新教材2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版必修第一冊學(xué)案：12常用邏輯用語

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1.2常用邏輯用語

1.2.1命題與量詞

新課程標準學(xué)業(yè)水平要求

★水平一

1.能從教材實例中抽象出命題、丸命題、假命題的概念.（數(shù)學(xué)抽象）

通過已知的數(shù)學(xué)實例，理

2.能從教材實例中抽象出全稱量詞、存在量詞的含義.（數(shù)學(xué)抽象）

解全稱量詞與存在量詞

3.理解全稱心同命題、存在心同命題的概念,并能用數(shù)學(xué)符號去示.（數(shù)學(xué)抽象）

的意義

★水平二

能判定全稱改詞命題和存在量詞命題的真假.（邏輯推理）

除基礎(chǔ)認知?自主學(xué)習(xí)④

1.如何判斷一個語句是否為命題，怎么判斷真假?

2.怎樣從一個語句中找出全稱量詞和存在量詞？

1.命題

定義可供真假判斷的陳述語句

真命題:判斷為真的語句

分類

假命題:判斷為假的語句

數(shù)學(xué)中的命題*經(jīng)常借助符號和式子來

注意

表達

一個命題,要么是真命題，要么是假命

題，不能同時既是真命題又是假命題

2.全稱量詞與全稱量詞命題

⑴全稱量詞：“任意”“所有”“每一個”在陳述中表示所述事物的全

體，稱為全稱量詞,用符號“V”表示.

⑵全稱量詞命題:含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.

⑶符號表示：”對集合M中的所有元素x,r(x)”.可簡記為：Vx￡

M,r(x).

思考

常見的全稱量詞還有哪些？

提示：常見的全稱量詞還有“一切”“全部”“任給”“凡是”等.

3.存在量詞與存在量詞命題

⑴存在量詞：“存在”“有”“至少有一個”在陳述中表示所述事物的

個體或部分,稱為存在量詞,用符號“三”表示.

⑵存在量詞命題:含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.

⑶符號表示:“存在集合M中的元素x,s(x)可簡記為:mx￡M,s(x).

思考

常見的存在量詞還有哪些？

提示：常見的存在量詞還有“有些”“有一個”“對某些”等.

基礎(chǔ)小測

1.辨析記憶(對的打y”,錯的打“X”).

⑴全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質(zhì)的命題.

（2）存在量詞命題是陳述某集合中存在一個或部分元素具有某種性質(zhì)的

命題.（）

（3）全稱量詞命題一定含有全稱量詞.（）

提示：（1）V.全稱量詞命題中的全稱量詞表明給定范圍內(nèi)所有對象都

具有某一性質(zhì)，無一例外，強調(diào)“整體、全部”.

（2）V.存在量詞命題中的存在量詞則表明給定范圍內(nèi)的對象有例外，

強調(diào)“個別、部分”.

⑶X.有些命題雖然沒有寫出全稱量詞，但其意義具備“任意性”，這

類命題也是全稱量詞命題，如“正數(shù)大于?！奔础八姓龜?shù)都大于0”，

故說法是錯誤的.

2.下列語句是命題的是（）

①三角形內(nèi)角和等于180。;②2>3;

③一個數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù);④x>2；

⑤2021央視春晚真精彩啊！

A.①②③B.①③④

C.①②⑤D.②③⑤

選A.①,②,③是陳述句，且能判斷真假，因此是命題，④不能判斷真假,

⑤是感嘆句，故④,⑤不是命題.

3.（教材例題改編）下列四個命題中的真命題為（）

A.3xeZ,l<4x<3B.3x￡Z,5x+l=0

C.Vx￡R,x2-l=0D.VxGR,x2+x+2>0

選D.當x￡R時,X2+X+2=（X+02+^>O.

》能力形成?合作探究④

類型一判斷命題的真假（數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理）

【典例】1.能說明命題”對于任何實數(shù)a,|a|>-a”是假命題的一個反例可以

是（）

A.a=-2B.a=-C.a=lD.a=V2

3

2.下列命題是真命題的是（）

A.空集是任何集合的真子集

B.等腰三角形是銳角三角形

C.函數(shù)y=ax?+x+l是二次函數(shù)

D.若a￡（ADB）,貝a￡B

【思路導(dǎo)引】1?舉反例說明一個命題是假命題，就是所舉例子滿足命題

題設(shè)，而不滿足結(jié)論.

