重難點(diǎn)02 絕對(duì)值的化簡(jiǎn)與絕對(duì)值方程 專項(xiàng)講練（原卷版）-2024小升初數(shù)學(xué)暑假銜接講義

重難點(diǎn)02.絕對(duì)值的化簡(jiǎn)與絕對(duì)值方程專項(xiàng)講練1.掌握絕對(duì)值的幾何意義和代數(shù)意義，化簡(jiǎn)絕對(duì)值的一般步驟；2.能利用絕對(duì)值的性質(zhì)解方程；3.回歸數(shù)學(xué)思想，在課堂中充分滲透整體思想、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想解決問題。題型探究題型1、根據(jù)字母取值范圍化簡(jiǎn)求值 2題型2、已知點(diǎn)在數(shù)軸上的位置化簡(jiǎn)求值 3題型3、絕對(duì)值化簡(jiǎn)（型）： 5題型4、采用零點(diǎn)分段討論化簡(jiǎn)求值 7題型5、含絕對(duì)值的方程（幾何法與代數(shù)法） 10題型6、含絕對(duì)值的不定方程（絕對(duì)值的幾何意義求解） 14培優(yōu)精練A組（能力提升） 16B組（培優(yōu)拓展） 161.絕對(duì)值的性質(zhì)：①正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，即；②0的絕對(duì)值是0，即；③負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，即；④絕對(duì)值具有非負(fù)性，即。2.已知范圍的絕對(duì)值化簡(jiǎn)步驟：①判斷絕對(duì)值符號(hào)里式子的正負(fù)；：大的數(shù)－小的數(shù)＞0，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：右－左＞0；小的數(shù)－大的數(shù)＜0，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：左－右＜0。：正數(shù)＋正數(shù)＞0，化到數(shù)軸上：原點(diǎn)右側(cè)兩數(shù)相加＞0；負(fù)數(shù)＋負(fù)數(shù)＜，化到數(shù)軸上：原點(diǎn)左側(cè)兩數(shù)相加＜0；正數(shù)＋負(fù)數(shù)：取絕對(duì)值較大數(shù)的符號(hào)，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：原點(diǎn)兩側(cè)兩數(shù)相加，取離原點(diǎn)遠(yuǎn)的符號(hào)。②根據(jù)絕對(duì)值符號(hào)里式子的正負(fù)去絕對(duì)值；若正數(shù)，絕對(duì)值前的正負(fù)號(hào)不變（即本身）；若負(fù)數(shù)，絕對(duì)值前的正負(fù)號(hào)改變（即相反數(shù)）。③去括號(hào)：括號(hào)前是“＋”，去括號(hào)，括號(hào)內(nèi)不變；括號(hào)前是“－”，去括號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào)。④化簡(jiǎn)（合并同類項(xiàng)）.3.絕對(duì)值化簡(jiǎn)（型）：.當(dāng)時(shí)，=1；當(dāng)時(shí)，=-1。4.零點(diǎn)分段法一般步驟：①求零點(diǎn)；②分段；③在各段內(nèi)分別進(jìn)行化簡(jiǎn)；④將各段內(nèi)的情況綜合起來，得到問題的答案。題型1、根據(jù)字母取值范圍化簡(jiǎn)求值【解題技巧】已知范圍的絕對(duì)值化簡(jiǎn)步驟：①判斷絕對(duì)值符號(hào)里式子的正負(fù)；②根據(jù)絕對(duì)值符號(hào)里式子的正負(fù)去絕對(duì)值；③去括號(hào)；④化簡(jiǎn)（合并同類項(xiàng)）。例1．（2023?廣東七年級(jí)期中）已知﹣1≤x≤2，則化簡(jiǎn)代數(shù)式|x﹣3|﹣2|x+1|的結(jié)果是（）A．1﹣3x B．1+3x C．﹣1﹣3x D．﹣1+3x變式1．（2023·成都市七年級(jí)期中）點(diǎn)A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離，若x是一個(gè)有理數(shù)，且，則_____．變式2．（2023?肇源縣七年級(jí)期末）當(dāng)2≤x＜5時(shí)，化簡(jiǎn)：|2x﹣10|﹣|x﹣2|的值為．題型2、已知點(diǎn)在數(shù)軸上的位置化簡(jiǎn)求值【解題技巧】已知點(diǎn)在數(shù)軸上的位置的絕對(duì)值化簡(jiǎn)步驟：①判斷絕對(duì)值符號(hào)里式子的正負(fù)；②根據(jù)絕對(duì)值符號(hào)里式子的正負(fù)去絕對(duì)值；③去括號(hào)；④化簡(jiǎn)（合并同類項(xiàng)）。例1．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖：(1)判斷正負(fù)，用“＞”或“＜”填空：b﹣c______0，a+b______0，c﹣a______0．(2)化簡(jiǎn)：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．變式1．（2023·四川·七年級(jí)期末）已知有理數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)|b﹣a|﹣|a+2b|+|﹣a﹣b|＝（）A．a(chǎn) B．﹣a﹣4b C．3a+2b D．a(chǎn)﹣2b變式2．（2023·陜西·七年級(jí)期末）已知、兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)代數(shù)式的結(jié)果是（

