2024年高中數(shù)學專題2-13重難點題型培優(yōu)精講直線與圓的位置關(guān)系學生版新人教A版選擇性必修第一冊

專題2.13直線與圓的位置關(guān)系1．直線與圓的位置關(guān)系及判定方法(1)直線與圓的位置關(guān)系及方程組的狀況如下：(2)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法

①代數(shù)法：通過聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，依據(jù)方程組解的個數(shù)來探討，若有兩組不同的實數(shù)解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實數(shù)解，即=0，則直線與圓相切；若無實數(shù)解，即<0，則直線與圓相離.

②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來推斷，當d<r時，直線與圓相交；當d=r時，直線與圓相切；當d>r時，直線與圓相離.2．圓的切線及切線方程(1)自一點引圓的切線的條數(shù)：

①若點在圓外，則過此點可以作圓的兩條切線；

②若點在圓上，則過此點只能作圓的一條切線，且此點是切點；

③若點在圓內(nèi)，則過此點不能作圓的切線.

(2)求過圓上的一點的圓的切線方程：

①求法：先求切點與圓心連線的斜率k()，則由垂直關(guān)系可知切線斜率為，由點斜式方程可求得切線方程.假如k=0或k不存在，則由圖形可干脆得切線方程.

②重要結(jié)論：

a.經(jīng)過圓上一點P的切線方程為.

b.經(jīng)過圓上一點P的切線方程為.

c.經(jīng)過圓+Dx+Ey+F=0上一點P的切線方程為.3．圓的弦長問題設直線l的方程為y=kx+b，圓C的方程為，求弦長的方法有以下幾種：

(1)幾何法

如圖所示，半徑r、圓心到直線的距離d、弦長l三者具有關(guān)系式：.(2)代數(shù)法

將直線方程與圓的方程組成方程組，設交點坐標分別為A,B.

①若交點坐標簡潔易求，則干脆利用兩點間的距離公式進行求解.

②若交點坐標無法簡潔求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可得或的關(guān)系式，通常把或叫作弦長公式.4．解與圓有關(guān)的最值問題(1)利用圓的幾何性質(zhì)求最值的問題

求圓上點到直線的最大值、最小值，需過圓心向直線作垂線.

①如圖2-5-1-4①，當直線l與圓C相交時，最小距離為0，最大距離為AD=r+d.其中r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離；

②如圖2-5-1-4②，當直線l與圓C相切時，最小距離為0，最大距離為AD=2r；

③如圖2-5-1-4③，當直線l與圓C相離時，最小距離為BD=d-r，最大距離為AD=d+r.(2)利用直線與圓的位置關(guān)系解決最值(取值范圍)問題

解析幾何中的最值問題一般是依據(jù)條件列出所求目標——函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應用不等式求出其最值(取值范圍).對于圓的最值問題，要利用圓的特殊幾何性質(zhì)，依據(jù)式子的幾何意義求解，這常常是簡化運算的最佳途徑.

①形如u=的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.②形如t=ax+by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.

③形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題.

(3)經(jīng)過圓內(nèi)一點的最長弦就是經(jīng)過這點的直徑，過這點和最長弦垂直的弦就是最短弦.5．直線與圓的方程的應用(1)解決實際問題的步驟：

(2)建系原則

建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼狄盐諆蓚€原則：

①對稱性原則.可以選擇對稱中心為坐標原點，對稱軸所在的直線為坐標軸.到兩個定點的距離問題，可以選擇兩個定點所在的直線以及線段的垂直平分線為坐標軸等.有兩條相互垂直的直線的問題則可選其為坐標軸.

②集中性原則.可以讓曲線上盡可能多的特殊點在坐標軸上.如與三角形有關(guān)的問題，可以考慮將三角形的三個頂點全部放在坐標軸上.

