2024年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

PAGE12024年初中學(xué)業(yè)水平考試試卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷共6頁，滿分120分．考試時(shí)間為120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必先將自己的考生號、姓名、座位號等信息填寫在試卷和答題卡的指定位置．請認(rèn)真核對條形碼上的相關(guān)信息后，將條形碼粘貼在答題卡的指定位置．3．答題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共有10小題，每小題3分，共30分．每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，請將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．1.計(jì)算所得結(jié)果是（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查化簡二次根式，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，化簡即可．【詳解】解：；故選C．2.若互為倒數(shù)，且滿足，則的值為（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了倒數(shù)的定義，根據(jù)互為倒數(shù)，則，把代入，即可得出m的值，進(jìn)一步即可得出n的值．【詳解】解：∵互為倒數(shù)，∴，∵，∴，則，故選：B．3.如圖，正方形邊長為2，以所在直線為軸，將正方形旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱的主視圖的面積為（）A.8 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查三視圖，根據(jù)題意，得到主視圖為長為4，高為2的長方形，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由圖可知：圓柱體的主視圖為長為4，高為2的長方形，∴面積為；故選A．4.如圖，直線，點(diǎn)在直線上，射線交直線于點(diǎn)，則圖中與互補(bǔ)的角有（）

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，補(bǔ)角的定義等知識，利用平行線的性質(zhì)得出，得出結(jié)合對頂角的性質(zhì)，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得出，即可求出中與互補(bǔ)的角，即可求解．詳解】解∶∵，∴，∵，∴，又，∴圖中與互補(bǔ)的角有，，，共3個(gè)．故選∶C．5.為發(fā)展學(xué)生的閱讀素養(yǎng)，某校開設(shè)了《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》四個(gè)整本書閱讀項(xiàng)目，甲、乙兩名同學(xué)都通過抽簽的方式從這四個(gè)閱讀項(xiàng)目中隨機(jī)抽取一個(gè)．則他們恰好抽到同一個(gè)閱讀項(xiàng)目的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查概率的計(jì)算，掌握畫樹狀圖法或列表法是關(guān)鍵，事件發(fā)生的概率事件發(fā)生的次數(shù)所有可能出現(xiàn)的次數(shù)，解題的易錯(cuò)點(diǎn)是分清題目中抽簽是否放回．先畫樹狀圖求出兩位同學(xué)恰好都抽到同一個(gè)閱讀項(xiàng)目的情況，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：設(shè)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》四個(gè)整本書閱讀項(xiàng)目分別為，畫樹狀圖如下：一共有16種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到同一個(gè)閱讀項(xiàng)目的結(jié)果有4種可能，∴他們恰好抽到同一個(gè)閱讀項(xiàng)目的概率是，故選：D．6.將拋物線向下平移2個(gè)單位后，所得新拋物線的頂點(diǎn)式為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的平移以及頂點(diǎn)式，根據(jù)平移的規(guī)律“上加下減．左加右減”可得出平移后的拋物線為，再把化為頂點(diǎn)式即可．【詳解】解：拋物線向下平移2個(gè)單位后，則拋物線變?yōu)?，∴化成頂點(diǎn)式則為，故選：A．7.若，，這三個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)從左到右依次排列，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，求不等式組的解集，根據(jù)數(shù)軸上的數(shù)右邊的比左邊的大，列出不等式組，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，解得：；故選B．8.