2.由真子集的定義、等腰三角形的特征、二次函數(shù)的定義以及集合的運

算即可得出選項.

1.選A.說明命題“對于任何實數(shù)a,|a|>-a”是假命題的一個反例可以是

a=-2,

當a=-2時,|a|=-a.

2.選D.空集是任何非空集合的真子集,故選項A錯誤;等腰三角形頂角可

以為鈍角,故選項B錯誤;函數(shù)y=ax?+x+l,當a=0時是一次函數(shù)，故選項C

錯誤;若a￡（ACB）,則a是集合A,B的公共元素，所以aGB.

解題策略

判斷一個命題真假的方法

⑴判斷一個命題是真命題，可從公理或定理出發(fā),用邏輯推理的方法證

明.

⑵判斷一個命題是假命題，首先分清原命題的條件與結(jié)論，然后舉反例

說明這個命題是假命題,就是所舉例子滿足命題條件，而不滿足結(jié)論.

跟蹤訓(xùn)練

判斷下列命題的真假：

(1)一個角的補角必大于這個角.

⑵一個有理數(shù)必有兩個平方根.

(3)直徑所對的圓周角是直角.

(4)兩條直線被第三條直線所截，同位角相等.

(5)等式兩邊都加同一個數(shù)，結(jié)果仍是等式.

⑴是假命題，例如設(shè)這個角是90°,它的補角是90°,而90°=90°.

(2)是假命題，例如有理數(shù)-1沒有平方根.

⑶是真命題，這是關(guān)于圓周角的結(jié)論.

(4)是假命題，兩條平行直線被第三條直線所截，同位角才相等.

⑸是真命題，這是等式的性質(zhì).

禺【補償訓(xùn)練】判斷下列命題的真假：

⑴全等的三角形必相似.

(2)同角或等角的補角相等.

⑶互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0.

(4)若ab=O,則a+b=O.

(1)是真命題，全等的三角形對應(yīng)角相等，可推出相似.

(2)是真命題，互補的兩個角和為180°,

由此可推出同角或等角的補角相等.

(3)是真命題，由相反數(shù)的定義可知此命題是真命題.

(4)是假命題，若a=0,b=4,ab=0,但a+bRO.

類型二全稱量詞命題與存在量詞命題及其真假的判斷(數(shù)學(xué)抽象、邏

輯推理)

【典例】1.下列命題中，是全稱量詞命題的有.(填序號)

①至少有—x,使x2+2x+l=0成立；

②對任意的x,都有x2+2x+l=0成立；

③對任意的x,都有x2+2x+l=0不成立；

④存在x,使x2+2x+l=0成立；

⑤矩形的對角線垂直平分.

2.下列四個命題:①沒有一個無理數(shù)不是實數(shù);②空集是任何一個非空集

合的真子集;③1+1<2;④至少存在一個整數(shù)x,使得x2-x+l是整數(shù)，其中是

真命題的為()

A.①②③④B.①②③C.①②④D.②④

【思路導(dǎo)引】1.有全稱量詞的是全稱量詞命題，有存在量詞的是存在量

詞命題，當沒有時,要結(jié)合命題的具體意義進行判斷.

2.根據(jù)實數(shù)的分類可判斷①為真命題，根據(jù)空集的性質(zhì)可判斷②為真命

題，根據(jù)實數(shù)的運算可判斷③為假命題,通過舉例可得④為真命題.

1.①和④中用的是存在量詞“至少有一個““存在”,屬于存在量詞命題;②

和③用的是全稱量詞“任意的”,屬于全稱量詞命題,所以②，③是全稱量

詞命題;⑤中命題“矩形的對角線垂直平分''省略量詞“任意”，是全稱量詞

命題.

