高中數(shù)學(xué)-獨立重復(fù)實驗與二項分布教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

教學(xué)設(shè)計

■課前練習(xí)（見導(dǎo)學(xué)案）

■引入

現(xiàn)實生活中，隨機現(xiàn)象表現(xiàn)各異。

但是我們只要了解了隨機事件可能出

現(xiàn)的結(jié)果以及每一個結(jié)果發(fā)生的概率,

也就基本把握了它的統(tǒng)計規(guī)律。所以，概率是描述隨機事件的重要數(shù)

字特征。為了更方便地使用數(shù)學(xué)工具研究統(tǒng)計規(guī)律，我們舍棄隨機事

件的具體背景，將隨機試驗的結(jié)果數(shù)字化，這樣隨機事件與相應(yīng)的概

率就會在實數(shù)空間內(nèi)生成為一定的函數(shù)關(guān)系，并呈現(xiàn)出一些規(guī)律和共

性，甚而生成特殊的分布。

例如，課前練習(xí)中，隨機變量X服從

生：超幾何分布。

概率公式是

生:P(X=A),k=0,1,2,--?,min{M,n}

（師板書：超幾何分布,p(X=k)=MN-M,k-0,1,2,---,min{M,n］，

分上下兩行對應(yīng)書寫）

本例中應(yīng)用的概率模型是

生：古典概型。

隨機事件形形色色，事件之間的關(guān)系需要細(xì)加甄別。我們上節(jié)