如圖，在扇形中，，半徑，是上一點(diǎn)，連接，是上一點(diǎn)，且，連接．若，則的長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了弧長公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)；連接，根據(jù)，，易證是等腰三角形，再根據(jù)，推出是等邊三角形，得到，即可求出，再根據(jù)弧長公式計(jì)算即可．【詳解】解：連接，，，，是等腰三角形，，，是等邊三角形，，，，，，故選：B．9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，，則四邊形的面積為（）A.14 B.11 C.10 D.9【答案】D【解析】【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，過A作于M，過B作于N，根據(jù)A、B、C的坐標(biāo)可求出，，，，，然后根據(jù)求解即可．【詳解】解∶過A作于M，過B作于N，∵，，，，∴，，，，∴，，∴四邊形的面積為，故選：D．10.如圖，在矩形中，是邊上兩點(diǎn)，且，連接與相交于點(diǎn)，連接．若，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求角的正弦值：過點(diǎn)作，證明，得到，再證明，分別求出的長，進(jìn)而求出的長，勾股定理求出的長，再利用正弦的定義，求解即可．【詳解】解：∵矩形，，，，∴，，∴，，∴，∴過點(diǎn)作，則：，∴，∴，∴，，∴，∴，∴；故選A．二、填空題：本大題共有6小題，每小題3分，共18分．請將答案填在答題卡上對應(yīng)的橫線上．11.計(jì)算：______．【答案】3【解析】【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合混算，先進(jìn)行開方和乘方運(yùn)算，再進(jìn)行加法運(yùn)算即可．【詳解】解：原式；故答案為：3．12.已知一個(gè)n邊形的內(nèi)角和是，則________．【答案】7【解析】【分析】本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式求多邊形的邊數(shù)，多邊形的內(nèi)角和可以表示成，依此列方程可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，得，解得．故答案為：713.在平面直角坐標(biāo)系中，若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，請寫出一個(gè)符合該條件的一次函數(shù)的表達(dá)式______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，能根據(jù)題意判斷出k、b的符號是解答此題的關(guān)鍵．先根據(jù)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限判斷出函數(shù)k及b的符號，再寫出符合條件的一次函數(shù)解析式即可．【詳解】解：設(shè)一次函數(shù)解析式為，∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，∴，∴符合該條件的一個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式是：（答案不唯一）．故答案為：（答案不唯一）．14.如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)在四邊形內(nèi)部，過點(diǎn)作的切線交的延長線于點(diǎn)，連接．若，，則的度數(shù)為______．【答案】##105度【解析】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，連接，利用等邊對等角得出，，利用切線的性質(zhì)可求出，然后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解∶連接，∵，，∴，，∵是切線，∴，即，∵，∴，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，故答案：．15.若反比例函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是，函數(shù)的最大值是，則______．【答案】##【解析】【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，正確得出與的關(guān)系是解題關(guān)鍵．直接利用反比例函數(shù)的性質(zhì)分別得出與，再代入進(jìn)而得出答案．【詳解】解：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)隨的增大而減小，最大值為，時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)隨的增大而減大，函數(shù)的最大值為，．故答案為：．16.如圖，在菱形中，，，是一條對角線，是上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，連接．