中考數(shù)學(xué)真題及答案

2008年北京市高級中等學(xué)校招生考試

數(shù)學(xué)試卷

1.本試卷分第I卷和第n卷，第I卷共2頁，第n卷共8頁.全

考

卷共九道大題，25道小題.

生

2.本試卷滿分120分，考試時間120分鐘.

須

在試卷（包括第卷和第卷）密封線內(nèi)準(zhǔn)確填寫區(qū)（縣）

如3.In

名稱、畢業(yè)學(xué)校、姓名、報名號和準(zhǔn)考證號.

4.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

第I卷（機(jī)讀卷共32分）

考

生1.第I卷從第1頁到第2頁，共2頁，共一道大題，8道小題.

須2.考生須將所選選項(xiàng)按要求填涂在答題卡上，在試卷上作答無

“效.

一、選擇題（共8道小題，每小題4分，共32分）

下列各題均有四個選項(xiàng)，其中只有一個是符合題意的.用鉛筆把“機(jī)讀答

題卡”上對應(yīng)題目答案的相應(yīng)字母處涂黑.

1.-6的絕對值等于（）

A.6B.-C.--D.-6

66

2.截止到2008年5月19H,已有21600名中外記者成為北京奧運(yùn)會的注

冊記者，創(chuàng)歷屆奧運(yùn)會之最.將21600用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.0.216xl05B.21.6xl03C.2.16xl03D.2.16xl04

3.若兩圓的半徑分別是1cm和5cm,圓心距為6cm,則這兩圓的位置關(guān)系

是（）

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.外離

4.眾志成城，抗震救災(zāi).某小組7名同學(xué)積極捐出自己的零花錢支援災(zāi)區(qū),

他們捐款的數(shù)額分別是（單位：元）：50,20,50,30,50,25,135.這組數(shù)

據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.50,20B.50,30C.50,50D.135,50

5.若一個多邊形的內(nèi)角和等于720,則這個多邊形的邊數(shù)是（)

A.5B.6C.7D.8

6.如圖，有5張形狀、大小、質(zhì)地均相同的卡片，正面分別印有北京奧運(yùn)

會的會徽、吉祥物（福娃）、火炬和獎牌等四種不同的圖案，背面完全相同.現(xiàn)

將這5張卡片洗勻后正面向下放在桌子上，從中隨機(jī)抽取一張，抽出的卡片正面

圖案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（）

7.若卜+2|+正石=。，則W的值為（）

A.-8B.-6C.5D.6

8.已知。為圓錐的頂點(diǎn)，M為圓錐底面上一點(diǎn)，點(diǎn)尸在Q欣上.一只蝸

牛從P點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行，回到P點(diǎn)時所爬過的最短路線的痕跡如右圖所

示.若沿將圓錐側(cè)面剪開并展開，所得側(cè)面展開圖是（）

D.

2008年北京市高級中等學(xué)校招生考試

數(shù)學(xué)試卷

第n卷（非機(jī)讀卷共88分）

1.第n卷從第1頁到第8頁，共8頁，共八道大題，17道小題.

考生

2.除畫圖可以用鉛筆外，答題必須用黑色或藍(lán)色鋼筆、圓珠筆或

須知：

簽字筆.

二、填空題（共4道小題，每小題4分，共16分）

9.在函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是.

2x-lA

10.分解因式："2=.

B乙-------

11.如圖，在△ABC中，D,￡分別是AB,AC的中點(diǎn)，

若DE=2cm,則BC=cm.

A2h5A8A11

12.一組按規(guī)律排列的式子：旦,勺，-彳，一，…（或#0）,其

aaaa

中第7個式子是,第〃個式子是（九為正整數(shù)）.

三、解答題（共5道小題，共25分）

13.（本小題滿分5分）

計(jì)算：V8-2sin45+（2—兀）?！?

解:

14.（本小題滿分5分）

解不等式5x-12W2（4x-3）,并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

解：..............