課學(xué)習(xí)了一種新的事件關(guān)系一一相互獨立事件。

詩云：“歸山深淺去，須盡丘壑美”。學(xué)科的學(xué)習(xí)也是如此。今

天，我們將繼續(xù)探尋相互獨立事件的概率求解和其中蘊含的統(tǒng)計規(guī)律。

■新知探究

問題1:哪位同學(xué)可以舉一個獨立事件的例子？

生1：某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.9,每次射擊結(jié)果互不

影響。該射手連續(xù)射擊兩次。

生2：一個口袋內(nèi)裝有大小相同的3個白球和2個紅球，從中有

放回地抽取三次，每次抽取一個球。

問題2：每一次實驗發(fā)生的結(jié)果有幾種，前一次實驗的結(jié)果是否

影響后一次的結(jié)果，每次實驗是否相互獨立？

生1：每次實驗共有兩種不同的結(jié)果，擊中目標(biāo)或未擊中目標(biāo)。

擊中目標(biāo)的概率均相等，每次實驗結(jié)果相互獨立。

每次實驗結(jié)果從事件關(guān)系分類上講，它們是（生：互為

對立事件）

每次實驗結(jié)果的概率分別是（生：0.9,0.1）

師：單看一次實驗的話，有沒有特殊的分布與之對應(yīng)？

生1：以實驗的次數(shù)為隨機變量，則該事件服從兩點分布。

（師板書：兩點分布，=分上下兩行對應(yīng)書寫）

生2：每一次實驗共兩類結(jié)果，互為對立事件。每一次實驗都是

在2個白球和3個紅球的口袋中進行，從中摸出白球（紅球）的概率

是相等的，每次抽取的結(jié)果互不影響，相互獨立。每次摸出白球和摸

出紅球的概率分別是0.6,0.4.單看一次實驗的話，以摸出白球（紅

球）的次數(shù)為隨機變量，則該事件服從兩點分布。

問題3：以上兩個隨機事件從事件結(jié)果以及事件結(jié)果發(fā)生的概率

上有什么樣的共同點？請嘗試歸納。

生：每次試驗的結(jié)果只有兩種，并且各次試驗之間相互獨立，在

任何一次試驗中某一事件發(fā)生的概率都相等。

師：我們可以簡記為：對立性、獨立性、等概率性。

板書：對立性、獨立性、等概率性，單次實驗結(jié)果服從兩點分布。

生活中我們經(jīng)常碰到一些隨機事件，例如臨床試驗中研究服用某

種藥物疾病治愈的人次,投籃穩(wěn)定的運動員多次投籃命中的次數(shù)等等,

它們都像剛才的例子一樣，在相同的條件下重復(fù)做大量試驗，在試驗

中，各次試驗的結(jié)果都不會受到其他試驗結(jié)果的影響。我們把在相同

條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗。

師板書：獨立重復(fù)實驗。

請同學(xué)們結(jié)合“三性”逐字品讀一下“獨立重復(fù)實驗”這個名詞，

注意體會一下定義中的“相同條件”的含義。

生品讀，簡談對于定義中的“相同條件”的認(rèn)識。

教師完善。

下面，我們不妨以甲同學(xué)所舉的事例開始今天的探究。

問題4：請一位同學(xué)在該情境下設(shè)置一個基礎(chǔ)性的問題。

生3：求兩次射擊都擊中目標(biāo)的概率。

或：求兩次射擊都未（恰有一次）擊中目標(biāo)的概率。

請同學(xué)們獨立解答。稍后，展示學(xué)生求解過程和結(jié)果。

問題5：在這個案例中，顯然，我們關(guān)心的是射擊擊中目標(biāo)的次

數(shù)。該射手連續(xù)射擊兩次，如果我們設(shè)事件“擊中目標(biāo)的次數(shù)”為隨

機變量X。請問，X的可能取值都有哪些，對應(yīng)的概率又是多少呢？

師引導(dǎo)學(xué)生分析事件，共同書寫概率代數(shù)式。

問題6：如果射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.9,若該射手連續(xù)

射擊3次，“擊中目標(biāo)的次數(shù)”設(shè)為隨機變量Y,Y的可能取值都有

哪些，對應(yīng)的概率又是多少呢？

Y0123

事件分析

概率求解

問題7：如果射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是P,若該射手連續(xù)射

擊n次，”擊中目標(biāo)的次數(shù)”設(shè)為隨機變量Z,Z的可能取值都有哪

些，對應(yīng)的概率又是多少呢？你能在實數(shù)空間內(nèi)發(fā)現(xiàn)隨機變量與對應(yīng)

概率之間的規(guī)律嗎？

Z012???k???n

事件分析??????

概率??????

學(xué)生逐步完成導(dǎo)學(xué)案中的表格1、2,觀察表格中的數(shù)據(jù)變化，尋

找其中的函數(shù)關(guān)系。

生成函數(shù)關(guān)系：P(X=k)=C：p*(l-p)i,k=0,1,2,--,n

教師板書：P(X=k)=C；/(l-p)i,k=0,1,2,…,n

師引領(lǐng)學(xué)生分析公式中字母的含義，重點分析b的含義，站在

科學(xué)的立場上進行解釋。

問題8:請結(jié)合離散型隨機變量分布列的性質(zhì)，辨析它是否可以

作為離散型隨機變量的分布列？試敘述理由。

生：每一種事件結(jié)果的概率都滿足：億20,并且￡p,=l.

i=l

追問：請解釋一下，你是如何證明概率之和為1的？

生：因為事件的所有結(jié)果都進行了求解，而且滿足不重不漏。

師：有一定的道理，從事件結(jié)果全覆蓋來解釋。

生：我發(fā)現(xiàn)該公式和二項式定理展開式的通項公式相似，概率之

和就是Kl-P)+P]"=1。

師：非常好。能夠利用所學(xué)的知識發(fā)散地考慮問題。大家有沒有

觀察到這一細(xì)節(jié)？如果將該公式看作+0”展開式的通項公式，誰是

。，誰又是人？它們在問題情境中的具體含義是什么？

生：1-p是a,在情境中指的是不成功的概率，p是b，指的是成

功概率。

師：所以，事物之間是普遍聯(lián)系的，當(dāng)然這種隱秘的聯(lián)系需要我

們積極開動腦筋去尋找和發(fā)現(xiàn)。大家可以借用二項式定理展開式的通

項公式輔助記憶獨立重復(fù)實驗的概率公式。

好的，我們可以利用二項式定理來證明概率之和為1,而且在每

次試驗中隨機事件只有兩種對立的結(jié)果。我們不妨把這種分布稱之為

“二項分布”,也叫Bernolli分布。(板書：二項分布)

