高中數(shù)學(xué)學(xué)案1：高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修 第一冊(cè) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

第五章三角函數(shù)

5.4.3正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、理解并掌握正切函數(shù)的周期性、定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性。

2、能夠應(yīng)用正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關(guān)問題。

3、會(huì)利用正切線及正切函數(shù)的性質(zhì)作正切函數(shù)的圖象。

4、經(jīng)歷根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)描繪函數(shù)圖象的過程，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)線的作用。

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：掌握正切函數(shù)的周期性、定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性;

難點(diǎn)：能夠應(yīng)用正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關(guān)問題。

知識(shí)梳理

1.正切函數(shù)的圖象:

JI

正切曲線是被相互平行的直線x=—+k^，所隔開的無窮多支曲線組成的.

乙Aez

值域—

周期

奇偶性—

單調(diào)性

在開區(qū)間_____________________內(nèi)都是增函數(shù)

學(xué)習(xí)過程

提出問題

(1)根據(jù)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為應(yīng)如何研究正切函數(shù)的圖象

與性質(zhì)？

(2)你能用不同的方法研究正切函數(shù)嗎？

有了前面的知識(shí)準(zhǔn)備，我們可以換個(gè)角度，即從正切函數(shù)的定義出發(fā)研究它的性質(zhì)，再

利用性質(zhì)研究正切函數(shù)的圖象.

問題探究

1.周期性

由誘導(dǎo)公式tan(%+n)=tan%,xGR,且％嗎+1＜門，kCZ,可知，正切函數(shù)是周期函

數(shù)，

周期是n.

2.奇偶性

由誘導(dǎo)公式tan(—%)=—tanx,%GR,且x“，kGZ,

可知，正切函數(shù)是奇函數(shù).

你認(rèn)為正切函數(shù)的周期性和奇偶性對(duì)研究它的圖象及其他性質(zhì)會(huì)有什么幫助？

可以先考察函數(shù)丫=tan%,%G[0,全的圖象與性質(zhì)，然后再根據(jù)奇偶性、周期性

進(jìn)行拓展.

如何畫出函數(shù)y=tanx,xe[o,^)的圖象的圖象？

如圖5.4.9,設(shè)支￡[0,蘇，在直角坐標(biāo)系中畫出角》的終邊與單位圓的交點(diǎn)B(比，yo)

過點(diǎn)B作％軸的垂線，垂足為M；過點(diǎn)A(1,0)作工軸的垂線與角％的終邊交于點(diǎn)T,

則

圖5.1-10

圖5.1-9

由此可見，當(dāng)xW[O（）時(shí)，線段AT的長(zhǎng)度就是相應(yīng)角％的正切值.我們可以利用線段

AT畫出函數(shù)丫=tanx,久6[0,$的圖象，如圖5.4.10所示.觀察圖5.4.10可知，

當(dāng)工￡[0彳）時(shí)，隨被工的增大，線段AT的長(zhǎng)度也在增大，而且當(dāng)％趨向于卻寸，AT的長(zhǎng)

度趨向于無窮大.相應(yīng)地，函數(shù)y=tan%,%w[0,$的圖象從左向右呈不斷上升趨勢(shì)，

且向右上方無限逼近直線X=]

你能借助以上結(jié)論，并根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，畫出正切函數(shù)的圖象嗎？

正切函數(shù)的圖象有怎樣的特征？

根據(jù)正切函數(shù)是奇函數(shù)，只要畫丫=tan%,XG[0,J）的圖象關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱圖形,

就可得到丫=12n久，％e（-*0]的圖象；根據(jù)正切函數(shù)的周期性，只要把函數(shù)y=ta7ix,

xe（-今今的圖象向左、右平移，每次平移n個(gè)單位，就可得到正切函數(shù)％GR,且

g+kn,kGZ的圖象，我們把它叫做正切曲線（tangentcurve）（圖5.4.11）.

