2025版高考數(shù)學一輪總復習第1章集合常用邏輯用語不等式第3講不等關(guān)系與不等式提能訓練

第1章集合、常用邏輯用語、不等式第3講不等關(guān)系與不等式A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．某學生月考數(shù)學成果x不低于100分，英語成果y和語文成果z的總成果高于200分且低于240分，用不等式組表示為(D)A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>100，,200<y＋z<240)) B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥100，,200≤y＋z≤240))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>100，,200≤y＋z≤240)) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥100，,200<y＋z<240))[解析]依據(jù)題目條件干脆列出不等式組即可．數(shù)學成果x不低于100分表示為x≥100，英語成果y和語文成果z的總成果高于200分且低于240分表示為200<y＋z<240，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥100，,200<y＋x<240.))故選D.2．已知a＋b<0，且a>0，則(A)A．a(chǎn)2<－ab<b2 B．b2<－ab<a2C．a(chǎn)2<b2<－ab D．－ab<b2<a2[解析]解法一：令a＝1，b＝－2，則a2＝1，－ab＝2，b2＝4，從而a2<－ab<b2，選A.解法二：由a＋b<0，且a>0可得b<0，且a<－b.因為a2－(－ab)＝a(a＋b)<0，所以0<a2<－ab.又因為0<a<－b，所以0<－ab<(－b)2，所以0<a2<－ab<b2，選A.3．給定下列四個命題：命題①：a>b，c>d?a－c>b－d；命題②：a>b?；命題③：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,2<b<3，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2<a＋b<4,0<ab<3；))命題④：a<b<0?eq\f(b,a)<eq\f(a,b).其中真命題的個數(shù)是(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]依據(jù)不等式的性質(zhì)逐項分析①③④，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性推斷②.①中，當a＝5，b＝4，c＝3，d＝1時，a－c>b－d不成立，是假命題；②中，y＝是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以a>b時，，是真命題；③中，當a＝2，b＝1時，右邊成立，而左邊不成立，是假命題；④中，a<b<0?a2>b2?eq\f(b,a)<eq\f(a,b)，是真命題．故選B.4．(2024·湖北黃岡質(zhì)檢)已知x>y>z，x＋y＋z＝0，則下列不等式中成立的是(C)A．xy>yz B．xz>yzC．xy>xz D．x|y|>z|y|[解析]方法一：由x>y>z及x＋y＋z＝0知x>0，z<0，y∈R.驗證各選項知C成立．方法二(特殊值法)：取x＝1，y＝0，z＝－1，代入各選項知C成立．5．若a是實數(shù)，P＝eq\r(a2＋10)＋a，Q＝eq\r(a2＋6)＋eq\r(a2＋4)，則P，Q的大小關(guān)系是(A)A．Q>P B．P＝QC．P>Q D．由a的取值確定[解析]先平方，再分類探討a的值，求解即可．明顯P，Q都是正數(shù)，又P2＝(eq\r(a2＋10)＋a)2＝2a2＋10＋2aeq\r(a2＋10)，Q2＝(eq\r(a2＋6)＋eq\r(a2＋4))2＝2a2＋10＋2eq\r(a2＋6a2＋4)＝2a2＋10＋2eq\r(a4＋10a2＋24)，①當a<0時，則eq\r(a4＋10a2＋24)>0>aeq\r(a2＋10)，∴Q2>P2，Q>P，②當a≥0時，則eq\r(a4＋10a2＋24)>eq\r(a4＋10a2)＝aeq\r(a2＋10)，∴Q2>P2，Q>P，綜上所述，Q>P.故選A.6．下列四個數(shù)中最大的是(A)A．lg2 B．lgeq\r(2)C．(lg2)2 D．lg(lg2)[解析]因為lg2∈(0,1)，所以lg(lg2)<0；lgeq\r(2)－(lg2)2＝lg2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－lg2))>lg2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－lg\r(10)))＝0，即lgeq\r(2)>(lg2)2；lg2－lgeq\r(2)＝eq\f(1,2)lg2>0，即lg2>lgeq\r(2).所以最大的是lg2.7．若α，β滿足－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，則2α－β的取值范圍是(C)A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<πC．－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(π,2) D．