若，則的長為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，過D作于H，先判斷，都是等邊三角形，得出，，，利用含的直角三角形的性質(zhì)可得出，進(jìn)而求出，，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】解∶過D作于H，∵菱形中，，，∴，，∴，都是等邊三角形，∴，，，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴，在中，，∴，故答案為：．三、解答題：本大題共有7小題，共72分．請將必要的文字說明、計(jì)算過程或推理過程寫在答題卡的對應(yīng)位置．17.（1）先化簡，再求值：，其中．（2）解方程：．【答案】（1），7；（2）【解析】【分析】本題考查了整式的運(yùn)算，二次根式的運(yùn)算，解分式方程等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）先利用完全平方公式、去括號法則化簡，然后把x的值代入計(jì)算即可；（2）先去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1，檢驗(yàn)，解分式方程即可．【詳解】解：（1），當(dāng)時(shí)，原式；（2）去分母，得，解得，把代入，∴是原方程的解．18.《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)（2014年修訂）》將九年級男生的立定跳遠(yuǎn)測試成績分為四個(gè)等級：優(yōu)秀（），良好（），及格（），不及格（），其中表示測試成績（單位：）．某校為了解本校九年級全體男生立定跳遠(yuǎn)測試的達(dá)標(biāo)情況，精準(zhǔn)找出差距，進(jìn)行科學(xué)合理的工作規(guī)劃，整理了本校及所在區(qū)縣九年級全體男生近期一次測試成績的相關(guān)數(shù)據(jù)，信息如下：a．本校測試成績頻數(shù)（人數(shù)）分布表：等級優(yōu)秀良好及格不及格頻數(shù)（人數(shù)）40706030b．本校測試成績統(tǒng)計(jì)表：平均數(shù)中位數(shù)優(yōu)秀率及格率222.5228c．本校所在區(qū)縣測試成績統(tǒng)計(jì)表：平均數(shù)中位數(shù)優(yōu)秀率及格率218.7223請根據(jù)所給信息，解答下列問題：（1）求出的值；（2）本校甲、乙兩名同學(xué)本次測試成績在本校排名（從高到低）分別是第100名、第101名，甲同學(xué)的測試成績是，請你計(jì)算出乙同學(xué)的測試成績是多少？（3）請你結(jié)合該校所在區(qū)縣測試成績，從平均數(shù)、中位數(shù)、優(yōu)秀率和及格率四個(gè)方面中任選兩個(gè)，對該校九年級全體男生立定跳遠(yuǎn)測試的達(dá)標(biāo)情況做出評價(jià)，并為該校提出一條合理化建議．【答案】（1）（2）乙同學(xué)的測試成績是（3）見解析【解析】【分析】本題考查的是頻率分布表，中位數(shù)，平均數(shù)的意義．讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從統(tǒng)計(jì)表中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)本校測試成績頻數(shù)（人數(shù)）分布表求出本次測試的總?cè)藬?shù)，利用優(yōu)秀率成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)即可求解；（2）根據(jù)第100名、第101名成績的平均值為該校本次測試成績的中位數(shù)，即可求解；（3）根據(jù)優(yōu)秀率和平均數(shù)的意義說明即可．【小問1詳解】解：本次測試的總?cè)藬?shù)為：（人），成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為：40人，則優(yōu)秀率為：；【小問2詳解】解：第100名、第101名成績的平均值為該校本次測試成績的中位數(shù)，中位數(shù)為228，則，答：乙同學(xué)的測試成績是；【小問3詳解】解：本校測試成績的平均數(shù)為222.5，本校所在區(qū)縣測試成績平均數(shù)為218.7，本校測試成績的優(yōu)秀率為，本校所在區(qū)縣測試成績優(yōu)秀率為，，從平均數(shù)角度看，該校九年級全體男生立定跳遠(yuǎn)的平均成績高于區(qū)縣水平，整體水平較好；從優(yōu)秀率角度看，該校九年級全體男生立定跳遠(yuǎn)成績中等水平偏上的學(xué)生比例低于區(qū)縣水平，該校測試成績的優(yōu)秀率低于區(qū)縣水平；建議：該校在保持學(xué)校整體水平的同時(shí)，多關(guān)注接近優(yōu)秀的學(xué)生，提高優(yōu)秀成績的人數(shù)．19.如圖，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組開展“實(shí)地測量教學(xué)樓的高度”的實(shí)踐活動(dòng)．教學(xué)樓周圍是開闊平整的地面，可供使用的測量工具有皮尺、測角儀（皮尺的功能是直接測量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離；測角儀的功能是測量角的大小）．（1）請你設(shè)計(jì)測量教學(xué)樓的高度的方案，方案包括畫出測量平面圖，把應(yīng)測數(shù)據(jù)標(biāo)記在所畫的圖形上（測出的距離用等表示，測出的角用等表示），并對設(shè)計(jì)進(jìn)行說明；（2）根據(jù)你測量的數(shù)據(jù)，計(jì)算教學(xué)樓的高度（用字母表示）．