配可分為4種狀況：

（1）體育、數(shù)學(xué)既不排在第一節(jié)也不排在最終一節(jié)，這種排法有種;

（2）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)但體育不排在最終一節(jié)，有排法種；

（3）體育排在最終一節(jié)但數(shù)學(xué)不排在第一節(jié)，有排法種；

（4）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，體育排在最終一節(jié)，有排法

這四類排法并列，不重復(fù)也不遺漏，故總的排法有：

A：?A：+A；+A；=504（種）.

分析及解法3：依據(jù)要求，課表支配還可分下述4種狀況：

（1）體育，數(shù)學(xué)既不在最終也不在開頭一節(jié)，有=12種排法；

（2）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，體育不排在最終一節(jié)，有4種排法；

（3）體育在最終一書，數(shù)學(xué)木在第一節(jié)有4種排法；

（4）數(shù)學(xué)在第一節(jié)，體育在最終一節(jié)有1種排法.

上述21種排法確定以后，僅剩余下四門課程排法是種A：,故總排法數(shù)為21"=5（M（種）.

下面再提出一個問題，請予解答.

問題：有6個人排隊，甲不在排頭，乙不在排尾，問并肩多少種不同的排法.

請讀者完成此題.

說明：解答排列、組合問題要留意一題多解的練習(xí)，不僅能提高解題實力，而且是檢驗所解答問題正確及否的行

之有效的方法.

典型例題五

例5現(xiàn)有3輛公交車、3位司機(jī)和3位售票員，每輛車上需配1位司機(jī)和1位售票員.問車輛、司機(jī)、售票員搭

配方案一共有多少種？

分析：可以把3輛車看成排了依次的三個空：rm,然后把3名司機(jī)和3名售票員分別填入.因此可認(rèn)為事務(wù)分

兩步完成，每一步都是一個排列問題.

解：分兩步完成.第一步，把3名司機(jī)支配到3輛車中，有用=6種支配方法；其次步把3名售票員支配到3輛

車中，有用=6種支配方法.故搭配方案共有

羯.用=36種.

說明：很多困難的排列問題，不行能一步就能完成.而應(yīng)分解開來考慮：即經(jīng)適當(dāng)?shù)胤诸惓煞只蚍植街?，?yīng)用

分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理原理去解決.在分類或分步時，要盡量把整個事務(wù)的支配過程考慮清晰，防止分類或分

步的混亂.

典型例題六

例6下是表是高考第一批錄用的一份志愿表.假如有4所重點院校，每所院校有3個專業(yè)是你較為滿足的選

擇.若表格填滿且規(guī)定學(xué)校沒有重復(fù)，同一學(xué)校的專業(yè)也沒有重復(fù)的話，你將有多少種不同的填表方法？

學(xué)校專業(yè)

112

212

312

分析：填寫學(xué)校時是有依次的，因為這涉及到第一志愿、其次志愿、第三志愿的問題；同一學(xué)校的兩個專業(yè)也有

依次，要區(qū)分出第一專業(yè)和其次專業(yè).因此這是一個排列問題.

解：填表過程可分兩步.第一步，確定填報學(xué)校及其依次，則在4所學(xué)校中選出3所并加排列，共有四種不同

的排法；其次步，從每所院校的3個專業(yè)中選出2個專業(yè)并確定其依次，其中又包含三小步，因此總的排列數(shù)有

種.綜合以上兩步，由分步計數(shù)原理得不同的填表方法有：A；-Al8-A；=5184種.

說明：要完成的事務(wù)及元素的排列依次是否有關(guān)，有時題中并未干脆點明，須要依據(jù)實際情景自己推斷，特殊是

學(xué)習(xí)了后面的“組合”之后這一點尤其重要.“選而且排”（元素之間有依次要求）的是排列，“選而不排”（元素之間

無依次要求）的是組合.另外，較困難的事務(wù)應(yīng)分解開考慮.

典型例題七

例57名同學(xué)排隊照相.