從圖5.4.11可以看出，正切曲線是被與y軸平行的一系列直線％=”kn,kez

所隔開的無窮多支形狀相同的曲線組成的.

3.單調(diào)性

觀察正切曲線可知，正切函數(shù)在區(qū)間（《，》上單調(diào)遞增.

由正切函數(shù)的周期性可得，正切函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間（￡+k7T,1+k7T）,kCZ,上都單調(diào)遞

增.

4.值域

當(dāng)％6(-今今時(shí)，ta九龍?jiān)?-8,+8)內(nèi)可取到任意實(shí)數(shù)值，但沒有最大值、最

小值.因此，正切函數(shù)的值域是實(shí)數(shù)集R.

典例解析

例6.求函數(shù)丫=位*％+小的定義域、周期及單調(diào)區(qū)間.

達(dá)標(biāo)檢涮

1.函數(shù)尸tanfJI彳JI且xWOj1的值域是()

A.[T,l]B.[-1,0)U(0,1]

C.(—8,1]D.[―1,+°0)

2.函數(shù)/'(x)=tan(x+高的定義域是,4看)

3.函數(shù)尸一tanx的單調(diào)遞減區(qū)間是.

4.函數(shù)y=|tanx|的周期為.

5.(1)求函數(shù)y=tangx—3的單調(diào)區(qū)間；

(2)比較tan(——與tan(一亍的大小.

課堂小結(jié)

讓我們回顧半節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，看看主要的收獲有哪些?

知識(shí)上：正切函數(shù)圖像和性質(zhì)及簡(jiǎn)單應(yīng)用

思想方法上：類比思想，整體代換思想。

參考答案：

一、知識(shí)梳理

(nn、n

R;口奇；一3+An，方+AnA-GZ；-Ir

l/乙)I3I

二、學(xué)習(xí)過程

例6.分析：利用正切函數(shù)的性質(zhì)，通過代數(shù)變形可以得出相應(yīng)的結(jié)論.

解：自變量》的取值應(yīng)滿足;=x+gW]+kw,keZ；即;4^i+2k,kez

所以，函數(shù)的定義域是卜卜w1+2k,k￡Z}

設(shè)z=yx+p又tan(z+兀)=tanz,

所以tang%+力+兀尸tm(1%+小；即；tan[y(%4-2)4-^\=tan(；%+g

因?yàn)閧久,W：+2k,kez},

都有tan[三(％+2)+^]=tan(5%+三)

所以，函數(shù)的周期為2.

由一&+kji<—x+<—+/c7r,kSZ;解得；-g+2/c<x<-+2k,keZ

因此，函數(shù)在區(qū)間(—3+2k,l+2/c),kez,上單調(diào)遞增.

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得.

【答案】B

JlITJT

2.【解析】由題意知+k(AWZ),即xWp+An(ACZ).

OZ3

n(JI1/JTn\r-

故定義域?yàn)?x+—,A￡Z'，且/H-|=tan|—+—1=-73.

【答案】km'小

o

3.【解析】因?yàn)閥=tanx與尸一tanx的單調(diào)性相反，

所以y=—tanx的單調(diào)遞減區(qū)間為［一5，5(aGZ).

(nn\

【答案】［一7+0,5+4”J(MZ)

4.【解析】作出尸|tanx|的圖象，如圖所示.

由圖可知，函數(shù)y=|tan'的最小正周期是n.

【答案】n

JI1JIJIJT3n

5.【解】(1)由A"—另<x—+歹(4￡2)得，2An一于<x<2An+-^-(AeZ),

乙乙d乙乙乙

f1n)(JI3兀、

所以函數(shù)夕=1@"/才一"的單調(diào)遞增區(qū)間是12A冗一5,24兀+/-J(A￡Z).

/\」_丁(13吟(人,3nA3nn

⑵由于tan1-—--l=tanl_4Ji+-l=tan-—tan-,

12n(,2n2冗JI2Jin

tan=-tanl2n+~=-tan又僅不可〈萬'