展示概念：在n次獨立重復(fù)試驗中,設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X,

在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,那么在n次獨立重復(fù)試驗中,

事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X=Z)=C；P?(I-"Y?=O,I,2,...,〃，則

稱隨機變量X服從二項分布,記作X~B(n,p)o

師介紹代數(shù)符號寫法。

當(dāng)然，和其他的離散型隨機變量的分布列一樣，二項分布也可以

看作一種特殊的函數(shù)。以上分別是它不同的表示形式:表格、解析式。

我們也可以使用柱狀圖表示。

借助EXCEL程序生成柱狀圖。

下面，我們趁熱打鐵，來應(yīng)用一下新學(xué)的知識。

■典例精講

例題：某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.8。求這名射手在4

次射擊中，

(1)恰有3次擊中目標(biāo)的概率；

(2)恰有2次擊中目標(biāo)的概率；

(3)至少有3次擊中目標(biāo)的概率；

(4)射中目標(biāo)的次數(shù)X的分布列；

(5)擊中目標(biāo)的概率。

師引領(lǐng)學(xué)生回扣定義，判斷是否存在隨機變量服從二項分布。

師示范(1)的解答，并強調(diào)步驟的規(guī)范性。

學(xué)生獨立完成(2)、(3)、(4)o

展示學(xué)生作答，學(xué)生評價。

師總結(jié)，并評價（3）的解法，引領(lǐng)學(xué)生分析“至少”問題的求解

方法，并靈活地根據(jù)條件選擇合理的方案。

引導(dǎo)學(xué)生分析（4）與（1）的區(qū)別。

學(xué)生完成（5）、（6）o

教師展示學(xué)生作答過程，對解析式、圖表等不同格式進行說明。

師：請解釋（6）中“擊中目標(biāo)”的含義，并分析具體事件，并說

明求解的方法。

生：“擊中目標(biāo)”指的是：4次射擊中至少有1次擊中目標(biāo)?？?/p>

以采用“正難則反”的方法，利用對立事件的概率求解。

師：分布列中已經(jīng)包含了所有的事件結(jié)果及其概率，可以完整的

反映隨機事件的統(tǒng)計規(guī)律。而求解分布列，概率模型是關(guān)鍵；而求解

概率，事件分析是重點。

■應(yīng)用深化

我們再回到生2的例子：一個口袋內(nèi)裝有大小相同的3個白球和

2個紅球，從中有放回地抽取三次，每次抽取一個球。設(shè)抽取到白球

的次數(shù)為隨機變量X,

問題9,隨機變量X是否服從二項分布？

生解釋。

符號表示：X~B（3,0.6）

概率公式：p（x=k）=C；0.6A（1-0.6廣*,k=0,1,2,3

試求解以下概率，并指明符號所表示的具體事件：

P(X=1),P(X<2),P(X>2)o

問題10：如何將此情境改換為超幾何分布？

生：將有放回改為不放回。

通過EXCEL展示超幾何分布與二項分布的概率圖表及柱狀圖，體

會差異。

然后增加超幾何

分布中N的數(shù)值，體

會變化，并給出科學(xué)

合理的解釋。

問題11：試論述

二項分布與兩點分布、

超幾何分布的區(qū)別和聯(lián)系。

生獨立思考后，小組交流生成意見。

生展示，師總結(jié)完善：

兩點分布是二項分布的特例，n個獨立的兩點分布的和服從二項

分布；

超幾何分布是不放回抽樣，二項分布可看作有放回抽樣；

在抽樣中，當(dāng)總體容量無限大時，超幾何分布就可以近似看成二

項分布；

當(dāng)實驗次數(shù)無限大時，二項分布就可以近似看成正態(tài)分布；

■當(dāng)堂檢測

1.將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次,則正面向上的次數(shù)X的分布為（）

AX?B(5,0.5)BX?B(0.5,5)

CX?B(2,0.5)DX?B(5,1)

2.隨機變量X?B(3,0.6),P(X=2)=,P(X21)=.

