2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義第八章8.5　直線、平面垂直的判定與性質(zhì)(學(xué)生版+解析)

§8.5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)考試要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.2.掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用．知識梳理1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果直線l與平面α內(nèi)的________________直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的__________都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,,,))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,))?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的________所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是________；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是______的角．(2)范圍：____________.3．二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的________________所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角：如圖，在二面角α－l－β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作________________的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．(3)二面角的范圍：________________.4．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是________________，就說這兩個平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面過另一個平面的______，則這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,))?α⊥β性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于______的直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,,))?l⊥α常用結(jié)論1．三垂線定理平面內(nèi)的一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．2．三垂線定理的逆定理平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直．3．兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若直線l與平面α內(nèi)的兩條直線都垂直，則l⊥α.()(2)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.()(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面．()(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α.()教材改編題1．下列命題中正確的是()A．如果直線a不垂直于平面α，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于直線aB．如果平面α垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線平行于平面βC．如果直線a垂直于平面α，那么平面α內(nèi)一定不存在直線平行于直線aD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β2.如圖，在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點，D是EF的中點，現(xiàn)在沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1，G2，G3三點重合，重合后的點記為G，則在四面體S－EFG中必有()A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面3．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有________對．題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1(1)已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題____________．聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2021·全國甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點，BF⊥A1B1.①求三棱錐F－EBC的體積；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________②已知D為棱A1B1上的點，證明：BF⊥DE.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練1如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱CD，A1D1的中點．(1)求證：AB1⊥BF；(2)求證：AE⊥BF；(3)棱CC1上是否存在點P，使BF⊥平面AEP？若存在，確定點P的位置，若不存在，說明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2(2023·桂林模擬)如圖所示，已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD且AB＝1，PA＝AD＝PD＝2，E為PD的中點．(1)求證：平面PCD⊥平面ACE；(2)求點B到平面ACE的距離．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直線”．②若兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面．跟蹤訓(xùn)練2(2022·邯鄲模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點，求證：(1)PA⊥平面ABCD；(2)平面BEF∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用例3如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是底面為正方形的長方體，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，點P是AD1上的動點．