高中數(shù)學(xué)-獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)與二項(xiàng)分布教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

教學(xué)設(shè)計(jì)

■課前練習(xí)（見導(dǎo)學(xué)案）

■引入

現(xiàn)實(shí)生活中，隨機(jī)現(xiàn)象表現(xiàn)各異。

但是我們只要了解了隨機(jī)事件可能出

現(xiàn)的結(jié)果以及每一個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率,

也就基本把握了它的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。所以，概率是描述隨機(jī)事件的重要數(shù)

字特征。為了更方便地使用數(shù)學(xué)工具研究統(tǒng)計(jì)規(guī)律，我們舍棄隨機(jī)事

件的具體背景，將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)字化，這樣隨機(jī)事件與相應(yīng)的概

率就會(huì)在實(shí)數(shù)空間內(nèi)生成為一定的函數(shù)關(guān)系，并呈現(xiàn)出一些規(guī)律和共

性，甚而生成特殊的分布。

例如，課前練習(xí)中，隨機(jī)變量X服從

生：超幾何分布。

概率公式是

生:P(X=A),k=0,1,2,--?,min{M,n}

（師板書：超幾何分布,p(X=k)=MN-M,k-0,1,2,---,min{M,n］，

分上下兩行對(duì)應(yīng)書寫）

本例中應(yīng)用的概率模型是

生：古典概型。

隨機(jī)事件形形色色，事件之間的關(guān)系需要細(xì)加甄別。我們上節(jié)

課學(xué)習(xí)了一種新的事件關(guān)系一一相互獨(dú)立事件。

詩(shī)云：“歸山深淺去，須盡丘壑美”。學(xué)科的學(xué)習(xí)也是如此。今

天，我們將繼續(xù)探尋相互獨(dú)立事件的概率求解和其中蘊(yùn)含的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

■新知探究

問(wèn)題1:哪位同學(xué)可以舉一個(gè)獨(dú)立事件的例子？

生1：某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.9,每次射擊結(jié)果互不

影響。該射手連續(xù)射擊兩次。

生2：一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的3個(gè)白球和2個(gè)紅球，從中有

放回地抽取三次，每次抽取一個(gè)球。

問(wèn)題2：每一次實(shí)驗(yàn)發(fā)生的結(jié)果有幾種，前一次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是否

影響后一次的結(jié)果，每次實(shí)驗(yàn)是否相互獨(dú)立？

生1：每次實(shí)驗(yàn)共有兩種不同的結(jié)果，擊中目標(biāo)或未擊中目標(biāo)。

擊中目標(biāo)的概率均相等，每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立。

每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果從事件關(guān)系分類上講，它們是（生：互為

對(duì)立事件）

每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的概率分別是（生：0.9,0.1）

師：?jiǎn)慰匆淮螌?shí)驗(yàn)的話，有沒(méi)有特殊的分布與之對(duì)應(yīng)？

生1：以實(shí)驗(yàn)的次數(shù)為隨機(jī)變量，則該事件服從兩點(diǎn)分布。

（師板書：兩點(diǎn)分布，=分上下兩行對(duì)應(yīng)書寫）

生2：每一次實(shí)驗(yàn)共兩類結(jié)果，互為對(duì)立事件。每一次實(shí)驗(yàn)都是

在2個(gè)白球和3個(gè)紅球的口袋中進(jìn)行，從中摸出白球（紅球）的概率

是相等的，每次抽取的結(jié)果互不影響，相互獨(dú)立。每次摸出白球和摸

出紅球的概率分別是0.6,0.4.單看一次實(shí)驗(yàn)的話，以摸出白球（紅

球）的次數(shù)為隨機(jī)變量，則該事件服從兩點(diǎn)分布。

問(wèn)題3：以上兩個(gè)隨機(jī)事件從事件結(jié)果以及事件結(jié)果發(fā)生的概率

上有什么樣的共同點(diǎn)？請(qǐng)嘗試歸納。

生：每次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種，并且各次試驗(yàn)之間相互獨(dú)立，在

任何一次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率都相等。

師：我們可以簡(jiǎn)記為：對(duì)立性、獨(dú)立性、等概率性。

板書：對(duì)立性、獨(dú)立性、等概率性，單次實(shí)驗(yàn)結(jié)果服從兩點(diǎn)分布。

生活中我們經(jīng)常碰到一些隨機(jī)事件，例如臨床試驗(yàn)中研究服用某

種藥物疾病治愈的人次,投籃穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員多次投籃命中的次數(shù)等等,

