蘇教版2019版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第5章函數(shù)概念與性質(zhì)知識點(diǎn)清單

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第5章函數(shù)概念與性質(zhì)知識點(diǎn)清單

目錄

第五章函數(shù)概念與性質(zhì)

5.1函數(shù)的概念和圖象

5.2函數(shù)的表示方法

5.3函數(shù)的單調(diào)性

5.4函數(shù)的奇偶性

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第五章函數(shù)概念與性質(zhì)

5.1函數(shù)的概念和圖象5.2函數(shù)的表示方法

一、函數(shù)的概念

1.函數(shù)的概念

一般地，給定兩個非空實(shí)數(shù)集合A和B,如果按照某種對應(yīng)關(guān)系f,對于集合A

中的每一個實(shí)數(shù)x,在集合B中都有唯一的實(shí)數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A—B為從

集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x),xEA.其中，x叫作自變量，集合A叫作

函數(shù)的定義域，集合｛y|y=f(x),x￡A｝稱為函數(shù)的值域.

2.函數(shù)的三要素

(1)一個函數(shù)的構(gòu)成要素為定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.

(2)如果兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系相同，定義域相同，那么這兩個函數(shù)就是同一個函數(shù).

二、函數(shù)的表示方法

1.列表法：用列表來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法.

2.解析法：用等式來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法.

3.圖象法：用圖象表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法.

三、分段函數(shù)

1.在定義域內(nèi)不同部分上，有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)叫作分段函數(shù).

四、求函數(shù)的定義域

1.已知函數(shù)解析式求定義域

⑴如果函數(shù)解析式是整式，那么在沒有指明它的定義域的情況下，函數(shù)的定義域是實(shí)

數(shù)集R.

⑵如果函數(shù)解析式含分式或0次黑，那么函數(shù)的定義域是使分母或指數(shù)懸的底數(shù)不為

零的實(shí)數(shù)的集合.

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⑶如果函數(shù)解析式僅含偶次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零

的實(shí)數(shù)的集合.

⑷如果函數(shù)解析式是由幾部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都

有意義的實(shí)數(shù)的集合(即求各部分自變量取值集合的交集).

⑸由實(shí)際背景確定的函數(shù)，其定義域不僅要考慮解析式有意義，還要考慮自變量的實(shí)

際意義.

2.求抽象函數(shù)的定義域

⑴無論什么樣的函數(shù)，定義域指的永遠(yuǎn)是自變量的取值范圍.

⑵相同的對應(yīng)關(guān)系所作用對象的范圍是一致的，即函數(shù)他)，f(cp(x)),f(h(x))中的匕

cp(x),h(x)在對應(yīng)關(guān)系f下的取值集合相同.

⑶抽象函數(shù)定義域的求解類型及方法：

①已知f(x)的定義域?yàn)锳,求f(cp(x))的定義域，實(shí)質(zhì)是已知cp(x)的取值集合為A,求x

的取值集合.

②已知f((p(x))的定義域?yàn)锽,求f(x)的定義域,實(shí)質(zhì)是已知(p(x)中的x的取值集合為B,

求出cp(x)的取值集合，此集合就是f(x)的定義域.

③已知f((p(x))的定義域?yàn)镃,求f(g(x))的定義域，實(shí)質(zhì)是已知管(X)中的X的取值集合

為C,求出(p(x)的取值集合D,再令g(x)的取值集合為D,求出x的取值集合，此集

合就是f(g(x))的定義域.

五、求函數(shù)的值或值域

1,求函數(shù)值的方法

⑴已知函數(shù)f(x)的解析式時，只需用常數(shù)a替換解析式中的X進(jìn)行計(jì)算即可.

(2)已知函數(shù)f(x)與g(x),求f(g(a))的值，應(yīng)遵循由內(nèi)到外的原則.

注意：用來替換解析式中x的常數(shù)a必須是函數(shù)定義域內(nèi)的值，否則求值無意義.