(1)試判斷不論點P在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D，并證明你的結(jié)論；(2)當P為AD1的中點時，求異面直線AA1與B1P所成的角的余弦值；(3)求PB1與平面AA1D1D所成的角的正切值的最大值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化．(2)對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證．跟蹤訓(xùn)練3(2023·柳州模擬)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝2eq\r(2)，O為AC的中點．(1)證明：PO⊥平面ABC；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若點M在棱BC上，且PM與平面ABC所成角的正切值為eq\r(6)，求二面角M－PA－C的余弦值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________§8.5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)考試要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.2.掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用．知識梳理1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,n?α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0°的角．(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角：如圖，在二面角α－l－β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．(3)二面角的范圍：[0，π]．4．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,a⊥β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α常用結(jié)論1．三垂線定理平面內(nèi)的一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．2．三垂線定理的逆定理平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直．3．兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若直線l與平面α內(nèi)的兩條直線都垂直，則l⊥α.(×)(2)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.(√)(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面．(×)(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α.(×)教材改編題1．下列命題中正確的是()A．如果直線a不垂直于平面α，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于直線aB．如果平面α垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線平行于平面βC．如果直線a垂直于平面α，那么平面α內(nèi)一定不存在直線平行于直線aD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β答案C解析若直線a垂直于平面α，則直線a垂直于平面α內(nèi)的所有直線，故C正確，其他選項均不正確．2.如圖，在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點，D是EF的中點，現(xiàn)在沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1，G2，G3三點重合，重合后的點記為G，則在四面體S－EFG中必有()A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面答案A解析四面體S－EFG如圖所示，由SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G且GE，GF?平面EFG得SG⊥△EFG所在平面．3．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有________對．答案7解析如圖，由于PD垂直于正方形ABCD，故平面PDA⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7對．題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1(1)已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題________．答案②③?①(或①③?②)解析已知l，m是平面α外的兩條不同直線，由①l⊥m與②m∥α，不能推出③l⊥α，因為l可以與α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m與③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α與③l⊥α可以推出①l⊥m.(2)(2021·全國甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點，BF⊥A1B1.①求三棱錐F－EBC的體積；②已知D為棱A1B1上的點，證明：BF⊥DE.①解如圖，取BC的中點M，連接EM，由已知可得EM∥AB，AB＝BC＝2，CF＝1，EM＝eq\f(1,2)AB＝1，AB∥A1B1，由BF⊥A1B1得EM⊥BF，又EM⊥CF，BF∩CF＝F，所以EM⊥平面BCF，故V三棱錐F－EBC＝V三棱錐E－FBC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)BC×CF×EM＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×1＝eq\f(1,3).②證明連接A1E，B1M，由(1)知EM∥A1B1，所以ED在平面EMB1A1內(nèi)．在正方形CC1B1B中，由于F，M分別是CC1，BC的中點，所以由平面幾何知識可得BF⊥B1M，又BF⊥A1B1，B1M∩A1B1＝B1，所以BF⊥平面EMB1A1，又DE?平面EMB1A1，所以BF⊥DE.思維升華證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練1如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱CD，A1D1的中點．(1)求證：AB1⊥BF；(2)求證：AE⊥BF；(3)棱CC1上是否存在點P，使BF⊥平面AEP？若存在，確定點P的位置，若不存在，說明理由．(1)證明如圖，連接A1B，則AB1⊥A1B，因為A1F⊥平面ABB1A1，AB1?平面ABB1A1，所以A1F⊥AB1，又A1B∩A1F＝A1，所以AB1⊥平面A1BF.