高中數(shù)學(xué)課時作業(yè)(二十七)　正弦定理和余弦定理

課時作業(yè)（二十七）正弦定理和余弦定理

IA級-基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)|?>

jr

1.在△ABC中，若A=1,B=；,BC=3P，則AC=()

A.B.5

2

C.2小D.4小

［由正弦定理得：篇AC

CsinB9

3y/2Xsin彳

日門七

s8csin8=2小.]

即有AC=FTJT

sin與

2.在△ABC中，,b=T,ZB=l'則△ABC的形狀為（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等邊三角形D.等腰三角形或直角三角形

D［根據(jù)余弦定理有/MQZ+C2—2accosB,即1=層+3—3〃，解得。=1或。=2.當(dāng)。

=1時，三角形A8C為等腰三角形，當(dāng)〃=2時，三角形ABC為直角三角形.］

3.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知6=c,a2=2Z>2(l-sinA),則

A等于（)

3兀7t

A.TB.

7Cc兀

C.D

4-6

C[由余弦定理得〃2=按+”-2bccosA=2b2—2/?2cosA,

所以2fe2(l—sinA)=2"(]—cosA),

所以sinA=cosA,

即tanA=1,又0<A<n,

JT

所以A=z".]

4.ZVIBC的三個內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,若B=120°,sinC=^

c=2,則△ABC的面積等于（）

A,B.2小

cTD.

??R2X當(dāng)

h

A[由正弦定^,得匕=梟=逅=巾?由余弦定理左=。2+,2

7

-2accosB,得7=。2+4+2〃，解得〃=1或〃=—3（舍去），所以Sy此sin3=gX1

X2X坐=坐,故選A.]

5.（多選）（2020?即墨期中）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為〃，b,c,若a

sinA=4Z?sinB,ac=y[5（a2—h2—c2）,則下列選項正確的是（）

A.a=2b

4亞

RB.cosA

C.R正

C.sin3—亨

D.ZViBC為鈍角三角形

ab

ACD〔由而入=而行，得asinBfsinA,

又asinA=4bsinB,得4bsinB—asinA.

兩式作比得看=5

所以a=26,故A正確.

222

由ac=y[5（a—Z>—c）,得。2+/—〃2=―當(dāng)ac

由冬廿去拜弭.按+「一5一_亞a__亞2b__^5

由余弦代理'付cos4—2bc—2bc--10'b~10?。-5,

故B錯誤.

由于cosA<0,可得A為鈍角，故D正確.

由于懸=焉，可得sinS=Tsin4=^"TY）T>故C正確.

故選ACD.]

6.在AABC中，/4=號，。=巾&貝g=.

入2n

解析：在△ABC中，Z/l=—,

2n

a2=h2+cz-2hccos,艮口a2=b2+c2+hc.

?:a=y/5c,3c2=b2-hc2+be,.\b2~\~bc—2c2=0,

(/?+2c)(Z>—c)=0,.\h—c=O,:.b=c,=1.

答案：1

2JT

7.(2020?福建省質(zhì)量檢測)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,A=—,a

=7.若△ABC的面積為苧，則其周長是—.

解析：由面積公式可得S△詆=義bcsinA=^be,又由題意知阻80=今后，故be

=15.根據(jù)余弦定理，得解=按+理+歷,可得s+c)2一A=〃2,由4=7,bc=15,解得s+

C)2=64,即b+c=8,所以周長為a+l+c=15.

答案：15

8.(2020?浙江期中)在三角形48c中，角A,B,。對應(yīng)的邊分別為a,b,c,且bcosA

+acosB=2asinC,則4=,若b=2a,且△ABC的面積為小,則a=.

解析：因為AcosA+acosB=2asinC,

所以由正弦定理可得sin8cosA+sinAcosB=2sinAsinC,

可得sin(A+B)=sinC=2sinAsinC

因為sinCWO,所以sinA=g.

又因為A￡(0,?),則角A=V或第，

若b=2a,由正弦定理施=磊，可得f，解得sing

2

由于8仁(0,n),可得8=/,貝1|4=看，C=y.

因為△ABC的面積為小=；ahsinC=^XQX2〃X坐,解得。=啦.

答案：或胃；啦

9.(2020?全國卷H)Z\43C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cos{++A)+

5

cosA=z'

⑴求A;

(2)若b—c=￥”，證明：△ABC是直角三角形.

解析：(1)由已知得sin2A+cosA=1',

即cos2A—cosA+^=0.

所以(cosA—§=0,COSA=￡.

JI

由于0<A<JI,故人=亍.

(2)證明：由正弦定理及已知條件可得

小

sin8—sinC=sinA.

,，2五“，(2H\\[3JI

由(1)知3+C=-^-,所以sin8—sinI-y—I=sin亍.

即;sin8一坐cosB=T,sin(8一總=義.

由于0<8<弓",故8=方.從而△ABC是直角三角形.

10.(開放型)在△ABC中，mb,c分別為內(nèi)角4,B,C所對的邊，且滿足sinA+#

cosA=2.

(1)求角A的大小;

JlL

(2)現(xiàn)給出三個條件：①。=2；②8=7；③。=小6.試從中選出兩個可以確定△ABC

的條件，寫出你的方案并以此為依據(jù)求aABC的面積.(寫出一種方案即可)

解析：⑴依題意得2sin(A+/~)—2,即sin(A+均)=1,

JTn4nnnn

'/0</l<n,<A+w,.?.A+丁=-2，?