(列出代數(shù)式即可，并嘗試以此擬定一個現(xiàn)實問題)

3.某人擲一粒骰子3次，若有1次以上出現(xiàn)的5點或6點時為試驗

成功，則這人試驗成功的概率為

■自主小結(jié)

結(jié)合當(dāng)堂檢測，自主總結(jié)本節(jié)所學(xué)的知識、方法，簡述探究體驗。

學(xué)情分析

知識基礎(chǔ)：已學(xué)習(xí)概率與統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識，研究了離散型隨機變

量及其分布列、條件概率與事件獨立性的概念，為二項分布的學(xué)習(xí)做

好了知識鋪墊。

技能基礎(chǔ)：初步掌握事件概率求解的一般規(guī)律和方法，能夠借助

離散型隨機變量的分布解決簡單的實際問題

思想方法基礎(chǔ):初步掌握從特殊到一般和從一般到特殊的的推理

方法，能夠?qū)^復(fù)雜的事件進行分類簡化，以簡馭繁。

活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：求知的欲望強烈，喜歡探求真理，具有積極的情

感態(tài)度，但提出問題的能力不足，質(zhì)疑、辨析意識和經(jīng)驗欠缺。

效果分析

通過課堂反饋來看，學(xué)生能夠快速的理解并記憶公式，并能夠準(zhǔn)確

的判斷、合理的應(yīng)用，達到了預(yù)期效果.

本堂課由于課前練習(xí)的設(shè)計使得模型的構(gòu)建過程非常自然、順暢,

課堂探究效果比預(yù)想要好很多.同時，由于設(shè)計了一系列層層遞進的問

題串，為學(xué)生思維的發(fā)展搭建了不同梯度的平臺,使得學(xué)生漸入佳境,

一覽眾山，師生互動無礙,思維有張有弛，舒緩有度.

通過升華與小結(jié)，學(xué)生能夠通過本課深刻的體會到數(shù)學(xué)探究的魅

力，感受數(shù)學(xué)知識之間的普遍聯(lián)系,能夠培養(yǎng)其深刻而持續(xù)的思考的能

力與探究的信心.

教材分析

全章共四節(jié)內(nèi)容，依次介紹了四種特殊分布，組成了隨機變量及

其分布的完整拼圖。

在本節(jié)中，教材從真實情境中（n次重復(fù)擲硬幣的試驗）引出

獨立重復(fù)實驗，得到二項分布，經(jīng)歷了建構(gòu)模型、應(yīng)用模型、求解模

型、最終解決問題的過程，充分體現(xiàn)了概率模型的應(yīng)用過程與應(yīng)用價

值。

涉及到主要知識點為獨立重復(fù)實驗的概念、獨立重復(fù)實驗的概率

公式、二項分布的概念。前面所學(xué)的條件概率、事件的相互獨立性是

本節(jié)的理論基礎(chǔ)，兩點分布則是二項分布的一種特例，后續(xù)的正態(tài)分

布則是二項分布的拓展和延伸。

學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過操作、觀察、對比分析，能夠從具體事例中歸納

出獨立重復(fù)實驗的特征，猜想并論證概率公式，會準(zhǔn)確判斷一個具體

問題是否服從二項分布，并能正確的借助二項分布的模型解決相應(yīng)的

實際問題。學(xué)生能夠充分地經(jīng)歷直觀體驗一一理性分析、歸納一一演

繹的數(shù)學(xué)探究過程，感悟由特殊到一般、由具體到抽象的數(shù)學(xué)思想方

法，建立起對立統(tǒng)一與普遍聯(lián)系的哲學(xué)觀點，樹立對新知識的科學(xué)態(tài)

