古典概型高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊+++

10.1.3古典概型

1.通過具體實例，經(jīng)歷從特殊到一般的過程，會根據(jù)古典概型的樣本空間及樣本點的特征，判斷古典概率模型；

2.通過具體實例，理解古典概型概率計算的含義，能應(yīng)用求古典概型問題的一般思路求事件發(fā)生的概率；

3.通過課本例題，理解有放回抽樣，無放回抽樣，等比例分層抽樣下樣本空間的差異，體會不同的簡單隨機抽樣在概率求解中的作用．

學(xué)習(xí)目標提出問題

通過試驗和觀察的方法可以得到一些事件的概率估計.但這種方法耗時多，而且得到的僅是概率的近似值.

研究隨機現(xiàn)象，最重要的是知道隨機事件發(fā)生的可能性大小.對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量（數(shù)值）稱為事件的概率，事件A的概率用P（A）表示.

能否通過建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，直接計算隨機事件的概率呢?回顧思考

在10.1.1節(jié)中，我們討論過這些試驗的樣本空間.

彩票搖號：樣本空間Ω={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}

拋擲一枚均勻硬幣：用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，則樣本空間為Ω={h,t}.

拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察它落地時朝上的面的點數(shù)：則樣本空間為Ω={1，2，3，4，5，6}.

思考1：這些試驗的樣本點及樣本空間有哪些共性？

請按下暫停鍵，思考后再聽講哦！歸納共性這些試驗的樣本點及樣本空間具有如下共同特征：（1）有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；（2）等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.

將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

下面我們來研究古典概型.思考探究

思考2：考慮下面兩個隨機試驗，如何度量事件A和事件B發(fā)生的可能性大?。浚?）一個班級中有18名男生、22名女生.采用抽簽的方式，從中隨機選擇一名學(xué)生，事件A=“抽到男生”；（2）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，事件B=“恰好一次正面朝上”.

請按下暫停鍵，思考后再聽講哦！思考探究

（1）一個班級中有18名男生、22名女生.采用抽簽的方式，從中隨機選擇一名學(xué)生，事件A=“抽到男生”；

對于問題（1），班級中共有40名學(xué)生，因為是隨機選取，所以選到每個學(xué)生的可能性相等.

樣本空間中樣本點有限個，樣本點發(fā)生的可能性相等.這是一個古典概型.

抽到男生的可能性大小，取決于男生數(shù)在班級學(xué)生數(shù)中所占的比例大小.

因此，可以用男生數(shù)與班級學(xué)生數(shù)的比值來度量.事件A發(fā)生的可能性大小為.思考探究

（2）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，事件B=“恰好一次正面朝上”.

用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示“反面朝上”則試驗的樣本空間Ω={（1，1，1），（1，1，0），（1，0，1），（1，0，0）

（0，1，1），（0，1，0），（0，0，1），（0，0，0）}共有8個樣本點，每個樣本點是等可能發(fā)生，是一個古典概型.

事件B發(fā)生的可能性大小，取決于這個事件包含的樣本點在樣本空間包含的樣本點中所占的比例大小.則試驗的樣本空間Ω={（1，1，1），（1，1，0），（1，0，1），（1，0，0）

（0，1，1），（0，1，0），（0，0，1），（0，0，0）}

所以事件B發(fā)生的可能性大小為.抽象定義

一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率

其中n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù).

思考3：如何定義古典概型下隨機事件A的概率？

請按下暫停鍵，思考后再聽講哦！例題鞏固

例7

單項選擇題是標準化考試中常用的題型，一般是從A,B,C,D四個選項中選擇一個正確答案.如果考生掌握了考查內(nèi)容，他可以選擇唯一正確的答案.假設(shè)考生有一題不會做，他隨機選擇一個答案，答對的概率是多少？

解:

試驗的樣本空間可以表示為Ω={A,B,C,D}.考生隨機選擇一個答案，表明每個樣本點發(fā)生的可能性相等，是古典概型.

設(shè)M=“選中正確答案”，因為正確答案是唯一的，所以n（M）=1.所以，考生隨機選擇一個答案，答對的概率

請按下暫停鍵，思考后再聽講哦！深入思考

思考4：在標準化考試中也有多選題，多選題是從A,B,C,D四個選項中選出所有正確的答案(四個選項中至少有一個選項是正確的).你認為單選題和多選題哪種更難選對？為什么？

由上題的分析，可知這是一個古典概型.

設(shè)M=“選中正確答案”，因為正確答案是唯一的，所以n（M）=1.