又BF?平面A1BF，所以AB1⊥BF.(2)證明如圖，取棱AD的中點G，連接FG，BG，則FG⊥AE，因為AB＝DA，AG＝DE，∠BAG＝∠ADE，所以△BAG≌△ADE，所以∠ABG＝∠DAE.所以AE⊥BG.又因為BG∩FG＝G，所以AE⊥平面BFG.又BF?平面BFG，所以AE⊥BF.(3)解存在．如圖，取棱CC1的中點P，即為所求．連接EP，AP，C1D，因為EP∥C1D，C1D∥AB1，所以EP∥AB1.由(1)知AB1⊥BF，所以BF⊥EP.又由(2)知AE⊥BF，且AE∩EP＝E，所以BF⊥平面AEP.題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2(2023·桂林模擬)如圖所示，已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD且AB＝1，PA＝AD＝PD＝2，E為PD的中點．(1)求證：平面PCD⊥平面ACE；(2)求點B到平面ACE的距離．(1)證明由PA＝AD＝PD，E為PD的中點，可得AE⊥PD，因為CD⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD?平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，而AE?平面PAD，所以CD⊥AE，由CD∩PD＝D，則AE⊥平面PCD，又AE?平面ACE，所以平面PCD⊥平面ACE.(2)解如圖，連接BD，與AC交于O，則O為BD的中點，所以點D到平面ACE的距離即為點B到平面ACE的距離．由平面PCD⊥平面ACE，過D作DM⊥CE，垂足為M，則DM⊥平面ACE，則DM為點D到平面ACE的距離．由CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，又CD＝DE＝1，所以DM＝eq\f(1,2)CE＝eq\f(\r(2),2)，即點B到平面ACE的距離為eq\f(\r(2),2).思維升華(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直線”．②若兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面．跟蹤訓(xùn)練2(2022·邯鄲模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點，求證：(1)PA⊥平面ABCD；(2)平面BEF∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.證明(1)∵平面PAD⊥平面ABCD，且PA垂直于這兩個平面的交線AD，∴PA⊥平面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中點，∴AB∥DE，且AB＝DE，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴AD∥BE，∵BE?平面PAD，AD?平面PAD，∴BE∥平面PAD，∵E和F分別是CD和PC的中點，∴EF∥PD，∵EF?平面PAD，PD?平面PAD，∴EF∥平面PAD，∵BE∩EF＝E，BE，EF?平面BEF，∴平面BEF∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，∴平行四邊形ABED是矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，由①知PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∵E和F分別是CD和PC的中點，∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又∵BE∩EF＝E，∴CD⊥平面BEF，∵CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.題型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用例3如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是底面為正方形的長方體，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，點P是AD1上的動點．(1)試判斷不論點P在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D，并證明你的結(jié)論；(2)當P為AD1的中點時，求異面直線AA1與B1P所成的角的余弦值；(3)求PB1與平面AA1D1D所成的角的正切值的最大值．解(1)是．∵BA⊥平面AA1D1D，BA?平面BPA，∴平面BPA⊥平面AA1D1D，∴無論點P在AD1上的任何位置，都有平面BPA⊥平面AA1D1D.(2)過點P作PE⊥A1D1，垂足為E，連接B1E，如圖，則PE∥AA1，∴∠B1PE(或其補角)是異面直線AA1與B1P所成的角．在Rt△AA1D1中，∵∠AD1A1＝60°，∴∠A1AD1＝30°，∴A1B1＝A1D1＝eq\f(1,2)AD1＝2，∴A1E＝eq\f(1,2)A1D1＝1，AA1＝eq\r(3)A1D1＝2eq\r(3)，∴PE＝eq\f(1,2)AA1＝eq\r(3)，B1E＝eq\r(A1B\o\al(2,1)＋A1E2)＝eq\r(5)，∴在Rt△B1PE中，B1P＝eq\r(B1E2＋PE2)＝2eq\r(2)，cos∠B1PE＝eq\f(PE,B1P)＝eq\f(\r(3),2\r(2))＝eq\f(\r(6),4).∴異面直線AA1與B1P所成的角的余弦值為eq\f(\r(6),4).(3)由(1)知，B1A1⊥平面AA1D1D，∴∠B1PA1是PB1與平面AA1D1D所成的角，∴tan∠B1PA1＝eq\f(A1B1,A1P)＝eq\f(2,A1P)，∴當A1P最小時，tan∠B1PA1最大，這時A1P⊥AD1，A1P＝eq\f(A1D1·AA1,AD1)＝eq\r(3)，得tan∠B1PA1＝eq\f(2\r(3),3)，即PB1與平面AA1D1D所成的角的正切值的最大值為eq\f(2\r(3),3).思維升華(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化．(2)對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證．跟蹤訓(xùn)練3(2023·柳州模擬)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝2eq\r(2)，O為AC的中點．(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點M在棱BC上，且PM與平面ABC所成角的正切值為eq\r(6)，求二面角M－PA－C的余弦值．(1)證明方法一如圖，連接OB.∵AB＝BC＝2，AC＝2eq\r(2)，∴AB2＋BC2＝AC2，即△ABC是直角三角形，又O為AC的中點，∴OA＝OB＝OC，又∵PA＝PB＝PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°.∴PO⊥AC，PO⊥OB，∵OB∩AC＝O，OB，AC?平面ABC，∴PO⊥平面ABC.方法二如圖，連接OB，∵PA＝PC，O為AC的中點，PA＝PB＝PC＝AC＝2eq\r(2)，∴PO⊥AC，PO＝eq\r(6)，又∵AB＝BC＝2，∴AB⊥BC，BO＝eq\r(2)，∴PO2＋OB2＝PB2，∴PO⊥OB，∵OB∩AC＝O，OB，AC?