【題型1直線與圓的位置關(guān)系及判定】【方法點撥】①代數(shù)法：通過聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，依據(jù)方程組解的個數(shù)來探討，若有兩組不同的實數(shù)解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實數(shù)解，即=0，則直線與圓相切；若無實數(shù)解，即<0，則直線與圓相離.②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來推斷，當d<r時，直線與圓相交；當d=r時，直線與圓相切；當d>r時，直線與圓相離.【例1】直線mx-2y-m+1=0與圓x2+y2-4x-2y+1=0的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【變式1-1】對于隨意實數(shù)k，圓C:x2+yA．相交 B．相切C．相離 D．與k的取值有關(guān)【變式1-2】已知直線l:x-y+2=0與圓CA．-∞,0C．-∞,【變式1-3】已知點Ma,bab≠0在圓x2+y2=A．l//m且與圓相離 B．C．l//m且與圓相交 D．【題型2圓的切線問題及切線方程的求解】【方法點撥】①當一條直線l與圓C相切時，毫無疑問地要用到圓心C到直線l的距離d=r(r為圓C的半徑).②當一條直線l與圓C相切于點P時，則lPC.③過圓外一點P向圓C作切線，切點為Q，則必定會用到.【例2】過點M(3,1)作圓x2+y2-2A．x+y-4=0C．x-y-2=0【變式2-1】已知圓心在x軸上，半徑為22的圓上有一點M1,2，則圓在點M處的切線方程是（A．x-y+1=0 B．C．x+y-3=0【變式2-2】過直線x+y=5上的點作圓CA．32 B．23 C．15【變式2-3】在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2+y-32=2，點A是x軸上的一個動點，AP，AQ分別切圓CA．273,22 B．2【題型3圓的弦長問題】【方法點撥】當直線與圓相交時，因幾何法求弦長較便利，一般不用代數(shù)法.用幾何法求解圓的弦長的一般步驟：第一步：確定圓的半徑r；其次步：求解圓心到直線的距離d；第三步：代入公式求解弦長.【例3】直線l:3x+4y-A．25 B．4 C．23【變式3-1】過點A2,2，作傾斜角為π3的直線l，則直線l被圓O:A．1-32 B．2-【變式3-2】已知直線l：mx-y-3m+1=0恒過點P，過點P作直線與圓C：(x-1)2A．45 B．2 C．4 D．【變式3-3】已知圓O：?x2+y2=10，已知直線l：?ax+by=2a-ba,b∈A．352 B．552【題型4直線與圓有關(guān)的最值問題】【方法點撥】解直線與圓的最值問題主要有以下兩種思路：①代數(shù)法：利用平面幾何中的有關(guān)公式，構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，然后依據(jù)函數(shù)最值的求法進行求解.在轉(zhuǎn)化過程中常用到向量的數(shù)量積、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、換元等學問和方法.②幾何法：找到所求式的幾何意義，在坐標系中與圓建立聯(lián)系，分析其與圓的位置變更狀況，找到最大、最小取值點.【例4】已知圓C：x2+y2-4x-2y+1=0，點P是直線yA．253 B．453【變式4-1】瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同始終線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標系中作△ABC，AB=AC，點B(-1,1)，點C(3,5)，過其“歐拉線”上一點Р作圓O：x2+A．2 B．22 C．3 D．【變式4-2】已知點Q在圓M:x+32+y-32=4上，直線l:2x①點Q到直線l的距離小于4.5②點Q到直線l的距離大于1③當∠QRP最小時，④當∠QRP最大時，A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式4-3】已知圓C1:(x-2)2+(y+3)2=1，圓C2:(x-3)2+A．52+4C．52 D．【題型5直線與部分圓的相交問題】【方法點撥】一條直線和一個圓的一部分有交點時，假如用代數(shù)法去探討，則要轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的取值狀況，過程比較繁瑣，因此這類問題一般接受數(shù)形結(jié)合的方法去探討，探討應抓住兩類直線：一是切線；二是過端點的直線.【例5】若直線l:kx-y-2=0與曲線A．43,2C．-2,4【變式5-1】設點P(x,y)是曲線yA．[0，125] B．[【變式5-2】設曲線x=1-(1-y)2上的點到直線x-yA．2 B．2-22 C．【變式5-3】過點2,-1引直線l與曲線y=1-x2相交于AA．-1,-34 B．-【題型6直線與圓的方程的應用】【方法點撥】用坐標法解決幾何問題時應留意以下幾點：①應在利于解題的原則下建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，不行隨意建立；②在實際問題中，有些量具有確定的限制條件，轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題時要留意取值范圍；③最終確定要將代數(shù)結(jié)果轉(zhuǎn)化成幾何結(jié)論.【例6】如圖，某海面上有O，A，B三個小島（面積大小忽視不計），A島在O島的北偏東45°方向距O島402千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處．以O為坐標原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為一個單位長度，建立平面直角坐標系．圓C經(jīng)過O，A，B(1)求圓C的方程；(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不變更方向，試問該船有沒有觸礁的緊急?【變式6-1】為了保證我國東海油氣田海疆海上平臺的生產(chǎn)平安，海事部門在某平臺O的北偏西45°方向22km處設立觀測點A，在平臺O的正東方向12km處設立觀測點B，規(guī)定經(jīng)過O、A、B三點的圓以及其內(nèi)部區(qū)域為平安預警區(qū)．如圖所示：以O為坐標原點，O的正東方向為x(1)試寫出A，B的坐標，并求兩個觀測點A，B之間的距離；(2)某日經(jīng)觀測發(fā)覺，在該平臺O正南10kmC處，有一艘輪船正以每小時87【變式6-2】如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）.規(guī)劃在公路l上選兩個點P?Q，并修建兩段直線型道路PB?QA.規(guī)劃要求，線段PB?QA上的全部點到點O的距離均不小于圓O的半徑.已知點A,B到直線l的距離分別為AC和BD（C,D為垂足），測得AB=10(1)若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；(2)在規(guī)劃要求下，點Q能否選在D處？并說明理由.【變式6-3