答案:②③⑤

2.選C.因為實數(shù)由無理數(shù)和有理數(shù)構(gòu)成，故所有無理數(shù)都是實數(shù),①為真

命題；

因為空集是任何非空集合的真子集，故②為真命題;因為1+1=2,故③為

假命題；

取x=l,則x2-x+l=l是整數(shù)，故④為真命題.

解題策略

全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷的技巧

⑴全稱量詞命題的真假判斷.

要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x

驗證p(x)成立;但要判定全稱量詞命題是假命題，只要能舉出集合M中

的一個x=xo,使得p(xo)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個反例”).

(2)存在量詞命題的真假判斷.

要判定一個存在量詞命題是真命題，只要在限定集合M中，找到一個

x=xo,使p(xo)成立即可;否則，這一存在量詞命題就是假命題.

讖【補償訓(xùn)練】

指出下列命題中，哪些是全稱量詞命題,哪些是存在量詞命題，并判斷真

假.

(1)在平面直角坐標系中，任意有序?qū)崝?shù)對(x,y)都對應(yīng)一點.

(2)存在一個實數(shù)，它的絕對值不是正數(shù).

(3)3x,y￡Z,使3x-4y=20.

(4)任何數(shù)的。次方都等于1.

⑴全稱量詞命題.在平面直角坐標系中，任意有序?qū)崝?shù)對(x,y)與平面直

角坐標系中的點是一一對應(yīng)的，所以該命題是真命題.

(2)存在量詞命題.存在一個實數(shù)零，它的絕對值不是正數(shù),所以該命題是

真命題.

(3)存在量詞命題.取x=0,y=-5時,3x0-4x(-5)=20成立，所以該命題是真命

題.

(4)全稱量詞命題.0的0次方無意義，所以該命題是假命題.

類型三全稱量詞命題與存在量詞命題的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運算、邏輯推理)

【典例】1.若'勺x￡R,x2+2x-a<0”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍

是.

2.已知命題p:“Vx￡R,x2-2x+m>0”是真命題,求實數(shù)m的取值范圍.

【思路導(dǎo)引】1.利用△>()求a的范圍.

2.參數(shù)與變量分離,求函數(shù)y=-(x-l/+l的最大值.

1.若'勺xER,x2+2x-a<0w是真命題，

則△>0,即4+4a>0,解得a>-1,則實數(shù)a的取值范圍是{a|a>-1}.

答案：{a|a>~1}

2.p:“Vx￡R,x2-2x+m>0”是真命題，

即m>-x2+2x=-(x-1)2+1,xeR恒成立，

設(shè)函數(shù)y=-（x-l>+l,由二次函數(shù)的性質(zhì)知,

當x=l時,y最大值二1,所以m>y最大值二1,

即實數(shù)m的取值范圍是（1,+oo）.

解題策略

利用含量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍

⑴含參數(shù)的全稱量詞命題為真時，常與不等式恒成立有關(guān)，可根據(jù)有關(guān)

代數(shù)恒等式（如x2K））,確定參數(shù)的取值范圍.

⑵含參數(shù)的存在量詞命題為真時,常轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解問題來

處理，可借助根的判別式等知識解決.

畿【補償訓(xùn)練】

（2021?營口高一檢測）“VxGR,都有kWx?+l恒成立”是真命題,則實

數(shù)k的取值范圍是.

因為x?+121,即x2+1的最小值為1,要使“kWx?+1恒成立”，只需kW

2

（x+1）min,即kW1.

答案:kW1

》學(xué)情診斷?課堂測評《

1.下列命題中，真命題共有（）

①面積相等的三角形是全等三角形;②若xy=0,則|x|+|y|=0;

③若a>b,則a+c>b+c;④矩形的對角線互相垂直.

A.1個B.2個C.3個D.4個

選A.①,②,④是假命題,③是真命題.

2.以下四個命題既是存在量詞命題又是真命題的是（）

A.銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角

B.至少有一個實數(shù)x,使x2<0

C.兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù)

D.存在一個負數(shù)x,使二>2

X

選B.A中銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角是全稱量詞命題；B中x=0

時，x2=0,所以B既是存在量詞命題又是真命題；C中因為禽+(-6)=0,

1

所以C是假命題；D中對