-3-2-10123

15.（本小題滿分5分）

已知：如圖，。為BE上一點(diǎn)，點(diǎn)A。分別在破兩側(cè).AB//ED,AB=CE,

BC=ED.

求證：AC=CD.

證明：

16.（本小題滿分5分）

如圖，已知直線y=區(qū)-3經(jīng)過點(diǎn)M,求此直線與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

解:

17.（本小題滿分5分）

已知x-3y=0,求,2X+'__的值.

x-2孫+丁

解：

四、解答題（共2道小題，共10分）

18.（本小題滿分5分）

如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,ABLAC,ZB=45,AD=正,

BC=4四,求。C的長.

解：

19.（本小題滿分5分）

已知：如圖，在Rt^ABC中，NC=90,點(diǎn)。在A3上，以。為圓心，OA

長為半徑的圓與AC,AB分別交于點(diǎn)DE,且NCBD=NA.

（1）判斷直線血與OO的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）若AD:AO=8:5,BC=2,求的長.\

解：⑴U-Q—）E

(2)

五、解答題（本題滿分6分）

20.為減少環(huán)境污染，自2008年6月1日起，全國的商品零售場所開始實(shí)

行“塑料購物袋有償使用制度”（以下簡稱“限塑令”）.某班同學(xué)于6月上旬

的一天，在某超市門口采用問卷調(diào)查的方式，隨機(jī)調(diào)查了“限塑令”實(shí)施前后，

顧客在該超市用購物袋的情況，以下是根據(jù)100位顧客的100份有效答卷畫出的

統(tǒng)計(jì)圖表的一部分：

“限塑令”實(shí)施后，使用各

“限塑令”實(shí)施前，平均一次購

物使用不同數(shù)量塑料購物袋的人

“限塑令”實(shí)施后，塑料購物袋使用后的處理方式統(tǒng)計(jì)表

處理方式直接丟棄直接做垃圾袋再次購物使用其它

選該項(xiàng)的人數(shù)

占

5%35%49%11%

總?cè)藬?shù)的百分

比

請你根據(jù)以上信息解答下列問題:

（1）補(bǔ)全圖1,“限塑令”實(shí)施前，如果每天約有2000人次到該超市購

物.根據(jù)這100位顧客平均一次購物使用塑料購物袋的平均數(shù)，估計(jì)這個超市每

天需要為顧客提供多少個塑料購物袋？

（2）補(bǔ)全圖2,并根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表說明，購物時怎樣選用購物袋，塑

料購物袋使用后怎樣處理，能對環(huán)境保護(hù)帶來積極的影響.

解：⑴

(2)

六、解答題（共2道小題，共9分）

21.（本小題滿分5分）列方程或方程組解應(yīng)用題:

京津城際鐵路將于2008年8月1日開通運(yùn)營，預(yù)計(jì)高速列車在北京、天津

間單程直達(dá)運(yùn)行時間為半小時.某次試車時，試驗(yàn)列車由北京到天津的行駛時間

比預(yù)計(jì)時間多用了6分鐘，由天津返回北京的行駛時間與預(yù)計(jì)時間相同.如果這

次試車時，由天津返回北京比去天津時平均每小時多行駛40千米，則這次試車

時由北京到天津的平均速度是每小時多少千米？

解：

22.（本小題滿分4分）

已知等邊三角形紙片ABC的邊長為8,。為48邊上的點(diǎn)，過點(diǎn)。作

交AC于點(diǎn)G.DELBC于點(diǎn)E,過點(diǎn)G作GF于點(diǎn)尸，把三角

形紙片ABC分別沿DG,DE,GF按圖1所示方式折疊，點(diǎn)AB,。分別落在點(diǎn)

4,B',C處.若點(diǎn)4,B',C在矩形DEEG內(nèi)或其邊上，且互不重合，此

（1）若把三角形紙片ABC放在等邊三角形網(wǎng)格中（圖中每個小三角形都

是邊長為1的等邊三角形），點(diǎn)AB,C,。恰好落在網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上.如圖

2所示，請直接寫出此時重疊三角形的面積；

（2）實(shí)驗(yàn)探究：設(shè)AO的長為加，若重疊三角形A'8'C'存在.試用含機(jī)的

代數(shù)式表示重疊三角形的面積，并寫出機(jī)的取值范圍（直接寫出結(jié)果，備

用圖供實(shí)驗(yàn)，探究使用）.