它們都像剛才的例子一樣，在相同的條件下重復(fù)做大量試驗(yàn)，在試驗(yàn)

中，各次試驗(yàn)的結(jié)果都不會(huì)受到其他試驗(yàn)結(jié)果的影響。我們把在相同

條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。

師板書：獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)。

請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合“三性”逐字品讀一下“獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)”這個(gè)名詞，

注意體會(huì)一下定義中的“相同條件”的含義。

生品讀，簡(jiǎn)談對(duì)于定義中的“相同條件”的認(rèn)識(shí)。

教師完善。

下面，我們不妨以甲同學(xué)所舉的事例開始今天的探究。

問(wèn)題4：請(qǐng)一位同學(xué)在該情境下設(shè)置一個(gè)基礎(chǔ)性的問(wèn)題。

生3：求兩次射擊都擊中目標(biāo)的概率。

或：求兩次射擊都未（恰有一次）擊中目標(biāo)的概率。

請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立解答。稍后，展示學(xué)生求解過(guò)程和結(jié)果。

問(wèn)題5：在這個(gè)案例中，顯然，我們關(guān)心的是射擊擊中目標(biāo)的次

數(shù)。該射手連續(xù)射擊兩次，如果我們?cè)O(shè)事件“擊中目標(biāo)的次數(shù)”為隨

機(jī)變量X。請(qǐng)問(wèn)，X的可能取值都有哪些，對(duì)應(yīng)的概率又是多少呢？

師引導(dǎo)學(xué)生分析事件，共同書寫概率代數(shù)式。

問(wèn)題6：如果射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.9,若該射手連續(xù)

射擊3次，“擊中目標(biāo)的次數(shù)”設(shè)為隨機(jī)變量Y,Y的可能取值都有

哪些，對(duì)應(yīng)的概率又是多少呢？

Y0123

事件分析

概率求解

問(wèn)題7：如果射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是P,若該射手連續(xù)射

擊n次，”擊中目標(biāo)的次數(shù)”設(shè)為隨機(jī)變量Z,Z的可能取值都有哪

些，對(duì)應(yīng)的概率又是多少呢？你能在實(shí)數(shù)空間內(nèi)發(fā)現(xiàn)隨機(jī)變量與對(duì)應(yīng)

概率之間的規(guī)律嗎？

Z012???k???n

事件分析??????

概率??????

學(xué)生逐步完成導(dǎo)學(xué)案中的表格1、2,觀察表格中的數(shù)據(jù)變化，尋

找其中的函數(shù)關(guān)系。

生成函數(shù)關(guān)系：P(X=k)=C：p*(l-p)i,k=0,1,2,--,n

教師板書：P(X=k)=C；/(l-p)i,k=0,1,2,…,n

師引領(lǐng)學(xué)生分析公式中字母的含義，重點(diǎn)分析b的含義，站在

科學(xué)的立場(chǎng)上進(jìn)行解釋。

問(wèn)題8:請(qǐng)結(jié)合離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，辨析它是否可以

作為離散型隨機(jī)變量的分布列？試敘述理由。

生：每一種事件結(jié)果的概率都滿足：億20,并且￡p,=l.

i=l

追問(wèn)：請(qǐng)解釋一下，你是如何證明概率之和為1的？

生：因?yàn)槭录乃薪Y(jié)果都進(jìn)行了求解，而且滿足不重不漏。

師：有一定的道理，從事件結(jié)果全覆蓋來(lái)解釋。

生：我發(fā)現(xiàn)該公式和二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式相似，概率之

和就是Kl-P)+P]"=1。

師：非常好。能夠利用所學(xué)的知識(shí)發(fā)散地考慮問(wèn)題。大家有沒(méi)有

觀察到這一細(xì)節(jié)？如果將該公式看作+0”展開式的通項(xiàng)公式，誰(shuí)是

。，誰(shuí)又是人？它們?cè)趩?wèn)題情境中的具體含義是什么？

生：1-p是a,在情境中指的是不成功的概率，p是b，指的是成

功概率。

師：所以，事物之間是普遍聯(lián)系的，當(dāng)然這種隱秘的聯(lián)系需要我

們積極開動(dòng)腦筋去尋找和發(fā)現(xiàn)。大家可以借用二項(xiàng)式定理展開式的通

項(xiàng)公式輔助記憶獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率公式。

好的，我們可以利用二項(xiàng)式定理來(lái)證明概率之和為1,而且在每

次試驗(yàn)中隨機(jī)事件只有兩種對(duì)立的結(jié)果。我們不妨把這種分布稱之為

“二項(xiàng)分布”,也叫Bernolli分布。(板書：二項(xiàng)分布)