0<2α－β<π[解析]∵－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，∴－π<2α<π.∵－eq\f(π,2)<β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(3π,2).又α－β<0，α<eq\f(π,2)，∴2α－β<eq\f(π,2).故－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(π,2).8．(2024·山東青島模擬)已知1<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，M＝aa，N＝ab，P＝ba，則M，N，P的大小關(guān)系正確的為(B)A．N<M<P B．P<M<NC．M<P<N D．P<N<M[解析]∵1<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，∴0<b<a<1，∴指數(shù)函數(shù)y＝ax在R上單調(diào)遞減，∴ab>aa，即N>M，又冪函數(shù)y＝xa在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴aa>ba，即M>P，∴N>M>P.故選B.二、多選題9．下面列出的幾種不等關(guān)系中，正確的為(CD)A．x不大于3，可表示為“x<3”B．x與2的和是非負數(shù)，可表示為“x＋2>0”C．△ABC的兩邊之和大于第三邊，記三邊分別為a，b，c，則可表示為“a＋b>c”D．若某天的溫度為t，最低溫度為7℃，最高溫度為13℃，則這天的溫度范圍可表示為“7℃≤t≤13℃”[解析]先依據(jù)各選項的語言表述列出不等式即可．∵x不大于3，可表示為x≤3，∴A錯誤；∵x與2的和是非負數(shù)，可表示為x＋2≥0，B錯誤；依據(jù)三角形中任何兩邊之和大于第三邊，則a＋b>c∴C正確；∵最低溫度為7℃，最高溫度為13℃，∴7℃≤t≤13℃，∴D正確，故選CD.10．下列四個條件，能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的有(ABD)A．b>0>a B．0>a>bC．a(chǎn)>0>b D．a(chǎn)>b>0[解析]運用倒數(shù)性質(zhì)，由a>b，ab>0可得eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，B、D正確；又正數(shù)大于負數(shù)，A正確，C錯誤，故選ABD.11．若a<b<－1，c>0，則下列不等式中確定成立的是(BD)[解析]由函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,x)在(－∞，－1)上為增函數(shù)可知，當a<b<－1時，a－eq\f(1,a)<b－eq\f(1,b)，故A錯誤；由函數(shù)g(x)＝x＋eq\f(1,x)在(－∞，－1)上為增函數(shù)可知，當a<b<－1時，a＋eq\f(1,a)<b＋eq\f(1,b)，即a－eq\f(1,b)<b－eq\f(1,a)，故B正確；由a<b，得b－a>0，但不確定b－a與1的大小關(guān)系，故ln(b－a)與0的大小關(guān)系也不確定，故C錯誤；由a<b<－1可知，eq\f(a,b)>1,0<eq\f(b,a)<1，而c>0，則，故D正確．故選BD.12．(2024·長沙模擬)設(shè)實數(shù)a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則下列不等式成立的是(BD)A．c<b B．b≥1C．b≤a D．a(chǎn)<c[解析]∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝6－4a＋3a2，,c－b＝4－4a＋a2，))兩式相減得2b＝2a2＋2，即b＝a2＋1，∴b≥1.又b－a＝a2＋1－a＝＋eq\f(3,4)>0，∴b>a.而c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b，從而c≥b>a.三、填空題13．已知非零實數(shù)a，b滿足a>b，則下列結(jié)論正確的是_②③__(填序號)．①eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；②a3>b3；③2a>2b；④lna2>lnb2.[解析]當a>0，b<0時，eq\f(1,a)>0>eq\f(1,b)，故①不正確；由函數(shù)y＝x3，y＝2x的單調(diào)性可知，②③正確；當a＝1，b＝－1時，lna2＝lnb2＝ln1＝0，故④不正確．14．(2024·遼寧育明中學一模)一般認為，民用住宅窗戶面積a與地板面積b的比應(yīng)不小于10%，即eq\f(1,10)≤eq\f(a,b)<1，而且比值越大采光效果越好，若窗戶面積與地板面積同時增加m，采光效果變好還是變壞？請將你的推斷用不等式表示eq\f(a,b)<eq\f(a＋m,b＋m).[解析]若窗戶面積與地板面積同時增加m，采光效果變好了，用不等式表示為：eq\f(a,b)<eq\f(a＋m,b＋m)，因為eq\f(a,b)－eq\f(a＋m,b＋m)＝eq\f(ab＋m－a＋mb,bb＋m)＝eq\f(a－bm,bb＋m)<0，所以eq\f(a,b)<eq\f(a＋m,b＋m)成立．15．設(shè)0<x<1，則a＝eq\r(2x)，b＝1＋x，c＝eq\f(1,1－x)中最大的一個是c.