備用圖備用圖

解：（1）重疊三角形的面積為；

（2）用含加的代數(shù)式表示重疊三角形A'3'C'的面積為；〃［的取值范

圍為.

七、解答題（本題滿分7分）

23.已知：關(guān)于x的一元二次方程ra?-（3〃7+2）》+2m+2=0（〃7〉0）.

（1）求證：方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）設(shè)方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為毛，馬（其中藥＜々）.若y是關(guān)于機(jī)的

函數(shù)，且丁=%-2西，求這個函數(shù)的解析式；

（3）在（2）的條件下，結(jié)合函數(shù)的圖象回答：當(dāng)自變量機(jī)的取值范圍滿

足什么條件時，yW2m.

（1）證明：

（2）解：

（3）解：

>x

八、解答題(本題滿分7分)

24.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，拋物線、=必+法+。與x軸交于A3兩點(diǎn)

(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)8的坐標(biāo)為(3,0),將直線y=近沿

y軸向上平移3個單位長度后恰好經(jīng)過BC兩點(diǎn).

(1)求直線及拋物線的解析式；

(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為。，點(diǎn)尸在拋物線的對稱軸上，S.ZAPD=ZACB,

求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)連結(jié)C￡>,求NOC4與NOCD兩角和的度數(shù).九、

解：⑴4-

3-

2-

1-

J___I_______I___I___I___I___>V-

-2-101234

-1-

-2-

(2)

(3)

九、解答題(本題滿分8分)

25.請閱讀下列材料：

問題：如圖1,在菱形ABCD和菱形班戶G中，點(diǎn)AB,E在同一條直線上,

尸是線段。尸的中點(diǎn)，連結(jié)PG,PC.^ZABC=ZBEF=60,探究PG與PC的

位置關(guān)系及空的值.

PC

小聰同學(xué)的思路是：延長GP交。C于點(diǎn)構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使

問題得到解決.

請你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：

（1）寫出上面問題中線段PG與PC的位置關(guān)系及空的值；

PC

（2）將圖1中的菱形5EFG繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形班FG的對角線8方

恰好與菱形ABCD的邊在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖

2）.你在（1）中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明.

（3）若圖1中ZABC=NBEF=2a（0<a<90）,將菱形BEFG繞點(diǎn)B順時

針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問題中的其他條件不變，請你直接寫出生的值（用含a的

PC

式子表示）.

解：（1）線段PG與PC的位置關(guān)系是；如=.

PC

(2)

2008年北京市高級中等學(xué)校招生考試

數(shù)學(xué)試卷答案及評分參考

閱卷須知：

1.一律用紅鋼筆或紅圓珠筆批閱，按要求簽名.

2.第I卷是選擇題，機(jī)讀閱卷.

3.第n卷包括填空題和解答題.為了閱卷方便，解答題中的推導(dǎo)步驟寫得

較為詳細(xì)，考生只要寫明主要過程即可.若考生的解法與本解法不同，正確者可

參照評分參考給分.解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分

數(shù).

第I卷（機(jī)讀卷共32分）

一、選擇題（共8道小題，每小題4分，共32分）

題號12345678

答案ADCCBBBD

第II卷（非機(jī)讀卷共88分）

二、填空題（共4道小題，每小題4分，共16分）

題號9101112

1QT

答案XW—a(a+b)(a-b)4(-1)--

2a1an

三、解答題（共5道小題，共25分）

13.（本小題滿分5分）

解：V8-2sin45+（2—兀）?！?/p>

=2V2-2x—+1-3.....................................................................................4分

2

=y/2-2................................................................................................................5分

14.（本小題滿分5分）

解：去括號，得5x-12W8x-6?.....................................................................1分

移項(xiàng)，得5x—8xW—6+12.................................................................................2分

合并，得一3x<6?................................................................................................3分

系數(shù)化為1,得％2......................................................................................4分

不等式的解集在數(shù)軸上表示女手_________

?，?????