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2,求函數(shù)值域的常用方法

⑴觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，可根據(jù)其解析式的結(jié)構(gòu)特征通過直接觀察得到

值域.

⑵圖象法：畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”直觀得到函數(shù)

的值

域.

⑶配方法：此方法是求二次函數(shù)值域的基本方法，通常把函數(shù)式通過配方轉(zhuǎn)化為完全

平方式與常量和差的形式.

⑷分離常數(shù)法：主要針對形如y二黑(ac聲0,adXbc)的函數(shù)，常把分子分離成不含

had

自變量的形式，即y二喏二%三，其值域是｛y|yx》.

cx+dccx+ds’c

⑸換元法：對于一些無理函數(shù)(如y=ax±b±而王④，通過換元把它們轉(zhuǎn)化為熟悉的函

數(shù)，間接求出原函數(shù)的值域，注意換元后新元的取值范圍.

⑹判別式法：將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求因變量的范圍，常

用于“分式函數(shù)”等，注意自變量的取值范圍.

⑺反表示法：將函數(shù)中的自變量用因變量表示，結(jié)合原函數(shù)的定義域解不等式，從而

求出函數(shù)的值域.

六、求函數(shù)的解析式

1.當(dāng)函數(shù)類型已知時，可采用“先設(shè)后求，待定系數(shù)”法來求其解析式.解題步驟如

下：

⑴設(shè)出含有待定系數(shù)的解析式.

⑵把已知條件代入解析式，列出含待定系數(shù)的方程(組).

⑶解方程(組)，得到待定系數(shù)的值.

⑷將所求待定系數(shù)的值代回原式并化簡整理.

2.當(dāng)函數(shù)類型未知時，可根據(jù)條件選擇以下方法求其解析式.

⑴代入法：已知f(x)的解析式，求f(g(x))的解析式，通常把g(x)作為一個整體替換f(x)

中的X.

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⑵換元法：已知f(g(x))是關(guān)于x的函數(shù)，求f(x)的解析式，通常令g(x)f由此能解出

x二e(t),將x二e(t)代入f(g(x))中，求得f⑴的解析式，再用x替換匕便可得到f(x)的解

析式.

⑶配湊法：將所給函數(shù)的解析式f(g(x))通過配方、湊項(xiàng)等方法，使之變形為關(guān)于g(x)

的函數(shù)解析式，然后以x代替g(x),即得所求函數(shù)解析式，這里的g(x)可以是多項(xiàng)式、

分式、根式等.

⑷消元法(方程組法)：已知f(X)與喂)或f(-x)的解析式，可根據(jù)已知條件用｝或-x替換

X,再構(gòu)造出另外一個等式，組成方程組，通過解方程組求出f(x).

⑸賦值法：依題目的特征，可對變量賦特殊值，由特殊到一般尋找普遍規(guī)律，從而根

據(jù)找出的一般規(guī)律求出函數(shù)解析式，此法一般適用于求抽象函數(shù)的解析式.

七、分段函數(shù)

L對分段函數(shù)的理解

⑴分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，只是根據(jù)自變量的不同范圍分成了幾段而

已.

⑵畫分段函數(shù)圖象時，應(yīng)分別畫出每一段函數(shù)的圖象.

⑶研究分段函數(shù)時，先分段考慮，再整體把握，注意各段的自變量在區(qū)間端點(diǎn)處的取

值情況.

2.分段函數(shù)的求值策略

⑴已知自變量的值求函數(shù)值的步驟：

①確定自變量屬于哪一個區(qū)間；

②代入該區(qū)間所對應(yīng)的解析式求值，直到求出值為止.當(dāng)出現(xiàn)f(f(x。))的形式時，應(yīng)從內(nèi)

到外依次求值.

⑵已知函數(shù)值求對應(yīng)的自變量的值：可分段利用函數(shù)解析式求得自變量的值，但應(yīng)注

意檢驗(yàn)函數(shù)解析式的適用范圍，也可先判斷每一段上的函數(shù)值的范圍，確定解析式再

求解.