）A． B． C． D．題型3、絕對(duì)值化簡(jiǎn)（型）：【解題技巧】.當(dāng)時(shí)，=1；當(dāng)時(shí)，=-1。例1．（2023·河北七年級(jí)期中）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，那么代數(shù)式的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2例2．（2023·福建泉州·七年級(jí)?？计谥校┮阎海?，則共有個(gè)不同的值，若在這些不同的值中，最大的值為，則____________．變式1．（2023·上海楊浦·期中）若a，b各表示一個(gè)有理數(shù)，且，則算式的可能值有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)變式2．（2023·浙江·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知非零有理數(shù)a，b，c，滿足，則等于（

）A．﹣1 B．0 C．±1 D．1題型4、采用零點(diǎn)分段討論化簡(jiǎn)求值【解題技巧】零點(diǎn)分段法一般步驟：①求零點(diǎn)；②分段；③在各段內(nèi)分別進(jìn)行化簡(jiǎn)；④將各段內(nèi)的情況綜合起來，得到問題的答案。例1．（22-23七年級(jí)上·北京西城·階段練習(xí)）當(dāng)代印度著名詩人泰戈?duì)栐凇妒澜缟献钸b遠(yuǎn)的距離》中寫道，世界上最遙遠(yuǎn)的距離，不是瞬間便無處尋覓，而是尚未相遇，便注定無法相聚。距離是數(shù)學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)中的熱門話題，唯有對(duì)宇宙距離進(jìn)行測(cè)量，人類才能掌握世界尺度．我們可以從圖形和代數(shù)化簡(jiǎn)兩個(gè)角度來計(jì)算距離：①已知點(diǎn)A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，A，B兩點(diǎn)之間的距離表示為，例如表示到2的距離，而則表示到的距離；②我們知道：，于是可以用這一結(jié)論來化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式．例如化簡(jiǎn)時(shí)，可先令和，分別求得，（稱和2分別為的零點(diǎn)值），在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值和可將全體實(shí)數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：①；②；③．從而化簡(jiǎn)可分以下3種情況：①當(dāng)時(shí)，原式；②當(dāng)時(shí)，原式；③當(dāng)時(shí)，原式．綜上，原式＝結(jié)合以上材料，回答以下問題：(1)化簡(jiǎn)代數(shù)式；(2)化簡(jiǎn)代數(shù)式．變式1．（2023·廣東·七年級(jí)培優(yōu)）已知x為實(shí)數(shù)，且的值是一個(gè)確定的常數(shù)，則這個(gè)常數(shù)是（