-3-2-10123

....................................................................................................................................5分

15.（本小題滿分5分）

證明：AB//ED,

:.ZB=ZE.............................................................................................................2分

在△ABC和△CED中，

AB=CE,

<ZB=NE,

BC=ED,

:.AABC當(dāng)ACED...............................................................................................4分

:.AC=CD............................................................................................................5分

16.（本小題滿分5分）

解：由圖象可知，點(diǎn)”（-2,1）在直線y=3上，..................1分

:.-2k—3=l.

解得上=—2............................................................................................................2分

...直線的解析式為y=—2x—3................................................................................3分

令y=0,可得1二一^.

直線與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為'.............................4分

令％=0,可得y=-3.

???直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,—3）...........................................................5分

17.（本小題滿分5分）

解:「；：尸口）

2x+y

<x-y)2分

(x—y)2

2x+y

......................................................................................................3分

x-y

當(dāng)x-3y=0時，x=3y.............................................................................4分

原式仁7

..............................................................................5分

2

四、解答題（共2道小題，共10分）

18.（本小題滿分5分）

解法一：如圖1,分別過點(diǎn)A。作AELBC于點(diǎn)E,

￡)b，3。于點(diǎn)尸................1分

AE//DF.

又AD〃5C,

四邊形AEFD是矩形.

圖1

：.EF=AD=0................................2分

AB±AC,4=45,BC=4心,

AB—AC.

AE=EC=-BC=141.

2

DF=AE=2V2,

CF=EC-EF=也.........................................................................................4分

在RtZkDEC中，ZDFC=90,

r.DC=JDF?+CF?=J（2應(yīng)）+（0）2=屈..................5分

解法二：如圖2,過點(diǎn)。作。尸〃AB,分別交AC,BC于點(diǎn)E,E.…」分

AB±AC,

:.ZAED=ZBAC=90.公，中

…a

:.ZDAE=1SO-ZB-ZBAC=45.圖2

在Rt^ABC中，ZBAC=90,ZB=45,BC=4插,

AC=BC.sin45=4A/2X—=4................................................................2分

2

在Rt^ADE中，ZAED=90,ZDAE=45,AD=^2,

:.DE=AE=L

:.CE=AC-AE=3....................................................................................4分

在RtZV）EC中，NCED=90,

DC=A/D￡2+CE2=712+32=y/10........................................................5分

19.（本小題滿分5分）

解：（1）直線血與：_O相切.1分

證明：如圖1,連結(jié)00.

OA=OD,

:.ZA=ZADO.

ZC=90,:.ZCBD+ZCDB=90

又ZCBD=ZA,

:.ZADO+ZCDB=90.

:.ZODB=90.

直線BD與相切.................................................................................2分

(2)解法一：如圖1,連結(jié)DE.

AE是。的直徑,:.ZADE=90.

AD;AO=8;5,

cosA=----=—...........................................................................................3分

AE5

ZC=90,ZCBD=ZA,

RC4

cosZCBD=-=-................................................................................4分

BD5

BC=2,:.BD=-....................................................................5分

2

解法二：如圖2,過點(diǎn)。作OHLAD于點(diǎn)

AD;AO=8:5,

“AH4

...cosA------3分

AO5

ZC=90,ZCBD=ZA,

BC4

cosZCBD=—4分

BD5

BC=2,

:.BD=~.....................................................................................................5分

2

五、解答題(本題滿分6分)

解：(1)補(bǔ)全圖1見下圖.....................................1分

“限塑令”實(shí)施前，平均一次購

物使用不同數(shù)量塑料購物袋的人

9x1+37x2+26x3+11x4+10x5+4x6+3x7300/人、

==J<\).