考查樣本空間包含的樣本點個數(shù)：Ω={A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,

ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD}

請按下暫停鍵，思考后再聽講哦！例題鞏固

例8

拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（標記為Ⅰ號和Ⅱ號），觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結(jié)果.

（1）寫出這個試驗的樣本空間，并判斷這個試驗是否為古典概型；

（2）求下列事件的概率：

A=“兩個點數(shù)之和是5”；

B=“兩個點數(shù)相等”；

C=“Ⅰ號骰子的點數(shù)大于Ⅱ號骰子的點數(shù)”.

請按下暫停鍵，思考后再聽講哦！例題鞏固

（1）寫出這個試驗的樣本空間，并判斷這個試驗是否為古典概型；Ⅱ號骰子點數(shù)nⅠ號骰子點數(shù)m1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)由于骰子質(zhì)地均勻，各個樣本點出現(xiàn)的可能性相等.因此，這個試驗是古典概型.列出表格直觀呈現(xiàn)Ω={(m,n)m,n∈{1，2，3，4，5，6}}，共36個樣本點.例題鞏固

A=“兩個點數(shù)之和是5”；Ⅱ號骰子點數(shù)nⅠ號骰子點數(shù)m1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)所以n(A)=4，從而例題鞏固B=“兩個點數(shù)相等”

Ⅱ號骰子點數(shù)nⅠ號骰子點數(shù)m1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)所以n(B)=6，從而例題鞏固C=“Ⅰ號骰子的點數(shù)大于Ⅱ號骰子的點數(shù)”Ⅱ號骰子點數(shù)n

Ⅰ號骰子點數(shù)m1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)所以n(C)=15，從而概念辨析

思考5：在例8中，為什么要把兩枚骰子標上記號？如果不給兩枚骰子標記號，會出現(xiàn)什么情況？你能解釋其中的原因嗎？

如果不給兩個骰子標記號，則不能區(qū)分所擲出的兩個點數(shù)分別屬于哪枚骰子，如拋擲出的結(jié)果是1點和2點，有可能第一枚骰子的結(jié)果是1點，也有可能第二枚骰子的結(jié)果是1點.這樣，（1，2）和（2，1）的結(jié)果將無法區(qū)別.

請按下暫停鍵，思考后再聽講哦！概念辨析

思考5：在例8中，為什么要把兩枚骰子標上記號？如果不給兩枚骰子標記號，會出現(xiàn)什么情況？你能解釋其中的原因嗎？

Ⅱ號骰子點數(shù)nⅠ號骰子點數(shù)m1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)

比如，（1，2）和（2，1）的結(jié)果無法區(qū)別.Ω1=，共21個樣本點.概念辨析

1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(4,4)(5,4)(6,4)5(5,5)(6,5)6(6,6)事件A=“兩個點數(shù)之和是5”A={（4，1），（3，2）}所以n(A)=2，從而思考6：同一個事件的概率，為什么會出現(xiàn)兩個不同的結(jié)果呢？

請按下暫停鍵，思考后再聽講哦！概念辨析

由表格不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個骰子不加以區(qū)分時，（1，1）和（1，2）發(fā)生的可能性大小不等，這不符合古典概型，不能用古典概型公式計算，因此不加以區(qū)分的結(jié)果是錯誤的.

1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)歸納思路

求解古典概型問題的一般思路：

（1）明確試驗的條件及要觀察的結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆枺ㄗ帜?、?shù)字、數(shù)組等）表示試驗的可能結(jié)果（借助圖表可以幫助我們不重不漏地列出所有的可能結(jié)果）；

（2）根據(jù)實際問題情境判斷樣本點的等可能性；

（3）計算樣本點總個數(shù)及事件A包含的樣本點個數(shù)，求出事件A的概率.思考7：你能歸納求解古典概型問題的一般思路嗎？

請按下暫停鍵，思考后再聽講哦！例題鞏固

例9

袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球、三個黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，求下列事件的概率：

（1）A=“第一次摸到紅球”；

（2）B=“第二次摸到紅球”；

（3）AB=“兩次都摸到紅球”.

請按下暫停鍵，思考后再聽講哦！例題鞏固

由上例的分析可知，為使樣本點出現(xiàn)的可能性相等，應(yīng)該對五個小球進行編號.解：

將兩個紅球編號為1，2，三個黃球編號為3，4，5.

第一次第二次123451×（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）2（2，1）×（2，3）（2，4）（2，5）3（3，1）（3，2）×（3，4）（3，5）4（4，1）（4，2）（4，3）×（4，5）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）×

由于不放回摸球，

n（Ω）=20

A=“第一次摸到紅球”n（A）=8

解：

將兩個紅球編號為1，2，三個黃球編號為3，4，5.