）．A．5 B．10 C．15 D．75變式2．（2023七年級(jí)上·綿陽·專題練習(xí)）學(xué)習(xí)了絕對(duì)值我們知道，，用這一結(jié)論可化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式．如化簡(jiǎn)代數(shù)式時(shí)，可令和，分別求得和，我們就稱和分別為|和|的零點(diǎn)值在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值，可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)、不遺漏的五個(gè)部分，可在演草本上畫出數(shù)軸，找到對(duì)應(yīng)的部分然后進(jìn)行分類討論如下：①當(dāng)時(shí)，原式；②當(dāng)時(shí)，原式；③當(dāng)時(shí)，原式；④當(dāng)時(shí)，原式；⑤當(dāng)時(shí)，原式．綜上所述，原式，以上這種分類討論化簡(jiǎn)方法就叫零點(diǎn)分段法，其步驟是：求零點(diǎn)、分段、區(qū)段內(nèi)化簡(jiǎn)、綜合，根據(jù)以上材料解決下列問題：(1)化簡(jiǎn)代數(shù)式；(2)的最大值是．（請(qǐng)直接寫出結(jié)果）題型5、含絕對(duì)值的方程（幾何法與代數(shù)法）【解題技巧】代數(shù)法：同題型4；幾何法：利用絕對(duì)值的幾何意義求解。例1．（23-24七年級(jí)上·廣東·期中）綜合應(yīng)用題：的幾何意義是數(shù)軸上表示m的點(diǎn)與表示n的點(diǎn)之間的距離．(1)的幾何意義是數(shù)軸上表示的點(diǎn)與之間的距離；；(2)的幾何意義是數(shù)軸上表示2的點(diǎn)與表示1的點(diǎn)之間的距離；則；(3)的幾何意義是數(shù)軸上表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)之間的距離，若，則．(4)的幾何意義是數(shù)軸上表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)之間的距離，若，則．(5)找出所有符合條件的整數(shù)x，使得這樣的整數(shù)是．例2．（23-24七年級(jí)上·內(nèi)蒙古·階段練習(xí)）閱讀下面的材料：在學(xué)習(xí)絕對(duì)值時(shí)，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，我們知道表示、在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離；，所以表示、在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；，所以表示在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．一般地，點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)，那么兩點(diǎn)之間的距離可以表示為．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示與的兩點(diǎn)之間的距離是______；數(shù)軸上表示與的兩點(diǎn)之間的距離是______．(2)若，則______．(3)滿足的有理數(shù)有______個(gè)．變式1．（23-24七年級(jí)·江蘇·假期作業(yè)）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為，則在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離．所以式子的幾何意義是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)之間的距離．借助于數(shù)軸回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和的兩點(diǎn)之間的距離是．(2)如果，那么．(3)若，且數(shù)a，b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點(diǎn)A，點(diǎn)B，則A，B兩點(diǎn)間的最大距離是，最小距離是．(4)①若數(shù)軸上表示x的點(diǎn)位于與1之間，則；②若，則．變式2．（23-24七年級(jí)上·江西贛州·期中）【閱讀】表示4與1兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離：可以看做，表示4與兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離．(1)________；(2)在數(shù)軸上，有理數(shù)5與所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為________；(3)結(jié)合數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)，使得，則________；(4)利用數(shù)軸分析，若是整數(shù)，且滿足，則滿足條件的所有的值的和為_______．題型6、含絕對(duì)值的不定方程（絕對(duì)值的幾何意義求解）例1．（2023秋·陜西西安·七年級(jí)?？计谀?shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為______．變式1．（23-24七年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知，求的最大值與最小值的差．變式2．（23-24七年級(jí)·陜西·階段練習(xí)）已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，則2x+y的最小值是．A組（能力提升）1．（2023·江蘇·七年級(jí)期末）已知a，b的位置如圖，則的值為（）A．0 B．－2b C．－2a D．2b－2a2.（2023·河南周口·七年級(jí)期末）有理數(shù)，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，那么代數(shù)式的值是(