展示概念：在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X,

在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,

事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X=Z)=C；P?(I-"Y?=O,I,2,...,〃，則

稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作X~B(n,p)o

師介紹代數(shù)符號(hào)寫法。

當(dāng)然，和其他的離散型隨機(jī)變量的分布列一樣，二項(xiàng)分布也可以

看作一種特殊的函數(shù)。以上分別是它不同的表示形式:表格、解析式。

我們也可以使用柱狀圖表示。

借助EXCEL程序生成柱狀圖。

下面，我們趁熱打鐵，來(lái)應(yīng)用一下新學(xué)的知識(shí)。

■典例精講

例題：某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.8。求這名射手在4

次射擊中，

(1)恰有3次擊中目標(biāo)的概率；

(2)恰有2次擊中目標(biāo)的概率；

(3)至少有3次擊中目標(biāo)的概率；

(4)射中目標(biāo)的次數(shù)X的分布列；

(5)擊中目標(biāo)的概率。

師引領(lǐng)學(xué)生回扣定義，判斷是否存在隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布。

師示范(1)的解答，并強(qiáng)調(diào)步驟的規(guī)范性。

學(xué)生獨(dú)立完成(2)、(3)、(4)o

展示學(xué)生作答，學(xué)生評(píng)價(jià)。

師總結(jié)，并評(píng)價(jià)（3）的解法，引領(lǐng)學(xué)生分析“至少”問(wèn)題的求解

方法，并靈活地根據(jù)條件選擇合理的方案。

引導(dǎo)學(xué)生分析（4）與（1）的區(qū)別。

學(xué)生完成（5）、（6）o

教師展示學(xué)生作答過(guò)程，對(duì)解析式、圖表等不同格式進(jìn)行說(shuō)明。

師：請(qǐng)解釋（6）中“擊中目標(biāo)”的含義，并分析具體事件，并說(shuō)

明求解的方法。

生：“擊中目標(biāo)”指的是：4次射擊中至少有1次擊中目標(biāo)?？?/p>

以采用“正難則反”的方法，利用對(duì)立事件的概率求解。

師：分布列中已經(jīng)包含了所有的事件結(jié)果及其概率，可以完整的

反映隨機(jī)事件的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。而求解分布列，概率模型是關(guān)鍵；而求解

概率，事件分析是重點(diǎn)。

■應(yīng)用深化

我們?cè)倩氐缴?的例子：一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的3個(gè)白球和

2個(gè)紅球，從中有放回地抽取三次，每次抽取一個(gè)球。設(shè)抽取到白球

的次數(shù)為隨機(jī)變量X,

問(wèn)題9,隨機(jī)變量X是否服從二項(xiàng)分布？

生解釋。

符號(hào)表示：X~B（3,0.6）

概率公式：p（x=k）=C；0.6A（1-0.6廣*,k=0,1,2,3

試求解以下概率，并指明符號(hào)所表示的具體事件：

P(X=1),P(X<2),P(X>2)o

問(wèn)題10：如何將此情境改換為超幾何分布？

生：將有放回改為不放回。

通過(guò)EXCEL展示超幾何分布與二項(xiàng)分布的概率圖表及柱狀圖，體

會(huì)差異。

然后增加超幾何

分布中N的數(shù)值，體

會(huì)變化，并給出科學(xué)

合理的解釋。

問(wèn)題11：試論述

二項(xiàng)分布與兩點(diǎn)分布、

超幾何分布的區(qū)別和聯(lián)系。

生獨(dú)立思考后，小組交流生成意見。

生展示，師總結(jié)完善：

兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的特例，n個(gè)獨(dú)立的兩點(diǎn)分布的和服從二項(xiàng)

分布；

超幾何分布是不放回抽樣，二項(xiàng)分布可看作有放回抽樣；

在抽樣中，當(dāng)總體容量無(wú)限大時(shí)，超幾何分布就可以近似看成二

項(xiàng)分布；

當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)無(wú)限大時(shí)，二項(xiàng)分布就可以近似看成正態(tài)分布；

■當(dāng)堂檢測(cè)

1.將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次,則正面向上的次數(shù)X的分布為（）

AX?B(5,0.5)BX?B(0.5,5)

CX?B(2,0.5)DX?B(5,1)

2.隨機(jī)變量X?B(3,0.6),P(X=2)=,P(X21)=.