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5.3函數(shù)的單調(diào)性

一、函數(shù)的單調(diào)性

1.一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,區(qū)間IUA.

(1)如果對于區(qū)間?內(nèi)的任意兩個值Xi,x2,當(dāng)X1<X2時,都有f(Xi)<f(X2),那么稱y=f(x)

在區(qū)間I上單調(diào)遞增(如圖1),I稱為y=f(x)的增區(qū)間.

特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱f(x)是增函數(shù).

(2)如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值Xi,x2,當(dāng)Xi<X2時,都有f(xj>f(x2),那么稱y=f(x)

在區(qū)間I上單調(diào)遞減(如圖2),I稱為y=f(x)的減區(qū)間.

特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，稱f(x)是減函數(shù).

⑶如果函數(shù)y二f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上具有

單調(diào)性.增區(qū)間和減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間.

2.易錯

⑴某函數(shù)有兩個或兩個以上的單調(diào)遞增(減)區(qū)間時，單調(diào)遞增(減)區(qū)間之間用”或

者“和”連接，不用U“或”“且”連接.

⑵函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處無意義時要寫成開區(qū)間，有意義時開閉均可.

二、函數(shù)的最值

設(shè)y二f(x)的定義域?yàn)锳.

如果存在x°EA,使得對于任意的xEA,都有f(x)Wf(x0),那么稱f(x。)為y=f(x)的最大

值，1"己為ymax=f(Xo)I

如果存在x°EA,使得對于任意的xEA,都有f(x)Nf(x0),那么稱f(x。)為y=f(x)的最小

值，1^,為Ymin—f(Xo).

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三、函數(shù)單調(diào)性的判斷(證明)

1.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法

⑴圖象法：根據(jù)函數(shù)圖象的升降情況進(jìn)行判斷.

(2)直接法：運(yùn)用已知結(jié)論，直接得到函數(shù)的單調(diào)性，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例

函數(shù)的單調(diào)性均可直接得出.

⑶性質(zhì)法：

①f(x),g(x)在公共區(qū)間上的單調(diào)性如下表：

y=f(x)y二g(x)y=f(x)+g(x)y=f(x)-g(x)

增增增

增減增

減減減

減增減

②復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷依據(jù)：

由函數(shù)u二g(x)與函數(shù)y=f(u)復(fù)合,得到函數(shù)y=f(g(x)),其單調(diào)性的判斷方法如表所示：

u=g(x)y二f(u)y=f(g(x))

增增增

增減減

減增減

減減增

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可簡記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時單調(diào)遞增，

相異時單調(diào)遞減.注意函數(shù)的定義域.

2.利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

(1)取值：設(shè)X1,X2是所給區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且X1<X2；

⑵作差、變形：計(jì)算f(X〉f(X2),并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化

為易判斷正負(fù)的關(guān)系式；

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(3)判斷符號：確定f(x1)-f(X2)的符號；

⑷下結(jié)論：根據(jù)f(X>f(X2)的符號與增函數(shù)、減函數(shù)的定義確定單調(diào)性

四、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

1.利用函數(shù)的單調(diào)性求解最大(小)值

若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞增(減，則函數(shù)f(x)在X=a時取得最小(大)值f(a),

在x二b時取得最大(小)值f(b).

若函數(shù)f(x)有多個單調(diào)區(qū)間，則先求出各區(qū)間上的最值，再從各區(qū)間的最值中決

定出最大(小)值.

2.利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式

利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式主要依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，將符號脫掉，列

出關(guān)于未知量的不等式(組)，然后求解，此時注意函數(shù)的定義域.

3.利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

⑴利用單調(diào)性的定義:在單調(diào)區(qū)間內(nèi)任取Xi,x2,且X1<X2,由f(Xi)-f(X2)<0(或f(Xi)-f(x2)>0)

恒成立求參數(shù)的取值范圍.