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）將測角儀放在D處，用皮尺測量出D到的距離為m，用測角儀測出A的仰角為，測出B的俯角為即可；（2）過C作于E，分別在和中，利用正切的定義求出、，即可求解．【小問1詳解】解：如圖，將測角儀放在D處，用皮尺測量出D到的距離為m，用測角儀測出A的仰角為，測出B的俯角為；【小問2詳解】解：如圖，過C作于E，則四邊形是矩形，，，∴，，在中，，在中，，∴，答：教學(xué)樓的高度為．20.圖是1個(gè)碗和4個(gè)整齊疊放成一摞的碗的示意圖，碗的規(guī)格都是相同的．小亮嘗試結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，探究整齊疊放成一摞的這種規(guī)格的碗的總高度（單位：）隨著碗的數(shù)量（單位：個(gè)）的變化規(guī)律．下表是小亮經(jīng)過測量得到的與之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)：個(gè)123468.410.813.2（1）依據(jù)小亮測量的數(shù)據(jù)，寫出與之間的函數(shù)表達(dá)式，并說明理由；（2）若整齊疊放成一摞的這種規(guī)格的碗的總高度不超過，求此時(shí)碗的數(shù)量最多為多少個(gè)？【答案】（1）（2）10個(gè)【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）求出每只碗增加的高度，然后列出表達(dá)式即可解答；（2）根據(jù)（1）中y和x的關(guān)系式列出不等式求解即可．【小問1詳解】解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加，∴，檢驗(yàn)∶當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴；【小問2詳解】解：根據(jù)題意，得，解得，∴碗的數(shù)量最多為10個(gè)．21.如圖，是的直徑，是的兩條弦，點(diǎn)與點(diǎn)在的兩側(cè)，是上一點(diǎn)（），連接，且．（1）如圖1，若，，求的半徑；（2）如圖2，若，求證：．（請用兩種證法解答）【答案】（1）3（2）見解析【解析】【分析】（1）利用等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理求出，結(jié)合，可得出，在中，利用勾股定理求解即可；（2）法一：過O作于F，利用垂徑定理等可得出，然后利用定理證明，得出，然后利用平行線的判定即可得證；法二：連接，證明，得出，然后利用平行線判定即可得證【小問1詳解】解∶∵，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴，解得，即的半徑為3；【小問2詳解】證明：法一：過O作于F，∴，∵∴，又，，∴，∴，∴；法二：連接，∵是直徑，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，明確題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解題是解題的關(guān)鍵．22.如圖，在中，為銳角，點(diǎn)在邊上，連接，且．

（1）如圖1，若是邊的中點(diǎn)，連接，對角線分別與相交于點(diǎn)．①求證：是的中點(diǎn)；②求；（2）如圖2，的延長線與的延長線相交于點(diǎn)，連接的延長線與相交于點(diǎn)．試探究線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）①見解析；②（2），理由見解析【解析】【分析】（1）①根據(jù)，得出為的中點(diǎn)，證明出即可；②先證明出得到，然后再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)找到線段的數(shù)量關(guān)系求解；（2）連接交于點(diǎn)，證明，進(jìn)一步證明出四邊形為平行四邊形，得出為的中位線，得到，再證明出得到，再通過等量代換即可求解．【小問1詳解】解：①，為的中點(diǎn)，，是邊的中點(diǎn)，，，在中，∴，又∵，，，是的中點(diǎn)；②，四邊形為平行四邊形，，，，∵，，，，，；【小問2詳解】解：線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：連接交于點(diǎn)，如下圖：由題意，的延長線與的延長線相交于點(diǎn)，連接的延長線與相交于點(diǎn)，，又，，，，，四邊形為平行四邊形，，，，為的中點(diǎn)，，，為的中點(diǎn)，為的中位線，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，三角線相似的判定及性質(zhì)，三角形的中位線等知識，解題的關(guān)鍵是添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形來求解．23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），頂點(diǎn)為，連接．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，若是軸正半軸上一點(diǎn)，