)A．-1 B．1 C．3 D．-33．（2023·廣東·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，、、、是數(shù)軸上的四個(gè)整數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，且，而數(shù)在與之間，數(shù)在與之間，若，且、、、中有一個(gè)是原點(diǎn)，則此原點(diǎn)可能是（

）A．點(diǎn)或點(diǎn) B．點(diǎn)或點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)4．（2023·山東·七年級(jí)期末）已知有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，且滿足．則下列各式：①；②；③；④．其中正確的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)5．（2023·重慶·七年級(jí)期末）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，其中，則下列各式：①；②；③；④，正確的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)6．（2023·廣東·一模）如圖，在關(guān)于x的方程（a，b為常數(shù)）中，x的值可以理解為：在數(shù)軸上，到A點(diǎn)的距離等于b的點(diǎn)X對(duì)應(yīng)的數(shù)．例如：因?yàn)榈綄?shí)數(shù)1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A距離為3的點(diǎn)X對(duì)應(yīng)的數(shù)為4和-2，所以方程的解為，．用上述理解，可得方程的解為______．7．（2023·廣東·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則的值為___________．8．（2023秋·江蘇·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果是___________．9．（2023·廣東·七年級(jí)期末）如圖，已知a、b、c在數(shù)軸上的位置．（1）a+b0，abc0，0．填（“＞”或“＜”）（2）如果a、c互為相反數(shù)，求＝．（3）化簡(jiǎn)：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．10．（2023·浙江·七年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)A和B表示的數(shù)分別為a和b，若c是絕對(duì)值最小的數(shù)，d是最大的負(fù)整數(shù)．（1）在數(shù)軸上表示c＝，d＝．（2）若|x+3|＝2，則x的值是多少？（3）若﹣1＜x＜0，化簡(jiǎn)：|x﹣b|+|x+a|+|c﹣x|．11．（23-24七年級(jí)上·北京西城·期中）先閱讀，再探究相關(guān)的問題：表示5與2差的絕對(duì)值，也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；可以看作，表示5與差的絕對(duì)值，也可理解為5與兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．(1)點(diǎn)A的位置如圖所示，點(diǎn)B與點(diǎn)A分別位于原點(diǎn)兩側(cè)且與原點(diǎn)距離相等，把點(diǎn)A向左移動(dòng)1.5個(gè)單位，得到點(diǎn)C，則B，C兩點(diǎn)間的距離是；

(2)點(diǎn)D和E分別在數(shù)軸上表示數(shù)x和，如果D，E兩點(diǎn)之間的距離為3，那么x為；(3)借助數(shù)軸思考，當(dāng)x為時(shí)，與的值相等．12．（23-24七年級(jí)上·廣東河源·期中）對(duì)于數(shù)軸上的兩點(diǎn)P，Q給由如下定義：P，Q兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值稱為P，Q兩點(diǎn)的“絕對(duì)距離”，記為．例如，P，Q兩點(diǎn)表示的數(shù)如圖1所示，則．

(1)A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)如圖2所示．①求A，B兩點(diǎn)的“絕對(duì)距離”；②若點(diǎn)C為數(shù)軸上一點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），且，求點(diǎn)C表示的數(shù)；(2)點(diǎn)M，N為數(shù)軸上的兩點(diǎn)．（點(diǎn)M在點(diǎn)N左側(cè)）且，，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M表示的數(shù)為___________．13．（23-24七年級(jí)上·貴州黔東南·期中）閱讀下面材料：在數(shù)軸上2與所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間距離為；在數(shù)軸上與3所對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)之間的距離為；在數(shù)軸上與所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為．歸納：在數(shù)軸上點(diǎn)A，B分別表示數(shù)a，b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離或．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示數(shù)x和1的兩點(diǎn)之間的距離表示為；數(shù)軸上表示數(shù)x和的兩點(diǎn)之間的距離表示為；(2)試說明當(dāng)表示數(shù)x的點(diǎn)在與3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間移動(dòng)時(shí)，的值總是一個(gè)固定的值，并求出這個(gè)固定值．B組（培優(yōu)拓展）1．（2023·江蘇·七年級(jí)期末）若有理數(shù)a、b滿足等式│b－a│－│a＋b│＝2b，則有理數(shù)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置可能是（