(列出代數(shù)式即可，并嘗試以此擬定一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題)

3.某人擲一粒骰子3次，若有1次以上出現(xiàn)的5點(diǎn)或6點(diǎn)時(shí)為試驗(yàn)

成功，則這人試驗(yàn)成功的概率為

■自主小結(jié)

結(jié)合當(dāng)堂檢測(cè)，自主總結(jié)本節(jié)所學(xué)的知識(shí)、方法，簡(jiǎn)述探究體驗(yàn)。

學(xué)情分析

知識(shí)基礎(chǔ)：已學(xué)習(xí)概率與統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，研究了離散型隨機(jī)變

量及其分布列、條件概率與事件獨(dú)立性的概念，為二項(xiàng)分布的學(xué)習(xí)做

好了知識(shí)鋪墊。

技能基礎(chǔ)：初步掌握事件概率求解的一般規(guī)律和方法，能夠借助

離散型隨機(jī)變量的分布解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題

思想方法基礎(chǔ):初步掌握從特殊到一般和從一般到特殊的的推理

方法，能夠?qū)^復(fù)雜的事件進(jìn)行分類簡(jiǎn)化，以簡(jiǎn)馭繁。

活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：求知的欲望強(qiáng)烈，喜歡探求真理，具有積極的情

感態(tài)度，但提出問(wèn)題的能力不足，質(zhì)疑、辨析意識(shí)和經(jīng)驗(yàn)欠缺。

效果分析

通過(guò)課堂反饋來(lái)看，學(xué)生能夠快速的理解并記憶公式，并能夠準(zhǔn)確

的判斷、合理的應(yīng)用，達(dá)到了預(yù)期效果.

本堂課由于課前練習(xí)的設(shè)計(jì)使得模型的構(gòu)建過(guò)程非常自然、順暢,

課堂探究效果比預(yù)想要好很多.同時(shí)，由于設(shè)計(jì)了一系列層層遞進(jìn)的問(wèn)

題串，為學(xué)生思維的發(fā)展搭建了不同梯度的平臺(tái),使得學(xué)生漸入佳境,

一覽眾山，師生互動(dòng)無(wú)礙,思維有張有弛，舒緩有度.

通過(guò)升華與小結(jié)，學(xué)生能夠通過(guò)本課深刻的體會(huì)到數(shù)學(xué)探究的魅

力，感受數(shù)學(xué)知識(shí)之間的普遍聯(lián)系,能夠培養(yǎng)其深刻而持續(xù)的思考的能

力與探究的信心.

教材分析

全章共四節(jié)內(nèi)容，依次介紹了四種特殊分布，組成了隨機(jī)變量及

其分布的完整拼圖。

在本節(jié)中，教材從真實(shí)情境中（n次重復(fù)擲硬幣的試驗(yàn)）引出

獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，得到二項(xiàng)分布，經(jīng)歷了建構(gòu)模型、應(yīng)用模型、求解模

型、最終解決問(wèn)題的過(guò)程，充分體現(xiàn)了概率模型的應(yīng)用過(guò)程與應(yīng)用價(jià)

值。

涉及到主要知識(shí)點(diǎn)為獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概念、獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率

公式、二項(xiàng)分布的概念。前面所學(xué)的條件概率、事件的相互獨(dú)立性是

本節(jié)的理論基礎(chǔ)，兩點(diǎn)分布則是二項(xiàng)分布的一種特例，后續(xù)的正態(tài)分

布則是二項(xiàng)分布的拓展和延伸。

學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過(guò)操作、觀察、對(duì)比分析，能夠從具體事例中歸納

出獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的特征，猜想并論證概率公式，會(huì)準(zhǔn)確判斷一個(gè)具體

問(wèn)題是否服從二項(xiàng)分布，并能正確的借助二項(xiàng)分布的模型解決相應(yīng)的

實(shí)際問(wèn)題。學(xué)生能夠充分地經(jīng)歷直觀體驗(yàn)一一理性分析、歸納一一演

繹的數(shù)學(xué)探究過(guò)程，感悟由特殊到一般、由具體到抽象的數(shù)學(xué)思想方

法，建立起對(duì)立統(tǒng)一與普遍聯(lián)系的哲學(xué)觀點(diǎn)，樹立對(duì)新知識(shí)的科學(xué)態(tài)