100100

這100位顧客平均一次購物使用塑料購物袋的平均數(shù)為3個.......3分

2000x3=6000.

估計(jì)這個超市每天需要為顧客提供6000個塑料購物袋.............4分

(2)圖2中，使用收費(fèi)塑料購物袋的人數(shù)所占百分比為25%.............5分

根據(jù)圖表回答正確給1分，例如：由圖2和統(tǒng)計(jì)表可知，購物時應(yīng)盡量使

用自備袋和押金式環(huán)保袋，少用塑料購物袋；塑料購物袋應(yīng)盡量循環(huán)使用，以便

減少塑料購物袋的使用量，為環(huán)保做貢獻(xiàn)............................6分

六、解答題(共2道小題，共9分)

21.解：設(shè)這次試車時，由北京到天津的平均速度是每小時x千米，則由

天津返回北京的平均速度是每小時(x+40)千米.......................1分

依題意，得^^X=L(X+40).................................................................3分

602

解得x=200....................................................................................4分

答：這次試車時，由北京到天津的平均速度是每小時200千米.5分

22.解：（1）重疊三角形A，9c的面積為也..................1分

（2）用含加的代數(shù)式表示重疊三角形A'3'C'的面積為6（4-冽了；??…2分

Q

機(jī)的取值范圍為一Wzn<4................................................................................4分

3

七、解答題（本題滿分7分）

23.（1）證明：<如2_（3加+2）%+2加+2=0是關(guān)于x的一元二次方程，

A=[—（3m+2）]2—4m（2m+2）=m2+4m+4=（m+2）2.

當(dāng)相>0時，（加+2）2>0,即A>0.

/.方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根........................................................................2分

（2）解：由求根公式，得/=（32）±（2）.

2m+2

x=---------或x=l..........................................................................................3分

m

m>0,

2m+2_2(m+D>]

mm

1藥<馬，

12m+2

?.%=1,%2=........................................................................................4分

m

2m+2

y=x-2石-2x1=—.

2mm

7…

即y=—（m>0）為所求.......5分y八

4-

m./y=2m(m>0)

3：/2

（3）解：在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出

2y=一(m>0)

21/;

y--（加>0）與丁=2m（m>0）的圖象.一-4-3-2-kip1234x

m一1-

-2-

................................................................6分

-3-

-4-

由圖象可得，當(dāng)時，y^2m.7分

八、解答題（本題滿分7分）

24.解：（1）y=-沿y軸向上平移3個單位長度后經(jīng)過y軸上的點(diǎn)C,

C(0,3).

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3.

3（3,0）在直線上，

3左+3=0.

解得人=—1.

/.直線BC的解析式為y=-x+3....................................................................1分

拋物線)=/+"+c過點(diǎn)BC,

9+3Z?+c=0,

。=3.

解得

c=3.

：.拋物線的解析式為y=f—4x+3...............................................................2分

(2)由y=%2-4x+3.

可得0(2,—1),4(1,0).

..05=3,OC=3,04=1,AB=2.

可得△03。是等腰直角三角形.

ZOBC=45,CB=372.

圖1

如圖1,設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點(diǎn)廠,

AF=—AB=1.

2

過點(diǎn)A作AELBC于點(diǎn)E.

:.ZAEB=90.

可得BE=AE=后,CE=2近.

在△AEC與尸中，ZAEC=ZAFP=90,ZACE=ZAPF,

:△AECsAAFP.

,AE_CEV2_272

"AF~PFf1~PF'

解得P/=2.

點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)或(2,—2).................................................................5分

(3)解法一：如圖2,作點(diǎn)A(l,0)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)4,則4(-1,0).

連結(jié)AC,AD,

可得4C=AC=A，ZOCA=ZOCA.

由勾股定理可得。。2=20,AD1=10.

4

又4c2=io,