）A． B．C． D．2．（2023春·廣東河源·七年級(jí)?？奸_學(xué)考試）滿足的x的值是（

）．A．0 B． C． D．3．（2022秋·山東七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知有理數(shù)a，c，若，且，則所有滿足條件的數(shù)c的和是（）A．﹣6 B．2 C．8 D．94．（22-23七年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）如果對(duì)于某一特定范圍內(nèi)的任意允許值，P=|1-4x|+|1-5x|+|1-6x|+|1-7x|+|1-8x|的值恒為一常數(shù)，則此值為.5．（23-24七年級(jí)上·四川成都·期中）對(duì)于有理數(shù)，，，，若，則稱和關(guān)于的“絕對(duì)關(guān)聯(lián)數(shù)”為，，則和關(guān)于的“絕對(duì)關(guān)聯(lián)數(shù)”為(1)和關(guān)于的“絕對(duì)關(guān)聯(lián)數(shù)”為；(2)若和關(guān)于的“絕對(duì)關(guān)聯(lián)數(shù)”為，求的值；(3)若和關(guān)于的“絕對(duì)關(guān)聯(lián)數(shù)”為，和關(guān)于的“絕對(duì)關(guān)聯(lián)數(shù)”為，和關(guān)于的“絕對(duì)關(guān)聯(lián)數(shù)”為，…，和關(guān)于的“絕對(duì)關(guān)聯(lián)數(shù)”為，…①的最小值為；②的最小值為．6．（23-24七年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）閱讀理解：數(shù)軸上表示有理數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)（有數(shù)數(shù)0表示的點(diǎn)）的距離，叫做這個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值例如：，它表示數(shù)軸上有理數(shù)2表示的點(diǎn)到原點(diǎn)0的距離，從數(shù)軸上容易發(fā)現(xiàn)，有理數(shù)2表示的點(diǎn)到原點(diǎn)0的距離是2個(gè)單位長度，即（如圖1）．同樣的，數(shù)軸上表示m和表示n的兩個(gè)有理數(shù)之間的距離可以用來表示．例如：數(shù)軸上表示的點(diǎn)到表示2的點(diǎn)的距離用表示，從數(shù)軸上容易發(fā)現(xiàn)，表示-3的點(diǎn)到表示2的點(diǎn)的距離是5個(gè)單位長度，即（如圖2）．以上這種借助直觀的數(shù)軸來解決問題的方法就是研究數(shù)學(xué)問題常用的“數(shù)形結(jié)合”的方法．請(qǐng)你根據(jù)以上學(xué)到的方法完成下列任務(wù)解答：任務(wù)一：請(qǐng)根據(jù)以上閱讀列式并計(jì)算（不必在卷面上畫數(shù)軸）：數(shù)軸上表示2的點(diǎn)和表示的點(diǎn)之間的距離；任務(wù)二：根據(jù)絕對(duì)值的意義求字母的值：（1）若，求x所表示的有理數(shù)．根據(jù)絕對(duì)值的意義，“”指數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示3的點(diǎn)的距離是2個(gè)單位長度，x表示的有理數(shù)是______．（2）若，求x所表示的有理數(shù)．根據(jù)絕對(duì)值的意義，“”指數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示_______的點(diǎn)的距離是4個(gè)單位長度，x表示的有理數(shù)是______．任務(wù)三：設(shè)點(diǎn)P在數(shù)軸上表示的有理