度以及勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神。

教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)：

1.n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的特征；

2.準(zhǔn)確判斷二項(xiàng)分布模型，并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

難點(diǎn)：

1.利用二項(xiàng)分布模型解決實(shí)際問(wèn)題。

2.辨析二項(xiàng)分布與兩點(diǎn)分布、超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系，建立

起對(duì)立統(tǒng)一與普遍聯(lián)系的哲學(xué)觀點(diǎn)。

難點(diǎn)成因1：對(duì)于二項(xiàng)分布的推導(dǎo)原理不明，歸納生成有一定難

度；

突破方法：以表格形式探討表達(dá)式，提醒學(xué)生尋找概率和變量下

標(biāo)之間的規(guī)律，即事件發(fā)生次數(shù)和概率間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，最后通過(guò)逆向

論證，加深理解，自然生成概念。

難點(diǎn)成因2：容易忽視或混淆兩點(diǎn)分布、超幾何分布、二項(xiàng)分布，

概念內(nèi)涵與外延不明晰，模型識(shí)別困難；

突破方法:引導(dǎo)學(xué)生不但能判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布,

而且能夠舉出二項(xiàng)分布的例子，以加深理解；以對(duì)比辨析的形式厘清

界限，用計(jì)算機(jī)模擬的方式呈現(xiàn)聯(lián)系,加深對(duì)概念外延和內(nèi)涵的理解。

教學(xué)策略：根據(jù)以上分析，教師選擇“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)，自主探究”的

教學(xué)模式，依次推進(jìn)“情境引入一一新知探究一一典例精講一一應(yīng)用

深化一一當(dāng)堂檢測(cè)一一自主小結(jié)”六個(gè)環(huán)節(jié)。本節(jié)課以獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)

的概念與二項(xiàng)分布為知識(shí)中心，以問(wèn)題的探究和解決為主線，以問(wèn)題

為誘因，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突和思維碰撞，通過(guò)觀察、探究、猜想、

證明等多樣化的活動(dòng)，搭建深度學(xué)習(xí)的平臺(tái)，提升學(xué)生思維品質(zhì)，讓

學(xué)生親歷體驗(yàn)、感受創(chuàng)造數(shù)學(xué)新知識(shí)的過(guò)程，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。另

外，教學(xué)過(guò)程中適時(shí)以信息技術(shù)輔助教學(xué)，以圖表的形式直觀呈現(xiàn),

對(duì)二項(xiàng)分布的內(nèi)涵和外延進(jìn)行深度探索，加深理解，幫助學(xué)生建立起

較為系統(tǒng)的知識(shí)體系。

課時(shí)安排：2個(gè)課時(shí)，第一課時(shí)為新授課，第二課時(shí)為習(xí)題課。

評(píng)測(cè)練習(xí)

L將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，則正面向上的次數(shù)X的分布為()

AX~B(5,0.5)BX?B(0.5,5)

CX-B(2,0.5)DX-B(5,1)

2.隨機(jī)變量X?B(3,0.6),P(X=2)=,P(X21)=.(列

出代數(shù)式即可，并嘗試以此擬定一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題）

3.某人擲一粒骰子3次，若有1次以上出現(xiàn)的5點(diǎn)或6點(diǎn)時(shí)為

試驗(yàn)成功，則這人試驗(yàn)成功的概率為

課后反思

本節(jié)課始終貫徹在教師的有效指導(dǎo)下,學(xué)生主動(dòng)參與模型的發(fā)現(xiàn)、

探究和應(yīng)用，在活動(dòng)中體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)、落實(shí)核心

素養(yǎng)培育的理念.同時(shí)還有幾點(diǎn)思考：

（1）讓學(xué)生成為問(wèn)題的主體，才能讓學(xué)生成為課堂的主體.

在課堂中，問(wèn)題是核心，解決問(wèn)題是目標(biāo)，而問(wèn)題的主體應(yīng)該是學(xué)

生.本節(jié)課充分發(fā)揮學(xué)生的主體性,讓學(xué)生自己提出問(wèn)題，分析問(wèn)題，探

究問(wèn)題，解決問(wèn)題.

例如：在探究問(wèn)題時(shí)，提出一連串的問(wèn)題和評(píng)價(jià)：我們應(yīng)該用怎

樣的思路和方法進(jìn)行探究？一一請(qǐng)說(shuō)出你的假設(shè)一一同學(xué)們是否認(rèn)

同？（同學(xué)們大多搖頭）你能否對(duì)這