度以及勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神。

教學(xué)重點及難點：

1.n次獨立重復(fù)實驗的特征；

2.準(zhǔn)確判斷二項分布模型，并能解決一些簡單的實際問題。

難點：

1.利用二項分布模型解決實際問題。

2.辨析二項分布與兩點分布、超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系，建立

起對立統(tǒng)一與普遍聯(lián)系的哲學(xué)觀點。

難點成因1：對于二項分布的推導(dǎo)原理不明，歸納生成有一定難

度；

突破方法：以表格形式探討表達式，提醒學(xué)生尋找概率和變量下

標(biāo)之間的規(guī)律，即事件發(fā)生次數(shù)和概率間的對應(yīng)關(guān)系，最后通過逆向

論證，加深理解，自然生成概念。

難點成因2：容易忽視或混淆兩點分布、超幾何分布、二項分布，

概念內(nèi)涵與外延不明晰，模型識別困難；

突破方法:引導(dǎo)學(xué)生不但能判斷一個隨機變量是否服從二項分布,

而且能夠舉出二項分布的例子，以加深理解；以對比辨析的形式厘清

界限，用計算機模擬的方式呈現(xiàn)聯(lián)系,加深對概念外延和內(nèi)涵的理解。

教學(xué)策略：根據(jù)以上分析，教師選擇“問題導(dǎo)學(xué)，自主探究”的

教學(xué)模式，依次推進“情境引入一一新知探究一一典例精講一一應(yīng)用

深化一一當(dāng)堂檢測一一自主小結(jié)”六個環(huán)節(jié)。本節(jié)課以獨立重復(fù)實驗

的概念與二項分布為知識中心，以問題的探究和解決為主線，以問題

為誘因，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突和思維碰撞，通過觀察、探究、猜想、

證明等多樣化的活動，搭建深度學(xué)習(xí)的平臺，提升學(xué)生思維品質(zhì)，讓

學(xué)生親歷體驗、感受創(chuàng)造數(shù)學(xué)新知識的過程，積累基本活動經(jīng)驗。另

外，教學(xué)過程中適時以信息技術(shù)輔助教學(xué)，以圖表的形式直觀呈現(xiàn),

對二項分布的內(nèi)涵和外延進行深度探索，加深理解，幫助學(xué)生建立起

較為系統(tǒng)的知識體系。

課時安排：2個課時，第一課時為新授課，第二課時為習(xí)題課。

評測練習(xí)

L將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，則正面向上的次數(shù)X的分布為()

AX~B(5,0.5)BX?B(0.5,5)

CX-B(2,0.5)DX-B(5,1)

2.隨機變量X?B(3,0.6),P(X=2)=,P(X21)=.(列

出代數(shù)式即可，并嘗試以此擬定一個現(xiàn)實問題）

3.某人擲一粒骰子3次，若有1次以上出現(xiàn)的5點或6點時為

試驗成功，則這人試驗成功的概率為

課后反思

本節(jié)課始終貫徹在教師的有效指導(dǎo)下,學(xué)生主動參與模型的發(fā)現(xiàn)、

探究和應(yīng)用，在活動中體會數(shù)學(xué)思想方法、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)、落實核心

素養(yǎng)培育的理念.同時還有幾點思考：

（1）讓學(xué)生成為問題的主體，才能讓學(xué)生成為課堂的主體.

在課堂中，問題是核心，解決問題是目標(biāo)，而問題的主體應(yīng)該是學(xué)

生.本節(jié)課充分發(fā)揮學(xué)生的主體性,讓學(xué)生自己提出問題，分析問題，探

究問題，解決問題.

例如：在探究問題時，提出一連串的問題和評價：我們應(yīng)該用怎

樣的思路和方法進行探究？一一請說出你的假設(shè)一一同學(xué)們是否認(rèn)

同？（同學(xué)們大多搖頭）你能否對這