（1）若分成兩排照,前排3人，后排4人，有多少種不同的排法？

（2）若排成兩排照,前排3人，后排4人，但其中甲必需在前排，乙必需在后排，有多少種不同的排法？

（3）若排成一排照,甲、乙、丙三人必需相鄰，有多少種不同的排法？

（4）若排成一排照,7人中出名4男生，3名女生，女生不能相鄰，有多少種不面的排法？

分析：（1）可分兩步完成：第一步，從7人中選出3人排在前排，有用種排法；其次步，剩下的4人排在后排，

有A：種排法，故一共有&=用種排法.事實上排兩排及排成一排一樣，只不過把第4~7個位子看成其次排而

已，排法總數(shù)都是相當(dāng)于7個人的全排列.（2）優(yōu)先支配甲、乙.（3）用“捆綁法”.（4）用“插空法”.

解：（1）A：A：=A；=5O4O種.

（2）第一步支配甲，有A；種排法；其次步支配乙，有種排法；第三步余下的5人排在剩下的5個位置上，有￡

種排法，由分步計數(shù)原理得，符合要求的排法共有4；?A：?父=1440種.

（3）第一步，將甲、乙、丙視為一個元素，有其余4個元素排成一排，即看成5個元素的全排列問題，有父種排

法；其次步，甲、乙、丙三人內(nèi)部全排列，有用種排法.由分步計數(shù)原理得，共有6-A；=720種排法.

（4）第一步，4名男生全排列，有A：種排法；其次步，女生插空，即將3名女生插入4名男生之間的5個空位，這

樣可保證女生不相鄰，易知有種插入方法.由分步計數(shù)原理得，符合條件的排法共有：A：-6=1440種.

說明：（1）相鄰問題用''捆綁法"，即把若干個相鄰的特殊元素“捆綁”為一個“大元素”，及其他一般元素全排列;

最終再“松綁”，將這些特殊元素進(jìn)行全排列.（2）不相鄰問題用“插空法”，即先支配好沒有限制條件的元素，然后再

將有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間.

典型例題八

例8從2、3、4、5、6五個數(shù)字中每次取出三個不同的數(shù)字組成三位數(shù)，求全部三位數(shù)的和.

分析：可以從每個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)來分析，例如“2”，當(dāng)它位于個位時，即形如麗園的數(shù)共有個（從3、4、5、6

四個數(shù)中選兩個填入前面的兩個空），當(dāng)這些數(shù)相加時，由“2”所產(chǎn)生的和是412.當(dāng)2位于十位時，即形如雨麗

的數(shù)也有那么當(dāng)這些數(shù)相加時，由“2”產(chǎn)生的和應(yīng)是A：-240.當(dāng)2位于面位時，可同理分析.然后再依次

分析3、4、5、6的狀況.

解：形如麗因的數(shù)共有個，當(dāng)這些數(shù)相加時，由“2”產(chǎn)生的和是AJ2；形如前鋼的數(shù)也有個，當(dāng)這

些數(shù)相加時，由“2”產(chǎn)生的和是否N/O；形如冰麗的數(shù)也有個，當(dāng)這些數(shù)相加時，由“2”產(chǎn)生的和應(yīng)是

A：2100.這樣在全部三位數(shù)的和中，由“2”產(chǎn)生的和是苗2111.同理由3、4、5、6產(chǎn)生的和分別是號-3―111,

A;-4-111,,因此全部三位數(shù)的和是段12+3+4+5+6）=26640.

說明：類似于這種求“數(shù)字之和”的問題都可以用分析數(shù)字出現(xiàn)次數(shù)的方法來解決.如“由1,4,5,x四個數(shù)字組

成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若全部這些四位數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字之和為288,求數(shù)x”.本題的特殊性在于，由于是

全排列，每個數(shù)字都要選用，故每個數(shù)字均出現(xiàn)了24次，故有24x（l+4+5+x）=288,得x=2.

典型例題九

例9計算下列各題：

⑴怨；(2)A：；(3)；

.123n—\

(4)1!+2,2!+3