備考2025屆高考數(shù)學一輪復習好題精練第十章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布突破3概率統(tǒng)計與其他知識的綜合

突破3概率、統(tǒng)計與其他學問的綜合1.[設(shè)問創(chuàng)新]魯班鎖是中國一種古老的益智玩具，它與九連環(huán)、華容道、七巧板被稱為中國民間的四大傳統(tǒng)益智玩具.魯班鎖看似簡潔，卻凝合著不平凡的才智，是榫卯結(jié)構(gòu)的集中呈現(xiàn)，一般由六根木條組成，三維拼插，內(nèi)部榫卯咬合，外觀嚴絲合縫，十字立體，易拆難裝，特殊奇異.某玩具公司新開發(fā)了A，B兩款魯班鎖玩具，記A，B兩款魯班鎖玩具所獲利潤分別為X萬元、Y萬元，依據(jù)銷售部市場調(diào)研分析，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：（成本利潤率＝利潤÷成本×100％）A款魯班鎖玩具：成本利潤率4％8％10％概率P0.30.60.1B款魯班鎖玩具：成本利潤率3％5.5％7.5％概率P0.20.30.5（1）若A，B兩款魯班鎖玩具的投資成本均為20萬元，試求投資這兩款魯班鎖玩具所獲利潤的方差；（2）若A，B兩款魯班鎖玩具的投資成本共為20萬元，試求投資這兩款魯班鎖玩具所獲利潤的方差之和的最小值.解析（1）A款魯班鎖玩具的利潤：20×4％＝0.8，20×8％＝1.6，20×10％＝2，B款魯班鎖玩具的利潤：20×3％＝0.6，20×5.5％＝1.1，20×7.5％＝1.5，則X的分布列為X0.81.62P0.30.60.1Y的分布列為Y0.61.11.5P0.20.30.5所以E（X）＝0.8×0.3＋1.6×0.6＋2×0.1＝1.4，E（Y）＝0.6×0.2＋1.1×0.3＋1.5×0.5＝1.2，則D（X）＝（0.8－1.4）2×0.3＋（1.6－1.4）2×0.6＋（2－1.4）2×0.1＝0.168.D（Y）＝（0.6－1.2）2×0.2＋（1.1－1.2）2×0.3＋（1.5－1.2）2×0.5＝0.12.（2）記A款魯班鎖玩具的投資成本為m（0≤m≤20）萬元，則B款魯班鎖玩具的投資成本為（20－m）萬元，投資這兩款魯班鎖玩具所獲利潤的方差之和f（m）＝D（m20X）＋D（20－得f（m）＝（m20）2×0.168＋（20－m20）2×0.12＝m2400×0.168＋（1－m10＋m2400）所以當m＝253時，投資A，B兩款魯班鎖玩具所獲利潤的方差之和取得最小值2.[2024貴州六校聯(lián)考]為了豐富學生的課外活動，某中學舉辦羽毛球競賽，經(jīng)過三輪的篩選，最終剩下甲、乙兩人進行最終決賽，決賽接受五局三勝制，即當甲、乙兩人中有一人先贏得三局競賽時，該選手獲勝，競賽結(jié)束.每局競賽皆須分出輸贏，且每局競賽的輸贏不受之前競賽結(jié)果影響.假設(shè)甲在每一局獲勝的概率均為p（0＜p＜1）.（1）若競賽進行三局就結(jié)束的概率為f（p），求f（p）的最小值；（2）記（1）中，f（p）取得最小值時，p的值為p0，以p0作為p的值，用X表示甲、乙實際競賽的局數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望E（X）.解析（1）三局就結(jié)束競賽的概率f（p）＝p3＋（1－p）3，f'（p）＝3p2－3（1－p）2＝6p－3，當0＜p＜12時，f'（p）＜0；當12＜p＜1時，f'（p）所以f（p）在（0，12）上單調(diào)遞減，在（12，所以當p＝12時，f（p）取得最小值，為1（2）由（1）知，p＝p0＝12X的全部可能取值為3，4，5，P（X＝3）＝（12）3＋（1－12）3＝P（X＝4）＝2×C32×（12）2×（1－12）×P（X＝5）＝2×C42×（12）2×（1－12）2×所以X的分布列為X345P133E（X）＝3×14＋4×38＋5×383.[2024安徽六校聯(lián)考]為慶祝中國共產(chǎn)黨成立102周年，某校某班組織開展了“學黨史，憶初心”黨史學問競賽活動，抽取四位同學，分成甲、乙兩組（每組兩人），進行對戰(zhàn)答題.規(guī)則如下：每次每位同學給出6道題目，其中有1道是送分題（即每位同學至少可答對1題）.若每次每組答對的題數(shù)之和為3的倍數(shù)，原答題組的人再接著答題；若答對的題數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對方組接著答題.假設(shè)每位同學每次答題之間相互獨立.（1）若第1次由甲、乙組答題是等可能的，求第2次由乙組答題的概率；（2）若第1次由甲組答題，記第n次由甲組答題的概率為Pn，求Pn.解析（1）將第1次由甲組答題記作事務(wù)A，第2次由乙組答題記作事務(wù)B，則第1次由乙組答題為事務(wù)A，因為答對的題數(shù)之和為3的倍數(shù)的可能狀況為1＋2，1＋5，2＋4，3＋3，3＋6，4＋5，6＋6，所以其概率為5×2+236則答對的題數(shù)之和不是3的倍數(shù)的概率為1－13＝2則P（B）＝P（AB）＋P（AB）＝P（A）P（B｜A）＋P（A）P（B｜A）＝12×23＋12×1（2）第（n＋1）次由甲組答題，是第n次由甲組答題，第（n＋1）次接著由甲組答題的事務(wù)與第n次由乙組答題，第（n＋1）次由甲組答題的事務(wù)和，它們互斥，又各次答題相互獨立，所以第n次由甲組答題，第（n＋1）次接著由甲組答題的概率為13Pn第n次由乙組答題，第（n＋1）次由甲組答題的概率為23（1－Pn），因此，Pn＋1＝13Pn＋231－Pn=-13Pn＋23（n∈N*），則Pn＋1－因為第1次由甲組起先，所以P1＝1，所以{Pn－12}是首項為12，公比為－所以Pn－12＝12×（－13）n－1，故Pn＝12×（－13）n4.[2024山東省試驗中學模擬]某品牌女裝專賣店設(shè)計摸球抽獎促銷活動，每位顧客只用一個會員號登記消費信息，每次消費都有一次隨機摸球的機會.已知某顧客第一次摸球抽中獎品的概率為27；從其次次摸球起先，若前一次沒抽中獎品，則這次抽中的概率為12，若前一次抽中獎品，則這次抽中的概率為13.記該顧客第n次摸球抽中獎品的概率為（1）求P2的值，并探究數(shù)列{Pn}的通項公式；（2）求該顧客第幾次摸球抽中獎品的概率最大，請給出證明過程.解析（1）記該顧客第i（i∈N*）次摸球抽中獎品為事務(wù)Ai，依題意，P1＝27P2＝P（A2）＝P（A1）P（A2｜A1）＋P（A1）P（A2｜A1）＝27×13＋（1－27）因為P（An｜An－1）＝13，P（An｜An－1）＝12，Pn＝P（An）＝P（An－1）×P（An｜An－1）＋P（An－1所以Pn＝13Pn－1＋12（1－Pn－1）＝－16Pn－1所以Pn－37＝－16（Pn－1－由P1＝