(2)選擇①②，由正弦定理新=磊，得T號=2p.

?：A+8+C=n,

sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsinB=，:爬,

.*.5AABC=|absinC=1X2X2/義顯普=小+1

選擇①@,?.7=小by由正弦定理得sin。=小sin8,即sin(A+3)=小sin8,

可得sinAcosB+cosAsinB=yf3sinB,

Jllnr~

,得cosB=，§sinB,解得B=3~,.\b=a=2,c=2y]3,

SAABC—besinA=；X2X2小=小.

選擇②?,.*sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

4

由人結(jié)合正弦定理得sinC=45sin8=半，矛盾,

所以此種方案無法確定△ABC.

IB級?技能提升|............................

11.△ABC中，BC=2,AC=3,cosC=^,則△ABC外接圓的面積為（）

83兀81兀

A--------R--------

A.32634

C[△A3C中，令內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

\"a=2,b=3,且cosC=Q,

二由余弦定理可知c2=a2+〃-2abcosC=22+32-2X2><3X；=9,；.c=3.

又sinC=、1-(以=乎，,由正弦定理可知外接圓半徑/?=1X-fr；X

\/J乙dill乙

3____9^/2

豆=8.

3

O1X1JI

故外接圓面積S=nR2=1Tx為=—.故選C.]

12.(多選)已知a,b,c分別是AABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊，下列四個命題中正

確的是()

A.若tanA+tanB+tanOO,則△ABC是銳角三角形

B.若acosA=6cosB,則△ABC是等腰三角形

C.若bcosC+ccos8=6,則△ABC是等腰三角形

D-若急=卷=.,則是等邊三角形

ACD[因為tanA+tanB=tan(A+B)(l—tanAtanB),所以tanA+tan3+tanC=tan(4

+8)(1—tanAtanB)+tanC=_tanC(1—tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanGO,所以A,B,

C均為銳角，所以A項正確；由〃cosA=bcos8及正弦定理，可得sin2A=sin28,所

以A=3或A+B=：,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以B項錯誤；由〃cos。

+ccosB=b及正弦定理，可知sin8cosC+sinCcos8=sinB,所以sinA=sinB,所以A

=B,所以C項正確；由已知和正弦定理，易知tanA=tanB=tanC,所以A=8=C,所以

D項正確.故選ACD項.]

13.(開放型)(2020?山東日照二模)在①/+加=屋+理；②acosB=bsinA；sin

B+cosB=2,這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題.

已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,,A=?,b=^2.

⑴求角B；

(2)求AABC的面積.

解析：若選擇①6+訛=/+°2.

+/一房2

(1)由余弦定理得cosB=~^~~t^+ac—b

ac=~lac-=2，

71

因為3W(0,n),所以3=至.

-sinT

⑵由正弦定理總bbsinA

仔：

~smB3ci=sinBZ=3

2

nnJIJI5n5n

因為A=-r,B=~r,所以C=n————=-7y,所以sinC=sin7y=sin

IJ1J141乙

fnnAJIJInJiy[6+y[2

G+不J=sinycosy+cosysiny=4，

"I”112A/3r~3+V3

所以SAABC=5ABSinC=2X3XgX理工=仔-

若選擇②〃cos8=bsinA.

(1)由正弦定理得小sinAcosB=sinBsinA,

因為sinAWO,所以小cosB=sinB,即tanB=<§,

n

又B￡(0,Ji),所以8=亍.

(2)同上.

若選擇③sinB+cosB=2.

(1)由和角公式得2sin(3+總=2,所以sin(8+弓一)=1.

因為5￡(0,冗)，所以5+看￡管，票)，

冗冗冗

所以8+石=y,所以8=y.

(2)同上.

14.(2020?河北九校第二次聯(lián)考)已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為小

b,c,其外接圓半徑R滿足3/?2+2QCCOSB=〃2+C2.

(1)求8的大?。?/p>

(2)已知aABC的面積S="警，求a+c的取值范圍.

解析：(l)：3R2+2qccos8=霹+(?,

.\3R2=a1+c2—2accosB=b2,

即R=*b,

..nb_3J

..smB=或=bX乖=2'

,n

又B為銳角，.

(2);△ABC的面積S=42c=gacsin-y,

:,b=3,2R=^-^~b=2\[3,又。aA=2R,A+C=n—,

jsinz>sinOxJ

l2n廣3s

.*.tz+c=2/?(sinA+sinC)=2小[sinA+sin(^--4)]=2仍傷sinA+cosA)=

6sin(7+A),

由△4BC是銳角三角形得4d（看，4）,

nn2冗

?"+dG（T'—），

滅、后

Asin（A+豆）e（2，I]，

；.a+ce（3小，6],即a+c的取值范圍為（3小，6].

IC級?高分挑戰(zhàn)|.........................?>

15.《數(shù)書九章》中已知三角形三邊長求三角形面積的求法填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個

空白，與著名的海倫公式完全等價，由此可以看出我國在古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平.書中

記載的三角形面積的求法是：“以小斜基并大斜累減中斜幕，余半之，自乘于上；以小斜鼎

乘大斜哥減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，

即三邊長分別為a,b,c的三角形的面積S=$現(xiàn)有周長為4+V10

的△ABC滿足sinA：sinB：sinC=（g—1）：小：（啦+1）.用以上給出的公式求△ABC

的面積為（）

A.羋B.亭C.*D.當(dāng)

A[因為sinA：sinB：sinC=（也一1）：?。海ㄒ?1）,所以由正弦定理，得a：Z?