⑵利用具體函數(shù)本身所具有的特征：如根據(jù)二次函數(shù)的圖象的對稱軸相對于所給單調(diào)

區(qū)間的位置建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，解不等式(組)求參數(shù)的取值范圍.

4.注意：

①若某個函數(shù)在區(qū)間［a,b］上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也是單調(diào)的.

②根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時，一般從兩方面考慮：一方面，每個分

段區(qū)間上的函數(shù)具有相同的單調(diào)性，由此列出相關(guān)式子；另一方面，要考慮分界點(diǎn)處

函數(shù)值之間的大小關(guān)系.若是增函數(shù)，則分界點(diǎn)左側(cè)值小于或等于右側(cè)值；若是減函

數(shù)，則分界點(diǎn)左側(cè)值大于或等于右側(cè)值，由此列出另外的式子，從而解得參數(shù)的取值

范圍.

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五、含參數(shù)的二次函數(shù)在某閉區(qū)間上的最大（?。┲?/p>

1.解決含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題，首先將二次函數(shù)化為y=aW-hy+KaXO）的形式,

再由a的符號確定其圖象的開口方向，根據(jù)對稱軸方程x二h得出頂點(diǎn)的位置，再根據(jù)

函數(shù)的定義域結(jié)合大致圖象確定最大（?。┲?

2,含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題的類型

（1）區(qū)間固定，圖象的對稱軸變動，求最值；

⑵圖象的對稱軸固定，區(qū)間變動，求最值；

⑶最值固定，區(qū)間或圖象的對稱軸變動，求參數(shù).

求解時通常都是根據(jù)區(qū)間和圖象的對稱軸的相對位置進(jìn)行分類討論.

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5.4函數(shù)的奇偶性

一、函數(shù)的奇偶性

偶函數(shù)奇函數(shù)

設(shè)函數(shù)y二f(x)的定義域?yàn)锳

定義如果對于任意的xEA,都有-xEA,如果對于任意的xRA,者R有-xEA,并

并且f(-x)=f(x),那么稱函數(shù)y=f(x)且f(-x)=-f(x),那么稱函數(shù)y=f(x)是奇

是偶函數(shù)函數(shù)

圖象特征關(guān)于V軸對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱

二、函數(shù)奇偶性的判斷

1.判斷函數(shù)奇偶性的常見方法

⑴定義法：定義域是

否既不是奇函數(shù)

否關(guān)于原

乂不是偶函數(shù)

點(diǎn)對稱

“)=子＞)奇函數(shù)

/㈠)或K)偶函數(shù)

是/(T)與/㈤既不是

一的關(guān)系奇函數(shù)

期-動片作)乂不是

偶函數(shù)

既是奇

A~x)=-Ax)函數(shù)乂

且AT)于付是偶函

數(shù)

注意：如果直接判斷f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)比較困難時，可以研究其等價形式，即判

斷f(x)±f(-x)是不是?；?f(x)70)是不是±1.

⑵圖象法：

義動,——「關(guān)于原點(diǎn)對稱-加)為奇函數(shù)

的

圖

象晟于y軸對稱一「欣沃偶函數(shù)

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⑶函數(shù)奇偶性的運(yùn)算性質(zhì):

設(shè)的定義域分別是在它們的公共定義域上具有的結(jié)論如表所示:

f(x),g(x)D.,D2,

f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)g(x)f(g(x))

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

注意：在f(g(x))中,g(x)的值域是f(x)的定義域的子集.

2.分段函數(shù)奇偶性的判斷

判斷分段函數(shù)f(x)奇偶性的一般方法是在一個區(qū)間上任取自變量，再向?qū)ΨQ區(qū)間轉(zhuǎn)化,

并進(jìn)行雙向驗(yàn)證.若函數(shù)在x=0處有定義，則還要驗(yàn)證f(0),即判斷分段函數(shù)的奇偶

性時必須判斷每一段上函數(shù)是否都具有f(-x)=-f(x)或