平面ABC，∴PO⊥平面ABC.(2)解由(1)知，PO⊥平面ABC，∴OM為PM在平面ABC上的射影，∴∠PMO為PM與平面ABC所成角，∵tan∠PMO＝eq\f(PO,OM)＝eq\f(\r(6),OM)＝eq\r(6)，∴OM＝1，在△ABC和△OMC中，由正弦定理可得MC＝1，∴M為BC的中點．如圖，作ME⊥AC交AC于E，則E為OC的中點，作EF⊥PA交PA于F，連接MF，∴MF⊥PA，∴∠MFE即為所求二面角M－PA－C的平面角，ME＝eq\f(\r(2),2)，EF＝eq\f(\r(3),2)AE＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(3,4)×2eq\r(2)＝eq\f(3\r(6),4)，MF＝eq\r(ME2＋EF2)＝eq\f(\r(62),4)，∴cos∠MFE＝eq\f(EF,MF)＝eq\f(3\r(93),31)，故二面角M－PA－C的余弦值為eq\f(3\r(93),31).課時精練1．若平面α，β滿足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，則下列命題中是假命題的為()A．過點P垂直于平面α的直線平行于平面βB．過點P垂直于直線l的直線在平面α內(nèi)C．過點P垂直于平面β的直線在平面α內(nèi)D．過點P且在平面α內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面β答案B解析由于過點P垂直于平面α的直線必平行于平面β內(nèi)垂直于交線的直線，則直線平行于平面β，因此A正確；過點P垂直于直線l的直線有可能垂直于平面α，不一定在平面α內(nèi)，因此B不正確；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知，選項C，D正確．2.如圖，在四棱錐P－ABCD中，△PAB與△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，則下列結(jié)論不一定成立的是()A．BP⊥AC B．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD答案B解析如圖，取線段BP的中點O，連接OA，OC，易得BP⊥OA，BP⊥OC，又OA∩OC＝O，所以BP⊥平面OAC，所以BP⊥AC，故選項A正確；又AC⊥BD，BP∩BD＝B，所以AC⊥平面PBD，所以AC⊥PD，故選項C正確；又AC?平面ABCD，所以平面PBD⊥平面ABCD，故選項D正確．3.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在()A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內(nèi)部答案A解析連接AC1(圖略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.∵AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1與平面ABC的交線AB上．4．如圖，在以下四個正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是()A．①② B．②③C．②④ D．③④答案C解析對于①，顯然AB與CE不垂直，則直線AB與平面CDE不垂直；對于②，因為AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，所以AB⊥平面CDE；對于③，顯然AB與CE不垂直，所以直線AB與平面CDE不垂直；對于④，因為ED⊥平面ABC，則ED⊥AB，同理CE⊥AB，因為ED∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.5．(2022·齊齊哈爾模擬)若m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題正確的是()A．若m?β，α⊥β，則m⊥αB．若m∥α，n∥α，則m∥nC．若m⊥β，m∥α，則α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ答案C解析由m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，在A中，若m?β，α⊥β，則m與α相交、平行或m?α，故A錯誤；在B中，若m∥α，n∥α，則m與n相交、平行或異面，故B錯誤；在C中，若m⊥β，m∥α，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正確；在D中，若α⊥γ，α⊥β，則β與γ相交或平行，故D錯誤．6．(2022·新高考全國Ⅰ改編)已知正方體ABCD－A1B1C1D1，則下列命題正確的個數(shù)是()①直線BC1與DA1所成的角為90°；②直線BC1與CA1所成的角為90°；③直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°；④直線BC1與平面ABCD所成的角為45°.A．1B．2C．3D．4答案C解析如圖，連接AD1，在正方形A1ADD1中，AD1⊥DA1，因為AD1∥BC1，所以BC1⊥DA1，所以直線BC1與DA1所成的角為90°，故①正確；在正方體ABCD－A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1，又BC1?平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.連接B1C，則B1C⊥BC1.因為CD∩B1C＝C，CD，B1C?平面DCB1A1，所以BC1⊥平面DCB1A1，又CA1?平面DCB1A1，所以BC1⊥CA1，所以直線BC1與CA1所成的角為90°，故②正確；連接A1C1，交B1D1于點O，則易得OC1⊥平面BB1D1D，連接OB.因為OB?平面BB1D1D，所以O(shè)C1⊥OB，∠OBC1為直線BC1與平面BB1D1D所成的角．設(shè)正方體的棱長為a，則易得BC1＝eq\r(2)a，OC1＝eq\f(\r(2)a,2)，所以在Rt△BOC1中，OC1＝eq\f(1,2)BC1，所以∠OBC1＝30°，故③錯誤；因為C1C⊥平面ABCD，所以∠CBC1為直線BC1與平面ABCD所成的角，易得∠CBC1＝45°，故④正確．7.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足條件：①BM⊥DM，②DM⊥PC，③BM⊥PC中的________時，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個你認為是正確的條件序號即可)．答案②(或③)解析連接AC(圖略)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.∵底面各邊都相等，∴AC⊥BD.∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.8．在矩形ABCD中，AB<BC，現(xiàn)將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折的過程中，給出下列結(jié)論：①存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直；②存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直；③存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直．