第一次第二次123451×（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）2（2，1）×（2，3）（2，4）（2，5）3（3，1）（3，2）×（3，4）（3，5）4（4，1）（4，2）（4，3）×（4，5）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）×

由于不放回摸球，

n（Ω）=20

B=“第二次摸到紅球”n（B）=8

例題鞏固第一次第二次123451×（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）2（2，1）×（2，3）（2，4）（2，5）3（3，1）（3，2）×（3，4）（3，5）4（4，1）（4，2）（4，3）×（4，5）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）×

同時摸出兩個球，則可以把(1，2),(2，1)看成同一個結(jié)果，則樣本點總數(shù)為n（Ω）=10，每個樣本點可能性相等.思考8：如果同時摸出2個球，那么事件AB的概率是多少？

分兩次不放回摸球，由表格可知摸球結(jié)果可以“兩兩合并”.比如（1，2）,（2，1）AB發(fā)生的樣本點為(1，2),n（AB）=1.例題鞏固

例10

從兩名男生（記為B1和B2)、兩名女生（記為G1和G2

）中任意抽取兩人.

（1）分別寫出有放回簡單隨機抽樣、不放回簡單隨機抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間；

（2）在三種抽樣方式下，分別計算抽到的兩人都是男生的概率.

請按下暫停鍵，思考后再聽講哦！例題鞏固

例10

從兩名男生（記為B1和B2)、兩名女生（記為G1和G2

）中任意抽取兩人.

（1）分別寫出有放回簡單隨機抽樣、不放回簡單隨機抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間；有放回簡單隨機抽樣第一次第二次B1B2G1G2B1(B1,B1)(B1,B2)(B1,G1)(B1,G2)B2(B2,B1)(B2,B2)(B2,G1)(B2,G2)G1(G1,B1)(G1,B2)(G1,G1)(G1,G2)G2(G2,B1)(G2,B2)(G2,G1)(G2,G2)不放回簡單隨機抽樣第一次第二次B1B2G1G2B1×(B1,B2)(B1,G1)(B1,G2)B2(B2,B1)×(B2,G1)(B2,G2)G1(G1,B1)(G1,B2)×(G1,G2)G2(G2,B1)(G2,B2)(G2,G1)×

n（Ω1）=16

n（Ω2）=12例題鞏固

例10

從兩名男生（記為B1和B2)、兩名女生（記為G1和G2

）中任意抽取兩人.

（1）分別寫出有放回簡單隨機抽樣、不放回簡單隨機抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間；

按性別等比例分層抽樣，先從男生中抽一人，再從女生中抽一人，其樣本空間Ω3={（B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2)}n(Ω3)=4.例題鞏固

例10

從兩名男生（記為B1和B2)、兩名女生（記為G1和G2

）中任意抽取兩人.

（2）在三種抽樣方式下，分別計算抽到的兩人都是男生的概率.有放回簡單隨機抽樣第一次第二次B1B2G1G2B1(B1,B1)(B1,B2)(B1,G1)(B1,G2)B2(B2,B1)(B2,B2)(B2,G1)(B2,G2)G1(G1,B1)(G1,B2)(G1,G1)(G1,G2)G2(G2,B1)(G2,B2)(G2,G1)(G2,G2)

n（Ω1）=16設(shè)事件A=“抽到兩名男生”對于有放回簡單隨機抽樣，樣本點n（A）=4，且Ω1中的每個樣本點可能性相等.例題鞏固

例10

從兩名男生（記為B1和B2)、兩名女生（記為G1和G2

）中任意抽取兩人.

（2）在三種抽樣方式下，分別計算抽到的兩人都是男生的概率.不放回簡單隨機抽樣第一次第二次B1B2G1G2B1×(B1,B2)(B1,G1)(B1,G2)B2(B2,B1)×(B2,G1)(B2,G2)G1(G1,B1)(G1,B2)×(G1,G2)G2(G2,B1)(G2,B2)(G2,G1)×

n（Ω2）=12設(shè)事件A=“抽到兩名男生”對于不放回簡單隨機抽樣，樣本點n（A）=2，且Ω2中的每個樣本點可能性相等.例題鞏固

例10

從兩名男生（記為B1和B2)、兩名女生（記為G1和G2

）中任意抽取兩人.

（2）在三種抽樣方式下，分別計算抽到的兩人都是男生的概率.