[解析]解法一：b－a＝1＋x－eq\r(2x)>1＋x－2eq\r(x)＝(eq\r(x)－1)2>0，∴b>a，c－b＝eq\f(1,1－x)－(1＋x)＝eq\f(x2,1－x)>0，∴c>b，∴c>b>a.∴c最大．解法二：取x＝eq\f(1,8)，則a＝eq\f(1,2)，b＝1＋eq\f(1,8)，c＝eq\f(8,7)＝1＋eq\f(1,7)，明顯c最大．16．已知a>b>c,2a＋b＋c＝0，則eq\f(c,a)的取值范圍是(－3，－1).[解析]因為a>b>c,2a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，b＝－2a－c.因為a>b>c，所以－2a－c<a，即3a>－c，解得eq\f(c,a)>－3.將b＝－2a－c代入b>c中，得－2a－c>c，即c<－a，得eq\f(c,a)<－1，所以－3<eq\f(c,a)<－1.四、解答題17．(1)若bc－ad≥0，bd>0，求證：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d)；(2)已知c>a>b>0，求證：eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).[證明](1)∵bc≥ad，eq\f(1,bd)>0，∴eq\f(c,d)≥eq\f(a,b)，∴eq\f(c,d)＋1≥eq\f(a,b)＋1，∴eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).(2)∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.∵a>b>0，∴eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，又∵c>0，∴eq\f(c,a)<eq\f(c,b)，∴eq\f(c－a,a)<eq\f(c－b,b)，又c－a>0，c－b>0，∴eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).B組實力提升1．把下列各題中的“＝”全部改成“<”，結(jié)論照舊成立的是(D)A．假如a＝b，c＝d，那么a－c＝b－dB．假如a＝b，c＝d，那么ac＝bdC．假如a＝b，c＝d，且cd≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,d)D．假如a＝b，那么a3＝b3[解析]對于A，假如a<b，c<d，那么a－c<b－d不愿定正確，如5<6,4<9，但5－4>6－9；對于B，假如a<b，c<d，那么ac<bd不愿定正確，如－2<－1,1<4，此時ac>bd；對于C，假如a<b，c<d，且cd≠0，那么eq\f(a,c)<eq\f(b,d)不愿定正確，如1<2,1<8，此時eq\f(a,c)>eq\f(b,d)；易知D正確．2．(多選題)(2024·吉林省通榆一中高三上學期第四次質(zhì)量檢測)若實數(shù)x，y滿足|x|>y>0，則(BD)A．x－y<y2 B．x2024>y2024C.eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)>2 D．eq\f(1,x)<eq\f(1,x－y)[解析]當x＝3，y＝1時，x－y>y2，故A錯誤；因為|x|>y>0，所以|x|>|y|，所以x2024>y2024，故B正確；當x<0時，因為y>0，所以eq\f(x,y)與eq\f(y,x)都是負數(shù)，所以eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)<0，故C錯誤；因為eq\f(1,x)－eq\f(1,x－y)＝eq\f(－y,xx－y)＝eq\f(y,xy－x)，當x>0時，由|x|>y>0得x>y，兩邊同乘x，得x2>xy，即x(y－x)<0；當x<0時，由|x|>y>0得x<y，兩邊同乘x，得x2>xy，即x(y－x)<0，所以eq\f(1,x)<eq\f(1,x－y)，故D正確．故選BD.3．(多選題)十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號運用，后來英國數(shù)學家哈利奧特首次運用“<”和“>”符號，并逐步被數(shù)學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠．若a>0，b>0，a＋b＝2，則(BCD)A．0<a≤1 B．0<ab≤1C．a(chǎn)2＋b2≥2 D．0<b<2[解析]依據(jù)a>0，b>0，b＝2－a列不等式推斷AD，再依據(jù)基本不等式推斷BC即可．∵a>0，b>0，b＝2－a.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,2－a>0，))解得0<a<2.同理可以得到：0<b<2，故A不正確．則D正確．又∵ab≤＝＝1，并且當且僅當a＝b時，取得等號．故得到：0<ab≤1，所以B正確．又∵a2＋b2≥eq\f(a＋b2,2)＝eq\f(22,2)＝2，并且當且僅當a＝b時，取得等號．故得到：a2＋b2≥2，所以C正確．故選BCD.4．若1<α<3，－4<β<2，則α－|β|的取值范圍是_(－3,3)__.[解析]∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0，∴－3<α－|β|<3.5．a(chǎn)，b，c，d均為實數(shù)，使不等式eq\f(a,b)>eq\f(c,d)>0和ad<bc都成立的一組值(a，b，c，d)是(