其中正確結(jié)論的序號是________．答案②解析①假設(shè)AC與BD垂直，過點A作AE⊥BD于點E，連接CE，如圖所示．則eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AE⊥BD,BD⊥AC))?BD⊥平面AEC，則BD⊥CE，而在平面BCD中，CE與BD不垂直，故假設(shè)不成立，①不正確；②假設(shè)AB⊥CD，∵AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，由AB<BC可知，存在這樣的直角三角形，使AB⊥AC，故假設(shè)成立，②正確；③假設(shè)AD⊥BC，∵CD⊥BC，AD∩CD＝D，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC，即△ABC為直角三角形，且AB為斜邊，而AB<BC，故矛盾，假設(shè)不成立，③不正確．9.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G為AD的中點．(1)求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB；(3)若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論．(1)證明在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G為AD的中點，所以BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG?平面ABCD，所以BG⊥平面PAD.(2)證明如圖，連接PG，因為△PAD為正三角形，G為線段AD的中點，所以PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，又PG∩BG＝G，所以AD⊥平面PGB.因為PB?平面PGB，所以AD⊥PB.(3)解能，當F為線段PC的中點時，平面DEF⊥平面ABCD.證明如下：如圖，取線段PC的中點F，連接DE，EF，DF.在△PBC中，F(xiàn)E∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE.而FE?平面DEF，DE?平面DEF，EF∩DE＝E，PB?平面PGB，GB?平面PGB，PB∩GB＝B，所以平面DEF∥平面PGB.因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面PAD，PG⊥AD，所以PG⊥平面ABCD.又PG?平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.10．(2023·廣州模擬)如圖，在三棱錐P－ABC中，平面PAC⊥平面PBC，PA⊥平面ABC.(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)若AC＝BC＝PA，求二面角A－PB－C的大?。?1)證明如圖，作AD⊥PC交PC于點D，因為平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD?平面PAC，所以AD⊥平面PBC，又BC?平面PBC，所以AD⊥BC，又因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，又PA，AD?平面PAC，PA∩AD＝A，所以BC⊥平面PAC.(2)解如圖，作AD⊥PC交PC于點D，DE⊥PB交PB于點E，連接AE，由(1)知AD⊥平面PBC，因為PB?平面PBC，則AD⊥PB，又AD，DE?平面ADE，AD∩DE＝D，所以PB⊥平面ADE，因為AE?平面ADE，所以PB⊥AE，則∠AED即為二面角A－PB－C的平面角．又DE?平面PBC，則AD⊥DE，不妨設(shè)AC＝BC＝PA＝1，則PC＝eq\r(2)，AD＝eq\f(1×1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，又由(1)知BC⊥平面PAC，因為AC?平面PAC，所以BC⊥AC，所以AB＝eq\r(2)，PA⊥平面ABC，又AB?平面ABC，則PA⊥AB，則PB＝eq\r(3)，AE＝eq\f(1×\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，則sin∠AED＝eq\f(AD,AE)＝eq\f(\f(\r(2),2),\f(\r(6),3))＝eq\f(\r(3),2)，由圖知二面角A－PB－C為銳角，所以∠AED＝eq\f(π,3)，即二面角A－PB－C的大小為eq\f(π,3).11.如圖，正三角形PAD所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，O為正方形ABCD的中心，M為正方形ABCD內(nèi)一點，且滿足MP＝MC，則點M的軌跡為()答案A解析如圖，取AD的中點E，連接PE，PC，CE.因為△PAD為正三角形，所以PE⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，從而平面PEC⊥平面ABCD，分別取PC，AB的中點F，G，連接DF，DG，F(xiàn)G，由PD＝DC知DF⊥PC，易得DG⊥EC，則DG⊥平面PEC，又PC?平面PEC，所以DG⊥PC，又DF∩DG＝D，所以PC⊥平面DFG，又點F是PC的中點，因此，線段DG上的點滿足MP＝MC.12．(2022·全國甲卷)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，已知B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均為30°，則下列說法正確的是()A．AB＝2ADB．AB與平面AB1C1D所成的角為30°C．AC＝CB1D．B1D與平面BB1C1C所成的角為45°答案D解析如圖，連接BD，易知∠BDB1是直線B1D與平面ABCD所成的角，所以在Rt△BDB1中，∠BDB1＝30°，設(shè)BB1＝1，則B1D＝2BB1＝2，BD＝eq\r(B1D2－BB\o\al(2,1))＝eq\r(3).易知∠AB1D是直線B1D與平面AA1B1B所成的角，所以在Rt△ADB1中，∠AB1D＝30°.因為B1D＝2，所以AD＝eq\f(1,2)B1D＝1，AB1＝eq\r(B1D2－AD2)＝eq\r(3)，所以在Rt△ABB1中，AB＝eq\r(AB\o\al(2,1)－BB\o\al(2,1))＝eq\r(2)＝eq\r(2)AD，所以A項錯誤；易知∠BAB1是直線AB與平面AB1C1D所成的角，因為在Rt△ABB1中，sin∠BAB1＝eq\f(BB1,AB1)＝eq\f(\r(3),3)≠eq\f(1,2)，所以∠BAB1≠30°，所以B項錯誤；在Rt△CBB1中，CB1＝eq\r(BC2＋BB\o\al(2,1))＝eq\r(2)，而AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(3)，所以C項錯誤；易知∠DB1C是直線B1D與平面BB1C1C所成的角，因為在Rt△DB1C中，CB1＝CD＝eq\r(2)，所以∠DB1C＝45°，所以D項正確．13.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段B1C上運動，則下列結(jié)論正確的有______(填序號)．①直線BD1⊥平面A1C1D；②三棱錐P－A1C1D的體積為定值；③異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是eq\b\lc\[\